MATEMÁTICA APLICADA AO PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO E LOGÍSTICA. Silvio A. de Araujo Socorro Rangel

Apoio Financeiro:

Silvio A. de Araujo Socorro Rangel

saraujo@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br

MATEMÁTICA APLICADA AO PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO E LOGÍSTICA

PROGRAMA

Introdução

1. Modelagem matemática: conceitos básicos 2. Problemas clássicos de logística

3. O problema de dimensionamento de lotes 4. O problema de sequenciamento de tarefas

5. O problema integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes

6. Outros problemas integrados Considerações Finais

PROGRAMA

Introdução

1. Modelagem matemática: conceitos básicos 2. Problemas clássicos de logística

3. O problema de dimensionamento de lotes 4. O problema de sequenciamento de tarefas

5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes

6. Outros problemas integrados Considerações Finais

PROGRAMA

Introdução

1. Modelagem matemática: conceitos básicos 2. Problemas clássicos de logística

3. O problema de dimensionamento de lotes 4. O problema de sequenciamento de tarefas

5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes

6. Outros problemas integrados Considerações Finais

PROGRAMA

Introdução

1. Modelagem matemática: conceitos básicos 2. Problemas clássicos de logística

3. O problema de dimensionamento de lotes 4. O problema de sequenciamento de tarefas

5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes

6. Outros problemas integrados 7. Considerações Finais

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM) 2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

Problema do Caminho Mínimo (PCM)

Uma pessoa deseja sair de sua casa e chegar ao trabalho no menor tempo possível. Qual é a sequência de ruas e avenidas que a pessoa deve percorrer para chegar ao seu destino final?

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

Representação na forma de grafos

3

4 5

2 1

Conceitos de Teoria dos grafos - Grafo/Digrafo

- Adjacência de vértices - Adjacência de arestas

- Caminho: sequencia alternada de vértices e arestas onde não há repetição de vértices e

começa e termina com vértices (ex: 1, 3, 2, 5)

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

Representação na forma de grafos

3 4 5 2 1

1

c

13

=5

3

8

3

3

c

45

=5

Conceitos de Teoria dos grafos - Grafo valorado

- Rede

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

3 4 5 2 1

1

c

13

=5

3

8

3

3

c

45

=5

Análise de possíveis soluções para ir do vértice 1 ao vértice 5 Qual é o caminho mínimo?

Construindo um modelo para o Problema do Caminho Mínimo

elementos conhecidos: vértices, arestas e custo das arestas

elementos desconhecidos: sequencia de vértices e arestas a ser utilizadas

objetivo a ser alcançado: obter um caminho de custo (tempo) mínimo do vértice 1 ao vértice 5

restrições: relativas ao deslocamento no grafo

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

Elementos conhecidos (dados): - número de vértices, |V|=n;

- número de arestas, |A|=m.

- vértice inicial é 1, e o vértice final é n.

- índices: i,j = 1, ...,n para representar os vértices - custo da aresta (i,j)

Elementos desconhecidos (variáveis):

1 se a aresta (i,j) está incluída no caminho 0 caso contrário

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

= ij c = ij x

objetivo a ser alcançado (função objetivo):

restrições:

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

∑

∈ = A j i ij ijx c z ) , ( min ) ( , , 0 1 ,..., 2 0 1 1 ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1 i S j V i x n j x x x x j S k jk j P i ij n P j jn S j j ∈ ∈ ≥ − = = − = =

∑

∑

∑

∑

∈ ∈ ∈ ∈

Formulação:

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

S j V i x n j x x x x a Sujeito x c z ij j S k jk j P i ij n P j jn S j j A j i ij ij ∈ ∈ ≥ − = = − = = =

∑

∑

∑

∑

∑

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ , , 0 1 ,..., 2 0 1 1 : min ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1 ) , (

Exemplo:

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

∑

∈ = A j i ij ijx c z ) , ( min 45 45 35 35 34 34 32 32 25 25 13 13 12 12 min z = c x + c x + c x + c x + c x + c x + c x 3 4 5 2 1

