Universidade Federal do Paraná 2◦ semestre 2016.
Algebra Linear Olivier Brahic
Lista de exercícios 5
Determinantes
Exercício 1: Seja A := 3 2 4 1 −2 3 2 3 2 a) Encontre os valores dos menores det(M2,1), det(M2,2) e det(M2,3),
b) Encontre os valores dos cofatores ∆2,1, ∆2,2, ∆2,3.
c) Use suas respostas da parte b) para calcular det(A).
Exercício 2: Use determinantes para determinar se as seguintes matrizes 2 × 2 são não singulares. a) 3 5 2 4 b) 3 6 2 4 c) 3 −6 2 4
Exercício 3: Calcule os seguintes determinantes: a) 3 5 −2 4 b) 5 −2 8 4 c) 3 1 2 2 4 5 2 4 5 d) 4 3 0 3 1 2 5 −1 −4 e) 1 3 2 4 1 −2 2 1 3 f) 2 −1 2 1 3 2 5 1 6 g) 2 0 0 1 0 1 0 0 1 6 2 0 1 1 −2 3 h) 2 1 2 1 3 0 1 1 −1 2 −2 1 −3 2 3 1
Exercício 4: Calcule os seguintes determinantes por inspeção: a) 3 5 2 4 b) 2 0 0 4 1 0 7 3 −2 c) 3 0 0 2 1 1 0 2 2 d) 4 0 2 1 5 0 4 2 2 0 3 4 1 0 2 3 Exercício 5: Calcule o seguinte determinante. Escreva sua resposta como um polinômio em x.
Exercício 6: Ache todos os valores de λ para os quais o seguinte determinante será igual a 0. 2 − λ 4 3 3 − λ .
Exercício 7: Avalie cada um dos seguintes determinantes por inspeção:
a) 0 0 3 0 4 1 2 3 1 b) 1 1 1 3 0 3 1 1 0 0 2 2 −1 −1 −1 2 c) 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
Exercício 8: Para cada uma das seguintes matrizes, determine e diga se a matriz é singular ou não. a) 3 1 6 2 b) 3 1 4 2 c) 3 3 1 0 1 2 0 2 3 d) 2 1 1 4 3 5 2 1 2 e) 2 −1 3 −1 2 −2 1 4 0 f) 1 1 1 1 2 −1 3 2 0 1 2 1 0 0 7 3
Exercício 9: Considere a matriz de Vandermonde 3 × 3: V = 1 x1 x21 1 x2 x22 1 x3 x23
a) Mostre que det(V ) = (x2− x1)(x3− x1)(x3− x2). [Sugestão: use a operação em linhas III.]
b) Que condições devem os escalares x1, x2 e x3 verificar para que V seja não singular ?
Exercício 10: Suponha que uma matriz 3 × 3 é fatorada em um produto:
A = 1 0 0 l2,1 1 0 l3,1 l3,2 1 u1,1 u1,2 u1,3 0 u2,2 u2,3 0 0 u3,3 Determine o valor de det(A).
Exercício 11: Seja A e B matrizes n × n. Demostre que o produto AB é não singular se e somente se A e B ambas são não singulares.
1
Soluções
Resolução do Exercício 1:
a) Os menores da segunda linha de A := 3 2 4 1 −2 3 2 3 2
são dados por:
det(M2,1) = 2 4 3 2 = −8, det(M2,2) = 3 4 2 2 = −2, det(M2,3) = 3 2 2 3 = 5.
b) O cofator ∆i,jé obtido multiplicando o menor det(Mi,j) por (−1)i+j. Usualmente, este sinal obtém-se usando simplesmente a obtém-seguinte tabela:
+ − + − + − + − + . Neste caso, obtemos os seguintes cofatores:
∆2,1 = (−1)2+1· det(M2,1) = − det(M2,1) = 8,
∆2,2 = (−1)2+2· det(M2,2) = + det(M2,1) = −2,
∆2,3 = (−1)2+3· det(M2,3) = − det(M2,1) = −5.
c) Deduzemos o determinantes de A desenvolvendo na segunda linha:
det(A) = 3 2 4 1 −2 3 2 3 2 = −1 · 2 4 3 2 + (−2) · 3 4 2 2 − 3 · 3 2 2 3 = (−1) · (−8) − 2 · (−2) − 3 · 5 = −3
Resolução do Exercício 2: Calculemos:
c) 3 −6 2 4 = 3.4 − 2.(−6) = 24 6= 0, logo a matriz 3 −6 2 4 é não singular.
