Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI
Instituto de Física & Química – IFQ
UNIFEI, uma instituição centenária.
Lista de Exercícios VI
Energia
Física I
Prof. Gabriel Rodrigues Hickel
Ano 2018
Todos os direitos reservados à UNIFEI e autor. O uso deste material para fins
1) Um bloco de 5 kg desce do alto de uma rampa em forma de gaussiana, cujo perfil de
altura é h
(((( ))))
x ====5⋅⋅⋅⋅exp((((
−−−−x2 4))))
, válido para 0 ≤ x(m) ≤ 3,5. Calcule a velocidade do bloco quando ele chegar no final da rampa.2) Um bloco de 2,5 kg está no alto de um plano de 5 metros de extensão, inclinado em 15o. Este bloco é largado e desce o plano com coeficiente de atrito µC = 0,15. Ele está preso a
um elástico de 3,5 metros de comprimento e constante k = 50 N/m, cuja outra extremidade está presa no alto do plano. Calcule a velocidade máxima e a altura mínima que o bloco alcança.
3) Um bloco de 2 kg tem um coeficiente de atrito cinético com o plano horizontal em que
se encontra, dado por µC = 0,2. Ele está encostado em uma mola de k = 800 N/m,
comprimida em 10 cm. Supondo que esta seja a posição inicial, calcule a distância que o bloco irá percorrer ao longo do plano se a mola for solta.
4) Um asteróide pequeno típico, dentre os que cruzam a órbita da Terra, tem cerca de 10m
de diâmetro e densidade da ordem de 2 g/cm3. Em um eventual choque com a Terra (cerca de 1 a cada 25 anos), sua velocidade é em torno de 40 km/s. Calcule a energia típica de impacto e compare-a com a de uma bomba-atômica moderna típica, de 1 megaton (1 ton = energia liberada por 1 tonelada de TNT = 4,2×109 J).
5) Uma força é expressa por F
(((( ))))
x ====3x⋅⋅⋅⋅exp((((
−−−−x 5))))
N, onde x é dado em metros. Calcule o trabalho necessário para levar uma partícula sujeita a esta força, de x = 0 até o infinito.6) Um garoto de 40 kg puxa um bloco de 7 kg ao longo de um plano de 20 m, inclinado em
18o em relação ao horizonte, com coeficiente de atrito µC = 0,12. Ele utiliza uma corda
inclinada sempre em 35o em relação ao plano, aplicando uma força de modo que o bloco sobe com velocidade constante de 0,5 m/s.
a) Calcule o trabalho executado pelo garoto para levar o bloco até o alto do plano; b) a potência desprendida por ele neste trabalho, sabendo que Pot = ∆E/∆t.
7) Uma partícula de massa igual a 1,5 kg está ligada entre duas molas idênticas, ao longo de
uma guia, sobre uma mesa horizontal, sem atrito, como mostra a figura abaixo. As molas têm constante elástica k = 20 N/m e o
mesmo comprimento natural, L = 1 m. a) Se a partícula é puxada de uma distância x qualquer ao longo de uma direção perpendicular à configuração inicial das molas, calcule a energia potencial da partícula.
b) Identifique os pontos de equilíbrio da partícula.
8) Uma pessoa com 70 kg irá se pendurar em
uma corda esticada (L = 4,5 m), partindo de um ângulo inicial de -60o em relação à vertical, para depois largá-la e cair em um lago, quando a corda ficar na vertical. Nesta situação, a pessoa está com o centro de massa a 2,0 m acima da superfície do lago e 1,5m abaixo da ponta da corda. Supondo que o arrasto com o ar seja desprezível, qual será o tempo de vôo e o alcance, até a pessoa cair no lago?
