CAPÍTULO 2 DETERMINANTES

(1)

DETERMINANTES

É possível associar a cada matriz quadrada um número real chamado determinante da matriz. O valor desse número vai dizer se a matriz é invertível ou não.

Na Seção 1, definiremos o determinante de uma matriz. Na Seção 2, estudaremos as propriedades do determinante e desenvolveremos um método de redução para calcular determinantes. Esse método é, em geral, o mais simples para calcular determinantes de matrizes n X n quando n > 3. Na Seção 3, vamos ver como usar determinantes para resolver sistemas lineares n X ne para calcular a inversa de uma matriz. Também apresentaremos na Seção 3 uma aplicação envolvendo criptografia. Outras apli-cações de determinantes serão feitas nos Caps. 3 e 6.

O DETERMINANTE DE UMA MATRIZ

É possível associar a cada matriz An X n um escalar, det(A), cujo valor vai nos dizer se a matriz é ou não invertível. Antes de dar a definição geral, vamos considerar alguns casos particulares.

Caso 1. Matrizes 1 x 1

Se A = (a) é uma matriz 1 X 1, então A tem uma inversa multiplicativa se e somente se a O. Logo, se definirmos

det(A) = a A será invertível se e somente se det(A) O.

Caso 2. Matrizes 2 x 2 Seja

ai2) A =

a2.1 a22

Pelo Teorema 1.4.3, A é invertível se e somente se é equivalente por linhas a L Então, se a„ O, pode-mos testar se A é ou não equivalente por linhas a / efetuando as seguintes operações:

1. Multiplique a segunda linha de A por a„

( ali au, aliam aiia22 2. Subtraia a, vezes a primeira linha da nova segunda linha

(2)

(an au an a22

a31 a32

aii A matriz à direita é equivalente por linhas a / se e somente se

ai3 ana23 — anan an ana33 — amai3 an ai2 ana22 — anau alla32 — a31 12 ai3 a23 a33 O O ( ali O alia22 — anan

Como a„ O, a matriz resultante é equivalente por linhas a / se e somente se

(1) _{ana22 — anau # O}

Se a„ = O, podemos trocar as duas linhas de A. A matriz resultante a21 a22

O a -12

é equivalente por linhas a / se e somente se a,a,2* O. Essa condição é equivalente a (1) quando a„ =

O. Logo, se A é qualquer matriz 2 x 2 e definirmos

det(A) = ai la22 auan

então A é invertível se e somente se det(A) * O.

Notação. É costume denotar o determinante de uma matriz particular colocando-se o arranjo de nú-meros entre retas verticais. Por exemplo, se

A = 3 4 ) 2 1 então 3 4 2 1 representa o determinante de A. Caso 3. Matrizes 3 x 3

Podemos testar se uma matriz 3 X 3 é ou não invertível efetuando operações elementares para veri-ficar se ela é ou não equivalente por linhas à matriz identidade L Para anular os elementos da primeira coluna de uma matriz arbitrária A 3 X 3, vamos supor, primeiro, que a„ * O. Podemos, então, anular os elementos desejados subtraindo a2,Ia„ vezes a primeira linha da segunda e subtraindo a3,Ia„ vezes a primeira linha da terceira.

alia22 — awai2 ana23 — anai3 ana32 — a3iai2 ana33 — amai3

Clii

Embora a álgebra seja um pouco trabalhosa, essa condição pode ser simplificada para

(2) ana22a33 — ana32a23 — ai2a2ia33 + ai2a3ia23

anana32 — ai3a3ia22 O Logo, se definirmos

(3) det(A) = alla22a33 — anana23 — ai2a2ia33

+ ai2a3ia23 + ai3ana32 — ai3a3ia22

(3)

então, para o caso a„ O, a matriz vai ser invertível se e somente se det(A) O. E se a„ = O? Vamos considerar três possibilidades:

(i) aii = O, a21 O (ii) ai, = a2, = O, a3, O (iii) = a21 =- a3, = O

No caso (i), não é difícil mostrar que A é equivalente por linhas a / se e somente se —ai2a2ia33 + ai2a3ia23 + ai3a2ia32 — ai3a3ia22 O

Mas essa condição é a mesma que (2) com a„ = O. Deixamos a cargo do leitor os detalhes do caso (i) (ver Exercício 7).

