Controlabilidade de Sistemas Parabólicos Não Lineares

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL

FLUMINENSE

Instituto de Matem´

atica e Estat´ıstica

Controlabilidade de Sistemas Parab´

olicos

N˜

ao Lineares

Dany Nina Huaman

Tese de Doutorado apresentada ao

Instituto de Matemática da Universi-dade Federal Fluminense, como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Matemática.

Orientador: Juan Bautista L´ımaco Ferrel Co-orientador: Enrique Fern´andez Cara

(2)

(3)

(4)

Dedicat´

oria

Aos meus pais Doris e Maximo, ao meu irm˜ao Erick N e ao meu tio Cesar, que em paz descanse.

(5)

Agradecimentos

Agrade¸co primeiramente a Deus pelo dom da vida e por ter me dado for¸cas para concluir mais esta etapa de meus estudos.

Um agradecimento especial ao meu orientador, o professor Juan L´ımaco Ferrel, pela sua eficiente orienta¸cão, paciência, boa vontade, sabedoria, pelo exemplo de dedica¸cão a profissão e por ter aceitado me orientar.

Ao professor e conselheiro Enrique Fern´andez-Cara, eu devo um agradecimento es-pecial por sua aten¸c˜ao e hospitalidade durante toda a minha estada em Sevilha. Muito obrigado por tudo!

`

A coordena¸cão de Pós-Gradua¸cão pelo apoio nos momentos dif´ıceis.

A minha fam´ılia pelo apoio incondicional e por terem sido a for¸ca que faz ir em frente.

A minha amiga Jany Meirelles quem me ajudou a n˜ao desistir.

A meus amigos: Reillon Santos, Genyle Nascimentos, Israel Diaz, Miguel Nu˜nez, Ronald Ramos.

Aos professores da Uff: Luiz Viana, Aldo Bazan, Haroldo Clark, Freddy Hernandez, Max Souza, Simone Dantas, etc

Aos amigos da Universidade Nacional del Callao: Kupac, Yerson, Chacal, Ronald, John Suarez, Edson Suarez, Paul Luque, Lennin, Andres Lipa, Franco Diaz, Roger, Jorge Quispe, Carolina Effio, Orlando Sarmientos, etc.

Aos professores da Universidade Nacional del Callao: Orlando Moreno, Absalon Castillo, Maritza Quispe, Lenin Cabracancha, Wilfredo Mendoza, Ezequiel Fajardo, etc.

`

A CAPES (Coordena¸c˜ao de Aperfei¸coamento de pessoal de Ensino Superior) pelo apoio financeiro .

(6)

Resumo

Nesta tese, os principais objetivos s˜ao estabelecer:

i) A controlabilidade local exata por trajetórias para EDPs parabólicas com não lineari-dade n˜_{ao local, em um dom´ınio limitado Ω × (0, T ) ⊂ R}N _{× R e com o controle}

distribu´ıdo. Também vamos a provar a controlabilidade local exata por trajetórias para EDPs parabólicas com não linearidade não local e com o controle na fronteira em dimensão 1 respeito à variável espacial.

ii) A controlabilidade local nula do sistema N −dimensional de Ladyzhenskaya-Smagorinsky com N − 1 controles escalares em um dom´ınio arbitr´ario do controle.

iii) A controlabilidade local nula do “verdadeiro” sistema N −dimensional de Boussinesq. iv) Um resultado de controlabilidade global nula aproximada do “verdadeiro” sistema

de Boussinesq em dimens˜ao 3.

v) O controle Hierárquico seguindo a estratégia de Stackelberg-Nash para uma EDP parabólica n˜_{ao linear, em um dom´ınio limitado Ω × (0, T ) ⊂ R}N_{× R (para qualquer} inteiro N ≥ 1) e com os controles l´ıder e seguidores distribu´ıdos.

Palavras-chave: Controlabilidade, sistemas parab´olicos, sistema de Ladyzhenskaya-Smagorinsky, sistema de Boussinesq, estrat´egia de Stackelberg-Nash.

(7)

Abstract

In this thesis the main goals are to establish:

i) The exact local controllability to the trajectories for parabolic PDEs with nonlocal nonlinearities, in a limited domain Ω×(0, T ) ⊂ RN×R and with distributed control. We will also prove the exact local controllabilities to the trajectories for parabolic PDEs with nonlocal nonlinearities and with boundary control in dimension 1 with respect the spatial variable.

ii) The null local controllability of the Ladyzhenskaya-Smagorinsky N − dimensional system with N − 1 scalar controls in an arbitrary control domain.

iii) The null local controllability of the “true” N − dimensional Boussinesq system. iv) A result on the global approximate null controllability of the “true” Boussinesq

system in dimension 3.

v) Hierarchical control following the Stackelberg-Nash strategy for a nonlinear parabolic PDE, in a limited domain Ω × (0, T ) ⊂ RN _{× R ( for any integer N ≥ 1) and with}

distributed leader and followers controls.

Key words: Controllability, parabolic system, Ladyzhenskaya-Smagorinsky system, Boussinesq system, Stackelberg-Nash estrategy.

(8)

Sum´

ario

Resumo iii

Abstract iv

1 Preliminares 12

1.1 T´opicos de An´alise Funcional . . . 12

1.1.1 Convergˆencia Fraca e Fraca Estrela . . . 12

1.1.2 Espa¸cos Separ´aveis e Reflexivo . . . 13

1.2 Teoria das Distribui¸c˜oes Escalares . . . 14

1.3 Os Espa¸cos Lp_{(Ω) . . . .} ₁₅

1.4 Espa¸cos de Sobolev . . . 17

1.4.1 Os Espa¸cos Wm,p(Ω) . . . 17

1.4.2 Os Espa¸cos W₀m,p(Ω) e W−m,q(Ω) . . . 19

1.5 Espa¸cos Lp(0, T ; X) . . . 20

1.6 Distribui¸c˜oes Vetoriais . . . 23

1.7 Equa¸c˜ao de Evolu¸c˜ao de Stokes . . . 23

1.8 Resultados Importantes . . . 24

1.9 Alguns resultados de existência e unicidade para Edps com termo não local 27 2 Controlabilidade Exata por Trajetórias para EDPs Parabólicas com Não Linearidade Não Local 30 2.1 Formula¸cão do Problema . . . 30

2.2 Alguns Resultados T´ecnicos . . . 33

2.2.1 Lemas Preliminares . . . 33

2.2.2 Desigualdade de Observabilidade . . . 35

2.2.3 Controlabilidade Nula Aproximada de (2.7) com Controles Uni-formemente Limitados em H1(0, T ; L2(ω)) . . . 39

(9)

2.3 Prova do Teorema 2.1 . . . 41

2.3.1 Controlabilidade Local Nula Aproximada de (2.6) com Controles Uniformemente Limitados em L2(ω × (0, T )) . . . 41

2.3.2 Passagem ao Limite . . . 42

2.4 Alguns Coment´arios Adicionais . . . 43

2.4.1 Controlabilidade na Fronteira em dimens˜ao 1 . . . 43

3 Controlabilidade do Sistema N -Dimensional de Ladyzhenskaya-Smagorinsky com N -1 Controles Escalares em um Dom´ınio Arbitr´ario do Controle 52 3.1 Formula¸c˜ao do Problema . . . 52

3.2.1 Desigualdade de Carleman para (3.3) . . . 54

3.2.2 Controlabilidade Nula de (3.2) . . . 55

3.2.3 Estimativas do Estado: . . . 57

4 Controlabilidade Local Nula do “Verdadeiro” Sistema de Boussinesq 66 4.1 Formula¸c˜ao do Problema . . . 66

4.2.1 Desigualdade de Carleman . . . 68

5 Um Resultado de Controlabilidade Global Nula Aproximada do “Ver-dadeiro” Sistema de Boussinesq em Dimens˜ao 3 76 5.1 Introdu¸c˜ao . . . 76

5.2 Constru¸c˜ao de Algumas Fun¸c˜oes Intermediarias . . . 78

5.2.1 Uma Solu¸c˜ao Simples para o Sistema de Boussinesq . . . 78

5.2.2 Equa¸c˜ao de Transporte . . . 81

5.2.3 Constru¸c˜ao de W com ∇ · W = −∇ · y . . . 82

5.4 Prova da Proposi¸c˜ao 5.2 . . . 89

6 Controlabilidade via a Estrat´egia de Stackelberg-Nash para uma EDP

(10)

6.1 Introdu¸c˜ao . . . 93

6.1.1 Prova do Teorema 6.2 . . . 95

6.1.2 A convergˆencia de ALG 1 . . . 96

6.2 Formula¸c˜ao do Problema . . . 98

6.2.1 Resultados Principais . . . 100

6.2.2 Caracteriza¸c˜ao do quase-equil´ıbrio de Nash . . . 101

6.3.1 Desigualdade de Observabilidade . . . 102

6.4 Prova dos Resultados Principais . . . 106

6.4.1 Prova da Proposi¸c˜ao 6.1 . . . 106

6.4.2 Prova do Teorema 6.4 . . . 109

Quest˜oes em Aberto 112

(11)

Introdu¸

c˜

ao

A disciplina de controle existe há muito tempo, por exemplo: nos projetos dos aque-dutos romanos, que tinham um sistema de válvulas para manter o n´ıvel da água cons-tante, haviam elementos da teoria do controle. No final do século XVII, nos trabalhos de Christiaan Huygens e Robert Hooke sobre a oscila¸cão do pêndulo, cujo objetivo final foi uma medida precisa do tempo, aparecem novamente elementos do que hoje conhecemos como Teoria de Controle. O objetivo então era fornecer instrumentos que servissem à navega¸cão e, em particular, controlassem o posicionamento dos navios. Estos trabalhos foram então adaptadas à regula¸cão da velocidade dos moinhos de vento, utilizando um sistema mecânico de bolas que rodavam em torno de um eixo cuja velocidade de rota¸cão era proporcional à das lâminas do moinho. Quando a velocidade de rota¸cão aumentava excessivamente, as bolas afastavam-se do eixo, travando as asas do moinho através de mecanismos engenhosos e mantendo, assim, uma velocidade aproximadamente constante. James Watt adaptou este princ´ıpio à máquina a vapor, dando assim um enorme impulso `

a revolu¸cão industrial. Através da revolu¸cão industrial, as ideias do que hoje é chamado de Teoria de Controle estavam tomando forma e se tornando cada vez mais presentes. Na década dos 30, come¸cou a ter um grande avan¸co em tudo o relacionado com o controle automático e suas aplica¸cões foram numerosas: amplificadores em sistemas de telefonia, estabiliza¸cão de aeronaves, etc. Durante a Segunda Guerra Mundial e nos anos que se seguiram, engenheiros e cientistas tiveram de aprimorar seus conhecimentos nos mecan-ismos de controle para monitorar aeronaves e projeteis antiaéreas. A partir de 1960, tudo o descrito come¸cou a ser conhecido como Teoria de Controle “clássica”. Até então os modelos utilizados foram insuficientes para modelar a complexidade do mundo real, porque com frequência, apresentam um comportamento não-linear e não-determin´ıstico. Richard Bellman com seus trabalhos sobre “programa¸cão dinâmica”, R. Kalman com trabalhos “filtrada e análise algébrica de problemas de controle” e Lev Pontryagin com trabalhos sobre “princ´ıpios de máximos para problemas de controle ótimo não linear”

(12)

contribu´ıram e estabeleceram os pilares fundamentais para a pesquisa na Teoria do Con-trole nas ´ultimas d´ecadas. Outro personagem que influenciou bastante nas EDPs e na teoria de controle foi Jacques-Louis Lions.