Repostas:
1) Como não há atrito, o caminho que o bloco faz não importa, pois não há dissipação de energia mecânica; apenas conversão de energia potencial gravitacional em energia cinética: 2 2 1 v f f i E m g h m E ==== ⇒⇒⇒⇒ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆ ==== ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅
Para calcular o ∆∆∆h, precisamos saber a altura da rampa em x = 0 m e x = 3,5 m : ∆
((((
0))))
5 exp((((
02 4))))
=5 == = − − − − ⋅⋅⋅⋅ = = = = = = = = x h m((((
3,5))))
5 exp((((
3,52 4))))
0,234 = == = − −− − ⋅⋅⋅⋅ = = = = = = = = x h m Logo ∆∆∆∆h,= 4,766 m e portanto: 67 , 9 766 , 4 8 , 9 2 vf ==== ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ==== m/s.2) Este é um problema onde ocorre dissipação de energia (pela força de atrito) e ela deve ser considerada na equação de energia mecânica:
fa f
i E W
E ==== −−−−
Ao contrário do que se possa imaginar, a velocidade máxima não ocorre quando o elástico começa a esticar, mas sim, quando a aceleração do bloco, plano abaixo, é nula, ou seja, quando Px ====FE ++++ faC. Após este ponto, o bloco ainda continua por inércia, até parar (na altura mínima), com v = 0. Mas como resolver isto por energia? Quando o elástico começar a esticar, teremos:
((((
s))))
m g((((
s))))
k m h g m H g m⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅v ++++ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ 1,5−−−− ++++ C ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅cos ⋅⋅⋅⋅ 5−−−− 2 2 1 2 2 1 µµµµ θθθθOnde H = 1,294 m é a altura máxima no plano inclinado e h====s⋅⋅⋅⋅sen15, com s sendo contado paralelo ao plano, sentido para cima. Assim, podemos expressar a velocidade em função da coordenada s:
((((
))))
((((
))))
[[[[
]]]]
((((
))))
{{{{
}}}}
{{{{
2}}}}
1/2 2 / 1 2 85 , 33 76 , 57 20 v 5 , 1 20 5 145 , 0 259 , 0 294 , 1 6 , 19 v − −− − ⋅⋅⋅⋅ + ++ + ⋅⋅⋅⋅ − − − − = == = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − − − − ⋅⋅⋅⋅ − − − − − − − − ⋅⋅⋅⋅ − − − − ⋅⋅⋅⋅ − − − − ⋅⋅⋅⋅ = == = s s s s sPara achar o valor máximo desta expressão, devemos derivar e igualar a zero:
((((
))))
{{{{
}}}}
m 44 , 1 40 76 , 57 0 76 , 57 40 0 85 , 33 76 , 57 20 76 , 57 40 2 1 v 2 / 1 2 = = = = = == = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = == = − − − − ⋅⋅⋅⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = == = − −− − ⋅⋅⋅⋅ + + + + ⋅⋅⋅⋅ − −− − + ++ + ⋅⋅⋅⋅ − − − − ⋅⋅⋅⋅ = = = = s s s s s dt dOu seja, após o elástico esticar (1,5 – 1,44) = 0,06 m ou 6 cm, o bloco atinge a = 0 e portanto, velocidade máxima:
{{{{
20 1,44 57,76 1,44 33,85}}}}
2,80 vmax ==== −−−− ⋅⋅⋅⋅ 2 ++++ ⋅⋅⋅⋅ −−−− 1/2 ==== m/s = = = = ⋅⋅⋅⋅ − − − − ± ±± ± = == = = == = + ++ + ⋅⋅⋅⋅ − − − − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = = = = − −− − ⋅⋅⋅⋅ + ++ + ⋅⋅⋅⋅ − − − − m 071 , 2 m 817 , 0 2 692 , 1 4 888 , 2 888 , 2 0 692 , 1 888 , 2 0 85 , 33 76 , 57 20 2 2 2 s s s s s
Só a primeira solução faz sentido, pois ela está abaixo do ponto em que o elástico começa a esticar. Portanto hmin = 0,817⋅⋅⋅⋅sen15o = 0,259 m = 25,9 cm, em relação à base
do plano inclinado.
3) Como o problema 2, neste também temos perda de energia mecânica por dissipação. Mas este é de solução ainda mais simples, pois queremos apenas saber onde o bloco irá parar (v = 0). Então:
((((
))))
1,02 8 , 9 2 2 , 0 2 1 , 0 800 2 2 2 1 ==== ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ = == = ⇒ ⇒⇒ ⇒ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ = == = ∆ ∆ ∆ ∆ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⇒ ⇒⇒ ⇒ − − − − = == = W k S m g S S Ei fa µµµµC m = 102 cm4) Vamos supor, por simplicidade, que a energia é toda cinética (de fato, a aceleração do asteróide devido ao campo gravitacional da Terra, pode ser desprezada):
14 2 3 12 2 3 12 1 2 2 1 ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅v ==== ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅v ==== ⋅⋅⋅⋅10 ⋅⋅⋅⋅2000⋅⋅⋅⋅40000 ====8,38××××10 = == = m ππππ D ρρρρ ππππ E J
E = 0,2 Mton (20% de uma bomba-atômica moderna típica)
5) A solução deste problema é simples, pela definição de trabalho:
(((( ))))
∫∫∫∫
= = = = S SoF s ds W o r r, como o deslocamento é na mesma direção da variação da força:
(((( ))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
5))))
75((((
0 1))))