1

c

13

=5

3

8

3

3

c

45

=5

45 35 34 32 25 13 12 5 8 3 3 3 5 1 min z = x + x + x + x + x + x + x

Formulação:

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

S j V i x n j x x x x a Sujeito x c z ij j S k jk j P i ij n P j jn S j j A j i ij ij ∈ ∈ ≥ − = = − = = =

∑

∑

∑

∑

∑

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ , , 0 1 ,..., 2 0 1 1 : min ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1 ) , (

Exemplo:

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

1 1 ) ( ) 1 ( 1 = =

∑

∑

∈ ∈ n P j jn S j j x x 1 13 12 + x = x 3 4 5 2 1

1

c

13

=5

3

8

3

3

c

45

=5

1 45 35 25 + x + x = x

Exemplo:

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

1 1 ) ( ) 1 ( 1 = =

∑

∑

∈ ∈ n P j jn S j j x x 1 13 12 + x = x 3 4 5 2 1

1

c

13

=5

3

8

3

3

c

45

=5

1 45 35 25 + x + x = x

Formulação:

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

S j V i x n j x x x x a Sujeito x c z ij j S k jk j P i ij n P j jn S j j A j i ij ij ∈ ∈ ≥ − = = − = = =

∑

∑

∑

∑

∑

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ , , 0 1 ,..., 2 0 1 1 : min ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1 ) , (

Exemplo:

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

4 0 3 0 2 0 45 34 35 34 32 13 25 32 12 = = − = = − − − = = − + j x x j x x x x j x x x 3 4 5 2 1

1

c

13

=5

3

8

3

3

c

45

=5

1 ,..., 2 0 ) ( ) ( − = = −

_∑

∑

∈ ∈ n j x x j S k jk j P i ij

Exemplo:

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

4 0 3 0 2 0 45 34 35 34 32 13 25 32 12 = = − = = − − − = = − + j x x j x x x x j x x x 3 4 5 2 1

1

c

13

=5

3

8

3

3

c

45

=5

1 ,..., 2 0 ) ( ) ( − = = −

_∑

∑

∈ ∈ n j x x j S k jk j P i ij

Formulação:

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2. Problemas clássicos de logística

S j V i x n j x x x x a Sujeito x c z ij j S k jk j P i ij n P j jn S j j A j i ij ij ∈ ∈ ≥ − = = − = = =

∑

∑

∑

∑

∑

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ , , 0 1 ,..., 2 0 1 1 : min ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1 ) , (

Problema do Caixeiro Viajante (PCV)

- Um viajante necessita visitar um certo número de cidades durante uma viagem e retornar ao lugar de origem de tal maneira que cada cidade seja visitada exatamente uma vez, e que a distância total percorrida seja a menor possível.

- Supondo conhecidas as distâncias entre cada par de cidades, que roteiro deve ser escolhido?

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2. Problemas clássicos de logística

2. Problemas clássicos de logística

Representação na forma de grafos Conceitos de Teoria dos grafos

Circuito: sequência alternada de vértices e arestas onde não há repetição de vértices, exceto pelo primeiro (ex: 1, 2, 4, 3, 1).

Circuito Hamiltoniano: circuito que inclui todos os vértices de um grafo (ex. 1, 5, 2, 3, 4, 1) 3 4 5 2 1

1

2

7

5

3

4

3

2

3

5

2. Problemas clássicos de logística

Representação na forma de grafos Conceitos de Teoria dos grafos

PCV simétrico: se c_ij= c_ji para todo i, j, temos o caso simétrico.