Um problema de controle para sistemas governados por uma equa¸cão parabólica ou hiperbólica pode ser formulado como segue: Dados um intervalo de tempo [0; T ], um estado inicial e um estado final, buscamos um controle que atue na trajetória do sistema (o lado direito da equa¸cão diferencial ou a condi¸cão de fronteira) , de modo que, a solu¸cão do sistema associado a tal controle seja igual ao estado inicial no tempo t = 0 e ao estado final no tempo t = T.

Para definir os tipos de controlabilidade vamos considerar um problema linear

abstrato: (1)

(

yt+ Ay = Bu em (0, T ),

y(·, 0) = y0 em Ω,

onde A e B são operadores lineares, u : [0; T ] → U é o controle e y : [0; T ] → H é o estado. Por H e U denotamos dois espa¸cos de fun¸cões adequados. Então fixado T > 0, podemos definir vários tipos de problemas de controlabilidade no tempo T.

Controlabilidade exata: Dados y0 e y1 estados poss´ıveis do sistema, obter um

cont-role u tal que a correspondente solu¸c˜ao y de (1) satisfaz y(T ) = y1.

Controlabilidade aproximada: Dados y0 e y1 estados poss´ıveis do sistema e um n´u

mero > 0, obter um controle u tal que a correspondente solu¸c˜ao y de (1) satisfaz ||y(T ) − y1||H < .

Controlabilidade nula: Dado y0, provar que existe um controle u tal que a

correspon-dente solu¸c˜ao y de (1) satisfaz y(T ) = 0.

Controlabilidade exata por trajetórias: Dado y0 e uma trajetória arbitrária y do

sistema (1) (solu¸c˜ao associada a um controle u), obter um controle u tal que a correspondente solu¸c˜ao y de (1) satisfaz y(T ) = y(T ).

Sejamos mais espec´ıficos sobre os problemas de controle que ser˜ao abordados nesta tese. Seguiremos a ordem seguinte:

Cap´ıtulo 1

(13)

Neste cap´ıtulo enunciaremos algumas defini¸cões e resultados básicos para a melhor com-preensão da tese.

Cap´ıtulo 2

Controlabilidade Exata por Trajetórias para EDPs Parabólicas com Não

Linearidade N˜ao Local

Neste cap´ıtulo analisaremos o problema de controlabilidade exata por trajetórias com um controle distribu´ıdo no sistema parabólico com não linearidade não local.

Dado Ω ⊂ RN_{(N ≥ 1 ´}_{e um inteiro) um conjunto limitado n˜}_{ao vazio, conexo e aberto,}

com fronteira regular ∂Ω. Fixamos T > 0 e definamos Q := Ω × (0, T ) e Σ := ∂Ω × (0, T ). Dado ω ⊂ Ω é um conjunto não vazio e aberto. Estudaremos a controlabilidade exata por trajetórias para o sistema não linear

(2)          yt− a( Z Ω y dx0)∆y = v1ω em Q, y(x, t) = 0 sobre Σ, y(x, 0) = y0(x) em Ω,

onde v é o controle e y é estado associado. Considere-se a trajetória ¯y = ¯y(x, t), a qual ´ e solu¸cão de          y_t− a( Z Ω y dx0)∆y = 0 em Q, y(x, t) = 0 sobre Σ, y(x, 0) = y₀(x) em Ω,

O termo n˜ao local em (2) tem uma importante motiva¸c˜ao f´ısica. Com respeito a isto mostraremos alguns exemplos onde este termo aparece naturalmente no mundo real:

• No caso da migra¸cão de popula¸cões, por exemplo, as bactérias em um contêiner, podem ter um coeficiente de difusão no tempo t apenas dependendo da popula¸cão total.

• No contexto de sistemas de rea¸cão-difusão, também é frequente encontrar termos desse tipo; o caso particular é dado por

a(h`, y(· , t)i)

onde a = a(s) ´e como acima e ` ´e uma forma linear cont´ınua em L2(Ω), foi in-vestigada por exemplo por Chang e Chipot em [47]. Ver este artigo para mais detalhes.

(14)

Recentemente, importantes progressos foram feitos na análise de controlabilidade de equa¸cões e sistemas parabólicos lineares e semi-lineares. Referimos-nos aos trabalhos [1, 4, 12, 25, 65] e as referências neles contidas. Em particular, a controlabilidade nula de EDPs lineares parabólicas (e hiperbólicas) contendo termos não-locais no espa¸co tem sido o objetivo de [12]. Neste trabalho, a principal novidade do presente cap´ıtulo é que conseguimos um resultado de controlabilidade exata por trajetórias regulares para sistemas do tipo (2), o qual até o momento não foi conseguida.

Cap´ıtulo 3

Controlabilidade do Sistema N − dimensional de

Ladyzhenskaya-Smagorinsky com N − 1 Controles Escalares em um Dom´ınio

Arbitr´ario do Controle

No estudo dos fluidos, nós podemos classificá-los como laminar e turbulento. Ver as seguintes gráficas:

Fluxo Laminar

Fluxo Turbulento

Uma das equa¸cões que modelam o comportamento dos fluidos turbulentos é o sistema de Ladyzhenskaya-Smagorinsky e para enunciar-lo vamos definir os seguintes conjuntos e nota¸cões:

Dado Ω é um subconjunto aberto, conexo e n˜_{ao vazio de R}N (N = 2 ou N = 3) de classe C∞. Dado T > 0 e ω ⊂ Ω é um subconjunto (pequeno) aberto que é o dom´ınio do controle. Denotaremos por Q = Ω × (0, T ) e Σ = ∂Ω × (0, T ). No que segue, denotamos por (· , ·) e || · ||, respectivamente o produto escalar e a norma em L2_{(Ω). A continua¸c˜}_ao

apresentaremos o sistema de Ladyzhenskaya-Smagorinsky:

(3)            y_t− ∇ · (ν0+ ν1k∇yk 2_{)Dy + (y · ∇)y + ∇p = v1} ω em Q, ∇ · y = 0 em Q, y = 0 sobre Σ, y(0) = y0 em Ω.

(15)

Aqui, y = y(x, t) e p = p(x, t) representam a campo de velocidade “média” e a pressão de um fluido turbulento onde as part´ıculas se encontram em Ω durante o intervalo de tempo (0, T ); y0 é a velocidade média no tempo t = 0; 1ω é a fun¸cão caracter´ıstica de ω;

ν0 e ν1 são constantes positivas e Dy é o gradiente simétrico positivo: Dy = ∇y + ∇Ty.

Por outro lado, ω × (0, T ) ´e o dom´ınio do controle e v deve ser visto como o controle (uma forca m´edia) atuando no sistema.

O sistema (3) é uma generaliza¸cão do sistema de Navier-Stokes. A controlabilidade do sistema de Navier-Stokes foi objeto de estudo nos últimos anos (ver [13] e [35]), também a controlabilidade do sistema N − dimensional de Navier-Stokes com N − 1 controles escalares foi estudada em [14] e [45]. O primeiro trabalho que trato a controlabilidade de (3) encontra-se no artigo [15], onde os autores somente conseguiram a controlabilidade local nula com N controles escalares, assim como também resultados numéricos. Nós ap-resentaremos neste cap´ıtulo um novo resultado que mostra que o sistema N −dimensional (3) pode ser controlado com N − 1 controles escalares em um dom´ınio arbitrário do con-trole.

Cap´ıtulo 4

Controlabilidade Local Nula do “Verdadeiro” Sistema de Boussinesq Vamos a estudar o comportamento de um fluido por meios das diversas leis e princ´ıpios f´ısicos (mais precisamente ver [55])

• Aplicando a segunda lei de Newton a dinˆamica de um fluido, temos

(4) ρ(yt+ (y · ∇)y) = −∇p + µ∆y + ~F + θ~k, ∇ · y = 0

onde

ρ = masa da part´ıcula do fluido

yt+ (y · ∇)y = acelera¸c˜ao ao longo da trajet´oria

~

F = for¸ca externa θ~k = esfor¸cos calor´ıficos y = velocidade

p = press˜ao

• Da conserva¸c˜ao da quantidade de movimento

(16)

onde

e = 1 2ρ|y|

2

+ Cρθ (´e a energ´ıa) g = entrada (sa´ıda do calor)

P (p, y) + ˜F.y + θ˜k.y = potencia das for¸cas que atuam −∇ · ~q = transferˆencia do calor

• Pela lei de Fourier

~q = −k(θ)∇θ De tudo isto temos o seguinte:

et+ y · ∇e = Cρ(θt+ y · ∇θ) + ρ(yt+ (y · ∇)y)y

∇ · (k(θ)∇θ) + g + P (ρ, y) + ~F.y + θk.y = Cρ(θt+ y · ∇θ) + (−∇p + µ∆y + ~F + θ~k).y

∇ · (k(θ)∇θ) + g + P (p, y) = Cρ(θt+ y · ∇θ) + µ∆y.y + g

Onde P (ρ, y) = µDy : ∇y + [(−∇p + µ∆y).y] e

Dy : ∇y = 1 2 N X i,j=1 (∂yj ∂xi + ∂yi ∂xj )∂yj ∂xi

Pelo que finalmente temos o seguinte

(5) g + µDy : ∇y = Cρ(θt+ y · ∇θ) − ∇ · (k(θ)∇θ)

De (4) e(5) temos o seguinte sistema de Boussinesq o qual ´e o mais realista, pelo que o chamaremos de “Verdadeiro” sistema de Boussinesq

(6)

(

yt− ∆y + (y · ∇)y + ∇p = θ~k + ~F, ∇ · y = 0 em Q,

θt− ∆θ + y · ∇θ = Dy : ∇y + g em Q,

A controlabilidade do sistema de Boussinesq sem o termo Dy : ∇y tem-sido objeto de estudo nos ´ultimos anos, por exemplo [14, 46, 60].

