Resoluções das atividades

(1)

Resoluções das atividades

Abertura do capítulo

Resposta pessoal.

Alguns postulados e teoremas já estudados são:

Postulados: "Existem infinitos pontos, infinitas retas e infini-tos planos"; "Em uma reta, e fora dela, há infiniinfini-tos poninfini-tos"; "Em um plano, há infinitos pontos e infinitas retas"; "Se uma reta tem dois pontos distintos em um plano, então a reta está contida nesse plano"; "Se uma reta tem um só ponto comum com um plano, então ela 'fura' o plano". Teoremas: “Se dois triângulos têm dois ângulos e um lado respectiva-mente congruentes, então são congruentes (congruência de triângulos)”; "Se dois triângulos têm dois lados e o ângulo compreendido entre eles respectivamente congruentes, então são congruentes (congruência de triângulos)"; "Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele"; "Em todo triângulo, a soma das medidas dos ângulos externos é igual a 360°"; "Os lados opostos de um paralelo-gramo são congruentes"; "Em todo paraleloparalelo-gramo, as dia-gonais cortam-se ao meio".

Ângulos formados por duas retas paralelas intersectadas por uma transversal

• a e b        e ; e f c g d h; e ; e . • c e e d f  ; e .

• a g b h    e ; e . • c   e f d e; e . • a h b g   e ; e .

Correspondentes Colaterais internos Alternos internos Colaterais externos Alternos externos

Ângulos congruentes Ângulos suplementares

Ângulos correspondentes

É possível perceber que, ao completar o movimento de translação, os pares de ângulos correspondentes ficam superpostos. Assim, constata-se que esses ângulos têm medidas iguais, isto é, são congruentes.

4

Retas, ângulos e segmentos proporcionais

Agora é com você! – página 84

1 c = g = e = 44° b = d = f = h = 180° – 44° = 136° 2 a) x = 35°20' b) 6x = 2x + 94° → 4x = 94° → x = 23°30' 6x = 6 · 23°30' = 138°180' = 141° 2x + 94° = 2 · 23°30' + 94° = 47° + 94° = 141° 3 a) De acordo com a propriedade fundamental do

para-lelismo de retas, as retas r e s não são paralelas, pois os ângulos correspondentes assinalados possuem medidas diferentes.

b) As retas r e s são paralelas, pois os ângulos corres-pondentes assinalados são congruentes.

180º – 148º18' = 31º42' 4 x = 105° e y = 90°

Dialogar e conhecer – página 86

1 Da propriedade dos ângulos opostos, tem-se b d ≡ . Da propriedade dos ângulos correspondentes, tem-se

b f

 

≡

.

Logo, pela propriedade transitiva da congruência, con-clui-se que os ângulos d e  f são congruentes, isto é, d ≡ f.

2 Da propriedade dos ângulos opostos, tem-se a c ≡ . Da propriedade dos ângulos correspondentes, tem-se c g ≡ .

Logo, pela propriedade transitiva da congruência, con-clui-se que os ângulos a e  g são congruentes, isto é, a ≡ g.

3 Da propriedade dos ângulos opostos, tem-se b d ≡ . Da propriedade dos ângulos correspondentes, tem-se d h ≡ .

Logo, pela propriedade transitiva da congruência, con-clui-se que os ângulos b e  h são congruentes, isto é, b ≡ h.

1 a) x = 49°28' b) 2x – 2° = x + 58° x = 60°

2x – 2° = 120° – 2° = 118° x + 58° = 60° + 58° = 118°

(2)

c) x = y = z = 28° d) 9x – 53° = 6x + 7° 3x = 60° x = 20° 9x – 53° = 9 · 20° – 53° = 180° – 53° = 127° 6x + 7° = 6 · 20° + 7° = 127° e) x x x x x x x x 34 4 26 4 136 104 3 240 80 34 46 4 26 20 2 º º º º º º º º º 66 46 º f) 4x – 7° = x + 92° 3x = 99° x = 33° z = y = x + 92° = 33 + 92° = 125° 4x – 7° = 132° – 7° = 125°

1 Da propriedade dos ângulos alternos internos, tem-se c e ≡ .

Do conceito de ângulos adjacentes suplementares, tem-se f e  180º.

