CAPÍTULO IV TORÇÃO DE PEÇAS LINEARES

(1)

CAPÍTULO IV

TORÇÃO DE PEÇAS LINEARES

4.1. RESUMO DA TEORIA

4.1.1. Veio Cilíndrico de Secção Circular

Considere-se um veio de secção circular, de material homogéneo e isotrópico, submetido à acção de dois binários de torção (Mt) iguais e de sentidos opostos, aplicados nas duas secções extremas, (a) e (b), e actuando nos respectivos planos, Fig.4.1. O momento torsor em qualquer secção intermédia entre (a) e (b) é constante e igual a Mt.

Utilizando as coordenadas cilíndricas (r,θ,z), oriente-se o eixo dos zz segundo a direcção axial do veio e designem-se por u e v as componentes do deslocamento ur e uθ, segundo as direcções radial e tangencial, respectivamente. A componente do vector deslocamento uz, na direcção axial, é designada por w.

Os binários Mt aplicados produzem uma rotação relativa Φ entre as duas secções extremas, de tal modo que a geratriz AB, inicialmente rectilínea, deforma-se segundo a configuração duma hélice cilíndrica AB'. Por razões de simetria, a deformação do veio processa-se de tal modo que:

(i)-Secções rectas do cilindro permanecem circulares e planas após a deformação, rodando em torno do respectivo centro.

(ii)-Um raio qualquer traçado sobre uma secção recta permanece rectilíneo durante a deformação do veio.

(iii)-O ângulo entre dois quaisquer raios no plano duma secção recta permanece constante durante a deformação do veio.

Fig.4.1-Torção dum veio de secção circular B B’ Φ Mt Mt dz φ φ=θz C A O z (a) (b)

(2)

Cada secção recta do veio roda em torno do respectivo centro como um disco absolutamente rígido. O ângulo de rotação φ é proporcional à distância z da secção em questão à base fixa z=0, isto é:

z

θ

φ

= (4.1)

onde θ é o ângulo de torção por unidade de comprimento.

Nestas condições, para um determinado ponto P da secção à distância z da base (a), a componente do deslocamento segundo o eixo de simetria do cilindro é nula (w=0). Quanto às componentes u e v (em coordenadas polares sobre o plano da secção recta) tem-se, de acordo com a Fig.4.2:

z r v u 0

θ

= = (4.2) As componentes do estado de deformação em coordenadas cilíndricas obtêm-se agora por derivação, recorrendo às equações deduzidas no parágrafo §3.19, isto é:

θ

γ

ε

θ θ θθ r w r z v z rz r zz rr = ∂ ∂ + ∂ ∂ = = = = = = 1 0 (4.3)

O estado de tensão correspondente obtém-se por aplicação das equações da lei de Hooke:

θ

γ

τ

σ

θ θ θ θθ Gr G _z z rz r zz rr = = = = = = = 0 (4.4)

As tensões de corte τzθ variam, portanto, linearmente com a distância r do ponto que se está a considerar em relação ao centro geométrico da secção, conforme ilustrado no esquema da Fig.4.3. A tensão de corte τzθ pode exprimir-se em função do momento torsor Mt:

z A t G r dA G I M ₌

θ

∫

2 ₌

θ

_(4.5) onde I r dA A

z=

∫

2 é o momento de inércia polar da área da secção recta

circular relativamente ao eixo do veio. Fig.4.2-Rotação da secção recta

O P’ r φ=θz v=rθz P(r,θ,z)

(3)

Eliminando agora θ entre as equações (4.4) e (4.5), obtém-se a tensão τzθ em função do momento torsor Mt: z t z _I r M = θ

τ

(4.6)

No caso vertente, o momento de inércia polar Iz é:

2 4 R

I_z =

π

(4.7)

onde R é o raio da secção recta do cilindro.

A tensão de corte máxima ocorre nos pontos da periferia do veio, para r=R, isto é: 3 2 R M I R M _t z t max

_π

τ

= = (4.8)

O valor C=Mt/θ=GIz=G

π

R4/2 é a chamada rigidez torsional do veio e a quantidade K=Iz/R=πR3/2 é o módulo de torção da secção.

4.1.2. Veio de Secção Circular Oco

Os resultados obtidos no parágrafo anterior mantêm-se válidos para um veio oco (Fig. 4.4), com excepção para a expressão do momento de inércia polar (Iz), que neste caso toma a forma seguinte:

) 1 ( 2 2 ) ( 4 ₄ 2 4 1 4 2 R R _m R I_z=

π

− =

π

− (4.9)

onde R1 é o raio do furo, R2 é o raio exterior do cilindro e m = R1/R2. O módulo de torção (K) é, neste caso:

) 1 ( 2 4 3 2 2 m R R I K= z =

π

− (4.10)

Fig.4.4-Veio circular oco Mt

Mt

R2 R1

τ

Fig.4.3-Distribuição das tensões Mt

Mt

O

θ τ_z

(4)

No caso particular dum tubo de parede delgada (espessura e), Fig.4.5, em que e = R2-R1 << R2, tem-se: e R R R R R R R R R _m3 1 2 1 2 2 1 2 2 4 1 4 2 − =( + )( + )( − )≅4 (4.11)

onde R

m

=(R

1

+R

2

)/2 é o raio médio da

secção. O momento de inércia polar I

z

é, aproximadamente:

Ω = ≅₂ _R3_e _R2

I_z

π

_m

(4.12)

onde Ω=2

π

R_me é a área da secção recta do tubo.

As expressões para a tensão de corte e o ângulo de torção por unidade de comprimento são, respectivamente:

Ω ≅ ≅ m t z m t R M I R M

τ

(4.13) m m t z t GR GR M GI M

τ

θ

≅ Ω ≅ = ₂ (4.14)

4.1.3. Veio Prismático de Secção Arbitrária. Teoria de Saint-Venant

Considere-se agora um veio de secção arbitrária, Fig.4.6, sujeito à acção dum binário torsor Mt . De acordo com a teoria de Saint-Venant, admite-se que cada admite-secção roda admite-sem distorção, em torno do respectivo centro de gravidade, de um ângulo

φ

que é proporcional à distância à base fixa (z.=.0), isto é, Fig.4.7:

z

θ

φ

= (4.15)

Fig.4.6-Veio de secção arbitrária y x z Mt O Fig.4.7-Rotação da secção y x y v u x θz P P’ G Mt (C) (C’)

Fig.4.5-Tubo de parede fina e Rm

(5)

onde θ representa o ângulo de torção por unidade de comprimento. Admite-se, também um deslocamento axial igual para todas as secções, descrito por uma função contínua w = w(x, y). O campo dos deslocamentos fica então definido pelas três componentes seguintes:

) , ( y x w w x z v y z u = = − =

θ

(4.16)

às quais corresponde o seguinte campo de deformações:

y w x y w z v x w y x w z u yz xz xy zz yy xx ∂ ∂ + = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + − = ∂ ∂ + ∂ ∂ = = = = = 0

θ

γ

θ

γ

ε

(4.17)

Por aplicação das equações da lei de Hooke, resultam as seguintes componentes do estado de tensão:

) ( ) ( 0 y w x G x w y G yz xz xy zz yy xx ∂ ∂ + = ∂ ∂ + − = = = = =

θ

τ

θ

τ

σ

(4.18)

Das três equações de equilíbrio definidas no capítulo I, fica-se aqui reduzido a uma única equação de equilíbrio:

0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y x yz xz

τ

(4.19)

Quanto às equações de compatibilidade, também estas se reduzem a uma equação única, que se pode escrever em termos das tensões:

θ

τ

G y x xz yz 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ (4.20)

Além disso, o sistema de tensões correspondente à solução das duas equações anteriores deverá satisfazer também as condições fronteira ao longo da superfície lateral (C) do cilindro.