Dado Ω ⊂ RN _{(N = 2 ou N = 3) ´}_{e um conjunto aberto, n˜}_{ao vazio, conexo e limitado,}

com fronteira regular ∂Ω × (0, T ). Dado ω ⊂ Ω ´e um conjunto n˜ao vazio e aberto. Estudaremos a controlabilidade nula do “Verdadeiro” sistema de Boussinesq

(7)             

yt− ∆y + (y · ∇)y + ∇p = θeN + v1ω, ∇ · y = 0 em Q,

θt− ∆θ + y · ∇θ = Dy : ∇y + v01ω em Q,

y(x, t) = 0, ∂θ

∂η(x, t) = 0 sobre Σ,

(17)

Aqui, y = y(x, t), θ = θ(x, t) e p = p(x, t) representam, respectivamente, a velocidade média do campo, temperatura e pressão do fluido de part´ıculas em Ω durante o intervalo (0, T ); y0 é a velocidade média inicial no tempo t = 0; 1ωé a fun¸cão caracter´ıstica em ω;

eN = (0, ..., 1) e Dy ´e o gradiente sim´etrico de y definido por: Dy = 1₂(∇y + ∇Ty) e

Dy : ∇y = N X j=1 N X i=1 1 2( ∂yj ∂xi + ∂yi ∂xj )∂yi ∂xj .

Por outro lado, ω ×(0, T ) ´e o dom´ınio do controle e v e v0 deve ser visto como os controles

(for¸cas m´edias) atuando no sistema.

Nos artigos [14, 46, 60], os autores conseguem resultados sobre a controlabilidade do sistema (7) sem o termo não linear Dy : ∇y. A principal contribui¸cão do trabalho desenvolvido neste cap´ıtulo é que tratamos com um sistema do tipo Boussinesq com um termo Dy : ∇y na equa¸cão da temperatura, conseguindo assim o seguinte resultado:

Teorema: Dado T > 0 e ω ⊂ Ω, existe δ > 0 tal que, para todo (y0, θ0) ∈ V ×

W1,3/2_{(Ω) satisfazendo}

||(y0, θ0)||V ×W1,3/2_(Ω) < δ,

pode-se achar um controle v ∈ L2_{(ω × (0, T ))}N _{e v}

0 ∈ L2(ω × (0, T )), tal que a solu¸c˜ao

(y, θ) de (7) satisfaz

y(x, T ) = 0 e θ(x, T ) = 0 em Ω, isto é o sistema não linear (7) é localmente nulo controlável.

Para provar este Teorema, seguiremos uma t´ecnica usual (ver [14]), aplicando o Teo-rema da Fun¸c˜ao Inversa.

Cap´ıtulo 5

Um Resultado de Controlabilidade Global Nula Aproximada do

“Verdadeiro” Sistema de Boussinesq em Dimens˜ao 3

Dado Ω um conjunto aberto definido por:

Ω := {x ∈ R3 : xi ∈ (0, 1), 1 ≤ i ≤ 3},

cuja fronteira ´e denotada por ∂Ω e assumindo que T > 0. Denotemos por Q := Ω × (0, T ), Σ := ∂Ω × (0, T ).

Vamos a introduzir os espa¸cos

(18)

(onde η = η(x) ´e o vetor normal unit´ario em x ∈ ∂Ω) e V0(Ω) := {w ∈ H01(Ω)

3

: ∇ · w = 0 em Ω}.

Dados (u0, θ0) ∈ V0(Ω) × H01(Ω), vamos denotar por Γ0 e Γ1 os conjuntos

Γ0 := {(0, x2, x3) : x2, x3 ∈ (0, 1)}, Γ1 = ∂Ω\Γ0

Vamos a considerar o sistema tridimensional de Boussinesq

(8)                   

ut− ∆u + (u · ∇)u + ∇p = θe3, em Q,

∇ · u = 0 em Q,

θt− ∆θ + u · ∇θ = Du : ∇u em Q,

u = 0, θ = 0 sobre Γ0× (0, T ),

u(x, 0) = u0(x), θ(x, 0) = θ0(x) em Ω.

Aqui Du representa o gradiente sim´etrico de u: Du = 1₂(∇u + ∇Tu) e

Du : ∇u = 3 X j=1 3 X i=1 1 2( ∂uj ∂xi + ∂ui ∂xj )∂ui ∂xj .

Alguns resultados de controlabilidade de (8) sem o termo Du : ∇u foram estudados em [2] (Controlabilidade Global) quando o controle atua em toda a fronteira. Por outro lado a controlabilidade local de (8) sem o termo Du : ∇u teve um grande estudo, como por exemplo nos artigos [13] e [60]. Tamb´em podemos mencionar que os resultados de controlabilidade nestos ´ultimos artigos foram melhorados para o caso em que o controle possui N − 1 controles escalares para um sistema N dimensional (N = 2 ou N = 3), como se pode ver em [46].

Em [16], os autores conseguiram alguns resultados sobre a controlabilidade “parcial” nula aproximada para o sistema (8) sem o termo Du : ∇u. Eles provam que, para qualquer u0 e θ0, existem sequencias {fn} e {gn} tais que fn → 0 e gn → 0 em um

apropriado sentido e, para cada n, as equa¸cões associadas são nulo-controlável, com controles na fronteira suportado por Γ1 × (0, T ). Os argumentos são inspirados pela

prova do resultado principal em [59]. Neste cap´ıtulo, nosso principal objetivo ´e provar um resultado similar para o “verdadeiro” sistema de Boussinesq (8).

Cap´ıtulo 6

Controlabilidade via a Estrat´egia de Stackelberg-Nash para uma EDP

(19)

Nas últimas décadas existem muitos trabalhos abordando os problemas de controla-bilidade de equa¸cões parabólicas lineares e semilineares ver por exemplo [1, 4, 7, 54].

Uma parte importante em Teoria de Controle é a otimiza¸cão. Neste caso, além de resolver o problema de controlabilidade, buscamos o controle ótimo no sentido de minimizar custos (ou maximizar benef´ıcios). Os problemas de controle ótimo onde pelo menos dois controles atuam foi introduzido pela primeira vez por J. Louis Lions em [31] o qual foi publicado no ano 1994, ali Lions trabalhou com dois controles: um l´ıder e um seguidor via a estratégia de Stackelberg (motivado pelo Economista H. Von Stackelberg) conseguindo o controle aproximado do seguinte sistema hiperbólico:

                     ∂2_y ∂t2 − ∆y = 0 em Ω × (0, T ) y =        v1 sobre Σ1 v2 sobre Σ2 0 sobre Σ \ Σ1∪ Σ2 y(x, 0) = y0(x), ∂y ∂t(x, 0) = y1(x) em Ω

onde v1 ´e o l´ıder, v2 ´e o seguidor e queremos minimizar os seguintes funcionais:

˜ J1(v1) = 1 2 Z Σ |v1|2dΣ ˜ J2(v2) = 1 2 Z Ω×(0,T ) |y(v1, v2) − y2|2dx dt + β 2 Z Ω |v2|2dΣ

com β > 0 uma constante e y2 é uma trajetória de observa¸cão.

Posteriormente no ano 2004 J. Louis Lions e J. I. Diaz publicaram “On the approx-imate controllability of Stckelberg-Nash strategies”, neste artigo resolveram o problema de controlabilidade aproximada para um sistema parab´olico considerando um l´ıder e n-seguidores (ver [28]), para ser mais preciso vejamos o problema abordado

           ∂y ∂t + Ay = v1O+ n X i=1 wi1Oi em Q, y(x, t) = 0 sobre Σ, y(x, 0) = 0 em Ω,

onde A ´e um operador el´ıtico de segundo ordem em Ω e nesse artigo considere-se os funcionais seguintes: ˆ Ji(v, w1, ..., wn) = 1 2 Z Z Oi×(0,T ) |wi|2dx dt + αi 2 Z Ω ρ2_i|y(T ) − yT_|2_dx.

(20)

Nesse artigo pela primeira vez usaram a estrat´egia de Stackelberg associada a ideia de equil´ıbrio de Nash.

Logo foram publicados muitos artigos relacionados com a estrat´egia de Stackelberg-Nash, veja por exemplo [18, 20, 27, 29, 63]. Neste per´ıodo teve um forte estudo as EDPs do tipo linear at´e o 2015.

No ano 2015 F. D. Araruna, E. F. Cara e M. C. Santos publicaram “ Stackelberg Nash exact controllability for linear and semilinear parabolic equations”, nesse trabalho pela primeira vez se conseguiu a controlabilidade via a estrat´egia de Stackelberg-Nash para sistemas n˜ao lineares. Para ser mais exatos o seguinte sistema

      

yt− ∆y + a(x, t)y = F (y) + f 1O + v11O1 + v

2₁

O2 em Ω

y(x, t) = 0 sobre Σ

y(x, 0) = y0(x) em Ω

Neste cap´ıtulo, propomos estudar um problema de controle multi-objetivo para uma EDP parabólica não linear seguindo uma estratégia hierárquica. Dividimos o controle em duas (ou mais) partes, digamos f, v1_{, v}2_{, · · · onde f ´}_{e o controle principal, usualmente}

chamado “l´ıder” e os controles vi são controles secundários, chamados “seguidores”. Va-mos ver que o l´ıder é o principal responsável pela “controlabilidade”. As propriedades dos seguidores dos controles secundários serão descritos posteriormente.

Dado Ω ⊂ RN (N ≥ 1 ´e um inteiro) um subconjunto, n˜ao vazio, aberto e limitado, com fronteira regular ∂Ω. Fixamos T > 0 denotamos por Q := Ω × (0, T ) e Σ := ∂Ω × (0, T ). Estudaremos o seguinte sistema.

(9)        yt− ∇ · (a(y)∇y) = f 1O + v1β11O1 + v 2_β 21O2 em Q, y(x, t) = 0 sobre Σ, y(x, 0) = y0(x) em Ω,

onde y = y(x, t) ´e o estado e y0 ´e o dado inicial no tempo t = 0. Em (9) o conjunto

O ⊂ Ω ´e o dom´ınio do controle principal e O1 e O2 ⊂ Ω s˜ao os dom´ınios dos controles

se-cundários (todos eles são supostos pequenos); 1O, 1O1 e 1O2 são as fun¸cões caracter´ısticas

de O, O1 e O2 , respectivamente. Os controles s˜ao f , v1 e v2, onde f ´e o l´ıder, v1 e v2

s˜ao os seguidores.