Resolução do Exercício 3: Calculemos os determinantes. Sempre vale a pena efetuar algumas operações em linhas ou colunas para simplificar as contas:
a) Aplicando a formula para o determinante de matrizes 2 × 2, obtemos: 3 5 −2 4 = 2 · 4 − (−2) · 5 = 22,
b) Aplicando a formula para o determinante de matrizes 2×2, obtemos: 5 −2 8 4 = 5·4−8·(−2) = 36, c) Efetuando a operação em colunas (C2 → C2−2C1) pois desenvolvendo na segunda coluna, obtemos:
3 1 2 2 4 5 2 4 5 = 3 1 − 6 2 2 0 5 2 0 5 = 5 · 2 5 2 5 = 0,
d) Efetuando a operação em colunas (L3→ L3+ 2L2) pois desenvolvendo na terceira coluna, obtemos:
4 3 0 3 1 2 5 −1 −4 = 4 3 0 3 1 2 11 1 0 = −2 · 4 3 11 1 = 58,
e) Efetuando sucessivamente as operações em linhas (L2 → L2− L3) e (L1− 3L3), pois desenvolvendo
na segunda coluna, obtemos: 1 3 2 4 1 −2 2 1 3 = 1 3 2 2 0 −5 2 1 3 = −5 0 −7 2 0 −5 2 1 3 = −1 · −5 −7 2 −5 = −39,
f) Efetuando sucessivamente as operações em linhas e colunas, pois a formula para o determinante de matrizes 3 × 3, obtemos: 2 −1 2 1 3 2 5 1 6 = 2 · 2 −1 1 1 3 1 5 1 3 (C3→ C3/2) = 2 · 2 0 1 1 4 1 5 4 3 (C2 → C2+ C3) = 8 · 2 0 1 1 1 1 5 1 3 (C2→ C2/4) = 8 · 2 0 1 1 1 1 4 0 2 (L3 → L3− L2) = 8 · 2 0 1 1 1 0 4 0 2 (C3 → C3− C2) = 8 · 2 0 1 0 1 0 4 0 2 (C1 → C1− C2) = 0,
g) Efetuando a operação em linha (L4 → L4+ L3), desenvolvendo na terceira coluna, pois aplicando
a formula do determinante para matrizes 3 × 3, obtemos: 2 0 0 1 0 1 0 0 1 6 2 0 1 1 −2 3 = 2 0 0 1 0 1 0 0 1 6 2 0 2 7 0 3 = 2 · 2 0 1 0 1 0 2 7 3 = 2 · (2 · 1 · 3 − 1 · 1 · 2) = 8,
h) Usando técnicas semelhantes, pode-se calcular facilmente que: 2 1 2 1 3 0 1 1 −1 2 −2 1 −3 2 3 1 = 20. Resolução do Exercício 4:
b) Desenvolvendo na ultima coluna, vemos que: 2 0 0 4 1 0 7 3 −2 = −2 · 2 0 4 1 = −4.
c) Desenvolvendo na primeira linha, vemos que: 3 0 0 2 1 1 0 2 2 = 3 · 1 1 2 2 = 0.
d) Desenvolvendo na segunda coluna, vemos que: 4 0 2 1 5 0 4 2 2 0 3 4 1 0 2 3 = 0.
Resolução do Exercício 5: Calculemos que: a − x b c 1 −x 0 0 1 −x = (a − x) · (−x) · (−x) + 1 · 1 · c + 0 · b · 0 − c · (−x) · 0 − 0 · 1 · (a − x) − (−x) · b · 1 = (a − x) · x2+ c + b · x = −x3+ ax2+ bx + c.
Resolução do Exercício 6: Calculemos o determinante em relação a λ: 2 − λ 4 3 3 − λ = (2 − λ) · (3 − λ) − 3 · 4 = λ2− 5λ − 6.