(6)

Tendo em consideração o esquema ilustrada na Fig.4.8, a condição de ausência de tensões na superfície lateral do veio é traduzida através da equação:

) (em 0 C m l _yz xz +

τ

=

τ

(4.21)

Para resolver o sistema de equações (4.19)-(4.20), considere-se uma função auxiliar Φ(x,y), contínua, de tal forma que: x y yz xz ∂ Φ ∂ − = ∂ Φ ∂ =

τ

(4.22)

Facilmente se reconhece que as tensões τxz e τyz assim obtidas satisfazem incondicionalmente a equação de equilíbrio (4.19). Substituindo agora as expressões para τxz e τyz na equação de compatibilidade (4.20), obtém-se a obtém-seguinte equação na função Φ:

θ

G y x 2 2 2 2 2 − = ∂ Φ ∂ + ∂ Φ ∂ _(4.23)

O problema da torção duma barra prismática fica assim reduzido à determinação duma única função - a função de Saint-Venant Φ(x,y) - matematicamente definida pela equação (4.23). As condições fronteira a ter em conta na resolução daquela equação deduzem-se directamente a partir da equação (4.21), isto é:

) (em 0 C m x l y ∂ = Φ ∂ − ∂ Φ ∂ _(4.24)

Por outro lado, tendo em conta que:

l ds dy m ds dx₌₋ _e ₌ _(4.25) onde s é a coordenada curvilínea ao longo do perímetro do contorno da secção recta do veio, a equação (4.24) pode escrever-se sob a forma:

) (em 0 C ds d ds dy y ds dx x = Φ = ∂ Φ ∂ + ∂ Φ ∂ _(4.26) Fig.4.8-Contorno da secção y G dx ds ) , ( ml nr= dy x (C)

(7)

Esta equação traduz que o valor da função Φ se mantém constante ao longo da linha de contorno da secção recta do veio. Por outro lado, uma vez que no cálculo das tensões de torção apenas intervêm as derivadas da função Φ, o valor constante dessa função na periferia do veio pode ser tomado igual a zero, isto é:

) (em 0 C = Φ (4.27)

O valor do momento torsor Mt aplicado ao veio pode ser calculado por uma simples integração sobre a área da secção recta, isto é:

∫

− = Φ = A A yz xz t x y dxdy dxdy M (

τ

) 2 (4.28)

Isto é, o momento torsor Mt é numericamente igual ao dobro do volume do espaço limitado inferiormente pelo plano xy e superiormente pela superfície representada pela função de Saint-Venant Φ(x,y):

Volume

M_t=2x (4.29)

4.1.4. A Analogia de Membrana (Teoria de Prandtl)

Considere-se uma membrana elástica de espessura muito fina, sem peso, plana e inicialmente sujeita a uma tracção uniforme, T, no plano (x,y), Fig.4.9(b). Fixando a membrana ao longo dum contorno (C), aplique-se uma sobre-pressão, p, também uniforme, na direcção perpendicular à superfície da membrana.

A membrana deforma-se, assumindo a forma duma superfície curva, Fig.4.9(a), que pode ser descrita por uma função apropriada, z=f(x,y). Admita-se ainda que a pressão p é suficientemente reduzida para que não seja significativamente alterado o valor da tensão inicial T.

Tome-se agora um elemento de membrana rectangular abcd, de dimensões dx.dy, e considere-se o equilíbrio de todas as forças que sobre ele actuam, Fig.4.10.

Fig.4.9- Membrana elástica

z x a b p dx y O _Tdx x Tdy dy (C) (b) (a)

(8)

Projectando as forças segundo a direcção do eixo dos zz, obtém-se: 0 ) ( ) ( ) ( ) ( = ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + y z Tdx dy y z y y z Tdx x z Tdy dx x z x x z Tdy pdxdy ou seja: 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + dxdy y z T dxdy x z T pdxdy (4.30)

Donde:

T p y z x z 2 2 2 2 − = ∂ ∂ + ∂ ∂ _(4.31)

A equação (4.31) é formalmente idêntica à equação diferencial (4.23) que define a função de torção de Saint- Venant, Φ. Se a tensão superficial da membrana (T) ou a pressão normal (p) forem ajustadas de tal forma que a relação p/T seja numericamente igual a 2Gθ, então a equação diferencial (4.31) fica exactamente igual à equação (4.23), correspondente à função de torção. Além disso, se a membrana for fixada ao longo dum contorno (C) igual ao da secção recta do veio à torção, aquela reproduzirá fisicamente a forma da função Φ, na medida em que, para qualquer ponto de coordenadas (x,y), se tem Φ = z. Nestas condições, o declive da membrana em cada ponto, dz/dn, é

Fig.4.10-Equilíbrio das forças sobre um elemento de membrana z x y a b c d a b x z Tdx Tdx Tdy Tdy Tdy Tdy x z ∂ ∂ dx x z x x z ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ pdxdy pdxdy

(9)

numericamente igual à tensão de corte (na direcção perpendicular a nr ), e o volume sob a membrana é igual a metade do momento torsor no veio. Existe portanto uma correspondência directa entre as duas situações, tendo em atenção que, de acordo com a analogia de Prandtl:

Vol M n z G T p t 2 x 2 ⇔ ∂ ∂ ⇔ ⇔

τ

θ

(4.32)

4.1.5. Veio de Secção Rectangular

Aplicando a analogia de membrana a um veio prismático de secção rectangular (bxt), em que t<<b, Fig. 4.11, podem obter-se facilmente as expressões para a tensão máxima, que ocorre nos pontos médios (A) dos lados maiores e para a rigidez à torção Mt/

θ

:

3 3 bt G M C= t =

θ

(4.33) 2 3 bt M_t max=

τ

(4.34)

Estas duas fórmulas são válidas apenas no caso de ser b>>t. Para secções rectangulares menos "estreitas", os valores que se obtêm são menos rigorosos, conforme se ilustra no quadro a seguir, comparados com os resultados produzidos por métodos mais elaborados, baseados na teoria de Saint-Venant. Na última linha da tabela são também apresentados os valores indicativos para o cálculo da tensão de corte nos pontos (B) sobre os lados menores do rectângulo.

Fig. 4.11 – Veio de secção rectangular A A B B b t t M t M z

(10)

Tabela 4.1 - Factores de correcção para as equações (4.33) e (4.34) b/t ∞ 10.0 5.0 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 2 /bt M_t max τ α= 3.00 3.20 3.44 3.74 3.86 4.06 4.33 4.80 3 / Gbt M_t θ χ= 0.33 0.31 0.29 0.26 0.25 0.23 0.20 0.14 2 B /bt M_t τ β= _{2.23 2.31 2.56 2.82 3.01 3.24 3.70 4.80}

Retomando o rectângulo da figura anterior, imagine-se agora que o mesmo é "dobrado" a 90° numa secção intermédia, assumindo a forma de um L, conforme representado na Fig 4.12(a) a seguir. A membrana correspondente não altera significativamente a sua forma, à excepção de

alguns efeitos locais na região da "dobra". O volume sob a membrana, para uma determinada pressão p permanece aproximadamente igual ao da secção rectangular original. Isso significa que as equação (4.33) e (4.34) deduzidas para a secção rectangular também se aplicam a uma secção angular com o mesmo comprimento e largura. Igualmente se poderá concluir que as mesmas equações se aplicam a outras secções abertas, como as representadas na Fig. 4.12(b). O comprimento b do rectângulo equivalente é igual ao perímetro total da linha média da secção considerada. (a) (b) b t t b1 b2 b1+ b2=b

(11)

A equação (4.34) para a tensão máxima é que já não é aplicável, devido ao efeito de concentração de tensões nos vértices reentrantes da secção angular, Fig.4.13. Uma solução aproximada, consiste em adoptar um coeficiente de concentração de tensões definido pela equação seguinte:

3 ) 67 . 4 ( 74 . 1 r t K eq max t=

_τ

τ

= (4.35)

4.1.6. Veio de Secção Tubular de Parede Fina

Existe uma classe importante de estruturas que utilizam elementos tubulares de parede fina ou que podem, em si mesmas, constituir uma peça tubular única sujeita a esforços de torção. É o caso, por exemplo, das vigas em caixão utilizadas em engenharia civil e dos elementos estruturais tubulares utilizados na construção automóvel e na indústria aeronáutica, onde as próprias asas ou fuselagem das aeronaves são peças tubulares de parede fina. A aplicação da analogia de membrana a estruturas deste tipo torna-se particularmente simples e expedita.