Dado O1,d, O2,d ⊂ Ω s˜ao conjuntos abertos, representando os dom´ınios de observa¸c˜ao

dos seguidores. Considere-se os seguintes funcionais para (9) Ji(f ; v1, v2) := 1 2 Z Z Oi,d×(0,T ) αi|y − yi,d|2dx dt + µi 2 Z Z Oi×(0,T ) |vi_|2_{dx dt,}

(21)

O processo de controle pode ser descrito como segue. Assumindo que o l´ıder f foi escolhido, procuramos um equil´ıbrio de Nash para os custos Ji (i ∈ {1, 2}). Portanto,

uma vez fixado f procuramos vi _{∈ L}2_(O

i× (0, T )) tais que satisfazem

J1(f ; v1, v2) = min ˆ v1 J1(f ; ˆv 1_{, v}2_{), J} 2(f ; v1, v2) = min ˆ v2 J2(f ; v 1_{, ˆ}_v2₎

sujeito a restri¸c˜ao de controlabilidade

y(x, T ) = 0 em Ω.

F. D. Araruna, E. F-Cara, S. Guerrero e M. C. Santos em [18] conseguem alguns resultados sobre a estratégia de Stackelberg-Nash para controlar uma equa¸cão semilinear parabólica em dimensão N ≤ 14. Além disso, em [65] os autores provam a controlabili-dade nula para um sistema N -dimensional do tipo (9) com somente um controle atuando, para todo N ≥ 1 (inteiro). No presente cap´ıtulo, a principal novidade é que conseguimos a controlabilidade nula com respeito ao controle l´ıder do sistema (9) para qualquer N ≥ 1 (inteiro) tal que os seguidores sejam um equil´ıbrio de Nash.

(22)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Neste cap´ıtulo apresentamos alguns resultados necessários para que o leitor possa ter uma melhor compreensão dos conteúdos abordados nos cap´ıtulos seguintes.

1.1 T´

opicos de An´

alise Funcional

1.1.1 Convergˆ

encia Fraca e Fraca Estrela

Defini¸c˜ao 1.1. (Convergˆencia Fraca) Sejam E um espa¸co de Banach e (uν)ν∈N uma

sequˆencia de E. Ent˜ao uν * u se, e somente se, hϕ, uνi → hϕ, ui, para todo ϕ ∈ E0.

Defini¸c˜ao 1.2. (Convergˆencia Fraca Estrela) Sejam E um espa¸co de Banach,

ϕ ∈ E0 e (ϕν)ν∈N uma sequˆencia de E0. Diz-se ϕν ∗

* ϕ fraca estrela se, e somente se, hϕν, ui → hϕ, ui, para todo u ∈ E.

Proposi¸cão 1.1. Seja E um espa¸co de Banach e (xn)n∈N uma sequência em E. Então:

(i) Se xn * x em σ(E, E0) ent˜ao hf, xni → hf, xi, ∀f ∈ E0;

(ii) Se xn → x forte ent˜ao xn * x fracamente para σ(E, E0);

(iii) Se xn * x em σ(E, E0) e se fn→ f fortemente em E0 (isto ´e, kfn− f kE0 → 0)

ent˜ao hfn, xni → hf, xi.

(23)

1.1.2 Espa¸

cos Separ´

aveis e Reflexivo

Defini¸cão 1.3. Diz-se que um espa¸co métrico E é separável se existe um subconjunto D ⊂ E numerável e denso.

Defini¸cão 1.4. Seja E um espa¸co de Banach e seja J a inje¸cão canônica de E em E00. Diz-se que E é reflexivo se J (E) = E00.

Quando o espa¸co E ´e reflexivo identifica-se implicitamente E e E00 (com ajuda do isomorfismo J ).

Teorema 1.1. (Banach-Alaoglu-Bourbaki). Sejam E um espa¸co de Banach e E0 o

seu dual topol´ogico. Ent˜ao o conjunto

BE0 = {f ∈ E0; kf k ≤ 1} ´e compacto na topologia fraca estrela

Demonstra¸c˜ao: Brezis ([24], p. 42).

Teorema 1.2. Sejam E um espa¸co de Banach separável e E0 o seu dual topológico. Então o conjunto

BE0 = {f ∈ E0; kf k ≤ 1} ´e metriz´avel na topologia fraca estrela.

Reciprocamente, se BE0 é metrizável na topologia fraca estrela, então E é separável.

Demonstra¸c˜ao: Brezis ([24], p.48).

O primeiro resultado (o corolário) é uma consequência do Teorema 1.1 e Teorema 1.2. Corolário 1.1. Sejam E um espa¸co Banach separável e (fn)n∈N uma sequência limitada

em E0. Ent˜ao existe uma subsequˆencia (fnk)k∈N de (fn)n∈N tal que converge na topologia

fraca estrela.

Teorema 1.3. Seja E um espa¸co de Banach reflexivo e suponhamos que a sequência (fk)k∈N ⊂ E é limitada. Então existe uma subsequência (fkj)j∈N de (fk)k∈N e f ∈ E tal

que

fkj * f.

(24)

1.2 Teoria das Distribui¸

c˜

oes Escalares

Defini¸c˜_{ao 1.5. Sejam Ω ⊂ R}n _{um aberto limitado e ϕ : Ω ⊂ R}n _{→ R uma fun¸c˜ao}

cont´ınua. Denomina-se suporte de ϕ ao fecho em Ω do conjunto dos pontos x tais que ϕ (x) 6= 0. Simbolicamente,

supp (ϕ) ={x ∈ Ω; ϕ (x) 6= 0} Ω.

Defini¸cão 1.6. Denota-se por C₀∞(Ω) o espa¸co vetorial das fun¸cões cont´ınuas e infini-tamente deriváveis em Ω com suporte compacto em Ω.

O espa¸co C₀∞(Ω) ´e de grande importˆancia para o nosso estudo, visto que estamos interessados em estudar funcionais lineares cont´ınuos definidos em C₀∞(Ω).

Dado Ω como acima, considere o espa¸co vetorial topológico C₀∞(Ω). Diz-se que uma sequência (ϕν)_ν∈N de fun¸cões em C0∞(Ω) converge para ϕ em C

∞

0 (Ω) quando forem

satisfeitas as seguintes condi¸c˜oes:

i) Existe um conjunto compacto K ⊂ Ω tal que

supp (ϕ) ⊂ K e supp (ϕν) ⊂ K, ∀ ν ∈ N

ii) Dα_ϕ

ν −→ Dαϕ uniformemente em K para todo multi-´ındice α.

O espa¸co vetorial C₀∞(Ω) munido da no¸cão de convergência definida acima será repre-sentada por D (Ω) e denominado de espa¸co das fun¸cões testes.

Denomina-se distribui¸c˜_{ao escalar sobre Ω a toda forma linear T : D (Ω) −→ R} cont´ınua com respeito a topologia de D (Ω). Isto significa que T satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

i) T (αϕ + βψ) = αT (ϕ) + βT (ψ), ∀ϕ, ψ ∈ D(Ω), ∀α, β ∈ R

ii) T é continua, isto é, se uma sequência (ϕν)_ν∈N converge, em D (Ω) para ϕ, então,

T (ϕν) −→ T (ϕ) em R.

O valor da distribui¸cão T na fun¸cão teste ϕ será representado por hT, ϕi. Equipa-se o espa¸co vetorial das distribui¸cões escalares da seguinte no¸cão de convergência:

Considera-se o espa¸co de todas as distribui¸cões sobre Ω. Neste espa¸co, diz-se que a sequência (Tν)_ν∈N converge para T , quando a sucessão (hTν, ϕi)ν∈N converge para hT, ϕi

(25)

O conjunto das distribui¸cões escalares sobre Ω é um espa¸co vetorial real, denotado por D0(Ω), denominado espa¸co das distribui¸cões escalares sobre Ω. Com o intuito de estudar os espa¸cos de Sobolev, introduz-se o conceito de derivada distribucional para objetos de D0(Ω). A motiva¸cão no conceito de derivada fraca e posteriormente o conceito de derivada distribucional dada por Sobolev, se deve a fórmula de integra¸cão por partes de Cálculo, sendo este conceito generalizado para distribui¸cões qualesquer em D0(Ω).

Dada uma distribui¸c˜ao T em D0_{(Ω) e dado um multi-´ındice α ∈ N}n _{define-se a}

derivada distribucional de ordem α de T como sendo Dα_{T : D (Ω) → R a forma linear e}

cont´ınua dada por

hDα_{T, ϕi = (−1)}|α|

hT, Dα_{ϕi ,} _{para todo ϕ ∈ D (Ω) .}

Segue da defini¸cão acima que cada distribui¸cão T sobre Ω possui derivadas de todas as ordens. Note-se que a aplica¸cão

(1.1) Dα : D0(Ω) → D0(Ω)

´

e linear e continua no sentido da convergˆencia definida em D0(Ω). Isto significa que

(1.2) lim v→∞Tv = T em D 0 (Ω) ent˜ao lim v→∞D α Tv = DαT em D0(Ω)

1.3 Os Espa¸

cos L

p

(Ω)

Nesta se¸cão, serão dadas algumas defini¸cões e propriedades elementares dos espa¸cos Lp(Ω).

Defini¸c˜_{ao 1.7. Sejam Ω ⊆ R}n _{um subconjunto aberto e p ∈ R com 1 ≤ p < ∞; ´e}

definido

Lp_{(Ω) = {f : Ω → R; f mensur´avel e |f |}p ∈ L1_(Ω)}.

O espa¸co Lp_{(Ω) com 1 ≤ p < ∞ ´}_{e um espa¸co de Banach equipado com a norma}

kf kLp_(Ω)=

hZ

Ω

|f (x)|p_dxi1/p_.

Defini¸c˜_{ao 1.8. Seja Ω ⊆ R}n um subconjunto aberto; ´e definido

L∞_{(Ω) = {f : Ω → R; f mensur´avel e ∃ Cconstante tal que |f (x)| ≤ C q.s em Ω}.} O espa¸co L∞(Ω) ´e um espa¸co de Banach equipado com a norma

(26)

Teorema 1.4. (Desigualdade de Hölder). Sejam as fun¸cões f ∈ Lp(Ω), g ∈ Lq(Ω) com 1 ≤ p ≤ ∞ e q o expoente conjugado de p; isto é 1_p +1_q = 1. Então f.g ∈ L1_{(Ω) e}

Z

Ω

|f g|dx ≤ kf kLp_(Ω)kgk_Lq_(Ω).

Observa¸cão 1.5. Temos que mencionar uma consequência muito útil da desigualdade de Hölder: sejam f1, f2, . . . , fk fun¸cões tais que

fi ∈ Lpi(Ω) para 1 ≤ i ≤ k com 1 p = 1 p1 + 1 p2 + · · · + 1 pk ≤ 1. Ent˜ao o produto f = f1f2f3. . . fk pertence a Lp(Ω) e

kf kLp_(Ω) ≤ kf₁k_Lp1(Ω)kf2kLp2(Ω). . . kfkkLpk(Ω).

Teorema 1.6. (Teorema da convergˆencia dominada, Lebesgue). Seja (fn)n∈Numa sequˆencia

de fun¸c˜oes em L1 _{que satisfazem:}

(a) fn(x) −→ f (x) em q.t.p de Ω,

(b) existe uma fun¸c˜ao g ∈ L1 tal que, para todo n tem-se |fn(x)| ≤ g(x), em q.t.p de Ω.