Esta expressão é um polinômio de grau 2 na variável λ, para saber quando se anula, basta fatorar = λ2 − 5λ + 6. Usando o método de Báscara, calculemos que ∆ = (−5)2 − 4 · (−6) = 49, logo
λ2− 5λ − 6 tem duas raízes reais: λ1 =
5 +√49
2 = 6, e λ2 =
5 −√49
2 = −1.
ou seja, temos que λ2− 5λ − 6 = (λ + 1) · (λ − 6). Concluamos que: 2 − λ 4 3 3 − λ = λ2− 5λ − 6 = (λ + 1) · (λ − 6). Logo este determinante é igual a 0 se e somante se:
λ = 5 + √ 49 2 = 6, ou λ = 5 −√49 2 = −1.
Resolução do Exercício 7:
a) Desenvolvendo na primeira linha 0 0 3 0 4 1 2 3 1 = +3 · 0 4 2 3 = 3 · (−8) = −24.
b) Usando a operação em linha (L4 → L4+ L1), pois desenvolvendo na cada vez na ultima linha:
1 1 1 3 0 3 1 1 0 0 2 2 −1 −1 −1 2 = 1 1 1 3 0 3 1 1 0 0 2 2 0 0 0 5 = 5 · 1 1 1 0 3 1 0 0 2 = 5 · 2 1 1 0 3 = 5 · 2 · 3 = 30.
c) Usando a operação em linha (C1↔ C4), obtemos:
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 = − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 = −1.
Resolução do Exercício 8: Usando técnicas semelhantes ao exercício 3, obtemos: a) 3 1 6 2
= 0, logo esta matriz não é invertível,
b) 3 1 4 2
= 2 6= 0, logo esta matriz é invertível,
c) 3 3 1 0 1 2 0 2 3
= −3 6= 0, logo esta matriz é invertível,
d) 2 1 1 4 3 5 2 1 2
= 2 6= 0, logo esta matriz é invertível,
e) 2 −1 3 −1 2 −2 1 4 0
= 0, logo esta matriz não é invertível,
1 1 1 1 2 −1 3 2
Resolução do Exercício 9:
a) Efetuando operações em linhas, calculemos facilmente que:
det(V ) = 1 x1 x21 1 x2 x22 1 x3 x23 = 1 x1 x21 0 x2− x1 x22− x21 0 x3− x1 x23− x21 = 1 · x2− x1 x22− x21 x3− x1 x23− x21 = (x2− x1) · (x23− x21) − (x3− x1) · (x22− x21) = (x2− x1) · (x3− x1) · (x3+ x1) − (x3− x1) · (x2− x1) · (x2+ x1) = (x2− x1) · (x3− x1) · (x3+ x1− x2− x1) = (x2− x1) · (x3− x1) · (x3− x2).
b) A matriz V seja não singular se e somente se x1, x2, e x3 são distintos dois a dois (isso é, se e
somente se x1 6= x2, x26= x3, e x3 6= x1).
Resolução do Exercício 10: Calculando os determinantes separadamente, obtemos:
det 1 0 0 l2,1 1 0 l3,1 l3,2 1 = 1 · 1 · 1 = 1, det u1,1 u1,2 u1,3 0 u2,2 u2,3 0 0 u3,3 = u1,1· u2,2· u3,3.
Logo, usando a propriedade multiplicativa do determinante, obtemos facilmente que:
det(A) = det 1 0 0 l2,1 1 0 l3,1 l3,2 1 · u1,1 u1,2 u1,3 0 u2,2 u2,3 0 0 u3,3 = det 1 0 0 l2,1 1 0 l3,1 l3,2 1 · det u1,1 u1,2 u1,3 0 u2,2 u2,3 0 0 u3,3 = u1,1· u2,2· u3,3.
Resolução do Exercício 11: É uma consequência da propriedade multiplicativa do determinante, pois temos:
det(A · B) = det(A) · det(B).
Logo det(A · B) é diferente de zero se e somente se ambos det(A) e det(B) são diferentes de zero. Concluemos que o produto AB é não singular se e somente se A e B ambas são não singulares.