(i) – Tubo de Secção Unicelular

Na Fig.4.14 está representada a secção genérica duma peça tubular e a respectiva membrana. Aqui, a parte central da membrana é substituída por uma placa rígida sem peso, mantida na posição horizontal a uma determinada altura h, por forma a ser compatível com a condição de ausência de tensões na superfície interior da peça tubular. Na maior parte

das aplicações, a espessura t da parede tubular é constante. No entanto, por uma questão de generalidade, admite-se aqui que a espessura pode variar ao longo do perímetro L do tubo, conservando-se sempre muito mais pequena do que a dimensão global da secção. Neste caso, pode desprezar-se a variação do declive da membrana ao longo da espessura t e admitir que AC e BD são segmentos rectilíneos, Fig.4.14 - Secção tubular

C D A B h t A t r Fig.4.13-Efeito da dobra

(12)

portanto de declive constante. Isso equivale a admitir que as tensões de corte se distribuem uniformemente ao longo da espessura da parede da peça tubular sob torção.

Em cada ponto ao longo do perímetro da secção, o declive da membrana é dado pela seguinte expressão:

t h

Declive = (4.36)

Donde, pela analogia de Prandtl, se pode concluir que a tensão de torção é inversamente proporcional à espessura local da parede.

Para se estabelecer a relação entre a tensão de corte e o momento torsor pode recorrer-se à analogia da membrana, calculando o momento a partir do volume ABCD na Fig.4.14. Assim:

t t h A h A Vol= x = (4.37)

onde A é o valor médio da área delimitada pela linha média entre os contornos exterior e interior da secção tubular. Recorrendo à analogia da membrana (4.32), obtém-se:

τ

2 tA M_t= (4.38) ou seja: t A M_t 2 =

τ

(4.39)

Quando a espessura da parede é muito fina, o valor da área A é aproximadamente igual à área A’ delimitada pelo contorno exterior, ou à área A” delimitada pelo contorno interior da secção. Se, na equação anterior, for utilizada uma das áreas A’ ou A”, em vez da área A, o valor

τ

’ ou

τ

” da tensão assim calculado deverá ser corrigido por um factor multiplicativo

λ

’τ ou

λ

”τ, respectivamente: 2 2 ' ' 2 ' 2 ' t t L A A + − = τ

λ

, ou ₂ ' 2 " " 2 " 2 " t t L A A + + = τ

λ

de tal modo que:

' '

τ

λ

τ

= _τ , ou

τ

=

λ

"_τ

τ

"

Considerando agora o equilíbrio vertical da placa central rígida, pode escrever-se:

(13)

s d t h T A p C

∫

= (4.40)

onde o integral de linha do segundo membro é avaliado ao longo de todo o perímetro da secção. Utilizando de novo a analogia da membrana, obtém-se:

∫

= C d A G 1 s 2

θ

τ

(4.41)

ou seja, tendo em conta a expressão para a tensão τ, dada por (4.39):

∫

= C t t ds GA M 2 4

θ

(4.42) ou ainda:

∫

= = C t t ds GA M C 4 2

θ

(4.43)

No caso particular da espessura t ser constante ao longo de todo o perímetro L da secção do tubo, pode escrever-se:

L t GA M C₌ t ₌4 2

θ

(4.44)

No caso de serem utilizadas as áreas A’ ou A”, em vez da área A, os factores de correcção a utilizar são agora, respectivamente:

(

₂

)

2 2 2 ' ' 2 ' ' ) 4 ' ( 4 ' t t L A L A t L + − − = θ

λ

, ou

(

₂

)

2 2 2 " " 2 " " ) 4 " ( 4 " t t L A L A t L + + + = θ

λ

de tal modo que:

θ

λ

' / ' C C= , ou C=C"/

λ

"_θ

(ii) Tubo de Secção Multicelular

No caso duma secção tubular multicelular, Fig.4.15(b), a analogia de membrana pressupõe a existência de várias placas rígidas sem peso, cada uma delas em posição de equilíbrio na horizontal, a uma determinada altura hi, relativamente à base, Fig.4.15(a). Seguindo um raciocínio

(14)

semelhante ao do parágrafo anterior, a equação de equilíbrio vertical da célula de ordem i pode escrever-se:

ds t h T pA i C i i=

∫

∆ (4.45)

onde Ai é a área da célula ∆hi representa a altura, se se trata duma parede exterior, ou a diferença entre as alturas dessa mesma célula e duma sua vizinha, no caso duma parede de separação entre células adjacentes. No total, obtém-se um conjunto de equações lineares algébricas nas incógnitas hi, em número igual ao número de compartimentos da secção:

ds t h T pA ds t h T pA ds t h T pA n C n n C C ... ... ... 2 1 2 2 1 1

∫

∆ = ∆ = ∆ = (4.46)

Tal como no caso do tubo de parede fina, a tensão de corte em cada uma das paredes, pode ser calculada em

função da correspondente

espessura e da variação de altura da membrana, isto é:

t h ∆ =

τ

(4.47)

Ao utilizar esta expressão deve ter-se em atenção que, pela analogia de membrana, p/T=2G

θ

.

Por outro lado, o volume total sob a membrana é dado pela expressão:

i n i ih A Vol

∑

= = 1 (4.48)

Donde, pela analogia de membrana:

i n i i t Ah M

∑

= = 1 2 (4.49) Fig.4.15-Secção tubular h1 h2 h3 t A1 A2 A3 (a) (b)

(15)

4.1.7. Veio Circular de Diâmetro Variável

Considere-se um veio AB de secção circular de área variável, em que o raio R(z) varia ao longo do respectivo eixo, de comprimento L, e sujeito a um ou vários binários de torção aplicados ao longo do respectivo eixo, Fig. 4.16.