Ent˜ao f ∈ L1_{(Ω) e kf}

n− f kL1 → 0.

Teorema 1.7. Sejam (fn)n∈N uma sequˆencia de Lp e f ∈ Lp, tal que kfn− f kLp → 0.

Então, existe uma subsequência (fnk)k∈N de (fn)n∈N e uma fun¸cão h ∈ L

p _{tal que}

(a) fnk(x) −→ f (x) em q.t.p de Ω

(b) |fnk(x)| ≤ h(x) para todo k e em q.t.p de Ω.

Defini¸cão 1.9. Diz-se que uma fun¸c˜_{ao f : Ω → R é localmente integrável em Ω, quando} f é integrável à Lebesgue em todo compacto K ⊂ Ω. O espa¸co das fun¸cões localmente integráveis é denotado por L1

loc(Ω). Em s´ımbolos tem-se

f ∈ L1_loc(Ω) ⇔ Z

K

|f |dx < ∞, para todo compacto K ⊂ Ω.

As distribui¸cões que aparecem com mais frequência são aquelas definidas a partir de fun¸cões localmente integráveis.

(27)

Exemplo 1.8. Seja u ∈ L1_loc(Ω) e definamos Tu : D(Ω) → R por

hTu, ϕi =

Z

Ω

u(x)ϕ(x)dx Nestas condi¸cões Tu é uma distribui¸cão escalar sobre Ω.

Lema 1.1. (Du Bois Raymond). Seja u ∈ L1

loc(Ω). Ent˜ao Tu = 0 se, e somente se,

u = 0 quase sempre em Ω.

Demonstra¸c˜ao: Medeiros, L. A e Milla Miranda, M. ([41], p. 12).

Observa¸cão 1.9. Outro resultado interessante é que a derivada de uma fun¸cão L1 loc(Ω),

não é em geral uma fun¸cão de L1 loc(Ω).

Tal fato motivará a defini¸cão de uma classe significativa de espa¸cos de Banach de fun¸cões conhecidas sob a denomina¸cão de Espa¸cos de Sobolev.

1.4 Espa¸

cos de Sobolev

Como vimos na se¸c˜ao anterior, toda fun¸c˜ao u ∈ Lp_{(Ω) possui derivadas distribucionais}

de todas as ordens. Entretanto, as derivadas de u nem sempre são também fun¸cões em Lp(Ω).

1.4.1 Os Espa¸

cos W

m,p

(Ω)

Chamaremos multi-´ındice a toda n-upla α = (α1, α2, ..., αn) de n´umeros naturais.

Dado um multi-´ındice α, definimos a ordem |α| de α por |α| = α1 + α2 + ... + αn, e

representamos por Dα o operador deriva¸c˜ao

Dα = ∂

|α|

∂xα1

1 ...∂xαnn

.

Defini¸c˜_{ao 1.10. Sejam Ω um aberto do R}n_{, 1 ≤ p ≤ ∞ e m ∈ N. O Espa¸co de Sobolev} que denotamos por Wm,p_{(Ω), ´}_{e o espa¸}_{co vetorial das (classes de) fun¸}_c˜_{oes em L}p_{(Ω) cujas}

derivadas distribucionais de ordem α pertencem a Lp_{(Ω), para todo multi-´ındice α com}

|α| ≤ m. Simbolicamente escrevemos:

(28)

O espa¸co Wm,p(Ω) com 1 ≤ p < ∞ ´e um espa¸co de Banach equipado com a norma kukWm,p_(Ω) = _X |α|≤m Z Ω |Dαu(x)|pdx 1/p ,

tamb´em Wm,∞_{(Ω) ´}_{e um espa¸co de Banach com a norma}

kukWm,∞_(Ω)=

X

|α|≤m

sup essΩ|Dαu(x)|.

No caso p = 2, o espa¸co Wm,p(Ω) será representado por Hm(Ω) que é um Espa¸co de Hilbert, cujo produto interno e a correspondente norma induzida em Hm(Ω) são dadas por hu, viHm_(Ω) = X |α|≤m hDαu, DαviL2_(Ω) e kuk_Hm_(Ω) = X |α|≤m Z Ω |Dαu(x)|2dx 1/2 .

Agora vamos apresentar algumas desigualdades de Sobolev que nos ajudar˜ao a alcan¸car objetivo proposto.

Corol´ario 1.2. Supomos que Ω ´_{e um conjunto aberto de R}n _{e de classe C}1 _{com Γ}

limitado, seja 1 ≤ p ≤ ∞, ent˜ao tem-se

Se p < n W1,p(Ω) ,→ Lp∗(Ω), onde _p1∗ = 1_p −_n1,

Se p = n W1,p(Ω) ,→ Lq(Ω), para todo q ∈ [p, +∞), Se p > n W1,p(Ω) ,→ L∞(Ω),

e todas estas inje¸cões são cont´ınuas. Além disso, se p > n tem-se para todo u ∈ W1,p_(Ω)

|u(x) − u(y)| ≤ CkukW1,p|x − y|α q.s. x, y ∈ Ω,

onde α = 1 − (N/p) e C dependa apenas do Ω, p e n. Em particular W1,p_{(Ω) ,→ C(Ω).}

Teorema 1.10 (Rellich–Kondrachov). Suponha Ω um subconjunto de Rn limitada e de

classe C1_{. Ent˜}_{ao tem-se as seguintes inje¸}_c˜_{oes compactas}

Se p < n W1,p(Ω) ,→ Lq(Ω), para todo q ∈ [1, p∗) com _p1∗ = 1_p − 1_n,

Se p = n W1,p(Ω) ,→ Lq(Ω), para todo q ∈ [p, +∞), Se p > n W1,p(Ω) ,→ C(Ω).

(29)

Observa¸c˜ao 1.11. Note que D(Ω) ´e denso em H1_{(Ω). Se u, v ∈ D(Ω), vale a identidade}

Z Ω ∂ ∂xi (uv)dx = Z Γ uvνidΓ,

sendo νi = cos(xi, ν), ν normal unit´aria externa a Γ. Portanto,

Z Ω ∂u ∂xi vdx = − Z Ω u∂v ∂xi dx + Z Γ uvνidΓ,

para todo par de fun¸c˜oes u, v ∈ D(Ω). Por densidade, estende-se este resultado para fun¸c˜oes u, v ∈ H1_(Ω).

Demonstra¸c˜ao: Medeiros, L. A e Milla Miranda, M. ([39], p. 126).

1.4.2 Os Espa¸

cos W

₀m,p

(Ω) e W

−m,q

(Ω)

Observe que, embora o espa¸co vetorial das fun¸cões testes D(Ω) seja denso em Lp(Ω), para 1 ≤ p < ∞, em geral ele não é denso em Wm,p_{(Ω). Isto acontece porque a norma}

de Wm,p_{(Ω) ´}_{e “bem maior” que a norma de L}p_{(Ω) ´}_{e por isso que W}m,p_{(Ω) possui menos}

sequˆencias convergentes. Isto motivou a defini¸c˜ao dos espa¸cos W₀m,p(Ω). Defini¸c˜_{ao 1.11. Seja Ω um subconjunto aberto de R}n_{, ´}_{e definido}

W₀m,p(Ω) = D(Ω)W

m,p_(Ω)

.

No caso p = 2, o espa¸co W₀m,p(Ω) ser´a representado por Hm 0 (Ω).

Teorema 1.12. (Desigualdade de Poincaré). Suponhamos Ω é um subconjunto aberto e limitado de Rn e 1 ≤ p < ∞. Então existe uma constante C (dependendo de Ω e p) tal que

kukLp_(Ω)≤ Ck∇uk_Lp_(Ω), para todo u ∈ W₀1,p(Ω).

Demonstra¸c˜ao: Ver Brezis ([23], p. 290).

Observa¸cão 1.13. Em particular a expressão k∇ukLp_(Ω)é uma norma no espa¸co W₀1,p(Ω),

equivalente a norma kukW1,p_(Ω); em H₀1(Ω) tem-se o produto interno

((u, v)) = n X i=1 Z Ω ∂u ∂xi ∂v ∂xi dx,

(30)

Os espa¸cos W₀m,p(Ω) e, em particular, os espa¸cos Hm

0 (Ω), desempenham papel

funda-mental na Teoria dos Espa¸cos de Sobolev, e por conseguinte, na Teoria das EDP’s. Se 1 ≤ p < ∞ e o número q é o expoente conjugado de p, isto é 1_p + 1_q = 1, então repre-sentamos por W−m,q(Ω) o dual topológico de W₀m,p(Ω) e por H−m(Ω) o dual topológico de H₀m(Ω). Em outras palavras, se f pertence a H−m(Ω) é uma funcional linear limitada sobre Hm

0 (Ω).

Defini¸c˜ao 1.12. Se f ∈ H−1(Ω) a norma ´e definida como sendo kf kH−1_(Ω) = sup{hf, ui; para todo u ∈ H₀1(Ω) com kuk_H1

0(Ω) ≤ 1}.

Observa¸cão 1.14. Em particular, as conclusões do Corolário 1.2 são válidas para o espa¸co W₀1,p(Ω) com um subconjunto arbitr´_{ario aberto Ω de R}n_{. Similarmente, a}

con-clusão do Teorema 1.10 é válido para W₀1,p(Ω) com um subconjunto arbitrária Ω aberto e limitado de Rn

1.5 Espa¸

cos L

p

(0, T ; X)

Estende-se as no¸c˜oes de mensurabilidade e integrabilidade, para fun¸c˜oes f : [0, T ] −→ X,

onde T > 0 e X ´e um espa¸co de Banach real com a norma k.k

Defini¸cão 1.13. (i) Uma fun¸cão s : [0, T ] → X é chamada simples se tem forma s(t) =

m

X

i=1

χEi(t)ui, (0 ≤ t ≤ T ),

onde cada Ei ´e um subconjunto Lebesgue mensur´avel de [0, T ] e ui ∈ X, (i=1,2,...,m).

(ii) Uma fun¸cão f : [0, T ] −→ X é fortemente mensurável se existem fun¸cões simples sk : [0, T ] → X tais que

sk(t) −→ f (t); para q.s 0 ≤ t ≤ T.

(iii) Uma fun¸cão f : [0, T ] −→ X é fracamente mensurável se, para cada u∗ ∈ X∗ _a

(31)

Defini¸c˜ao 1.14. (i) Se s(t) =Pm

i=1χEi(t)ui ´e uma fun¸c˜ao simples, definimos

Z T 0 s(t)dt = m X i=1 |Ei|ui.