3 4 5 2 1

1

2

7

5

3

4

3

2

3

5

2. Problemas clássicos de logística

Representação na forma de grafos Conceitos de Teoria dos grafos

PCV simétrico: se c_ij= c_ji para todo i, j, temos o caso simétrico. PCV assimétrico: caso contrário

temos o caso simétrico. 3

4 5 2 1

1

2

7

5

3

4

3

2

3

5

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2. Problemas clássicos de logística

3 4 5 2 1

1

2

7

5

3

4

3

2

3

5

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

Quantos roteiros existem? Análise de possíveis soluções partindo, por exemplo, do vértice 1.

• Se o problema considerar n cidades teremos que o número total de roteiros, no caso assimétrico, é de até (n-1)!

É inviável enumerar todos os roteiros!

n-1 n-1! Tempo 8 40320 1s 10 3628800 54s 11 39916800 12 min 12 479001600 1h 25 min 30 2 . 1032* _{9 . 10}21 _milênios* 50 3 . 1064* _{9 . 10}53 _milênios* *Da ordem de

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2. Problemas clássicos de logística

Histórico

• 18xx: primeiros relatos sobre o problema; • 192x: o problema foi definido;

• 194x: o problema foi popularizado e classificado como “difícil”;

• 1954: resolvido na otimalidade um problema de 42 cidades.

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2. Problemas clássicos de logística

120 Cidades da Alemanha Ocidental (1977)

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2. Problemas clássicos de logística

532 Cidades dos Estados Unidos (1987): att532

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2. Problemas clássicos de logística

Solução Ótima para o pcb3038

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2. Problemas clássicos de logística

Maior Instância Resolvida na Otimalidade (em 1998): usa13509

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2. Problemas clássicos de logística

O Presidente, Antônio Castor, da Companhia Ramos de Carvalho quer fazer uma visita às reservas florestais situadas nos estados do Amazonas e Pará, aos depósitos situados nos estados de São Paulo, Bahia, Goiás e Rio de Janeiro. É possível determinar um roteiro de viagem tal que cada reserva e cada depósito sejam visitados apenas uma vez, saindo e retornando à sede da empresa no Rio de Janeiro, e que minimize a distância total percorrida?

Figura 1 – Reservas e Depósitos a serem visitados

Ma

Go _SP

Be

RJ Sal

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2. Problemas clássicos de logística

Construindo um modelo para o Problema do Caixeiro Viajante

elementos conhecidos: vértices, arestas e custo das arestas

elementos desconhecidos: sequencia de vértices e arestas a serem utilizadas

objetivo a ser alcançado: obter um circuito Hamiltoniano de custo mínimo

restrições: relativas ao deslocamento no grafo

2. Problemas clássicos de logística

Construção do Modelo:

Elementos conhecidos (dados):

Índices: i,j = 1,2,3, ...6 os locais onde as reservas (duas) e os depósitos

(quatro) estão situados (RJ,SP,Go,Ma,Be e Sal) respectivamente. distância entre os locais i e j.

Elementos desconhecidos (variáveis):

1 se o local i é visitado imediatamente antes de j 0 caso contrário.

=

ij

x

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2. Problemas clássicos de logística

ij

Construção do Modelo:

Função Objetivo

O objetivo é encontrar o circuito hamiltonino de menor custo.

∑∑

= = = 6 1 6 1 min i j ij ijx c z

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2. Problemas clássicos de logística

Construção do Modelo:

Restrições:

Cada local deve ser visitado apenas uma vez.

•Saídas da cidade i: •Chegadas à cidade j

6

,...,

1

,

1

6 5 4 3 2 1

+

x

+

x

+

x

+

x

+

x

=

i

=

x

_{i i i i i i}

6

,...,

1

,

1

6 5 4 3 2 1

+

x

+

x

+

x

+

x

+

x

=

j

=

x

_{j j j j j j}

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2. Problemas clássicos de logística

(i≠j)

Construção do Modelo:

Restrições:

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2. Problemas clássicos de logística

Construção do Modelo:

Restrições

As restrições do problema da designação permitem a seguinte solução:

Qual é o problema desta solução?

Subrotas!!!!