Seja Iz o momento polar de inércia polar da secção recta à distância z da base A, e seja Mt o momento de torção nessa mesma secção. Para valores de dR/dz relativamente pequenos, isto é, para veios em que a variação de secção é relativamente suave, a tensão de corte correspondente é dada por uma expressão idêntica à que é utilizada para os veios cilíndricos de secção circular: z t I z R M ( ) =

τ

Naturalmente que, aqui, o momento de inércia Iz é também uma função da distância z que define a posição da secção em questão:

2 ) ( ) ( 4 z R z I =

π

Quanto à deformação do veio, considere-se um disco elementar de espessura dz, conforme representado na figura. O ângulo de rotação entre

Fig.4.16-Veio de secção circular com diâmetro variável z ) (z R dz t M t M z L

(16)

as duas faces do elemento dz é dado pela expressão já deduzida para o veio cilíndrico: z t GI dz M d

φ

= (4.50)

O ângulo de rotação entre duas secções quaisquer, z1 e z2, obtém-se por integração da equação (4.50):

∫

= 2 1 z z z t _dz GI M

φ

(4.51)

No caso particular dum veio cilíndrico de secção circular, sujeito a um momento constante Mt, a equação anterior reduz-se à equação (4.5):

z t GI M L = =

φ

θ

4.1.8. Energia de Deformação em Torção

A energia elástica de deformação num veio de secção circular de diâmetro gradualmente variável, é dado pela expressão seguinte:

dV GI r M dV G U V z t V

∫∫∫

= = 2 2 ₂2 2 2

τ

Pondo dV = Adz (ver Fig.4.16), obtém-se:

dz GI M dA r dz GI M U L z t A L z t

∫∫

∫

= = 0 2 2 0 2 2 2 2 (4.52)

No caso particular dum veio cilíndrico de secção circular a equação anterior reduz-se à forma seguinte:

z GI L M U 2 2 = (4.53)

(17)

4.2. PROBLEMAS RESOLVIDOS

PROBLEMA – 4.2.1.

Um veio em liga de alumínio (G=27GPa) está encastrado nas extremidades A e

C em duas paredes fixas, sendo solicitada por um momento de torção

Mt=20kNxm, aplicado numa secção intermédia B, conforme indicado na figura.

Calcule o diâmetro que o veio deverá ter, sabendo que a tensão de corte

máxima admissível para o material é τadm=60 MPa e que o ângulo de torção não

deve exceder 1º/m.

RESOLUÇÃO:

Sejam MA e MC os momentos de reacção nas duas secções extremas A e C,

respectivamente. A condição de equilíbrio dos momentos segundo a direcção do eixo do veio exige que seja:

20 = + _C A M

M (a)

Por outro lado, a condição de continuidade geométrica na secção B implica que sejam iguais os ângulos de rotação para os dois troços AB e CB, isto é:

BC AB φ

φ =

Ora as rotações unitárias associadas a cada um dos momentos MA e MC são,

respectivamente: z GI MA AB= θ e z GI M_C CB= θ Donde: z GI MA AB=AB× φ e z GI MC BC=BC× φ E, portanto: 1200 600 kNm MB=20 C C M A B A M

(18)

z z GI M GI M_A _C BC AB× = × Ou seja: C A BC AB×M = ×M

Substituindo os valores para AB e BC, obtém-se:

C A 1200 600×M = ×M Donde C A 2 M M = × (b)

Resolvendo o sistema de equações (1) e (2), obtém-se:

m KN

MA=13,33 × e MC=6,67KN×m

O momento torsor máximo ocorre, portanto, ao longo do troço AB, e o seu valor

é igual a MA, isto é:

m KN M_t =13,33 ×

Agora, impondo agora a condição:

adm t max d M

_τ

π

τ

=16 ₃ ≤ Obtém-se: 3 6 3 10 60 13330 16 16 × × × = ≥ π πτadm t M d =104,1 mm (c)

Quanto ao ângulo de torção, pode escrever-se:

z t max _GI M = θ onde:

θ é o ângulo de torção por unidade de comprimento (em radiano);

32 /

4

d

I_z =π é o momento de inércia da secção em relação ao eixo;

1º =0,0175 rad Então: 0175 , 0 32 4 ≤ d G M_t π

(19)

Donde: mm d 130,2 0175 , 0 10 27 13330 32 4 ₉ = × × × × ≥ π

Comparando com (c), concluí-se que, para satisfazer em simultâneo as duas

condições impostas, o diâmetro do veio deverá ser superior a 130,2 mm, isto é:

mm d≥130,2

PROBLEMA – 4.2.2.

Um motor desenvolve uma potência de 200 kW às 250 rpm sobre a secção A de

um veio de secção circular, conforme ilustrado na figura. As rodas dentadas em

B e C absorvem 90 kW e 110 kW, respectivamente. Calcule o diâmetro que o

veio deverá ter, supondo que a tensão admissível do material ao corte é de 50MPa e que o ângulo de torção entre o motor e a roda dentada C está limitado

a um valor de 1,5º. Considere que o módulo de rigidez do material do veio é

G=80GPa.

Nota: Tenha em atenção que Potência(kW)=Binário(kNxm)xω(rad/s).

RESOLUÇÃO:

O binário entregue pelo motor na extremidade A do veio obtém-se a partir da potência e da velocidade de rotação:

m N P M Binário t = = _× × =7639,44 × 60 / 250 2 10 200 ) ( 3 π ω

Este é o momento torsor que actua ao longo do segmento AB:

m N M

M_AB = _t =7639,44 ×

A roda dentada B absorve 90kW, isto é 90/200 = 45% da potência total, pelo que

o momento que passa para o segmento BC é reduzido na mesma proporção. Assim, obtém-se: m N M_BC =7639,44×(1−0,45)=4201,69 × Motor Roda B Roda C A 1800mm 1200mm

(20)

A tensão de corte máxima ocorre, naturalmente, no segmento AB (correspondente ao momento máximo a que o veio está submetido). O seu valor é dado pela expressão habitual:

3 16 d M_t max _π τ =

A condição de integridade do material impõe que seja:

adm t max d M _τ π τ =16 ₃ ≤ isto é: 6 3 50 10 44 , 7639 16× _≤ _× d π donde: mm m d 0,092 92 10 50 44 , 7639 16 3 6 = = × × × ≥ π (a)

Quanto à condição relativa à deformação do veio, tem-se que a rotação entre as

duas secções extremas é igual à soma das rotações φAB e φBC dos segmentos AB

e BC, respectivamente. Para cada um destes segmentos, tem-se:

z GI MA AB= θ e z GI M_C CB= θ Donde: 4 AB AB AB 32 d G M π φ = × e 4 BC BC 32 BC d G M π φ = × E, portanto:

(

AB BC

)

4 BC AB AC AB BC 32 M M d G × + × = = = π φ φ φ

Substituindo os valores para G, AB, BC, M_AB e M_BC, obtém-se:

4 6 AC 10 83 , 3 ) ( d rad = × − φ Impondo agora a condição:

º 5 , 1 AC≤ φ

(21)

resulta: mm m d 0,110 110 180 / 5 , 1 10 83 , 3 4 6 = = × × ≥ − π (b)

Comparando (a) e (b) concluí-se que, para satisfazer as duas condições

impostas, o diâmetro do veio deverá ser superior a 110 mm, isto é:

mm d≥110

PROBLEMA – 4.2.3.

Um veio de secção circular composta é construído a partir de uma barra de aço (G=80 GPa) com 75 mm de diâmetro, revestida por um tubo de latão

(G=40GPa) perfeitamente acoplado.

a)- Determine o diâmetro exterior do tubo, de tal modo que, quando for aplicado

um momento torsor ao veio composto, esse momento seja igualmente repartido pelos dois materiais.

b)- Para um momento torsor aplicado de 16 kNm, calcule a tensão de corte

máxima em cada um dos materiais e o ângulo de torção do veio num comprimento de 4 metros.

c)- Para o valor do momento torsor considerado em b), calcule a energia elástica

de deformação por metro de comprimento do veio.

