T´ecnico em eletrˆonica 2017/1
Modula¸c˜
ao angular
Filipe Andrade La-Gatta filipe.lagatta@ifsudestemg.edu.br
Modula¸c˜ao angular Introdu¸c˜ao
Introdu¸c˜
ao
Existem v´arias maneiras de se modular um sinal senoidal.
De uma forma geral esse sinal senoidal a ser modulado ´e chamado de portadora, e pode ser expresso por :
e0(t) = E0cos(θ0(t)) (1)
onde :
E0: amplitude da portadora
θ0(t) = ω0(t) + φ0: ´e um ˆangulo vari´avel em fun¸c˜ao do tempo
ω0= 2πf : ´e a frequˆencia angular da portadora
φ: ´e a fase em rela¸c˜ao a uma referˆencia arbitr´aria
Se examinarmos a equa¸c˜ao anterior podemos observar que as caracter´ısticas da portadora podem ser variadas atrav´es da varia¸c˜ao da amplitude E0ou do ˆangulo
θ0como fun¸c˜ao de outro sinal, chamado de sinal modulante.
Este ´e o processo da modula¸c˜ao, e o sinal resultante, obtido a partir da varia¸c˜ao de um desses parˆametros da portadora, chama-se sinal modulado.
Como j´a visto, o processo de modula¸c˜ao em amplitude ocorre quando se faz a amplitude E0 variar em fun¸c˜ao do n´ıvel do sinal modulante.
Quando a varia¸c˜ao ´e imposta ao ˆangulo θ0(t) ,obtemos a chamada modula¸c˜ao
angular.
Como esse ˆangulo pode ser alterado seja pela varia¸c˜ao de frequˆencia f0 ou da fase
φ, a modula¸c˜ao angular pode ser dividida em :
MODULAC¸ ˜AO EM FREQUˆENCIA ( FM - Frequency modulation) MODULAC¸ ˜AO EM FASE ( PM - Phase modulation)
Modula¸c˜ao angular Introdu¸c˜ao
Considerando-se a portadora expressa por e0(t) = E0cos(θ0(t)), a modula¸c˜ao em
fase consiste em se fazer variar a fase φ da portadora de modo proporcional ao n´ıvel do sinal modulante em(t).
Desta forma:
φ(t) = kφem(t) (2)
Esta express˜ao define a modula¸c˜ao em fase, onde kφ´e uma constante de
proporcionalidade, fun¸c˜ao do modulador.
Na modula¸c˜ao em frequˆencia, a frequˆencia da portadora ´e feita variar em torno do seu valor original f0de forma proporcional ao sinal modulante em(t).
Assim :
f(t) = f0+ kfem(t) (3)
Que define a modula¸c˜ao em frequˆencia, onde kf tamb´em ´e uma constante de
proporcionalidade, fun¸c˜ao do modulador.
Considere, por simplicidade, um sinal modulante cossenoidal, com a seguinte express˜ao:
em(t) = Emcos(ωmt). (4)
Se consideramos o processo de modula¸c˜ao em frequˆencia, devemos escrever o parˆametro frequˆencia instantˆanea da seguinte forma:
f(t) = f0+ kfEmcos(ωmt). (5)
Que na forma de frequˆencia angular vira:
ω(t) = 2π(f0+ kfEmcos(ωmt)). (6)
Nesta ´ultima equa¸c˜ao percebe-se que quando cos(ωmt) = 1, tem-se o valor
m´aximo de afastamento da frequˆencia instantˆanea da frequˆencia da portadora. Este afastamento ´e chamado ent˜ao de desvio de frequˆencia, e ´e expresso por:
Modula¸c˜ao angular Modula¸c˜ao em frequˆencia
Como a frequˆencia angular ´e vari´avel no tempo devido ao termo ωm(t), e ainda
que kf, f0 e Em s˜ao constantes, a rela¸c˜ao entre o ˆangulo θ(t) e ω0(t) pode ser
escrita como: θ(t) = 2πf0+ 2πkfEm ωm sen(ωmt) = ω0+ kfEm fm sen(ωmt) (8) Sabendo agora como se comporta o ˆangulo θ(t), o sinal modulado em frequˆencia e(t), passa ser:
e(t) = E0cos(θt) = E0cos(ω0t+
kfEm fm
sen(ωmt)) (9)
Desta equa¸c˜ao tira-se o m´aximo valor da defasagem, que passa ser chamado de ´ındice de modula¸c˜ao, β: β =kfEm fm =∆f fm (10)
Assim o sinal modulado pode ser escrito:
e(t) = E0cos(ω0t+ βsen(ωmt)) (11)
Modula¸c˜ao angular Modula¸c˜ao em frequˆencia
Figura : Modula¸c˜ao FM por sinal aleat´orio.