Com este roteiro não conseguimos passar por todas as cidades apenas uma vez! Ma Go _SP Be RJ Sal

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2. Problemas clássicos de logística

S={Ma, Be, Sal}

Formulação I - Eliminação de subrotas:

Dantzig, Fulkerson e Johnson

Vamos considerar o conjunto de cidades incluídas em uma das subrotas obtidas na solução do Modelo I:

2

<=

x

+

x

+

x

+

x

+

x

+

x

_{Ma,Be Ma,Sal Be,Ma Be,Sal Sal,Ma Sal,Be}

Se limitarmos o número de variáveis associadas a essas cidades que podem receber valor diferente de zero a 2, temos a seguinte restrição:

Se incluirmos esta restrição ao Modelo I, eliminamos a sub-rota que

inclui as cidades acima, pois a solução anterior não é viável para o novo modelo.

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2. Problemas clássicos de logística

Formulação I - Eliminação de subrotas:

Dantzig, Fulkerson e Johnson

Dado um subconjunto de cidades

S

⊂

n

.

Como fazer no caso geral?

.

1

x

S i j S ij

≤

−

∑∑

∈ ∈

S

se incluirmos a seguinte restrição ao Modelo I:

Podemos limitar o número de variáveis associadas a essas cidades que podem receber valor diferente de zero a:

1

−

S

Impedimos assim soluções associadas a sub-rotas.

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2. Problemas clássicos de logística

Formulação I : DFJ

j i x n S S x n j x n i x x c z S i j S ij n i ij n j ij n i n j ij ij , , 1 / 0 } ... 1 { 1 ,..., 1 1 ,..., 1 1 a sujeito min 1 1 1 1 ∀ = ⊂ ∀ − ≤ = = = = =

∑ ∑

∑

∑

∑ ∑

∈ ∈ = = = = Existem restrições para eliminação de subrotas.

) 2 2

( n −

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2. Problemas clássicos de logística

= ordem em que o local i será visitado

Formulação II - Eliminação de subrotas:

Miller,Tucker e Zemlin

Para eliminar as subrotas, vamos acrescentar as seguintes variáveis:

.

;

6

,...,

2

,

1

i

j

i

j

n

nx

u

u

_i

−

_j

+

_ij

≤

−

=

≠

i

u

_i

=

₂

_,...

_n

Existem restrições para eliminação de subrotas.(n −1)2 e as seguintes restrições:

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2. Problemas clássicos de logística

Formulação II : MTZ

(Otimização Inteira Mista)

6 ,..., 2 , 5 1 , , 1 / 0 ; 6 ,...,. 2 ; 6 ,..., 2 ; , 5 6 6 ,..., 1 , 1 6 ,..., 1 , 1 a sujeito min 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 1 6 1 = ≤ ≤ ∀ = = = ≠ ≤ + − = = + + + + + = = + + + + + =

_∑∑

= = i u j i x j i j i x u u j x x x x x x i x x x x x x x c z i ij ij j i j j j j j j i i i i i i i j ij ij

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2. Problemas clássicos de logística

Formulação II - Eliminação de subrotas: MTZ

.

;

6

,...,

2

,

1

i

j

i

j

n

nx

u

u

_i

−

_j

+

_ij

≤

−

=

≠

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2. Problemas clássicos de logística

i=5 j=4 u₅-u₄+6x₅₄ ≤ _{6 -1 ⇒}⇒⇒⇒ 6-4+6(1)≤5 ⇒⇒⇒⇒ 8≤5 _(absurdo!!)

x

₅₄

=1

1

2

3

₆

4

₅

u

₁

=1

u

₃

=2

u

₂

=3

u

4

=4

u

₆

=5

u

₅

=6

Formulação II - Eliminação de subrotas: MTZ

.