Sendo c e ≡ , tem-se que c f  180º, isto é, os ângulos

c e  f são suplementares.

2 Da propriedade dos ângulos alternos externos, tem-se b h ≡ .

Do conceito de ângulos adjacentes suplementares, tem-se a b  180º.

Sendo b h ≡ , tem-se que a h  180º, isto é, os ângulos a e  h são suplementares.

3 Da propriedade dos ângulos alternos externos, tem-se a g ≡ .

Do conceito de ângulos adjacentes suplementares, tem-se b a  180º.

Sendo a g ≡ , tem-se que b g  180º, isto é, os ângulos b e  g são suplementares.

4 Resposta pessoal.

1 x + 69°25'' = 180° x = 179°59'60'' – 69°25'' x = 110°59'35'' 2 a) x + 151°30' = 180° x = 179°60' – 151°30' x = 28°30' b) x x x x x x x 2 3 180 3 2 540 5 540 108 2 3 2 108 3 2 36 72 º º º º º _º _º c) 6y + 4y + 5° = 180° 10y = 175° y = 17°30' 6y = 102°180' = 105° 4y + 5° = 68°120' + 5° = 75° d) y y y y y y y y 26 2 180 2 52 360 3 308 102 40 26 128 40 2 º º º º º º ’ º º ’ 551 20º ’ 3 a) 9y – 13° + 3y + 37° = 180° 12y = 180° – 24° 12y = 156° → y = 13° 3x + 22° = 3y + 37° 3x = 39° + 15° 3x = 54° → x = 18° z = 3x + 22° = 54° + 22° → z = 76° Logo, x = 18°, y = 13°, z = 3x + 22° = 3y + 37° = 76° e 9y – 13° = 104°. b) 3y + y = 180° → y = 45° 2z + 15° = 45° → 2z = 30° → z = 15° 3y = 4x – 5° → 135° = 4x – 5° → 4x = 140° → x = 35° Logo, x = 35°, y = 2z + 15° = 45°, z = 15° e 3y = 4x – 5° = 135° 4 34° 90° 90° 90° 34° 34° 56° a b 146° z x y x = 90° z = 34° y + 90° + 34° = 180° y = 180° – 124° y = 56°

(3)

b) 64° 158° 64° 22° 22° 94° 22° x y z a b 116° x = 180° – 116° → x = 64° z = 180° – 22° → z = 158° y + 64° + 22° = 180° → y = 94° 5 a) _138° 138° 138° 42° x 138° y z a b c x = y = 138° z = 180° – 138° → z = 42° b) 122° 144° 94° x 58° 36° y a b c x = 180° – 58° → x = 122° y + 122° + 144° = 360° → y = 94° c) x 148° y z w 77° v a b c 32° 77° 32° 148° 77° 77° v = 148° z = 180° – 148° → z = 32° x = z = 32° y = w = 77° d) 17° 130° a _x y b c 17° 40° 40° 50° 50° m x = 17° (ângulos correspondentes) y = 40°

1 50 mm = 5 cm AB CD= = 5 10 1 2 cm cm 2 a) u u= 1 b) u u 3 1 3 = c) 2 2 1 u u = d) 3u 3 u = e) u u 4 1 4 = f) 2 3 2 3 u u= 3 a) 4 8 1 2 = b) 4 4 3 1 3 3 3 = = c) 3 3 2 1 2 2 2 = = d) 3 3=1

1 a) 32 2 4 2 2 2 2 cm cm = =

Os segmentos são incomensuráveis entre si. b) 12 30 12 30 2 5 0 4 mm mm= = = ,

(4)

c) 14 28 14 2 7 7 7 7 7 7 7 cm cm= = = =

Os segmentos são incomensuráveis entre si. d) 28 40 7 10 0 7 m m= = ,

Os segmentos são comensuráveis entre si. 2 35 7 9 7 315 45 CD CD CD cm 3 Altura da árvore: x Altura do poste Altura da rvoreá cm 3 4 7 5 3 4 3 30 10 , x x x 4 A 2 cm B M C x _{x + 2} x + 4 AB BC x x x x x cm AC x 1 2 4 1 2 2 4 4 2 4 2 4 4 12 cm 5 a) 10 5 =2 b) 3 2 2 cm R M S N T r 2 cm 3 cm 3 cm 6 A B 12 cm C AB BC BC BC BC AC AB BC AC cm 4 7 12 4 7 4 84 21 12 21 33 cm 7 M Q 15 cm N