(ii) Dizemos f : [0, T ] −→ X é somável se existe uma sequência de {sk}∞k=1 de fun¸cões

simples, tal que

Z T

0

ksk(t) − f (t)kdt → 0; quando k → ∞.

(iii) Se a fun¸cão f é somável, definimos Z T 0 f (t)dt = lim k→∞ Z T 0 sk(t)dt.

Defini¸c˜ao 1.15. Denota-se por Lp_{(0, T ; X), com 1 ≤ p ≤ ∞ o espa¸}_{co vetorial das}

(classes de) fun¸cões u : (0, T ) −→ X fortemente mensuráveis com valores em X e tais que; se 1 ≤ p < ∞ a fun¸cão t 7→ ku (t)kp_X é integrável à Lesbegue em (0, T ); e se p = ∞ a fun¸cão t 7→ ku (t)k_X ∈ L∞_{(0, T ).}

O espa¸co Lp_{(0, T ; X) ´}_{e um espa¸co completo com a norma definido por}

kuk_Lp_{(0,T ;X)} = Z T 0 ku (t)kp_Xdt 1/p , se 1 ≤ p < ∞. Se p = ∞ norma acima ´e substitu´ıda por

kuk_L∞_{(0,T ;X)} = sup ess

0<t<T

ku (t)k_X.

Apenas no caso em que p = 2 e X ´e um espa¸co de Hilbert, o espa¸co L2_{(0, T ; X) ´}_{e um}

espa¸co de Hilbert, cujo produto interno ´e dado por hv, ui_L2_{(0,T ;X)} =

Z T

0

hv (t) , u (t)i_Xdt.

Quando X é reflexivo e separável e 1 < p < ∞, então Lp_{(0, T ; X) ´}_{e um espa¸co reflexivo}

e separ´avel, cujo dual topol´ogico se identifica ao espa¸co de Banach Lp0_{(0, T ; X}0_{), onde p}

e p0 são ´ındices conjugados, isto é, 1_p+_p10 = 1. A dualidade entre esses espa¸cos é dada na

forma integral por

hv, ui_Lp0_{(0,T ;X}0_)×Lp_{(0,T ;X)} =

Z T 0

hv (t) , u (t)i_X0_×Xdt.

(32)

Defini¸cão 1.16. Denota-se por C ([0, T ] ; X), com T > 0 o espa¸co de Banach das fun¸cões cont´ınuas u : [0, T ] −→ X munido da norma da convergência uniforme

kuk_{C([0,T ];X)}= max

0≤t≤Tku (t)kX < ∞.

Teorema 1.15 (Aubin-Lions). Sejam B0, B, B1 espa¸cos de Banach, B0 e B1 reflexivos,

a imers˜ao de B0 em B ´e compacta, B imerso continuamente em B1, 1 < p0, p1 < ∞ e

W o espa¸co W = {u ∈ Lp0_{(0, T ; B} 0) ; u0 ∈ Lp1(0, T ; B1)} equipado da norma kuk_W = kuk_L_p0_{(0,T ;B} 0)+ ku 0_k Lp1(0,T ;B1).

Então W é um espa¸co de Banach, e a imersão de W em Lp0_{(0, T ; B) ´}_{e compacta.}

Demonstra¸c˜ao: Lions ([32], p. 58).

Observa¸cão 1.16. Uma consequência do Teorema de Aubin-Lions: se (uν)_ν∈N é uma

sequˆencia limitada em L2_{(0, T ; B}

0) e (u0ν)ν∈N ´e uma sequˆencia limitada em L

2_{(0, T ; B} 1)

então (uν)_ν∈N é limitada em W . Da´ı, segue-se que existe uma subsequência (uνk)_k∈N de

(uν)_ν∈N tal que uνk −→ u forte em L

2_{(0, T ; B) .}

Lema 1.2. Sejam Q um subconjunto aberto limitado de Rnx×Rt, gm e g fun¸c˜oes de Lq(Q)

com 1 < q < ∞, satisfazendo

|gm|Lq_(Q) ≤ C e g_m → g, em q.t.p de Q.

Ent˜ao

gm * g, em Lq(Q)

Lema 1.3. Sejam V, H, V0 trˆes espa¸cos de Hilbert, sendo V0 o dual de V . Se uma fun¸c˜ao u pertence ao espa¸co L2_{(0, T ; V ) e seu derivada u}0 _{pertence ao espa¸}_{co L}2_{(0, T ; V}0_{), ent˜}_{ao u}

´

e quase sempre igual a uma fun¸c˜ao cont´ınua de [0, T ] em H, e temos a seguinte igualdade no sentido de distribui¸c˜ao escalar em (0, T )

d dt | u |

2_{= 2hu}0

, ui. A igualdade acima faz sentido desde que as fun¸c˜oes

t 7→| u(t) |2 e t 7→ hu0(t), u(t)i s˜ao ambas integr´aveis em [0, T ].

(33)

Demonstra¸c˜ao: Temam ([57], p. 261).

Lema 1.4. Sejam X um espa¸co de Banach, f ∈ Lp_{(0, T ; X) e f}0 _{∈ L}p_{(0, T ; X) com}

1 ≤ p ≤ ∞, ent˜ao

f ∈ C([0, T ]; X).

(Possivelmente redefinidas sobre um conjunto de medida nula.) Demonstra¸c˜ao: Lions ([32], p. 7).

1.6 Distribui¸

c˜

oes Vetoriais

Seja um n´umero real T > 0 e X um espa¸co de Banach real com a norma k.k

Defini¸cão 1.17. Uma distribui¸cão vetorial sobre (0, T ) com valores em X, é uma fun¸cão f : D (0, T ) → X linear e cont´ınua. O conjunto dessas transforma¸cões lineares é chamado Espa¸co das Distribui¸cões Vetoriais sobre (0, T ) com valores em X e é denotado por

D0(0, T ; X) = L(D (0, T ) ; X).

Defini¸cão 1.18. Seja f ∈ D0(0, T ; X). A derivada de ordem n é definida como sendo a distribui¸cão vetorial sobre (0, T ) com valores em X dada por

dn_f dtn, ϕ = (−1)n f,d n_ϕ dtn , ∀ϕ ∈ D (0, T ) .

Observa¸c˜ao 1.17. Se a fun¸c˜ao f pertence ao espa¸co Lp_{(0, T ; X) com 1 ≤ p ≤ ∞, ent˜}_ao

define uma distribui¸cão que denotamos pela mesma fun¸cão f e é dada por f (ϕ) =

Z T

0

f (t)ϕ(t)dt, para todo ϕ ∈ D (0, T ) , com valores integrales em X.

1.7 Equa¸

c˜

ao de Evolu¸

c˜

ao de Stokes

Defini¸c˜_{ao 1.19. Seja Ω aberto e limitado em R}N com fronteira de classe C1 e N = 2 ou N = 3 H = {w ∈ [L2_(Ω)]N_{; ∇ · w = 0 em Ω, ϕ · η = 0 sobre ∂Ω}} V = {w ∈ [H1 0(Ω)] N ; ∇ · w = 0 em Ω}

(34)

Consideremos o seguinte problema de evolu¸c˜ao de Stokes para (u, p) (1.3)              ∂u ∂t − ∆u = f − ∇p, em Ω × (0, T ) div(u) = 0, em Ω × (0, T ) u = 0, sobre ∂Ω × (0, T ) u(0) = u0, em Ω

Multiplicando a primeira equa¸c˜ao de (1.3) por w ∈ V tem-se:

(1.4)

 

 d

dt(u(t), w) + (u(t), w)H = hf (t), wi , em (0, T ) para todo ω ∈ V

u(0) = u0, em Ω

Teorema 1.18. Se u0 ∈ H e f ∈ L2(0, T, H−1(Ω)N). Então existe uma única solu¸cão

u ∈ C(0, T, H) ∩ L2_{(0, T, V ) com} ∂u

∂t ∈ L

2_{(0, T, V}0

) de (1.4). Al´em disso existe p ∈ D0_{(0, T, L}2_{(Ω)) (de fato, p ∈ H}−1_{(0, T, L}2_{(Ω))) tal que (u, p) satisfaz (1.3)}

Demonstra¸c˜ao: Temam ([57], p. 254).

Teorema 1.19. Se u0 ∈ V e f ∈ L2(0, T, H), ent˜ao a solu¸c˜ao u de (1.3) satisfaz

u ∈ C(0, T, V ) ∩ L2(0, T, H2(Ω)N), ∂u

∂t ∈ L

2

(0, T, H) e p ∈ L2(0, T, H1(Ω)) Demonstra¸c˜ao: Temam ([57], p. 268).

1.8 Resultados Importantes

Nesta se¸cão, apresentamos alguns resultados importantes que serão utilizados na obten¸cão dos objetivos desejados.

Teorema 1.20. Seja Ω aberto de RN _{e w ⊂ Ω, ent˜}_{ao existe η}0 _{∈ C}2_{(Ω) tal que η}0 _{= 0}

sobre ∂Ω, η0_{(x) > 0 em Ω e |∇η}0_{| > 0 em Ω \ w.}

Demonstra¸c˜ao: Fursikov ([1], p. 4).

Defini¸cão 1.20. Seja X subconjunto de um espa¸co de Banach E se dize que X é convexo se e somente se para todo t ∈ [0, 1] se tem que tx + (1 − t)y ∈ X para todo x, y ∈ X Defini¸cão 1.21. Seja X un subconjunto convexo de um espa¸co de Banach E e uma fun¸c˜_{ao f : X −→ R, se diz que:}

1. f ´e convexa se e somente se f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y) para todo x, y ∈ X e t ∈ [0, 1].

(35)

2. f ´e estritamente convexa se e somente f (tx + (1 − t)y) < tf (x) + (1 − t)f (y) para todo x, y ∈ X e t ∈ (0, 1).

Teorema 1.21. Seja Uad um subconjunto convexo e fechado de um espa¸co de Hilbert

U e J : Uad −→ R uma fun¸c˜ao estritamente convexa, diferenci´avel e que cumpre que

lim

kvk−→+∞J (v) = +∞ para todo v ∈ Uad. Ent˜ao existe um ´unico u ∈ Uad satisfazendo:

J (u) = inf

v∈Uad

J (v) e caracterizado por

hJ0(u), v − ui ≥ 0 ∀ v ∈ Uad

Teorema 1.22. (Teorema de completa¸cão) Para qualquer espa¸co com produto interno X existe um espa¸co de Hilbert H e um isomorfismo A : X −→ W ⊂ H denso. O espa¸co H é único excepto por isomorfismos.

Demonstra¸c˜ao: Kreyszig ([17], p. 139).

