Matemática Financeira Moderna. Capítulo 1 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO

(1)

Matemática Financeira

Moderna

Capítulo 1

(2)

Regime de Capitalização: Juros

P: principal, valor aplicado ou valor presente; J: juros ou remuneração do dinheiro; e

S: montante, valor acumulado, valor capitalizado ou valor futuro.

P=20

J=20

S=P+J=100+20 P = 100

(3)

Juros

100%

principal

juros

_

_

_

_



P

J

i

P

J

i

 

i

P

S



1 

(4)

Juros

 Taxa de juros é de 20% por período de tempo.

 Há várias formas e convenções utilizadas para expressar a taxa de juros. Ex.: Um ano pode ser de 360 dias (comercial) ou 365 dias (exato) ou 252 dias úteis.

(5)

Juros

 Um capital de R$ 10.000,00 rendeu, após um ano de aplicação, o montante de R$ 25.000,00. Qual a taxa de juros anual recebida nessa aplicação?

(6)

Juros

 Um capital de R$ 10.000,00 rendeu, após um ano de aplicação, o montante de R$ 25.000,00. Qual a taxa de juros anual recebida nessa aplicação?

000 . 25 $ 000 . 10 $ ? R S R P i   















1

1 ,

5

000 .

10

000 .

25

1 P

S

i

₁₅₀

_%

_aa

(7)

Juros

Na HP 12C) Um capital de R$ 10.000,00 rendeu, após um ano de aplicação, o montante de R$ 25.000,00. Qual a taxa de juros anual recebida nessa aplicação?

(8)

Juros

(9)

Juros

(10)

Juros

(11)

CAPITALIZAÇÃO PERIÓDICA

 Juro simples: a taxa de juros incide sobre o

valor do principal

 Juros compostos: o juros é incorporado ao

principal sobre o qual incide novamente a taxa de juros. Portanto, os juros devidos também rendem juros, ou seja, os juros são capitalizados.

 Juros contínuos: juros compostos

(12)

Juros Simples

P

i

n

P

i

P

i

P

i

J

n n





































vezes



i

n



P

i

n

P

S









1 



P S=P+(iP+...+iP) iP _iP iP iP 1 2 3 ... _n iP

(13)

Juros Simples

 Uma aplicação rendeu, após 3 anos, o montante de US$ 250.000,00 a uma taxa de juros simples anual de 25%. Calcular o valor aplicado.

(14)

Juros Simples

 Uma aplicação rendeu, após 3 anos, o montante de US$ 250.000,00 a uma taxa de juros simples anual de 25%. Calcular o valor aplicado.



 

1 0,25

3 

142.857,14

250.000 _













n

i

1 S

P

(15)

Proporcionalidade de taxas a juros

Situações possíveis a serem consideradas:

 O período da taxa de juros coincide com o período de capitalização.

 O período da taxa de juros é menor do que o período de capitalização. Capitalização é de 1 ano e a taxa de juros é cotada mensalmente.

 O período da taxa de juros é maior do que o período de capitalização. A taxa de juros é cotada anualmente e o período de capitalização é mensal.

(16)

Proporcionalidade de taxas a juros

: taxa de juros referente a um determinado período de tempo ;

k

: número de períodos de capitalização contidos no período de tempo t;

: taxa de juros referente a cada período de capitalização.



1 

i

_t

 



1 

k



i

_k





i

_t



k



i

_k t

i

k

i

(17)

Proporcionalidade de taxas a juros

 Calcular a taxa de juros mensal, bimestral e semestral sabendo-se que a taxa de juros anual é 10%.

(18)

Proporcionalidade de taxas a juros

 Calcular a taxa de juros mensal, bimestral e semestral sabendo-se que a taxa de juros anual é 10%.