O ponto Q está mais próximo de M, pois 5 < 9. Logo, MQ QN< . MQ QN QN QN QN MN MQ QN MN 5 9 15 5 9 5 135 27 15 27 42 cm cm

1 a) AB CD EF GH 7 9 21 27

Como 7 · 27 = 9 · 21, conclui-se que os segmentos são, nessa ordem, proporcionais.

b) AB CD EF GH 3 12 5 15

Como 3 · 15 ≠ 12 · 5, conclui-se que os segmentos não são, nessa ordem, proporcionais.

2 Sendo AB BC CD DE, , e proporcionais nessa ordem, então: AB BC CD DE x _x _x _cm 3 4 8 4 24 6

Também é possível determinar o valor de x observando que, se 8 cm é o dobro de 4 cm, então x deverá ser o dobro de 3 cm, isto é, x = 6 cm. 3 a) AB CD EF GH GH GH GH 15 10 12 3 24 8 cm b) AB CD EF GH x x x x x x x AB x 3 4 1 14 18 3 4 1 7 9 28 7 27 7 3 3 7 21 ccm cm CD4x 1 4 7 1 27 c) AB CD EF GH EF GH 10 6

Aplicando a propriedade da soma dos termos de uma proporção, tem-se:

10 6 5 3 5 3 3 8 3 32 12 1 4 EF GH EF GH EF GH GH GH GH cm Como EF GH 32 cm, então EF1232EF20 cm. 4 Resposta pessoal.

1 a) x = 3,8, pois, se os segmentos determinados em uma reta transversal são congruentes, então os segmen-tos determinados na outra transversal também são congruentes.

b) x = 15, pois, sendo 18 o triplo de 6, x é o triplo de 5. c) x = 7, pois, sendo 9 a quarta parte de 36, então x é a

quarta parte de 28.

d) x = 5, pois, sendo 10 a terça parte de 30, então x é a terça parte de 15; ou sendo 15 a metade de 30, então

x é a metade de 10. 2 a) 4 12 2 3 4 3 24 3 6 3 3 6 x x x x x ( )

(5)

b) 3 5 2 2 5 15 15 10 10 5 10 2 5 45 9 5 10 2 2 6 x x y x x x x y y x ; x ;yy 9 c) x x x x x x x x 4 3 5 5 3 12 2 12 6 6; 4 10 d) 6 4 3 6 4 21 6 5 4 6 9 4 ₆ ₃₆ ₆ x x x y y y , , , 3 Rua A 20 m 30 m 35 m Rua B 85 119 z y x

Aplicando o Teorema de Tales, tem-se: x y z x x x m y 35 30 20 119 85 7 5 35 7 5 5 245 49 30 7 5 5 17 17 : : yy y m z z z m 210 42 20 7 5 5 140 28

4 Sendo a = b + 4, aplica-se a proporção: a b b b b b b a b a 12 8 4 3 2 3 2 8 8 4 12 5 x x x y y y y 10 28 14 14 280 20 24 10 15 24 2 3 2 72 36 6 a) 3 14 21 3 2 3 2 9 9 2 4 5 x x x ,x b) x x x x 18 12 8 18 3 2 2 54 27

1 a) 5 2 3 2 15 15 2 7 5 x x x , b) 6 4 10 4 60 15 x x x c) x x x x x x x 2 2 4 8 2 2 1 2 2 4 2 6 d) x x6 x x x x 3 6 6 3 18 3 18 6 2 AB AD AD AD 10 4 6 10 12 6 6 120 20 cm cm cm cm 3 a) 9 12 21 14 3 2 9 3 2 3 18 6 12 3 2 3 24 8 x y x x x y y y cm cm A 9 x y 14 21 12 C B b) 6 24 20 6 6 5 5 x cmx x 20 cm 24 cm _{6 cm} x N B A C M