RESOLUÇÃO:

a)-Cálculo do Diâmetro Exterior do Tubo

Sejam:

M - Momento torsor total aplicado ao veio

M1-Momento absorvido pelo núcleo de aço (1)

M2-Momento absorvido pelo tubo de latão (2)

É obvio que se tem:

M1+M2 = M (a)

Por outro lado, tem-se:

1 1 1 G I M = θ 2 2 2 G I M = θ (2) ) 1 ( d1 d2

(22)

Ou seja: 32 10 80 9 14 1 d M = × ×θ×π

(

)

32 10 40 4 2 4 2 9 2 d d M = × ×θ×π −

Da condição de igualdade dos dois momentos M1 e M2, obtém-se:

(

4

)

1 4 2 4 1 40 80×d = × d −d Isto é: 316 , 1 3 4 1 2 ₌ ₌ d d

Substituindo o valor d1=75 mm, obtém-se o diâmetro exterior do tubo de latão:

mm mm

d2=1,316×75 =98,71

b)-Tensões de Corte e Ângulo de Torção

O momento torsor absorvido por cada um dos elementos é igual a metade do momento total, isto é:

m KN M M M1= 2= t =8 × Donde:

(

)

(

)

₍

₎

MPa I R M MPa I R M t latão max t aço max 5 , 63 32 075 , 0 0987 , 0 0493 , 0 10 80 6 , 96 32 075 , 0 0375 , 0 10 80 4 4 3 2 2 4 3 1 1 = − × × × = × = = × × × = × = π τ π τ

Quanto ao ângulo de torção, ele é igual para ambos os elementos. Tomando o núcleo de aço, por exemplo, tem-se:

m m rad I G M_t / º 1,85 / 03226 , 0 10 1 , 3 10 80 10 8 6 9 3 1 1 = = × × × × = = ₋ θ

Para um comprimento de 4 metros de veio, tem-se:

7,4º 85 , 1 4 4× = × = = Φ θ

(23)

c)-Energia Elástica de Deformação:

No caso da torção, a densidade de energia elástica é dada pela expressão geral seguinte: 2 2 2 0 ₂ 1 2 1 r I M G G U z t ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = τ

Ou seja, para o núcleo de aço:

2 6 2 2 6 3 9 1 0 41,4 10 10 1 , 3 10 8 10 80 2 1 r r U _⎟⎟ = × ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × × × × = ₋

Donde a energia total no núcleo de aço:

Joule R dr r rdr U U R R 129 4 10 8 , 82 10 8 , 82 2 6 14 0 3 6 0 01 1 1 1 = × = × = =

∫

π

∫

π π

Em alternativa, poder-se-ia utilizar directamente a fórmula seguinte:

z t GI L M U 2 2 = isto é:

(

)

_Joule U 129 10 1 , 3 10 80 2 1 10 8 6 9 2 3 1 = × × × × × × = ₋

Para o tubo de latão:

2 6 2 2 6 3 9 2 0 20,7 10 10 2 , 6 10 8 10 40 2 1 _r _r U _⎟⎟ = × ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × × × × = ₋ e Joule r dr r rdr U U R R R R 129 4 10 130 10 130 2 0494 , 0 0375 , 0 4 6 3 6 02 2 2 1 2 1 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ × = × = =

∫

π

∫

Também aqui, podia escrever-se directamente:

(

)

_Joule U 129 10 2 , 6 10 40 2 1 10 8 6 9 2 3 2 = × × × × × × = ₋

Finalmente, obtém-se a energia total de deformação:

Joule U

U

(24)

PROBLEMA – 4.2.4.

Um veio tubular de secção circular, é construído em aço (G=80GPa) e cobre (G=40GPa), e

alumínio (G=30GPa), rigidamente ligados, com

as dimensões indicadas na figura ao lado.

a)-Determine o valor da rigidez torsional (Mt/θ )

do veio composto representado na figura ao lado.

b)- Considere as tensões admissíveis para o aço,

para o cobre e para o alumínio iguais a 100 e

40 e 35 (MPa), respectivamente.

Determine o valor máximo do momento torsor que o veio é capaz de transmitir.

c)- Discuta a validade e limitações da metodologia que seguiu na resolução das

alíneas anteriores, tendo em consideração, entre outros parâmetros, a relação entre as espessuras das paredes dos tubos e o respectivo diâmetro.

RESOLUÇÃO:

a) – Rigidez à Torção do Veio Composto

Usando uma nomenclatura semelhante à que foi utilizada no problema anterior, sejam:

M - Momento torsor total aplicado ao veio

M1-Momento absorvido pelo núcleo de Alum (1)

M2-Momento absorvido pelo tubo de cobre (2)

M3-Momento absorvido pelo tubo de aço (3)

É obvio que, neste caso, se tem:

M1+M2 +M3= M (a)

Por outro lado, tem-se:

1 1 1 G I M = θ 2 2 2 G I M = θ 3 3 3 G I M = θ Ou seja: mm 80 mm 90 mm 100 Alumínio de Núcleo Cobre Aço 1 d 2 d 3 d ) 1 ( ) 2 ( ) 3 (

(25)

32 10 30 9 14 1 d M = × ×θ×π

(

)

32 10 40 9 24 14 2 d d M = × ×θ×π − (b)

(

)

32 10 80 9 34 24 3 d d M = × ×θ×π −

Adicionando as três equações anteriores membro a membro, obtém-se:

(

) (

)

[

4

]

2 4 3 4 1 4 2 4 1 9 3 2 1 ₃₀ ₄₀ ₈₀ 32 10 d d d d d M M M − + − + × = + + π θ

Donde a rigidez à torção do veio composto:

rad Nm M M M M C₌ ₌ 1+ 2+ 3 ₌4,88_×105 / θ θ (c)

b) – Momento Torsor Máximo

Os momentos absorvidos por cada um dos elementos obtém-se a partir das

equações (b), tendo também em conta a equação (c). Assim:

M d C M M 0,247 32 10 30 9 14 1= × × ×π =

(

d d

)

_M C M M 0,199 32 10 40 9 24 14 2= × × ×π − = (d)

(

d d

)

_M C M M 0,554 32 10 80 9 34 24 3 = − × × × = π

As tensões de corte máximas em cada um dos elementos ocorre nos pontos das

superfícies periféricas correspondentes, isto é, para d=d1, d=d2 e d=d3,

respectivamente:

(

)

(

)

(

)

6 4 4 2 3 3 3 3 6 4 4 2 2 2 2 2 6 3 1 1 1 1 10 100 8200 ) 09 , 0 1 , 0 ( 554 , 0 16 2 10 40 3690 ) 08 , 0 09 , 0 ( 199 , 0 16 2 10 35 2460 08 , 0 247 , 0 16 2 × ≤ = − × × = = × ≤ = − × × = = × ≤ = × × = = M M d I d M M M d I d M M M I d M max max max π τ π τ π τ

(26)

Resolvendo as inequações anteriores, obtém-se o valor do momento máximo para o qual nenhuma das tensões admissíveis dos diferentes materiais será ultrapassada:

m kN Mmax =10,8 ×

c) – Limitações do Método

As equações utilizadas correspondem à solução exacta do problema da torção de veios cilíndricos ou tubos de secção circular, pelo que o rigor da metodologia adoptada não depende dos valores relativos dos diâmetros e das espessuras dos diversos elementos do veio de secção composta em questão.

PROBLEMA – 4.2.5.

Considere um veio prismático de secção elíptica, conforme representado na

figura, com os semi-eixos maior e menor iguais a a e b, respectivamente.