;

6

,...,

2

,

1

i

j

i

j

n

nx

u

u

_i

−

_j

+

_ij

≤

−

=

≠

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2. Problemas clássicos de logística

i=5 j=4 u₅-u₄+6x₅₄ ≤ _{6 -1 ⇒}⇒ 6-4+6(⇒⇒ _{0)≤5 ⇒}⇒⇒⇒ 2≤5 _(OK!!)

x

₅₄

=0

1

2

3

₆

4

₅

u

₁

=1

u

₃

=2

u

₂

=3

u

4

=4

u

₆

=5

u

₅

=6

PCV: Fácil de enunciar, difícil de resolver...

Applegate, Bixby, Chvátal, Cook, 2003 (um milhão de Cidades)

Branch and Cut

Optima, v. 61, pg21 http://www.ise.ufl.edu/~optima/ 1980 1954 1991 1987 1991 1995 Oncan et al. (2009) apresentam uma revisão bibliográfica e análise de formulações matemáticas para o Problema do Caixeiro Viajante Assimétrico (PCVA)

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2. Problemas clássicos de logística

Problema do Caixeiro Viajante: Bibliografia

1980 - H. Crowder and M.W. Padberg, "Solving

large-scale symmetric travelling salesman

problems to optimality", Management Science 26, 495-509.

Os resultados computacionais descritos neste estudo são impressionantes e incluem a solução de um exemplar com 318 cidades. Este exemplar foi considerado o maior a ser resolvido até o ano de 1987.

1987 - M. Padberg and G. Rinaldi, "Optimization

of a 532-city symmetric traveling salesman

problem by branch and cut", Operations Research

Letters 6, 1-7.

1991 - M. Grötschel and O. Holland, "Solution of

large-scale symmetric travelling salesman

problems", Mathematical Programming 51, 141-202.

1991 M. Padberg and G. Rinaldi, "A

branch-and-cut algorithm for the resolution of large-scale symmetric traveling salesman problems", SIAM Review 33, 60-100.

1995 D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, and W. Cook, "Finding cuts in the TSP (A preliminary report)", DIMACS Technical Report 95-05, March.

. . .

2003 D. Applegate, R. Bixby, and V. Chvatal, W. Cook, “Implementing the Dantzig-Fulkerson-Johnson algorithm for large traveling salesman problems”

Mathematical Programming (Series B) 97, 91-153.

http://www.tsp.gatech.edu/history/biblio/tspbiblio.html

1954 - G. Dantzig, R. Fulkerson, and S. Johnson, "Solution of a large-scale traveling-salesman problem", Operations Research 2, 393-410.

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV) 2. Problemas clássicos de logística

Para Saber Mais

1. Boaventura, P. O., Grafos : teoria, modelos, algoritmos, Edgard Blucher, ; 2001.

2. Cook, W. In Pursuit of the Traveling Salesman: Mathematics at the Limits

of Computation, Princeton University Press, 2011.

3. Goldbarb, M.C e HPL Luna, Otimização Combinatória e Programação

Linear, Editora Campus, 2005.

4. E. L Lawler, et al. The Traveling Salesman Problem: A Guided Tour of

Combinatorial Optimization, Wiley, 1985.

5. Oncan, T., Altinel, . K., and Laporte, G. A comparative analysis of several asymmetric traveling salesman problem formulations. Computers &

Operations Research, 36(3):637–654, 2009.

6. Rangel, S. Introdução à construção de modelos de otimização linear e

inteira. 2. ed. São Carlos-SP: Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada

e Computacional-SBMAC, 2012. v. único. 82 p. (disponível em http://www.sbmac.org.br/arquivos/notas/livro_18.pdf)

2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)

2. Problemas clássicos de logística

Problema de Localização de Facilidades (PLF)

Dado um conjunto de facilidades e um conjunto de locais onde estas facilidades podem ser instaladas, deseja-se determinar os locais de instalação de facilidades, de forma a atender demandas pré-especificadas de clientes com o menor custo total.

Se uma facilidade for instalada, existe um custo fixo a ser pago, e um custo variável que depende da demanda de cada cliente que é atendido por determinada facilidade.