Explore seus conhecimentos

1 a) 4x – 28° = x + 32° → 3x = 60° → x = 20°

4x – 28° = 4 · 20° – 28° = 52° e x + 32° = 20° + 32° = 52° Resposta: Os ângulos medem 52°.

b) 4x + 14° + 2x + 76° = 180° → 6x = 180° – 90° → 6x = 90° → x = 15°

4x + 14° = 4 · 15° + 14° = 60° + 14° = 74° e 2x + 76° = 2 · 15° + 76° = 30° + 76° = 106°

(6)

c) Se um dos ângulos agudos formados por duas retas paralelas intersectadas por uma transversal mede 63°, então, os outros três ângulos agudos também medirão 63°. Logo, a medida de cada ângulo obtuso será igual a 180° – 63° = 117°.

2 a) O ângulo de medida x é correspondente ao ângulo de medida 54°. Logo, x = 54°.

Os ângulos de medidas x e y são correspondentes. Logo, y = 54°.

b)

2x 4x 4x

4x e 2x são medidas de ângulos colaterais internos. Assim: 4x + 2x = 180° → 6x = 180° → x = 30° 2x = 2 · 30° = 60° e 4x = 4 · 30° = 120° c) 66° x 114° 114° x = 66º

d) x + 30° e 55° são medidas de ângulos colaterais internos. Assim:

x + 30° + 55° = 180° → x = 95° x + 30° = 95° + 30° = 125°

3 Da figura, tem-se que x z ≡ , pois são ângulos correspon-dentes, e que z y ≡ , pois também são correspondentes. Assim, pela propriedade transitiva da congruência, con-clui-se que x y ≡ .

Logo, os ângulos x e são congruentes.y 4 x + 29° = 59° (ângulos correspondentes)

x = 30°

x + y = 180° (ângulos colaterais internos) 30° + y = 180° → y = 150° z = 29° (O.P.V.) 5 A 44o 44o 44o 136o x B C O y s r 136°

y + 136° = 180° (ângulos colaterais internos)

y = 180° – 136° → y = 44° x = 44° (ângulos correspondentes) 6 AB AC y y y y y y x 3 7 16 3 7 7 3 48 4 48 12 12 16 28 cm cm

7 Note que AQ QB= , pois Q é o ponto médio de AB. MB MQ QB MB x x AM MB x x x x x x 6 6 12 5 9 12 5 9 9 5 60 4 60 155 15 12 15 12 27 15 27 42 cm cm cm cm AM x MB x AB AM MB AB MB MQ QB MB x x AM MB x x x x x x 6 6 12 5 9 12 5 9 9 5 60 4 60 155 15 12 15 12 27 15 27 42 cm cm cm cm AM x MB x AB AM MB AB 8 a) _x _{14 – x} 14 A C B AC CB x x x x x x cm 3 4 14 3 4 4 42 3 7 42 6

b) Observe que P está mais próximo do ponto A, pois 2 < 5. Logo, AP PB< . x 12 cm A P B AP PB x x x cm 2 5 12 2 5 2 60 30 PB AB AP PB AB AM PM PM 30 12 30 42 42 2 21 21 12 cm cm e ; : 99 cm 21 cm A P M B 21 cm 12 c m 9 c m

c) O ponto C está mais próximo de A, pois 3 < 4. A C B x 56 – x AC CB x x x x x x cm AC x AC cm 3 4 56 3 4 4 168 3 7 168 24 24 e CCB CB AM CM CM cm 56 24 32 56 2 28 28 24 4 cm cm : A C B 24 cm 4 cm 28 cm M

(7)

d) b → a ltu ra a → base a b

Dividindo a equação 2a + 2b = 180 por 2, tem-se a + b = 90. Na proporção a b= 54, aplica-se a propriedade da soma: a b a b a b 5 4 9 90 9 5 10 4 10 e Então, a = 50 cm e b = 40 cm. 9 5 cm 20 cm 6 cm 60 cm 9 cm z y x

De acordo com o Teorema de Tales, 5 6 9 x= = . y z Aplicando a propriedade da soma, tem-se:

5 6 9 5 6 9 20 60 1 3 5 1 3 15 6 1 3 x y z x y z x x y y cm 118 9 1 3 27 cm cm z z 10 a) 8 10 35 8 2 7 2 56 28 8 28 36 x x x x y y b) x y x _x _x y y y 8 14 33 22 3 2 8 3 2 2 24 12 14 3 2 2 42 21 c) x y x x x y y y 8 6 9 6 3 2 8 3 2 2 24 12 6 3 2 3 12 4 11 r s A A' _a b c d e B' C' D' E' B C D E 8 cm 10 cm 12 cm 54 cm 15 cm AE A B B C C D D E A B 8 10 12 15 45 8 10 12 15 54 45 6 5 8 cm ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ 6 5 5 48 48 5 9 6 10 6 5 5 60 12 A B A B B C _{B C} _{B C} ’ ’ ’ ’ ’ ’ _{’ ’} _{’ ’} , cm ccm cm C D C D C D D E D E ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ _{’ ’} 12 6 5 5 72 72 5 14 4 15 6 5 5 90 , D E’ ’ 18 cm AE A B B C C D D E A B 8 10 12 15 45 8 10 12 15 54 45 6 5 8 cm ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ 6 5 5 48 48 5 9 6 10 6 5 5 60 12 A B A B B C B C B C ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ , cm ccm cm C D _{C D} _{C D} D E D E ’ ’ _{’ ’} _{’ ’} ’ ’ ’ ’ 12 6 5 5 72 72 5 14 4 15 6 5 5 90 , D E’ ’ 18 cm 12 a) 3 5 7 15 60 1 4 3 1 4 12 5 1 4 20 7 1 4 MN NP PQ MN MN NP NP PQ PQ cm cm 28 cm 3 cm 5 cm 7 cm B C D 15 cm M N P Q A 60 cm b) 6 cm _C 8 cm E G 12 cm B D F H A 6 cm

(8)

12 6 6 8 3 4 12 3 4 3 48 16 6 3 4 4 18 18 DF EG DF DF DF EG EG EG cm 44 , cm4 5 13 a) x y x _x _x y y y 9 6 20 15 4 3 9 4 3 3 36 12 6 4 3 3 24 8 b) x x y y y 10 15 5 4 5 10 5 40 8 14 AB BC AD DE AB BC GF FC = e = AD DE GF FC GF GF GF GC GF FC GC GC 4 9 27 9 108 12 12 27 39 cm cm Questões objetivas 1 D t 72° x s v r u 72° 72° x y = 18°

Traçando a reta auxiliar v, paralela a r e s, tem-se: x + 90° + 72° = 180° → x = 180° – 162° → x = 18° Outra forma de se resolver é aplicando a propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo:

y + 72° + 90° = 180° → y = 18° e x = 18° 2 B 15° 15° 30° 30° n m 60° 60° 120° b a r s a = 30° + 15° → a = 45° Como b = 60°, tem-se: 3a + b = 3 · 45° + 60° = 135° + 60° = 195° 3 A 4x + 2x = 120° (ângulos correspondentes) 6x = 120° → x = 20° Ou 4x + 2x + 60° = 180° → 6x = 120° → x = 20° Assim, 4x = 4 · 20° = 80°

b + 4x = 180° (ângulos colaterais internos) b + 4 · 20° = 180° → b = 100° 4x 2x b 120° r 60° 80° 100° 120° s 4 B 0 06 6 12 6 2 , m cm cm cm = = 5 D Altura de Alice Altura da casa cm cm cm 22 120 130 709 09 x x , ccm x 700 cm7m 6 C

Sendo 5 o dobro de 2,5, tem-se x = 2 · 4 → x = 8 e y = 12 : 2 → y = 6 7 D x x x x x DF x x x DF 2 5 4 5 4 8 8 2 2 2 2 8 2 18 8 A a b c a b c a _a _a b 18 24 33 18 24 33 100 75 4 3 18 4 3 3 72 24 24 4 3 33 96 32 33 4 3 3 132 44 b b c c c 9 B 30 2 24 56 24 30 2 3 4 3 6 120 3 114 38 x x x x x m

(9)

10 B

A

H

G

milho soja pasto

F E B C D 500 600 700 1 980 GF GF GF GF 1980 600 1800 1980 1 3 3 1980 660 m