Utilizando a teoria de Saint-Venant para a

torção de peças lineares, determine:

a)- A distribuição das tensões na secção. b)- O campo dos deslocamentos axiais em

cada secção

RESOLUÇÃO:

a) – Distribuição das Tensões na Secção

O contorno elíptico da secção é definido pela seguinte equação:

1 2 2 2 2 = + b y a x ₍_a)

Qualquer função de tensão do tipo:

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = Φ ₂ 1 2 2 2 b y a x m

onde m é uma constante arbitrária, satisfaz a condição fronteira (a). Substituindo

na equação de compatibilidade (4.23), resulta que a função Φ(x,y) deverá

obedecer à condição: θ G b a m 1 1 2 2 ₂ ₂ 2 _⎟₌₋ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = Φ ∇ B B A A O a b x y Mt

(27)

donde resulta: 2 2 2 2 b a b a G m + − = θ e, portanto: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + = Φ ₂ 2₂2 1 ₂2 ₂2 b y a x b a b a Gθ

O momento torsor Mt obtém-se, de acordo com a equação (4.28):

2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( 2 b a b a G dxdy b y a x b a b a G M A t + = − − + = θ

∫

π θ

As componentes τxz e τyz obtêm-se por derivação da função Φ, isto é:

3 2 2 2 ₂ 2 ab y M b a y a G y t xz _π θ τ =− + − = ∂ Φ ∂ = b a x M b a x b G x t yz ₂ ₂ ₃ 2 ₂ 2 π θ τ = + = ∂ Φ ∂ − =

A tensão de corte máxima ocorre nos pontos B da secção recta:

2 2 ab M_t max _π τ =

b) – Campo dos Deslocamentos

O deslocamento axial dos pontos de cada secção pode ser calculado por integração, a partir das equações (4.17), exprimindo as deformações em termos da função de tensão Φ, através das equações (4.18) e (4.22). Assim obtém-se:

2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 b a x b x G x y w b a y a y G y x w + + = ∂ Φ ∂ − = + ∂ ∂ + − = ∂ Φ ∂ + = − ∂ ∂ θ θ θ θ

Admitindo que o deslocamento axial é nulo nos pontos do eixo do veio, isto é

w=0, para x=0 e y=0, o resultado da integração das equações anteriores define

(28)

2 2 2 2 ₎ ( b a xy a b w + − =θ

No caso particular duma secção circular (a = b), tem-se que w=0, o que

confirma a hipótese de base adoptada na teoria elementar.

PROBLEMA – 4.2.6.

A solução do problema relativo à torção dum veio de secção triangular equilátera (ver figura) pode obter-se a partir da seguinte função de torção de Saint-Venant: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ₋ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ ₋ = Φ K x y h x y h x h 3 1 3 2 3 3 2 3

a)-Determine a constante K, em termos de G e θ, e mostre que o momento torsor

é dado pela expressão:

3 15 4 h G Mt

θ

=

a)- Determine a constante K, em termos de G e θ, e mostre que o momento

torsor é dado pela expressão:

3 15 4 h G Mt

θ

=

b)- Calcule o valor máximo da tensão de corte e identifique o(s) ponto(s) onde

ocorre.

c)- Calcule o ângulo de torção por unidade de comprimento.

RESOLUÇÃO:

a)-Função de Saint-Venant e Momento de Torção

A função de Saint-Venant Φ deverá satisfazer, simultaneamente, a equação de

compatibilidade: h 3 h 3 / h 3 / 2h x y G

(29)

θ

G y x 2 2 2 2 2 − = ∂ Φ ∂ + ∂ Φ ∂ ₍_a) e a condição de fronteira: 0 = Φ (b)

Ao longo de todo o contorno (C) da secção triangular.

Quanto à condição (b), basta atender às equações dos três lados do triângulo:

0 3 / 0 3 / 2 3 0 3 / 2 3 = + = − + = − − h x h y x h y x

Para concluir que a função

Φ

satisfaz, de facto, a condição fronteira (b).

No que diz respeito à condição de compatibilidade (a), é de notar que,

desenvolvendo a expressão proposta para a função

Φ

, se obtém:

(

) (

)

_⎥⎦⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ ₋ ₋ ₋ − = Φ 2 2 3 2 2 27 2 3 2 1 2 1 2 x xy h h y x Kh

Calculando agora as derivadas, obtém-se, sucessivamente:

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ∂ Φ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ∂ Φ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ∂ Φ ∂ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ ₋ − = ∂ Φ ∂ x h Kh y xy h y Kh y x h Kh x y x h x Kh x 3 1 2 3 2 3 1 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 (c) Donde: Kh y x 2 4 2 2 2 − = ∂ Φ ∂ + ∂ Φ ∂

Então, para satisfazer a equação de compatibilidade (a), deverá ser:

θ G Kh 2 4 =− − Donde: h G K 2 θ =

(30)

E portanto:

(

) (

)

_⎥⎦⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ ₋ ₋ ₋ − = Φ 2 2 3 2 2 27 2 3 2 1 2 1 h xy x h y x Gθ

O Momento de Torção Mt é dado pela expressão geral:

∫∫

Φ

×

= x ydxdy

M_t 2 ( , )

Donde, substituindo, obtém-se:

(

) (

)

[

]

(

) (

)

[

]

3 15 3 2 3 2 4 3 2 3 9 3 2 3 3 9 3 2 3 3 2 272 2 3 21 2 2 2 1 2 272 2 3 21 2 2 2 1 h G dy h xy x y x dx G dxdy h xy x y x G M h h h y h y h h t θ θ θ = − − − + × − = = − − − + × − =

∫

∫∫

+ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − (d)

b)-Tensão de corte máxima

As componentes da tensão de corte em cada ponto (x,y) da secção são

calculadas a partir das expressões gerais:

y xz _∂ Φ ∂ = τ e x yz=−∂_∂Φ τ

Substituindo pelas expressões em (3), ao longo

do eixo dos xx obtém-se, (ver figura ao lado):

0 3 _⎟₌ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ∂ Φ ∂ = xy h y G y xz θ τ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = ∂ Φ ∂ − = 2 3 2 2 3 hx _x h G x yz θ τ

O valor máximo da tensão de corte ocorre a meio de cada um dos lados do triângulo e vale: 2 h G máx θ τ = y x max τ

(31)

c)-Ângulo de Torção por Unidade de Comprimento

O ângulo de torção por unidade de comprimento (θ ) pode obter-se, por exemplo, a partir da equação (4) acima, isto é:

4 3 15 Gh Mt = θ PROBLEMA – 4.2.7.

Deduza as equações principais para a torção de veios cilíndricos de secção circular, recorrendo à aplicação da teoria da analogia membrana de Prandtl.

RESOLUÇÃO:

No caso dum veio de secção circular, as condições particulares de simetria

existente permitem estabelecer, à partida, que a altura z da membrana

correspondente depende apenas duma única variável, que é a distância r ao

centro da secção. Cortando a membrana por um plano horizontal paralelo à base de fixação, considere-se o equilíbrio vertical da parte superior, sujeita à

acção das forças T e p, de acordo com o esquema representado na figura.

2 2 r p r dr dz T π = π − ou seja: r T p dr dz 2 − = (a)

Esta equação traduz que o declive da

membrana é proporcional à distância r ao

centro da secção. Consequente-mente, pela analogia da membrana, a distribuição das tensões no problema de torção correspondente segue uma lei semelhante, isto é:

r G θ

τ=

Este resultado está perfeitamente de acordo com o que foi obtido na introdução teórica, quando o problema da torção dum veio circular foi abordado pela primeira vez. t M t M R z z p T T dr dz R r O

(32)

A configuração deformada da membrana obtém-se por integração directa da

equação (a), ou seja:

te C T pr dr T pr z=−

∫

=− + 4 2 2

A constante de integração na equação anterior é facilmente calculada pela

condição de que, ao longo da periferia r= R, a cota z deve ser nula, isto é:

0 4 2 = + − _Cte T pR ou seja: T pR Cte 4 2 = Donde: ) ( 4T R2 r2 p z= −

O volume sob a membrana obtém-se também por integração:

4 0 2 2 0 2 ₂ ( ) ₈ _T R p rdr r R T p rdrz Vol=

∫

R π = π

∫

R − =π

Pela analogia da membrana, resulta a seguinte expressão para o momento

torsor: θ θ π z t Vol R G GI M 2 2 = 4 = = ou seja, z t _GI M ₌ θ

Estes resultados estão, também, de acordo com as expressões deduzidas no parágrafo §4.2, para a torção de veios de secção circular.