Modula¸c˜ao angular Modula¸c˜ao em fase
Considere pro simplicidade novamente um sinal modulante cossenoidal, da seguinte forma
em(t) = cos(ωmt). (12)
Para o processo de modula¸c˜ao em fase, o parˆametro fase deve ser escrito da seguinte forma
φ(t) = kφEmcos(ωmt). (13)
Desenvolvendo esta express˜ao, tem-se:
θ(t) = ω0t+ φ(t) = ω0t+ kφEmcos(ωmt) (14)
Que leva `a express˜ao do sinal modulado:
e(t) = E0cos(θ(t)) = E0cos(ω0t+ kφEmcos(ωmt)) (15)
Percebe-se ent˜ao que o valor m´aximo de φ(t) ocorre quando cos(ωmt) = 1 e ´e
expresso pela express˜ao ∆φ, que ´e o desvio de fase, dado por:
∆φ= kφEm. (16)
Podemos obter a frequˆencia instantˆanea do sinal modulado em fase, considerando: ω(t) = ω0−∆φωmsen(ωmt) (17)
E a frequˆencia instantˆanea ser´a:
Modula¸c˜ao angular Modula¸c˜ao em fase
Compara¸c˜
ao FM x PM
Item FM PM
Portadora E0cos(ω0t+ φ) E0cos(ω0t+ φ)
Modulante cos(ωmt) cos(ωmt)
Parˆametro f0+ kfEmcos(ωmt) kφfEmcos(ωmt)
Fase kfEm
fm sen(ωmt) kφEmcos(ωmt)
Freq. f0+ kfEmfmsen(ωmt) f0−kφEmfmsen(ωmt)
Desvio de fase β= kfEm
fm ∆φ= kφEm
Desvio de freq. ∆f = kfEm ∆f = fm
Modulado E0cos(ω0t+ βsen(ωmt)) E0cos(ω0t+ ∆φcos(ωmt))
Espectro do sinal FM
Considerando a express˜ao do sinal modulado em frequˆencia, conforme j´a visto anteriormente , onde:
e(t) = E0cos(ω0t+ βsen(ωmt)) (19)
onde β =kfEm fm =∆f fm (20) ´e o ´ındice de modula¸c˜ao.
Desenvolvendo esta express˜ao, a fim de escreve-la como uma soma de v´arias componentes senoidais, da mesma forma que no processo de AM escreve-se o sinal modulado como soma das componentes:
e(t) =E|0·cos(ω{z 0t)} portadora + mE0 2 ·cos(ω0+ ωm)t | {z } BLS + mE0 2 ·cos(ω0−ωm)t | {z } BLI (21)
Modula¸c˜ao angular Espectro do sinal FM
Para a modula¸c˜ao FM o desenvolvimento ´e mais complexo, e a express˜ao de e(t) desenvolvida a partir da s´erie trigonom´etrica de Fourier tem o seguinte aspecto :
e(t) = + J0E0cos(ω0t) (22)
+ J1E0cos(ω0+ ωmt) + J2E0cos(ω0+ 2ωmt) + J3E0cos(ω0+ 3ωmt)...
+ J1E0cos(ω0−ωmt) + J2E0cos(ω0−2ωmt) + J3E0cos(ω0−3ωmt)...
Modula¸c˜ao angular Espectro do sinal FM
Cabe observar que no espectro FM, ao inv´es de apenas duas raias laterais , teremos infinitas raias laterais distanciadas entre si de uma frequˆencia fm, a partir
da portadora, sendo que as componentes equidistantes de f0 tˆem o mesmo valor
absoluto.
Entretanto, na faixa de frequˆencia inferior `a portadora as componentes de ordem ´ımpar tˆem o sinal inverso em rela¸c˜ao as componentes de ordem ´ımpar
correspondentes na faixa de frequˆencia superior.
Este fato pode ser constatado pela an´alise da express˜ao desenvolvida de e(t) e pode ser interpretado como uma invers˜ao de fase.
Por outro lado no processo de AM a amplitude da componente na frequˆencia da portadora ´e constante e as amplitudes das raias laterais variam em fun¸c˜ao do ´ındice de modula¸c˜ao m.
Para o c´alculo dos coeficientes J0, J1; J2, ..., Jn que definem as amplitudes das
componentes do sinal modulado em frequˆencia ´e utilizada uma fun¸c˜ao que define o ´ındice de modula¸c˜ao β , definida pela chamada fun¸c˜ao de BESSEL.
Largura de banda do sinal FM
O sinal modulado em frequˆencia tem um espectro.
Desta forma a gera¸c˜ao e transmiss˜ao de sinais FM ideais exigiriam uma largura de faixa infinita.
Entretanto existem sistemas FM com largura de faixa finita com bom desempenho. Isto se justifica pelo fato que as componentes espectrais suficientemente afastadas da portadora tem amplitude “pequena” e portanto podem ser desprezadas. Na verdade, este fato implica em distor¸c˜ao do sinal, mas que pode ser
minimizada, se considerarmos todas as componentes significativas do espectro. Desta forma a determina¸c˜ao da largura de faixa para transmiss˜ao de um sinal em FM reside em estabelecer que parte do espectro do sinal modulado ´e suficiente. Cabe ressaltar que isto ser´a fun¸c˜ao da parcela de distor¸c˜ao que pode ser tolerada em cada aplica¸c˜ao espec´ıfica.
Modula¸c˜ao angular Largura de banda do sinal FM
Tem-se ent˜ao duas situa¸c˜oes distintas que s˜ao consideradas por profissionais que lidam com modula¸c˜oes FM:
β ≥0, 3: B = 2βfm= 2∆f
β <0, 3: B = 2fm
O primeiro caso ´e chamado normalmente de FM faixa larga, sendo que a banda necess´aria se mostra independente da frequˆencia do sinal modulante fm.
Quando β <<< 1, tem-se o processo conhecido como FM faixa estreita, onde a banda necess´aria ´e o dobro da frequˆencia do sinal modulante.
Olhando com mais aten¸c˜ao o caso em que β <<< 1.
Para β = 0, 1 e β = 0, 2, todas as componentes laterais s˜ao pequenas quando comparadas com a portadora.
Nesta situa¸c˜ao devemos considerar pelo menos as duas primeiras componentes laterais, caso contr´ario n˜ao h´a modula¸c˜ao (ter´ıamos apenas a portadora). Desta forma para β << 1 as ´unicas componentes significativas vem a ser f0±fm
Modula¸c˜ao angular Largura de banda do sinal FM
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