%

83 ,

0

12

10 ,

0 _



am

i

₁

_,

₆₇

_%

6

10 ,

0 _



ab

i

%

5

2

10 ,

0 _



as

i

(19)

Juros Compostos

J

P

S





 

i P P i P S₁     1







 



2 2 P 1 i i P 1 i P 1 i S       

 

n n S P i S   1 P S=P+[iP+i(P+iP)+...] iP i(P+iP) 1 2 3 ... _n iP

(20)

Juros Compostos

 Taxa de juros maior, preço menor.





n

i

S

P







1

(21)

Juros Compostos

P i 0.2 0.1 60 40 20 0.3 juros simples juros compostos.

(22)

Equivalência de taxas a juros

compostos



 













1



1 1 1 1 1 k 1           k k t k t k k t i i i i i i

 Suponha que R$ 100,00 tenham sido aplicados por um período de 7 meses com uma taxa de juros compostos de 12% ao ano, com capitalização mensal. Calcular o montante ao final do sétimo mês de aplicação.

(23)

Equivalência de taxas a juros

compostos

 Suponha que R$ 100,00 tenham sido aplicados por um período de 7 meses com uma taxa de juros compostos de 12% ao ano, com capitalização mensal. Calcular o montante ao final do sétimo mês de aplicação.





 

 



12  1 1 i_aa i_am 



1 0,12



112 1 0,949% am i



1 0,12



106,83 100  712   S ou _S ₁₀₀



₁ ₀_,₀₀₉₄₉



7 ₁₀₆_,₈₃

(24)

Juros Contínuos

 

r

e

i





1  

t rt

Pe

i

P

S



1 



 Juros contínuos: juros compostos

capitalizados de forma instantânea.

(25)

Juros Contínuos

 Um capital de R$ 15.000,00 é aplicado durante 2 anos e meio a uma taxa de juros contínuos de 1,5% a.m. Calcular o montante acumulado nesse período.

(26)

Juros Contínuos

 Um capital de R$ 15.000,00 é aplicado durante 2 anos e meio a uma taxa de juros contínuos 1,5% a.m. Calcular o montante acumulado nesse período.

68 ,

524 .

23

000 .

15

0,01530





S

e

S

(27)

Juros Contínuos

 Calcular a taxa de juros contínua mensal que aplicada a um capital de R$ 100.000,00 produz um montante de R$ 350.000,00 após 3 anos.

(28)

Juros Contínuos

 Calcular a taxa de juros contínuos mensal contínua que aplicada a um capital de R$ 100.000,00 produz um montante de R$ 350.000,00 após 3 anos. mês ao % 48 , 3 000 . 100 000 . 350 ln 36 1 _        r

e

rt P S _ t P S r 1 ln               P S t r 1 ln

(29)

Juros Contínuos

60 40 20 0.1 0.2 0.3 P i capitalização contínua capitalização discreta.

(30)

Juros Contínuos

 Calcular o tempo de aplicação de um capital de R$ 150.000,00 que aplicado a uma taxa contínua de 2% ao mês com capitalização contínua produz um montante de R$ 600.000,00.

(31)

Juros Contínuos

 Calcular o tempo de aplicação de um capital de R$ 150.000,00 que aplicado a uma taxa contínua de 2% ao mês com capitalização contínua produz um montante de R$ 600.000,00. meses 31 , 69 000 . 150 000 . 600 ln 02 , 0 1 _        t        P S r t 1 ln

(32)

Proporcionalidade de taxas a juros

contínuos

 Calcular a taxa de juros contínuos bimestral, semestral e anual sabendo-se que a taxa mensal é 1,5%.

k

r

k

r

_t





_k



_k



t

(33)

 Calcular a taxa de juros contínuos bimestral, semestral e anual sabendo-se que a taxa mensal é 1,5%.