2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)

2. Problemas clássicos de logística

Figura retirada de apresentação do Prof. Lorena (INPE), com pequenas modificações

Construindo um modelo para o Prob. de Localização de Facilidades

elementos conhecidos: localização dos clientes e suas demandas, locais em potencial para instalação de facilidades, custo fixo de instalação, custo variável de atendimento a demanda, capacidade das facilidades.

elementos desconhecidos: locais a serem instaladas facilidades e forma de alocação das demandas dos clientes às facilidades

objetivo a ser alcançado: solução de custo mínimo

restrições: atendimento da demandas e capacidades das facilidades

2. Problemas clássicos de logística

Elementos conhecidos (dados): - j=1,..., m clientes;

- i=1,..., n locais em potencial para instalação de facilidades. - : custo fixo de instalação de uma facilidade no local i; - : capacidade da facilidade instalada no local i;

- : demanda do cliente j;

- : custo de atender ao cliente j a partir de uma facilidade instalada no local i.

2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)

2. Problemas clássicos de logística

i f i C j d ij c

Elementos desconhecidos (variáveis):

: 1 se a facilidade localizada em i é instalada; 0 caso contrário

2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)

2. Problemas clássicos de logística

i

y

: 1 se o cliente i é atendido pela facilidade localizada em i; 0 caso contrário

ij

Exemplo

2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)

2. Problemas clássicos de logística

-

j=1,..., 5 clientes;

objetivo a ser alcançado (função objetivo):

restrições:

2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)

2. Problemas clássicos de logística

∑∑

∑

= = = + = n i m j ij ij n i i i y c x f z 1 1 1 min } 1 , 0 { , ,..., 1 ,..., 1 1 1 1 ∈ = ≤ = =

∑

∑

= = i i m j ij j n i ij x y n i y C x d m j x

Formulação:

2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)

2. Problemas clássicos de logística

} 1 , 0 { , ,..., 1 ,..., 1 1 : min 1 1 1 1 1 ∈ = ≤ = = + =

∑

∑

∑ ∑

∑

= = = = = ij i i i m j ij j n i ij n i m j ij ij n i i i x y n i y C x d m j x a Sujeito x c y f z

Formulação:

2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)

2. Problemas clássicos de logística

} 1 , 0 { , ,..., 1 ,..., 1 1 : min 1 1 1 1 1 ∈ = ≤ = = + =

∑

∑

∑ ∑

∑

= = = = = i i m j ij j n i ij n i m j ij ij n i i i x y n i y C x d m j x a Sujeito x c y f z

Min f₁y₁+ f₂y₂+ f₃y₃+ c₁₁x₁₁+ c₁₂x₁₂+ c₁₃x₁₃+ c₁₄x₁₄+ c₁₅x₁₅+ c₂₁x₂₁+ c₂₂x₂₂+ c₂₃x₂₃+ c₂₄x₂₄+ c₂₅x₂₅+ c₃₁x₃₁+ c₃₂x₃₂+ c₃₃x₃₃+ c₃₄x₃₄+ c₃₅x₃₅ Sujeito a: x₁₁+ x₂₁+ x₃₁=1 x₁₂+ x₂₂+ x₃₂=1 x₁₃+ x₂₃+ x₃₃=1 x₁₄+ x₂₄+ x₃₄=1 x₁₅+ x₂₅+ x₃₅=1 d₁x₁₁+ d₂x₁₂+ d₃x₁₃+ d₄x₁₄+ d₅x₁₅ ≤ _C1y1 d₁x₂₁+ d₂x₂₂+ d₃x₂₃+ d₄x₂₄+ d₅x₂₅ ≤ _C2y2 d₁x₃₁+ d₂x₃₂+ d₃x₃₃+ d₄x₃₄+ d₅x₃₅ ≤ _C3y3 x_ij e y_i∈∈∈∈{0,1}

2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)

2. Problemas clássicos de logística

Formulação:

2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)