No caso (ii), temos que

O al2 ai3 A = O a -22 a23

a32 a33 é equivalente por linhas a / se e somente se

a3i(a12a23 — a22a13) O Novamente, esse é um caso particular de (2) com ai, = a21 = O.

É claro que no caso (iii) a matriz A não pode ser equivalente por linhas a /, logo é singular. Nesse caso, fazendo all, a2, e a, iguais a O na fórmula (3), obtemos det(A) = O.

Em geral, portanto, a fórmula (2) nos dá uma condição necessária e suficiente para uma matriz 3 x 3 ser invertível (independentemente do valor de a„).

Gostaríamos de definir o determinante de uma matriz n X n. Para ver como fazer isso, observe que o determinante de uma matriz 2 X 2

A = ali a - 12 )

a21 a22

pode ser definido em termos das matrizes 1 x 1

= (a22) e M12 = (a2i)

A matriz Mi, é formada retirando-se a primeira linha e a primeira coluna de A e Mi2 é formada

retirando-se a primeira linha e a retirando-segunda coluna de A. O determinante de A pode ser escrito na forma

(4) det(A) = alia22 — (212a21 = ai det(Mil) — (212 det( M12) Para uma matriz A 3 x 3, podemos colocar a equação (3) na forma

det(A) = ail(a22a33 — a32a23) — al2(a2la33 — a31a23) + ai3(a2ia32 — ama22)

Para j = 1, 2, 3, vamos denotar por Mu a matriz 2 X 2 formada retirando-se a primeira linha e a j-ésima coluna de A. O determinante de A pode ser, então, colocado na forma

(5) det(A) = det(Mii) — ai2 det(M12) + ai3 det(M13)

onde ( a22 Mll

=

a32 a23 )

_,

a33 M12

=

( a21 ,„, L431 a23

) ,

a33

(

0/21 M13

=

(431 a22 a32

Para ver como generalizar (4) e (5) para o caso n > 3, vamos dar a seguinte definição.

Definição.

Seja A = (ai.) uma matriz n X n. Seja Mu a matriz (n — 1) X (n — 1) obtida retirando-se a linha e coluna de A que contém au. O determinante de Mu é chamado de determinante menor de au. Definimos o cofator Au de au por

(4)

Em vista dessa definição, podemos colocar a equação (4) para uma matriz 2 X 2 na forma

(6) det(A) = aliAli al2Al2 (n = 2)

A Equação (6) é chamada de expansão em cofatores do det(A) em relação à primeira linha de A. Obser-ve que poderíamos também ter escrito

(7) _{det(A) = a21(—a12) + a22an = anAn +}_{a22 A22}

A Equação (7) expressa det(A) em função dos elementos da segunda linha de A e de seus cofatores. Na verdade, não existe nenhuma razão especial para se expandir em relação a uma linha; o determinante poderia ser encontrado de maneira análoga expandindo-se em relação a uma coluna:

det(A) = ana22 + a21(—au)

= allAii + anA21 (primeira coluna)

det(A) = at2(—a2i) a22(111

= ai2Al2 a22 A22 (segunda coluna)

Para uma matriz A 3 x 3, temos

(8) det(A) = allAn £712Al2 + anila

Portanto, o determinante de uma matriz 3 X 3 pode ser definido em termos dos elementos da primeira linha da matriz e seus fatores correspondentes.