Teorema 1.23. (Lax-Milgram) Seja H um espa¸_{co de Hilbert e B : H × H −→ R uma}

forma bilinear, para o qual existem constantes α, β > 0 tais que: |B(u, v)| ≤ α kuk kvk e β kuk2 ≤ B(u, u) (u, v ∈ H)

Finalmente dado f : H −→ R um funcional linear limitado em H. Ent˜ao existe um ´

unico u ∈ H tal que

B(u, v) = hf, vi para todo v ∈ H Demonstra¸c˜ao: Evans ([42], p. 297).

Teorema 1.24. (Do Ponto Fixo de Kakutani)

Dado (Z, ||·||) um espa¸co de Banach e Λ : Z 7→ 2Z uma fun¸c˜ao tal que satisfaz o seguinte:

• Λ(z) 6= ∅, para qualquer z ∈ Z • Λ(z) é convexo, para qualquer z ∈ Z • Λ é compacta com gráfico fechado

(36)

Teorema 1.25. (Ponto Fixo de Schauder)

Seja (X, || · ||) um espa¸co de Banach e Λ : X 7→ X uma aplica¸cão continua tal que Λ(x) ∈ K para todo x ∈ K, onde K é um subconjunto convexo e compacto de X. Então existe x0 ∈ K tal que Λ(x0) = x0.

Demonstra¸c˜ao: Smart ([6], p. 15)

No que segue, enunciaremos os Lemas seguintes que ser˜ao ´uteis.

Lema 1.5. Assumindo que α > 0, os coeficientes bi,j, cj, d ∈ Cα,α/2(Q) e fronteira ∂Ω ´

e suficientemente regular (mais precisamente, de classe Cα+2) e para alguma constante µ > 0,

N

X

i,j=1

bi,j(x, t)ˆvivˆj ≥ µ|ˆv|2, ∀(x, t, ˆv) = (x, t, ˆv1, ..., ˆvN) ∈ Q × RN

Ent˜ao, para qualquer f ∈ Cα,α/2(Q), φ ∈ Cα+2(Ω) e Φ ∈ Cα+2,α/2+1(∂Ω × [0, T ]) satisfazendo as condi coes de compatibilidade de primeiro ordem dα/2 + 1e, o sistema parab´olico linear

           ut− N X i,j=1 bijuxixj + N X j=1 cjuxj+ du = g em Q, u = Φ sobre Σ, u(0) = φ em Ω

tem uma ´unica solu¸c˜ao u ∈ Cα+2,α/2+1_(Q).

Demonstra¸c˜ao: Ver prova em [48].

Lema 1.6. Para todo r > 1, g ∈ Lr_{(Q), c}j _{∈ C(Q) (j = 1, 2, ..., N ), e b}ij _{∈ C}1,1_(Q),

bij _{= b}ji _{(i,j=1,...,N) com d ∈ C(Q) e para alguma constante µ > 0,} N

X

i,j=1

bi,j(x, t)φiφj ≥ µ|φ|2, ∀(x, t, φ) = (x, t, φ1, ..., φN) ∈ Q × RN

então, a equa¸cão parabólica            ut− N X i,j=1 bijuxixj + N X j=1 cjuxj+ du = g em Q, u = 0 sobre Σ, u(0) = 0 em Ω,

(37)

admite, uma única solu¸cão forte em u ∈ W_r2,1(Q). Além disso, existe uma constante positiva C(Ω, T, µ, r) tal que

||u||_W2,1 r (Q) ≤ Cexp " C(1 + N X i,j=1 |bi,j_|8 C1,1_(Q)+ N X j=1 |cj_|8 L∞_(Q)+ |d|4_L∞_(Q)) # ||g||Lr_(Q), ver prova em [65] e [48].

Lema 1.7. As seguintes imersões continuas, são satisfeitas: 1. se N + 2 > 2r, então W2,1 r (Q) ,→ Lr ∗ (Q), onde r∗ = (N + 2)r/(N + 2 − 2r). 2. se N + 2 = 2r, então W2,1 r (Q) ,→ Ls(Q) para qualquer s > 1. 3. se θ = 2 − (N + 2)/r não é um inteiro, então W_r2,1(Q) ,→ Cθ,θ2(Q), Ver prova em [48], p. 80.

1.9 Alguns resultados de existˆ

encia e unicidade para

Edps com termo n˜

ao local

Seja a = a(r) uma fun¸c˜ao satisfazendo o seguinte:

(1.5) a ∈ C2_{(R), 0 < a}0 ≤ a(r) ≤ a1 e |a0(r)| + |a00(r)| ≤ M, ∀r ∈ R.

a partir de ali denotemos por:

α(t, w) := a( Z L 0 (w + y)dx0) e β(t, w) :=                  − a( Z L 0 (w + y)dx0) − a( Z l 0 ydx0) Z L 0 wdx0 , se RL 0 wdx 0 _{6= 0} −a0( Z L 0 ydx0) , se RL 0 wdx 0 _{= 0.}

Lema 1.8. Assumindo que y0 ∈ H01(I), v0, v1 ∈ H1(0, T ) e y ∈ L∞(0, T ; W2,∞(I)).

Ent˜ao a solu¸c˜ao y de (1.6)          yt− α(t, w)yxx+ β(t, w) Z L 0 y dx0 y_xx = 0, em Q

y(0, t) = v0(t), y(L, t) = v1(t), sobre (0, T )

(38)

satisfaz que y ∈ L2(0, T, H₀1(I) ∩ H2(I)), e yt∈ L2(0, T, L2(I))

Demonstra¸c˜ao: Dado ˜y(x, t) = y(x, t)−(L − x)

L v0(t)− x Lv1(t), consideremos o seguinte problema (1.7)          ˜ yt− α(t, w)˜yxx+ β(t, w) Z L 0 ˜ y dx0 y_xx = g, em Q ˜

y(0, t) = ˜y(L, t) = 0, sobre (0, T )

˜ y(x, 0) = ˜y0(x), em I where g(x, t) = Lβ(t, w)(v0(t) + v1(t)) 2 yxx(x, t) + (L − x) L v 0 0(t) + x Lv 0 1(t) e ˜y0(x) = y0(x) − v0(0) (L − x) L − x

Lv1(0), n´os sabemos que existe uma solu¸c˜ao ˜y para o sistema (1.7) tal que ˜y ∈ L2(0, T, H₀1(I) ∩ H2(I)), e ˜yt ∈ L2(0, T, L2(I)) portanto y(x, t) =

˜

y(x, t) +(L − x)

L v0(t) + x

Lv1(t) é a solu¸cão de (1.6) isto último completa a prova do Lema 1.8.

Lema 1.9. Assumindo que v0, v1 ∈ C1+1/4([0, T ]), y0 ∈ H3(I)∩H01(I) e y ∈ C2+1/2,1+1/4(Q),

ent˜ao a solu¸c˜ao y de (1.6) satisfaz

y ∈ C2+1/2,1+1/4(Q) Demonstra¸c˜ao: No sistema (1.6) temos

(1.8)          yt− α(t, w)yxx = −β(t, w) Z L 0 y dx0 y_xx, em Q

y(0, t) = v0(t), y(L, t) = v1(t) sobre (0, T )

y(x, 0) = y0(x), em I

como y0 ∈ H01(I), ent˜ao tem-se que y ∈ L2(0, T, H01(I)) ∩ L2(0, T, H2(I)) e yt ∈

L2_{(0, T.L}2_{(I)). Vamos garantir que se satisfazem as hip´}_{oteses do Lema 1.5. Lembre-se}

que α(t, w) = a Z L 0 (w + y) dx0 , s´o depende de ”t”, para qualquer t1, t2 ∈ (0, T ) tal que t1 6= t2 temos o seguinte,

|α(t1, w) − α(t2, w)| |t1− t2|1/4 ≤ M | Z L 0 (w + y)(t1) dx0− Z L 0 (w + y)(t2) dx0| |t1− t2|1/4 ≤ M Z L 0 |w(x0_{, t} 1) − w(x0, t2)| |t1− t2|1/4 dx0+ Z L 0 |y(x0_{, t} 1) − y(x0, t2)| |t1 − t2|1/4 dx0 ≤ C(||w||_C1/2,1/4_(Q)+ ||y||_C1/2,1/4_(Q)),

(39)

entao

α(t, w) ∈ C1/2,1/4(Q),

Denotemos por F (t) = −β(t, w)

Z L

0

y(t) dx0, vamos verificar que F y_xx ∈ C1/2,1/4_(Q).

Para qualquer (x1, t1), (x2, t2) ∈ Q tal que (x1, t1) 6= (x2, t2) tem-se,

|F y_xx(x1, t1) − F yxx(x2, t2)| |x1− x2|1/2+ |t1− t2|1/4 ≤ |F (t1)||yxx(x1, t1) − yxx(x2, t2)| |x1− x2|1/2+ |t1− t2|1/4 +|F (t1) − F (t2)||yxx(x2, t2)| |x1− x2|1/2+ |t1− t2|1/4

≤ C||z||L∞_{(0,T ,L}2_(I))||y_xx||_C1/2,1/4_(Q)+ ||F ||_C1/2,1/4_(Q)||y_xx||_C(Q)

, ent˜ao

F y_xx ∈ C1/2,1/4_(Q)

Do fato de que v0, v1 ∈ C1+1/4([0, T ]) temos em (1.8) que as hip´oteses do Lema 1.5

s˜ao satisfeitas, o que implica que

y ∈ C2+1/2,1+1/4(Q)

Lema 1.10. Se y0 ∈ C2+

1

2(I) satisfaz as condi¸c˜oes de compatibilidade de primeiro ordem,

v0, v1 ∈ C1+1/4([0, T ]) , ent˜ao existe uma solu¸c˜ao y ∈ C2+

1 2,1+

1

4(Q) para o sistema (1.6),

sempre que y0, v0, v1 sejam suficientemente pequenos.

Demonstra¸cão: Para ˆy ∈ C1,1(Q), definindo a fun¸cão Λ0(ˆy) = y, onde y é solu¸cão de

(1.9)          yt− a( Z Ω ˆ y dx0)∆y = 0 em Q, y = 0 sobre Σ, y(0) = y₀ em Ω.

Se consegue provar que Λ0´e continua em C1,1(Q) e que para y0, v0, v1 suficientemente

pequenos, satisfaz as hip´oteses do Teorema do Ponto Fixo de Schauder, pelo que existe um ponto fixo y ∈ C2+12,1+

1

(40)

Cap´ıtulo 2

Controlabilidade Exata por

Trajet´

orias para EDPs Parab´

olicas

com N˜

ao Linearidade N˜

ao Local

2.1 Formula¸

c˜

ao do Problema

Dado Ω ⊂ RN(N ≥ 1 é um inteiro) é um conjunto limitado não vazio, conexo e aberto, com fronteira regular ∂Ω. Fixando T > 0 e sejam Q := Ω × (0, T ) e Σ := ∂Ω × (0, T ). No que segue, denotamos por (· , ·) e k · k, respectivamente, o produto escalar e a norma em L2_{(Ω). O simbolo C denota uma constante gen´}_{erica positiva.}

Dado ω ⊂ Ω é um conjunto não vazio e aberto. Estudamos a controlabilidade exata por trajetórias para o sistema não linear

(2.1)          yt− a( Z Ω y dx0)∆y = v1ω em Q, y(x, t) = 0 sobre Σ, y(x, 0) = y0(x) em Ω,

onde v é o controle e y é estado associado. Aqui, assumiremos que a fun¸cão a = a(r) satisfaz

(2.2) a ∈ C2_{(R), 0 < a}0 ≤ a(r) ≤ a1 e |a0(r)| + |a00(r)| ≤ M ∀r ∈ R.