2. Problemas clássicos de logística

} 1 , 0 { , ,..., 1 ,..., 1 1 : min 1 1 1 1 1 ∈ = ≤ = = + =

∑

∑

∑ ∑

∑

= = = = = i i m j ij j n i ij n i m j ij ij n i i i x y n i y C x d m j x a Sujeito x c y f z

Exemplo

2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)

2. Problemas clássicos de logística

-

j=1,..., 5 clientes;

Para o exemplo: Min f₁y₁+ f₂y₂+ f₃y₃+ c₁₁x₁₁+ c₁₂x₁₂+ c₁₃x₁₃+ c₁₄x₁₄+ c₁₅x₁₅+ c₂₁x₂₁+ c₂₂x₂₂+ c₂₃x₂₃+ c₂₄x₂₄+ c₂₅x₂₅+ c₃₁x₃₁+ c₃₂x₃₂+ c₃₃x₃₃+ c₃₄x₃₄+ c₃₅x₃₅ Sujeito a: x₁₁+ x₂₁+ x₃₁=1 x₁₂+ x₂₂+ x₃₂=1 x₁₃+ x₂₃+ x₃₃=1 x₁₄+ x₂₄+ x₃₄=1 x₁₅+ x₂₅+ x₃₅=1 d₁x₁₁+ d₂x₁₂+ d₃x₁₃+ d₄x₁₄+ d₅x₁₅ ≤ _C1y1 d₁x₂₁+ d₂x₂₂+ d₃x₂₃+ d₄x₂₄+ d₅x₂₅ ≤ C₂y₂ d₁x₃₁+ d₂x₃₂+ d₃x₃₃+ d₄x₃₄+ d₅x₃₅ ≤ _C3y3 x_ij e y_i∈∈∈∈{0,1}

2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)

2. Problemas clássicos de logística

Formulação:

2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)

2. Problemas clássicos de logística

} 1 , 0 { , ,..., 1 ,..., 1 1 : min 1 1 1 1 1 ∈ = ≤ = = + =

∑

∑

∑ ∑

∑

= = = = = ij i i i m j ij j n i ij n i m j ij ij n i i i x y n i y C x d m j x a Sujeito x c y f z

Exemplo

2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)

2. Problemas clássicos de logística

-

j=1,..., 5 clientes;

Para o exemplo: Min f₁y₁+ f₂y₂+ f₃y₃+ c₁₁x₁₁+ c₁₂x₁₂+ c₁₃x₁₃+ c₁₄x₁₄+ c₁₅x₁₅+ c₂₁x₂₁+ c₂₂x₂₂+ c₂₃x₂₃+ c₂₄x₂₄+ c₂₅x₂₅+ c₃₁x₃₁+ c₃₂x₃₂+ c₃₃x₃₃+ c₃₄x₃₄+ c₃₅x₃₅ Sujeito a: x₁₁+ x₂₁+ x₃₁=1 x₁₂+ x₂₂+ x₃₂=1 x₁₃+ x₂₃+ x₃₃=1 x₁₄+ x₂₄+ x₃₄=1 x₁₅+ x₂₅+ x₃₅=1 d₁x₁₁+ d₂x₁₂+ d₃x₁₃+ d₄x₁₄+ d₅x₁₅ ≤ _C1y1 d₁x₂₁+ d₂x₂₂+ d₃x₂₃+ d₄x₂₄+ d₅x₂₅ ≤ C₂y₂ d₁x₃₁+ d₂x₃₂+ d₃x₃₃+ d₄x₃₄+ d₅x₃₅ ≤ _C3y3 x_ij e y_i∈∈∈∈{0,1}

2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)

2. Problemas clássicos de logística

Formulação:

2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)

2. Problemas clássicos de logística

} 1 , 0 { , ,..., 1 ,..., 1 1 : min 1 1 1 1 1 ∈ = ≤ = = + =

∑

∑

∑ ∑

∑

= = = = = i i m j ij j n i ij n i m j ij ij n i i i x y n i y C x d m j x a Sujeito x c y f z