EXEMPLO 1. Se 2 5 4 ) A = ( 3 1 2 5 4 6 então det(A) = + ai2Al2 + (43)113

= (-1)2aii _{det(Mi ) + (— 1 )3ai2 det(Mi2)}

(-1)4a0 det(M13) 1 2 3 2 3 1 = 2 — 5 + 4 4 6 5 6 5 4 = 2(6 — 8) — 5(18 — 10) + 4(12 — 5) = — 16

Como no caso de matrizes 2 x 2, o determinante de uma matriz 3 X 3 pode ser representado por uma expansão em cofatores em relação a qualquer linha ou coluna. Por exemplo, a equação (3) pode ser colocada na forma

det(A) = ai2a3ia23 — al3a3ia22 — ana32a23 + ai3a2ia32 + ana22a33 — anana33

= a3i(ai2a23 — ama22) — a32(ana23 — ai3a21) + a33(ana22 — ai2a2i)

= a31 A31 4- a32 A32 4- a33 A33

(5)

EXEMPLO 2. Seja A a matriz do Exemplo 1. A expansã.o em cofatores do det(A) em relação à se-gunda coluna é dada por

3 2 2 1 4 2 4

det(A) —

5 5 6 -r 5 6 -- 3 21 = —5(18 — 10) -I- 1(12 — 20) -- 4(4 — 12) = —16

O determinante de uma matiz 4 X 4 pode ser definido como uma expansão em cofatores ao longo de qualquer linha ou coluna. Para calcular o determinante de uma matriz 4 x 4, teríamos que calcular qua-tro determinantes 3 X 3.

Definição.

O determinante de uma matriz A n X n, denotado por det(A), é um escalar associado à matriz A, definido indutivamente como se segue:

onde det(A) = ali allAii 4- (42/112 + • • + ainA n se n = 1 se n > 1 = (-1)1+i det(Mu) j = 1, ...

são os cofatores associados aos elementos na primeira linha de A.

Como vimos, não é necessário nos limitarmos a expandir em cofatores em relação à primeira linha. Enunciamos o teorema a seguir sem demonstração.

Teorema 2.1.1.

Se A é uma matriz n X n com n 2, então det(A) pode ser expresso como uma

expan-são em cofatores em relação a qualquer linha ou coluna de A.

det(A) = ail Aii + ai2Ai2 + • • • + ainAin = ctuAij a2j A2 j + • • • + anjAnj para i = 1, n e j = 1, n.

A expansão em cofatores para um determinante 4 x 4 vai envolver quatro determinantes 3 X 3. Podemos simplificar nosso trabalho, muitas vezes, expandindo em relação à linha ou coluna que con-tém o maior número de zeros. Por exemplo, para calcular

O 2 3 O O 4 5 O O 1 O 3 2 O 1 3

expandiríamos em relação à primeira coluna. Os três primeiros termos são nulos e obtemos 2 3 O

—2 4 5 O = —2.3 • = 12 1 O 3

A expansão em cofatores pode ser usada para se obterem alguns resultados importantes sobre deter-minantes. Esses resultados são dados nos teoremas a seguir.

Teorema 2.1.2.

Se A é uma matriz n X n, então det(AT) = det(A).

Demonstração.

A demonstração é por indução em n. É claro que o resultado é válido para n = 1, já que uma matriz 1 X 1 é necessariamente simétrica. Suponha que o resultado é válido para todas as matrizes

k X ke que A é uma matriz (k + 1) X (k + 1). Expandindo det(A) em relação à primeira linha, obtemos 2 3

(6)

5 —2 —8 4 2 —1 2 1 3 2 5 1 6 (b) (f) (c) (g)

det(A) = ali det(Mi ) — ai2 det(M12) + — • • ± al,k+1 det(MI,k+i) Como as matrizes Mu são todas k X k, pela hipótese de indução temos que

(9) det(A) = ai det(MITI ) — ai2 det(MIT2) + — • • • + al,k+, det(MIT,k+i)

A expressão do lado direito do sinal de igualdade em (9) é simplesmente a expansão em determinantes menores de det(AT) em relação à primeira coluna de AT. Portanto,

det(AT) = det(A) E

Teorema 2.1.3. _{Se A é uma matriz triangular n X n, então o determinante de A é igual ao produto}

dos elementos na diagonal de A.

Demonstração.