Observe que se y0 ∈ H2(Ω) ∩ H01(Ω), v ∈ L2(ω × (0, T )) e vt ∈ L2(ω × (0, T )),

ent˜ao (2.1) possui exatamente uma solu¸c˜ao satisfazendo

(41)

ver a prova em [44].

Considere-se a trajet´oria ¯y = ¯y(x, t), solu¸c˜ao de

(2.3)          y_t− a( Z Ω y dx0)∆y = 0 em Q, y(x, t) = 0 sobre Σ, y(x, 0) = y₀(x) em Ω, onde (2.4) y₀ ∈ H2(Ω) ∩ H₀1(Ω).

Defini¸cão 2.1. Dizemos que (2.1) é localmente exatamente controlável por trajetórias ¯

y no tempo T se existe > 0 com a seguinte propriedade: se y0 ∈ H2(Ω) ∩ H01(Ω) e

||y₀− y0||H2 ≤ ,

ent˜ao ´e poss´ıvel encontrar um controle v ∈ L2_{(ω × (0, T )) e um estado associado y tal}

que

(2.5) y(x, T ) = y(x, T ) em Ω.

Neste cap´ıtulo, a principal novidade ´e que lidamos com a controlabilidade exata por trajet´orias regulares para sistemas do tipo (2.1)

Nosso principal resultado neste cap´ıtulo ´e o seguinte:

Teorema 2.1. Assumindo que são satisfeitas as hipóteses (2.2), (2.3) e (2.4), o sistema não linear (2.1) é localmente exatamente controlável para y no tempo T > 0.

Note que, se fazemos a seguinte mudan¸ca de vari´aveis y = z + y e y0 = z0 + y0,

obt´em-se (2.6)          zt− a( Z Ω (z + y) dx0)∆z − m(z)∆y = v1ω em Q, z(x, t) = 0 sobre Σ, z(x, 0) = z0(x) em Ω, onde m(z) := a( Z Ω (z + ¯y) dx0) − a( Z Ω ¯ y dx0)

Isto implica que, a controlabilidade local exata por trajetórias do sistema (2.1) é equivalente a controlabilidade local nula da solu¸cão de (2.6).

(42)

A fim de provar o Teorema 2.1, primeiro provaremos que (2.6) é localmente exata-mente controlável em zero. Isto é, existe > 0 tal que, se z0 ∈ H2(Ω) ∩ H01(Ω) e

||z0|| ≤ ,

ent˜ao para todo δ > 0 pequeno, existem controles vδ uniformemente limitados em L2(ω ×

(0, T )) e um estado associado zδ satisfazendo

||zδ(·, T )|| ≤ δ.

Para este prop´osito aplicaremos o Teorema do Ponto Fixo de Kakutani para uma formula¸c˜ao apropriada do problema de controlabilidade nula aproximada (2.6).

Mais precisamente, como primeiro passo, para cada w ∈ L2_{(Q) com w}

t∈ L∞(0, T, L1(Ω)),

consideramos o seguinte sistema linear

(2.7)          zt− αw(t)∆z + βw(t) Z Ω z dx0 ∆y = v1ω em Q, z(x, t) = 0 sobre Σ, z(x, 0) = z0(x) em Ω, onde αw(t) := a( Z Ω (w + y) dx0) e βw(t) :=                − a( Z Ω (w + y) dx0) − a( Z Ω y dx0) Z Ω w dx0 se Z Ω w dx0 6= 0, −a0( Z Ω y dx0) caso contrario.

O estado adjunto de (2.7) ´e dado por

(2.8)          −ϕt− αw(t)∆ϕ + βw(t) Z Ω ∆y(x0, t)ϕ(x0, t) dx0 = 0 em Q, ϕ(x, t) = 0 sobre Σ, ϕ(x, T ) = ϕT_(x) _em _Ω,

onde ϕT _{∈ L}2_(Ω). _{Estabeleceremos uma estimativa de observabilidade para as}

solu¸cões de (2.8), donde deduziremos imediatamente a controlabilidade aproximada de (2.7). Para este fim, usaremos as ideias encontradas em [12] e empregaremos uma técnica de compacidade única. Então, por um argumento do ponto fixo clássico asseguraremos a

(43)

mesma propriedade para (2.6). Depois, em uma etapa final, passaremos limites quando δ → 0 e a controlabilidade nula local desejada de (2.6) ser´a obtida.

2.2 Alguns Resultados T´

ecnicos

2.2.1 Lemas Preliminares

Precisaremos de alguns resultados (bem conhecidos) de Fursikov e Imanuvilov [1]; veja também [54]. Além disso, será conveniente introduzir um novo conjunto aberto não vazio ω0, com ω0 b ω. Devido ao Teorema 1.20. Existe uma fun¸cão σ0 ∈ C2(Ω)

satisfazendo:        σ0(x) > 0 ∀ x ∈ Ω, σ0(x) = 0 ∀ x ∈ ∂Ω, |∇σ0(x)| > 0, ∀ x ∈ Ω\ ω0.

Introduzindo as fun¸c˜oes: σ(x, t) = e 4λ||σ0||∞_{− e}λ(2||σ0||∞+σ0(x)) l(t) , ξ(x, t) = eλ(2||σ0||∞+σ0(x)) l(t) , onde l(t) =    T2 4 0 ≤ t ≤ T /2, t(T − t) T /2 ≤ t ≤ T, ˜ l(t) =    T4 16 0 ≤ t ≤ T /2, t2_{(T − t)}2 _{T /2 ≤ t ≤ T} e λ > 0.

N´os denotaremos por λ1, λ2, ..., (respectivamente φ1, φ2, ...) os autovalores

(respecti-vamente com norma unit´aria no espa¸co L2_{, de autofun¸c˜}_{oes) do Laplaciano de Dirichlet}

em Ω. Lembre-se que 0 < λ1 < λ2 ≤ λ3 ≤ ... ≤ λm ∼ m2/N quando m → +∞ e

φ1 > 0 em Ω.

No que segue, precisaremos do espa¸co de Banach

Z := {w ∈ L2(Q) : wt∈ L∞(0, T ; L1(Ω))}.

Lema 2.1. Para a(·) satisfazendo (2.2) e w ∈ Z dados, definimos b(s) = a(R

Ωw dx).

(44)

f ∈ L2(Ω), tem-se X j≥1 e−2R0 √ λj_{|(f, φ} j)|2 ≤ C0 Z Z ω×(0,T ) e−2sσξ3|X j≥1 (f, φj)e−λj RT t b(s)dsφ j(x)|2dx dt

Demonstra¸c˜ao: Dado w ∈ Z e definindo α(s) := a(

Z

Ω

w(x0, s) dx0).

Assumindo que ϕ satisfaz        −ϕt− α(t)∆ϕ = 0 em Q, ϕ = 0 sobre Σ, ϕ(x, T ) = f em Ω.

Da desigualdade de Carleman para ϕ (ver [8]), tem-se (2.9) Z Z Q e−C0/(T −t)_|ϕ|2_{dx dt ≤ ˜}_C 0 Z Z ω×(0,T ) e−2sσξ3|ϕ|2dx dt,

onde C0 s´o depende de Ω, ω, T, a0, a1 e ||w||Z e ˜C0 somente depende de Ω, ω, a0, a1 e

||w||Z, (ver [1] e [4]). Como ϕ(x, t) =X j≥1 e−λj RT t α(s) ds(f, φ j)φj e kϕk2 ₌X j≥1 e−2λj RT t α(s) ds|(f, φ_j)|2. De (2.9), calculamos Z T 0 X j≥1 e−2λjR_tTα(s) ds−C0/(T −t)_{|(f, φ} j)|2dt ≤ ˜C0 Z Z ω×(0,T ) e−2sσξ3|ϕ|2dx dt e, consequentemente, (2.10) X j≥1 Z T 0 e−2λja1(T −t)−C0/(T −t)_{dt |(f, φ} j)|2 ≤ ˜C0 Z Z ω×(0,T ) e−2sσξ3|ϕ|2_{dx dt.}

O decaimento assint´otico das integrais no lado esquerdo ´e bem conhecido. Logo, temos

(45)

Z T 0 e−2λa1(T −t)−C0/(T −t) dt ∼ π2C0 4(λa1)3 1/4 e−4 √ C0a1λ_{, quando λa} 1 → ∞. (Ver [9])

Portanto, existe ˜C1 outra vez dependendo de Ω, ω, T, a0, a1 e ||w||Z tal que

Z T 0 e−2λja1(T −t)−C0/(T −t)_{dt ≥ ˜}_C 1e−2R0 √ λj _{∀ j ≥ 1.}

Sustituindo em (2.10) conclui-se a prova.

2.2.2 Desigualdade de Observabilidade

Para uso posterior utilizaremos as seguintes nota¸c˜oes: I(ϕ) =

Z Z

Q

e−2sσ(sξ)−1(|ϕt|2+ |∆ϕ|2) + (sξ)|∇ϕ|2+ (sξ)3|ϕ|2 dx dt,

temos que I(ϕ) =

4

X

i=1

Ii(ϕ). Nos seguintes resultados apresentaremos algumas

esti-mativas de Observabilidade para solu¸c˜oes do estado adjunto (2.8) que tˆem um papel importante na prova do Teorema 2.1.

Proposi¸c˜ao 2.1. Assumindo que a(·) satisfaz (2.2). Existem s e C > 0 somente depen-dendo de Ω, ω, T, a0, a1 e ||w||Z, tais que para qualquer ϕT ∈ L2(Ω), a solu¸c˜ao de (2.8)

satisfaz (2.11) kϕ(· , 0)k2 _{≤ C} Z Z ω×(0,T ) e−2sσξ3|ϕ|2_{dx dt} e (2.12) I(ϕ) ≤ C Z Z ω×(0,T ) e−2sσξ3|ϕ|2_{dx dt.}

Demonstra¸c˜ao: Primeiro provaremos (2.11). Para conseguir isto faremos uso de um argumento similar aplicado no Teorema 3 em [12].

Para qualquer ϕT _{∈ L}2_{(Ω) vamos denotar por ϕ a solu¸c˜}_{ao de (2.8) e escrever}