MAT016 - Estatística e Probabilidade
Professora Priscila Roque de Almeida E-mail: priscila.almeida@ifsudestemg.edu.brIFSudeste de Minas Gerais - Campus JF Maio de 2016
Conceitos Fundamentais
De nição:
Modelo determinístico é aquele em que, a partir das condições em que o experimento é realizado, pode-se determinar seu resultado.
Exemplo:
A expressão e = −4, 9t2+ v
0t representa a distância vertical percorrida por um objeto acima do solo, sendo v0 a velocidade inicial e t o tempo gasto na queda. Portanto, conhecidos os valores de v0 e t, o valor de e ca implicitamente determinado.
De nição:
Modelo Probabilístico é aquele em que as condições de execução de um experimento não determinam o resultado nal, mas sim o comportamento probabilístico do resultado observável.
Exemplo:
Deseja-se determinar qual a precipitação pluviométrica que ocorrerá numa determinada localidade como resultado de uma tempestade que se avizinha. Dispõe-se de informações sobre pressão
barométrica em vários pontos, variação de pressão, velocidade do vento, etc. Embora essas informações sejam valiosas, não são capazes de responder a questão levantada: quanta chuva irá cair?
De nição:
Experimentos Probabilísticos ou Aleatórios são aqueles cujos resultados podem não ser os mesmos, ainda que sejam repetidos sob condições essencialmente idênticas.
Exemplo:
1 E1: Lançar uma moeda 10 vezes e observar o número de caras
obtidas.
2 E2: Escolher, ao acaso, um ponto de um círculo de raio unitário.
3 E3: Selecionar uma carta de um baralho com 52 cartas e
observar seu naipe.
De nição:
Espaço Amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório ou, em outras palavras, é o conjunto universo relativo aos resultados de um experimento. Esse conjunto será representado pela letra S. Assim, pode-se dizer que, a cada experimento aleatório sempre estará associado um conjunto de resultados possíveis ou espaço amostral.
Exemplo:
Determine o espaço amostral dos experimentos citados no slide anterior.
Observação:
O espaço amostral não é único, já que em um mesmo experimento aleatório diversas características ou tipos de resultados podem ser registrados.
Exemplo:
Considere o experimento:
E5: Realizar um teste de vida útil com n componentes eletrônicos para registrar os tempos ti, i = 1, · · · , n de operação contínua até a ocorrência da primeira falha.
Neste experimento aleatório o objetivo poderia ser veri car o
número de componentes que não irão falhar antes de t0 horas de
De nição:
Denomina-se evento a todo conjunto particular de resultados de S, ou ainda, a todo subconjunto de S.
Será útil considerarmos o espaço amostral S e o conjunto vazio ∅ como eventos. O primeiro é denominado evento certo e o segundo, evento impossível.
De nição:
Em particular, se S é um espaço amostral discreto ou enumerável
composto de n pontos amostrais, existem 2n subconjuntos ou
eventos que podem ser formados a partir de S. O conjunto que reúne todos esses subconjuntos é chamado de espaço de eventos ou classe de eventos.
Exemplo:
De nição:
Diz-se que dois eventos são mutuamente exclusivos (ou
mutuamente excludentes) se, e somente se, a ocorrência de um impede a ocorrência do outro.
Em outras palavras, dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se o seu conjunto interseção for vazio, ou seja, A ∩ B = ∅.
Exemplo:
1 No lançamento de um dado, a ocorrência de uma face elimina
a possibilidade de ocorrência das outras cinco.
2 Seja S o espaço amostral referente à retirada de uma carta de
um baralho de 52 cartas. Seja A o evento retirada de um ás e
B o evento retirada de uma carta de ouro. Vê-se que a
possibilidade de ocorrer A e B ao mesmo tempo não está descartada. Logo, os eventos não são mutuamente exclusivos.
De nições:
Sejam A,B e C subconjuntos ou eventos de S. De nimos:
A ⊂ B ou B ⊃ A ⇔ w ∈ A ⇒ w ∈ B; A = B ⇔ A ⊂ B e B ⊂ A; A ∪ B = {w ; w ∈ A ou w ∈ B}; A ∩ B = {w ; w ∈ A e w ∈ B}; AC = A = {w ; w /∈ A}. A − B = {w ; w ∈ A e w /∈ B} Exemplo:
Propriedades:
Sejam A,B e C subconjuntos ou eventos de S. Então, as seguintes propriedades são válidas:
1 Comutativa: A ∪ B = B ∪ A e A ∩ B = B ∩ A; 2 Associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) e (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ); 3 Distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) e A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ); 4 Diferença entre A e B: A − B = A ∩ BC; 5 Leis de DeMorgan: (A ∪ B)C = AC ∩ BC ou A ∪ B = (AC ∩ BC)C; (A ∩ B)C = AC ∪ BC ou A ∩ B = (AC ∪ BC)C.
Probabilidade a priori
De nição:
Seja E um experimento aleatório e S um espaço amostral, a ele associado, composto de n pontos amostrais. De ne-se a
probabilidade da ocorrência de um evento A ∈ S, indicada por
P(A), como sendo a relação entre o número de pontos amostrais
pertencentes ao evento A, denotado por f , e o número total de pontos n, ou seja:
P(A) = f
Exemplos:
1 Seja E o experimento relativo ao lançamento de um dado
perfeitamente simétrico, ou seja, não viciado. Seja A o evento ocorrência de um número par. Calcule probabilidade de P(A).
2 Seja o espaço amostral referente ao número de caras obtidos
em 3 lances de uma moeda e A o evento ocorrência de uma cara.
Fato: O conceito clássico só pode ser utilizado em situações onde o espaço amostral é enumerável, nito e equiprovável.
Espaço Amostral Finito
Um espaço amostral nito S pode ser indicado como:
S = {a1, a2, · · · , an}. Neste caso, a probabilidade de cada ponto
ai ∈ S é um número real pi = P(ai) que satisfaz às seguintes
condições: i) pi ≥0 para i = 1, 2, · · · , n ii) p1+ p2+ · · · + pn= n X i =1 pi =1
Espaço Amostral Finito e Equiprováveis
De nição:
Seja S um espaço de probabilidade nito. Se cada ponto de S tem a mesma probabilidade de ocorrer, então o espaço amostral
Contagem por Combinação
Em muitas aplicações o valor de f pode ser calculado com o auxílio de uma fórmula útil denotada
n r
que designa a combinação de
n objetos distintos em grupos de tamanho r, na qual um grupo se
distingue de outro pela natureza dos objetos e não pela ordem: n r = n! r !(n − r )!, onde 0! = 1 e n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1.