PROBLEMA – 4.2.8.

Deduza as expressões para as tensões e deformação num veio prismático de

secção rectangular (bxt), em que t<<b.

A B b t t M t M z B A

(33)

RESOLUÇÃO:

Uma vez que o comprimento b é muito maior do que a largura t, a forma da

membrana deverá ser aproximadamente cilíndrica, com as respectivas geratrizes

paralelas à direcção de b, distorcendo apenas nas extremidades, onde assume

uma cota nula. Na zona central, a curvatura segundo a direcção y é nula e as

forças de pressão p são equilibradas pelas forças de tensão na direcção do eixo

dos xx. Nestas condições, a equação de equilíbrio duma porção central da

membrana, com as dimensões lx2x escreve-se:

l x p dx dz l T 2 2 = − ou seja: x T p dx dz₌₋

Donde, por integração:

te C T x p dx x T p z=−

∫

=− + 2 2 (a)

A constante de integração na equação (a) obtém-se impondo a condição de ser z

= 0, ao longo das linhas da periferia x=±t/2, isto é:

0 8 2 = + − _Cte T pt Donde: T pt Cte 8 2 = e, portanto: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 2 4 2 x t T p z

Esta é a equação duma parábola, e o valor máximo do declive ocorre nos pontos

da periferia, para x=±t/2, isto é:

2 t T p dx dz max = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₍_b) z x y z x y t l b 2x A B

(34)

Transportando este resultado para o caso da torção dum veio de secção rectangular, pode imediatamente concluir-se que a tensão máxima ocorre ao

longo das linhas periféricas, x=±t/2, onde tem o valor, τmax=Gθ t.

Por outro lado, o valor do volume sob a membrana é dado, aproximadamente,

pelo produto da área da secção (bxt) pela altura h da membrana, isto é:

b t T p t Vol 4 2 3 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

Também pela analogia da membrana, a rigidez torsional do veio será:

3 3 bt G M C= t= θ (c)

Eliminando Gθ entre as equações (b) e (c) obtém- se, finalmente, o valor da

tensão máxima em função do momento torsor aplicado:

2 3 bt Mt max= τ PROBLEMA – 4.2.9.

Pretende-se construir um elemento tubular de secção rectangular (200x100

mm2_{) em aço (}_{G=80GPa), para transmitir um momento torsor M}

t = 20 kNxm.

Determine a espessura t que deverá ter o tubo, para que a tensão de corte não

ultrapasse o valor admissível de τadm=50Mpa e a rotação do veio seja inferior a

1º por metro.

RESOLUÇÃO:

Condição relativa à limitação da tensão no tubo:

Na figura abaixo está representada a secção recta do tubo e a respectiva

membrana. No caso duma secção tubular unicelular, e considerando a área A’

x z y t M O

(35)

limitada pelo contorno exterior, a tensão é, numa primeira aproximação, dada pela expressão seguinte:

' ' 2 ' t A M_t = τ (a)

Neste caso, tem-se:

MPa mm L m A m N M adm t 50 6 , 0 ) 2 , 0 1 , 0 ( 2 ' 02 , 0 1 , 0 2 , 0 ' 10 20 2 3 = ≤ = + × = = × = × × = τ τ

Substituindo em (a), obtém-se:

' 10 2 2 10 20 10 50 ₂ 3 6 t × × × × ≥ × ₋ Donde: mm m t 10 10 10 4 50 10 20 ' 3₄ = 2 = × × × ≥ −

Introduzindo o factor de correcção λ’τ relativo à tensão, tem-se:

17 , 1 01 , 0 2 01 , 0 6 , 0 02 , 0 2 02 , 0 2 ' 2 ' ' ' 2 ' 2 ' ₂ ₂ = × + × − × × = + − = t t L A A τ λ

Donde, a espessura corrigida:

mm t

t=λ'τ×'=11,7

Isto é, para que seja satisfeita a condição relativa à tensão máxima, o valor da

espessura da parede do tubo deverá ser superior a 11,7 mm:

mm

t≥11,7 (*) (b)

(*)-Um cálculo mais rigoroso, que considerasse directamente a área A do

contorno médio da espessura da parede, conduziria a um resultado apenas

ligeiramente diferente, com t ≥ 12mm.

Condição relativa à limitação da deformação do tubo:

Para um tubo de parede de espessura constante, numa primeira aproximação,

pode aplicar-se a seguinte expressão para a Rigidez Torsional da peça:

' ' ' 4 2 L t GA M C₌ t ₌ θ (c) h mm 100 mm 200 A t

(36)

Onde L’ é o perímetro do contorno exterior da secção e A’ é a área delimitada

por esse mesmo contorno. Neste caso particular, tem-se:

m rad m m L m A m N M GPa G adm t / 0,0175 / º 1 6 , 0 1 , 0 2 2 , 0 2 ' 10 2 ' 10 20 ; 80 2 2 3 = = = × + × = × = × × = = − θ

Substituindo estes valores na equação (c) obtém-se:

m GA L M t adm t _5,36 ₁₀ 0175 , 0 10 4 10 80 4 10 6 10 20 ' 4 ' ' ₉ ₄ -3 1 3 2 _× _× _× _× _× = × × × × = × ≥ ₋ − θ

Introduzindo o factor de correcção λ'θ relativo à deformação, obtém-se:

(

)

(

2 0,02 0,6 0,00536 2 0,00536

)

1,14 6 , 0 02 , 0 ) 00536 , 0 4 6 , 0 ( 4 ' 2 ' ' ' 2 ' ) ' 4 ' ( 4 ' 2 2 2 2 2 2 = × + × − × × × × − × = + − − = t t L A L A t L e θ λ

Donde, a espessura corrigida:

mm t

t=λ'_τ×'=6,11

Isto é, para que seja satisfeita a condição relativa à deformação máxima, o valor

da espessura da parede do tubo deverá ser superior a 6,11 mm:

mm

t≥6,11 (*) (d)

(*)-Um cálculo mais rigoroso, que considerasse directamente a área A do

contorno médio da espessura da parede, conduziria a um resultado apenas

ligeiramente superior, com t ≥ 6,25mm.

Para que sejam satisfeitas ambas as condições (b) e (d), o valor da espessura da

parede do tubo deverá então ser superior a 11,7 mm:

mm

t≥11,7 (e)

PROBLEMA – 4.2.10.

Pretende-se transmitir um momento de torção Mt=40kNxm através duma barra

tubular em aço (G=80GPa), de comprimento l=2m, constituída por dois tubos

de secções quadradas concêntricas de lados iguais a 200mm e 100mm,

(37)

conforme indicado na figura. A ligação na extremidade B deve ser tal que permita uma eventual diferença entre os deslocamentos axiais dos dois elementos.

a)- Determine a espessura (t) da chapa, de modo que em nenhum dos elementos

seja ultrapassada a tensão admissível do material τadm=50MPa.

b)- Para o valor da espessura da chapa calculado na alínea anterior, determine o

ângulo de torção entre as duas secções extremas do tubo.

c)- Reconsidere a alínea a), supondo agora que o elemento interior é em aço

maciço.