Em vista do Teorema 2.1.2, basta provar o teorema para matrizes triangulares inferio-

res. O resultado segue facilmente por indução em n, usando a expansão em cofatores. Os detalhes são

deixados a cargo do leitor (ver Exercício 8). _E

Teorema 2.7.4. Seja _{A uma matriz n X n.}

(i) Se A tem uma linha ou coluna contendo apenas zeros, então det(A) = O. (ii) Se A tem duas linhas ou duas colunas idênticas, então det(A) = O.

Esses dois resultados podem ser provados facilmente usando-se expansão em cofatores. As demons-trações ficam a cargo do leitor (ver Exercícios 9 e 10).

Na próxima seção, vamos examinar o efeito das operações elementares sobre o determinante. Isso vai nos permitir usar o Teorema 2.1.3 para obter um método mais eficiente de calcular o valor de um determinante.

EXERCÍCIOS

1. Seja 3 2 4 ) A = 1 —2 3 2 3 2 (a) Encontre os valores de det(M21), det(M22) e det(M„). (b) Encontre os valores de A2i, A, e A,.

(c) Use as respostas em (a) e (b) para calcular det(A).

2. Use determinantes para verificar, para cada uma das matrizes a seguir, se a matriz é ou não invertível.

(a) ( 3 (b) 3

2 4 2

3. Calcule cada um dos determinantes a seguir. 3 5 (a) —2 —3 1 3 2 (e) 4 1 —2 2 1 3 6

)

4 (c)

(

3 2 —6 4

\

)

3 1 2 4 3 O 2 4 5 _{(d) 3} ₁ ₂ 2 4 5 5 —1 —4 2001 2 1 2 1 0100 3011 1 6 2 O (h) —1 2 —2 1 1 1 —2 3 —3 2 3 1

(7)

(b) 2 O O 4 1 O 7 3 —2 4 O 2 1 (d) 5 O 4 2 2 O 3 4 1 O 2 3 1 3 5 (a) 2 4 3 O O ( c ) 2 1 1 1 2 2

5. Calcule o determinante a seguir, escrevendo sua resposta como um polinômio em x.

a — x c

1 — x O

O 1 — x

6. Encontre todos os valores de À, para os quais o determinante a seguir é igual a O.

I

2 — A. 4

I

3 3 —

7. Seja A uma matriz 3 X 3 com aii = O e a2, O. Mostre que A é equivalente por linhas a / se e somente se

— aua2ia33 + ai2a3ia23 + ai3a2ia32 — ai3a3p222 O 8. Escreva os detalhes da demonstração do Teorema 2.1.3.

9. Prove que se uma linha ou coluna de uma matriz An X n tem todos os elementos iguais a zero, então det(A) = O.

1 O. Use indução matemática para provar que se A é uma matriz (n + 1) X ( n + 1) com duas linhas idênticas, então det(A) = O.

1 1 . Sejam A e B matrizes 2 x 2. (a) det(A + B) = det(A) + det(B)? (b) det(AB) = det(A)det(B)? (c) det(AB) = det(BA)? Justifique suas respostas.

12. Sejam A e B duas matrizes 2 x 2 e sejam

2

c

.= aii ai b21 b22 (bil bi2) D = (121 a22 O , E --

fi

_{"0 )} (a) Mostre que det(A + B) = det(A) + det(B) + det(C) + det (D) (b) Mostre que, se B = EA, então det(A + B) = det(A) + det(B).

1 3. Seja A uma matriz simétrica tridiagonal (isto é, A é simétrica e au = O sempre que — > 1). Seja B a matriz obtida retirando-se as duas primeiras linhas e colunas de A. Mostre que

det(A) = ai det(Mil) — c42. det(B)

PROPRIEDADES DE DETERMINANTES

Vamos considerar, nesta seção, os efeitos das operações elementares sobre o determinante de uma ma-triz. Uma vez estabelecidos esses efeitos, vamos provar que uma matriz é invertível se e somente se seu determinante é nulo e vamos desenvolver um método para calcular determinantes através de operações elementares. Além disso, vamos obter um resultado importante sobre o determinante de um produto de matrizes. Vamos começar com o seguinte lema: