Engenharia mecatrônica 2018/2
Filtros
Especificações, tipos e funções de transferência
Filipe Andrade La-Gatta filipe.lagatta@ifsudestemg.edu.br
Filtros
Introdução
Uma das poucas áreas da engenharia com teoria completa para o desenvolvimento, cobrindo desde a especificação até a implementação. Princípio básico: separar sinais de frequências diferentes.
Separação dos sinais é feita aplicando atenuações diferentes em frequências diferentes.
Método mais intuitivo e básico é o uso de indutores e capacitores, por seu comportamento influenciado pela frequência, levando aos chamados filtros LC. Este tipo de filtro, tem bom funcionamento em altas frequências, mas não é recomendado para baixas frequências (0-100 kHz).
O motivo é que para baixas frequências, os indutores obrigatoriamente tornam-se estruturas volumosas, pesadas e pouco eficientes.
Filtros
Com as características postas, fica claro que indutores em forma monolítica (CI’s) é inviável, e portanto incompatível com qualquer dispositivo produzido com as tecnologias modernas.
Para minimizar o problema dos indutores, e conseguir produzir filtros para baixas frequências em dispositivos monolíticos, foram então propostos os filtros ativos RC, e os filtros com capacitores chaveados.
Pra que se entenda os modelos de filtros mais aprimorados, é importante revisitar conceitos com circuitos passivos RLC e conceitos usados em toda área de filtros.
Tendo em mente o modelo apresentado, define-se como Transmissão de um filtro a características que ele impõem ao módulo e fase de um sinal de entrada.
Filtros
A partir da função de transferência do filtro T(s) ≡ Vo(s)
Vi(s)
, (1)
Obtém-se a transmissão do filtro, que é nada mais do que T (s) no regime permanente senoidal, ou seja quando s = jω, mas em formato polar (em função de módulo e fase)
T(jω) = |T (jω)|ej φ(ω). (2)
Desse modo, o módulo da amplitude da transmissão pode ser medido em função do ganho
G(ω) = 20 log |T (jω)|, dB (3)
ou em função da atenuação
A(ω) = −20 log |T (jω)|, dB (4)
variando-se apenas e unicamente a referência da análise.
Filtros Tipo de filtros
Tipo de filtros
Se diferenciam quanto a sua seleção em frequência.
Se avaliado somente o modelo de filtro ideal, podemos dividir o comportamento na frequência em duas regiões/faixas complementares.
Passagem: faixa de frequência em que sinais sofrem atenuação nula ou suficientemente baixa de acordo com o especificado em projeto. Bloqueio: faixa complementar à anterior, em que o sinal é considerado atenuado o suficiente para não interferir em estágios à frente.
Idealmente, a magnitude da banda de passagem é a unidade (atenuação igual a 1); e a magnitude na banda de bloqueio é nula (atenuação total).
Destes conceitos, podem-se generalizar uma classificação com 4 classes para filtros.
Filtros Tipo de filtros
“Passa baixa” - PB ou Low Pass - LP
Filtros Tipo de filtros
Filtros Tipo de filtros
“Passa banda” ou Pass band - PB
Filtros Tipo de filtros
Filtros Especificação de filtros
Especificação de filtros
Para que se inicie o projeto de um bom filtro é necessário partir de uma
especificação do mesmo, e para tanto é imprescindível padronizar nomenclatura e conceitos sobre estas especificações.
Obviamente as especificações vistas nas figuras anteriores não podem ser implementadas, pois representam filtros ideais.
As características de transmissão de um filtro real, se aproximam das seguintes
Filtros Especificação de filtros
Esta figura representa as características básicas de um filtro passa baixa. Importante notar já nesta figura, que nenhum circuito real é capaz de manter constante a atenuação/ganho na faixa de passagem. Pode ser oscilatório ou monotônico, mas nunca constante.
Por não haver essa possibilidade de um valor único, atribui-se um limite até o qual o sinal pode ser atenuado, e dentro do qual ainda se considera que esteja na faixa de passagem, Am´ax (dB), tomado em referência à atenuação 0 dB.
Valores típicos para Am´ax são entre 0,05 dB e 3 dB.
De forma análoga, nenhum circuito real consegue rejeição total do sinal, e atribui-se então um nível de atenuação a partir do qual já se considera como sendo a faixa/região de rejeição do filtro, Am´i n (dB), tomado novamente em
relação ao 0 dB.
Filtros Especificação de filtros
Ainda considerando características alcançáveis para filtros reais, não é factível considerar que a transição entre passagem e bloqueio se dá de forma abrupta, chegando a apresentar descontinuidade na curva.
Dessa forma, passa-se a considerar agora um terceira faixa de passagem, chamada de faixa de transição.
A faixa de transição se estende da borda da passagem, ωp, até a borda da
rejeição, ωs.
à razão entre ωs/ωp atribui-se o nome de fator de seletividade, Q, e demonstra a
nitidez do filtro, ou seja, o quanto abrupto ou próximo a um filtro ideal ele se apresenta.
Obviamente, quanto mais restritivos forem os parâmetros Am´ax e Am´i n e mais
próximo da unidade for Q, mais próximo de um filtro ideal será o filtro em questão, porém maior será o custo e a complexidade na implementação deste circuito.
Filtros Função de transferência
Função de transferência
A função de transferência, T (s) de qualquer filtro pode ser escrita em função de dois polinômios, em sua forma canônica como
T(s) = aMs M+ a M−1sM−1+ ... + a0 sN+ b N−1sN−1+ ... + b0 (5) O grau do denominador, N, representa a ordem do filtro.
Para garantir estabilidade do circuito do filtro M ≤ N. a0, a1, ..., aM e b0, b1, ..., bN−1 devem ser reais.
A mesma função de transferência pode ser escrita na forma fatorada de polinômios T(s) = aM(s − z1)(s − z2) · · · (s − zM)
(s − p1)(s − p2) · · · (s − pN)
Filtros Função de transferência
Nesta forma fatorada, é fácil correlacionar com os conceitos de controle que afirma que as raízes do polinômios do numerador são os zeros da função de transferência ou zeros de transmissão.
As raízes do denominador são os polos da função de transferências ou modos naturais.
Cada polo ou zero pode ser real ou complexo, mas os que forem complexos, obrigatoriamente ocorrem juntamente ao seu conjugado.
Como na faixa de rejeição a atenuação deve ser o mais próxima de zero, ou zero em alguns casos, é natural que os zeros da função sejam localizados nas
frequências localizadas nesta faixa.
Filtros Função de transferência
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