%

3

2

015 ,

0 



ab

r

r_as  0,015 6  9%

%

18

12

015 ,

0 



aa

r

(34)

Juros Variáveis

 Juros Simples  Juros Compostos  Juros Contínuos









_











_









 n t t n

P

i

P

S

1 2 1

1

1 

    

_

 











n t t n

P

i

P

S

1 2 1

1

1 











    n t t n r r r r

e

P

e

P

S

1 2  1

(35)

INCONSISTÊNCIA DO REGIME

DE JUROS SIMPLES

 Em juros compostos, é sempre válida a seguinte igualdade:

 O mesmo não ocorre em regime de juros simples, por causa da seguinte diferença:

2 1 2 1 (1 ) (1 ) ) 1 ( ) 1 ( i n P i n n P i n i n P S        



1 ( )



(1 )(1 ) ) 1 ( in P i n₁ n₂ P in₁ in₂ P S        

(36)

INCONSISTÊNCIA DO REGIME

DE JUROS SIMPLES

 Ou seja, se aplicarmos $ 100,00, por exemplo, a uma taxa de juros mensal de 2%, obteremos,

após um ano, o montante de $ 124,00. Se

aplicarmos a mesma quantia por um período de 6 meses, à mesma taxa de juros e,

posteriormente, voltarmos a aplicar esse

montante por mais 6 meses, obteremos, ao final de um ano, um montante que é maior do que o que seria obtido caso tivéssemos aplicado os $ 100,00 pelo prazo de um ano.

(37)

INCONSISTÊNCIA DO REGIME

DE JUROS SIMPLES

 Em regime de juros simples não se pode fracionar o prazo da aplicação, ou seja, o prazo não é cindível.

 O capital aplicado e resgatado ao final de 6 meses não incorpora os juros da aplicação.

 Podemos determinar a discrepância, D, entre essa duas estratégias de investimento como sendo:

)]

(

1 [

)

1 )(

1 (

in

₁

in

₂

P

i

n

₁

n

₂

P

D









(38)

INCONSISTÊNCIA DO REGIME

DE JUROS SIMPLES

 Desenvolvendo, obtemos:

 Podemos observar que é o juro obtido no 1º período da aplicação que, multiplicado por , dá-nos o quanto de juros renderam no 2º período os juros obtidos na primeiro período. Logo, a discrepância se deve à incidência de juros sobre juros. 2 1 2 1 2

)

(

Pin

in

n

Pi

D



1 Pin 2

in

(39)

INCONSISTÊNCIA DO REGIME

DE JUROS SIMPLES

 Assim, no regime de juros simples, o conceito de equivalência de capitais fica prejudicado, dependendo do prazo definido da aplicação. No limite, o regime de juros simples é inconsistente, pois o investidor fugiria de prazos mais longos para prazos mais curtos.

(40)

INCONSISTÊNCIA DO REGIME

DE JUROS SIMPLES

 Suponha que a quantia de $ 200,00 seja aplicada por um período de 5 meses, à taxa de juros simples de 10% ao mês. Qual o montante acumulado após 5 meses? Suponha, no entanto, que, ao final do 3º mês, a quantia aplicada seja resgatada. Qual o montante acumulado nesse período? Qual o valor atual, ao final do 3º mês, da quantia que seria resgatada após 5 meses de aplicação?

(41)

INCONSISTÊNCIA DO REGIME

DE JUROS SIMPLES

 Suponha que a quantia de $ 200,00 seja aplicada por um período de 5 meses, à taxa de juros simples de 10% ao mês. Qual o montante acumulado após 5 meses? Suponha, no entanto, que, ao final do 3º mês, a quantia aplicada seja resgatada. Qual o montante acumulado nesse período? Qual o valor atual, ao final do 3º mês, da quantia que seria resgatada após 5 meses de aplicação?

 5 meses  3 meses  reaplicação 300 ) 5 10 , 0 1 ( 200    x S 250 ) 3 10 , 0 1 ( 200    x S 250 ) 2 10 , 0 1 ( 300    x P

Como se pode observar, as quantias são diferentes.