RESOLUÇÃO:

a) – Cálculo da espessura da chapa

Designando por (1) e (2) os dois elementos distintos do tubo composto (ver figura), tem-se: m L m A 4 , 0 1 , 0 4 ' 10 1 , 0 1 , 0 ' 1 2 2 1 = × = = × = − _e m L m A 8 , 0 2 , 0 4 ' 10 4 2 , 0 2 , 0 ' 2 2 2 2 = × = × = × = −

Sejam M1 e M2 os momentos transmitidos por cada um dos elementos (1) e (2),

respectivamente. Entre estes dois momentos e o momento global (Mt)

transmitido pelo veio existe a relação seguinte:

t

M M

M₁+ ₂= (a)

A rigidez à torção para cada um dos elementos obtém-se a partir das expressões habituais: t M t M (2) ) 1 ( mm 00 2 mm 00 1 m 2 t M t M m 2 200mm mm 100

(38)

2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 ' ' ' 4 ' ' ' 4 L t GA M C L t GA M C = = = = θ θ ₍_b)

Por outro lado, atendendo a que os dois elementos estão ligados entre si nas secções extremas, o ângulo de torção θ é igual para ambos. Além disso, porque os dois elementos são construídos a partir do mesmo tipo de chapa, o módulo de

rigidez G e a espessura t também são iguais para ambos. Sendo assim,

eliminando o ângulo θ entre as duas equações anteriores, resulta:

2 2 2 2 2 1 1 1 ' ' ' ' A M L A M L = (c)

Resolvendo agora o sistema de equações (a) e (c), obtém-se:

t t M A L A L A L M M A L A L A L M 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' + = + = (d)

Substituindo pelos valores numéricos correspondentes:

m kN M m kN M × = × × × + × × × × = × = × × × + × × × = − − − − − − 56 , 35 10 40 10 8 , 0 10 16 4 , 0 10 16 4 , 0 44 , 4 10 40 10 8 , 0 10 16 4 , 0 10 8 , 0 3 4 4 4 2 3 4 4 4 1

As tensões em cada um dos elementos são dadas pela expressão geral:

' ' 2 ' t A M = τ Assim, tem-se: ' 10 45 , 4 ' 10 4 2 10 56 , 35 ' ' 2 ' ' 10 22 , 2 ' 10 2 10 44 , 4 ' ' 2 ' 5 2 3 2 2 2 5 2 3 1 1 1 t t t A M t t t A M × = × × × = = × = × × = = − − τ τ

(39)

6 5 2 4,45 10 50 10 ' = × ≤ × t τ donde: mm m t 8,9 10 8,9 10 50 10 45 , 4 ' ₆5 = × 3 = × × ≥ −

Este valor da espessura foi calculado com base na linha de contorno exterior da secção transversal, podendo ser obtida uma aproximação mais rigorosa, multiplicando-o pelo factor de correcção para a tensão no elemento exterior:

095 , 1 0089 , 0 2 0089 , 0 8 , 0 04 , 0 2 04 , 0 2 ' 2 ' ' ' 2 ' 2 ' ₂ ₂ 2 2 2 ₌ × + × − × × = + − = t t L A A τ λ

Donde a espessura corrigida:

mm mm

t

t=λ'_τ×'=1,095×8,9 =9,75

isto é, a espessura da chapa deve ser igual ou superior a t = 9,75mm(*).

(*)-Um cálculo mais elaborado, considerando a área do contorno da linha média

da secção conduziria a um resultado praticamente igual, t ≥ 9,8mm.

b) – Ângulo de Torção entre as duas Secções Extremas

Uma vez que é já conhecida a espessura da parede, o cálculo da repartição dos

momentos, dado pelas equações (d), pode ser revisto, conduzindo a:

t t M A L A L A L M M A L A L A L M 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 + = + =

ou seja, substituindo pelos valores numéricos:

Nm M M Nm M M t t 35145 ) 8 , 9 100 ( ) 8 , 9 200 ( 4 ) 8 , 9 200 ( ) 8 , 9 100 ( 4 ) 8 , 9 200 ( ) 8 , 9 100 ( 4 3855 ) 8 , 9 100 ( ) 8 , 9 200 ( 4 ) 8 , 9 200 ( ) 8 , 9 100 ( 4 ) 8 , 9 100 ( ) 8 , 9 200 ( 4 4 4 4 2 4 4 4 1 = − × − × + − × − × − × − × = = − × − × + − × − × − × − × =

Agora, basta substituir em qualquer uma das expressões:

t GA L M 2 1 1 1 4 = θ ou t GA L M 2 2 2 2 4 = θ

(40)

º 38 , 0 10 7 , 6 10 8 , 9 ) 10 8 , 9 10 ( 10 80 4 ) 10 8 , 9 10 ( 4 3855 3 3 4 3 1 9 3 1 = × = × × × − × × × × − × × = ₋ − ₋ − ₋ − rad θ

O ângulo de torção entre as duas secções extremas obtém-se multiplicando θ

pelo comprimento l do veio, isto é:

º 76 , 0 38 , 0 2 AB= ×θ = × = φ l

c) – Elemento Central em Aço Maciço

Neste caso, tem-se:

2 2 2 2 2 4 1 1 ' ' ' 4 L t GA M C Gb M C = = = = θ χ θ

O valor do coeficiente χ tira-se da tabela apresentada no parágrafo §4.1.5. Para uma secção quadrada, é χ = 0,141, pelo que, da eliminação de θ entre as duas equações anteriores, resulta:

' ' 4 ' 2 2 2 2 41 _A _t M L bM =χ (e)

Resolvendo agora o sistema de equações (a) e (e), obtém-se:

t t M b L t A t A M M b L t A b L M 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 1 ' ' 4 ' ' 4 ' ' ' 4 ' χ χ χ + = + =

Substituindo pelos valores numéricos correspondentes, obtém-se:

t M t M (2) mm 00 2 mm 00 1 m 2 ) 1 (

(41)

40000 128 , 1 ' 640 ' 640 10 128 , 1 ' 10 4 , 6 40000 ) ' 2 , 0 4 ( 40000 128 , 1 ' 640 128 , 1 1 , 0 2 , 0 4 141 , 0 ' 2 , 0 4 40000 ) 1 , 0 2 , 0 4 141 , 0 ( 5 3 4 2 4 4 4 1 × + = × + × × × = × + = × × × + × × × × × = − − _t t t t M t t M

A tensão máxima no núcleo central é dada pela expressão correspondente a uma

secção rectangular (bxh): 2 1 1 bh M α τ =

Para uma secção quadrada, como no caso vertente, α = 4,80, pelo que:

6 3 1 50 10 ) 128 , 1 ' 640 ( 1 , 0 40000 128 , 1 80 , 4 ≤ × + × × × = t τ Donde: mm m t'≥0,00382 =3,82

E para o elemento tubular:

6 7 2 2 2 2 ₅₁_,₂ _' ₀_,₀₉₀₂₄ 50 10 10 56 , 2 ' 2 , 0 2 ) 128 , 1 ' 640 ( 40000 ' 640 2 + ≤ × × = × × + × = = t t t t t A M τ Donde: mm t'≥0,00824=8,24

Deve escolher-se o valor maior, pelo que, no caso dum núcleo maciço, a espessura da chapa para o tubo exterior terá de ser igual ou superior a 4,97mm, isto é:

mm t'≥8,24

Este valor da espessura foi calculado com base na linha de contorno exterior da secção transversal do tubo, podendo ser obtida uma aproximação mais rigorosa, multiplicando-o pelo factor de correcção para a tensão no elemento exterior:

088 , 1 00824 , 0 2 00824 , 0 8 , 0 04 , 0 2 04 , 0 2 ' 2 ' ' ' 2 ' 2 ' ₂ ₂ 2 2 2 ₌ × + × − × × = + − = t t L A A τ λ

Donde a espessura corrigida:

mm mm

t

t=λ'_τ× '=1,088×8,24 =8,96