75 J exp 75 0 5 exp 15 5 exp 15 5 exp 3 0 0 0 0 0 = = = = − −− − ⋅⋅⋅⋅ − − − − = = = = − −− − ⋅⋅⋅⋅ − − − − = = = = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⋅⋅⋅⋅ − −− − ⋅⋅⋅⋅ + ++ + − − − − ⋅⋅⋅⋅ − −− − = = = = ⋅⋅⋅⋅ − − − − ⋅⋅⋅⋅ = = = = ⋅⋅⋅⋅ = = = = ∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞∞ ∞∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
x W dx x x x dx x x dx x F W6) a) Neste problema, precisamos calcular o trabalho do garoto, contra a gravidade e contra a força de atrito:
((((
mbloco mgaroto))))
g h C NBloco LplanoW ==== ++++ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆ ++++µµµµ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅
Para descobrir a normal do bloco ao plano, temos que esta normal é a componente do peso, perpendicular ao plano, menos a componente vertical da força que o garoto faz através da corda. E como o bloco sobe o plano com velocidade constante, não há aceleração paralela ao plano:
[[[[
1 0,12 tan35]]]]
7 9,8 cos18 60,2 N 35 tan 18 cos 35 cos 35 18 cos 0 = == = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ = = = = ⋅⋅⋅⋅ + + + + ⋅⋅⋅⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ − −− − ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ = == = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⋅⋅⋅⋅ = = = = = == = ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ − − − − ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ = = = = − − − − = = = = bloco o bloco o bloco C o bloco bloco C aC o o o y y bloco N N N g m N N f F sen F g m F P N µ µµ µ µ µ µ µE agora, podemos calcular o trabalho total:
((((
7++++40))))
⋅⋅⋅⋅9,8⋅⋅⋅⋅20⋅⋅⋅⋅ 18 ++++0,12⋅⋅⋅⋅60,2⋅⋅⋅⋅20====2991,1 = = = = o sen W Jb) Para calcular a potência, precisamos apenas determinar o tempo que o bloco leva para subir o bloco. Isso é fácil, já que a velocidade é constante:
8 , 74 20 5 , 0 1 , 2991 vsubida = == = ⋅⋅⋅⋅ = == = ⋅⋅⋅⋅ = = = = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ = = = = plano L W t E Pot J/s = 74,8 W (Watts)
7) a) Utilizamos a definição de trabalho, com a força
resultante sobre a partícula:
(((( ))))
∫∫∫∫
∫∫∫∫
==== ⋅⋅⋅⋅ = == = = = = = 0 x R S So R FE pot W F ds F x dx E o r rPodemos expressar a força resultante FR como função da coordenada x, conforme a geometria do problema:
((((
))))
(((( ))))
+ ++ + − − − − ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ − − − − = == = + ++ + = = = = − − − − + + + + ⋅⋅⋅⋅ − − − − = = = = ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ = == = 2 2 2 2 2 1 1 1 40 cos cos 2 x x x F x L x L x L k F F F R E E R θ θθ θ θ θθ θ ⇒ ⇒⇒ ⇒ ⋅⋅⋅⋅ + ++ + − − − − ⋅⋅⋅⋅ − − − − = = = =∫∫∫∫
0 2 1 40 x pot dx x x x E + + + + + ++ + − −− − ⋅⋅⋅⋅ = == = + + + + − − − − ⋅⋅⋅⋅ − − − − = = = = 1 1 2 40 1 2 40 2 2 0 2 2 x x x x E x pot J
Neste caso, só existe um ponto onde a energia potencial é nula.
c) Basta fazer a conversão de energia potencial em energia cinética, uma vez que v0 = 0 e Epot = 0 em x = 0 : ⇒ ⇒⇒ ⇒ = = = = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = == = f pot cin i E E E E ==== ⋅⋅⋅⋅ ⇒⇒⇒⇒ + + + + + + + + − − − − ⋅⋅⋅⋅ 2 v 1 1 2 40 2 2 2 m x x 4 , 0 v 1 4 , 0 1 2 4 , 0 33 , 53 v 2 2 2 = = = = ⇒ ⇒⇒ ⇒ + + + + + + + + − − − − ⋅⋅⋅⋅ = = = = m/s
8) Para descobrir a velocidade da pessoa quando ela larga a corda, precisamos utilizar a energia. Por força não é possível, já que a solução que achamos para o pêndulo só vale para ângulos de no máximo, 30o. Como não há dissipação, a conversão de energia potencial gravitacional em energia cinética é direta:
((((
))))
((((
))))
((((
4,5 1,5))))
((((
1 cos60))))
7,67 m/s 8 , 9 2 v 60 cos 1 2 v v2 2 1 = = = = − − − − ⋅⋅⋅⋅ + + + + ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ = == = ⇒ ⇒⇒ ⇒ − −− − ⋅⋅⋅⋅ + + + + ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ = == = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ = == = ∆ ∆∆ ∆ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⇒ ⇒⇒ ⇒ = == = o o CM f i E m g h m g L h EEsta velocidade é toda horizontal. A altura inicial é 2 m, em relação ao nível do lago. O tempo de vôo é o tempo de queda livre, a partir da altura inicial:
639 , 0 8 , 9 2 2 2 = = = = ⋅⋅⋅⋅ = = = = ⋅⋅⋅⋅ = = = = g h tvoo s
E o alcance é simplesmente a velocidade de saída vezes o tempo de vôo: 90 , 4 639 , 0 67 , 7 ⋅⋅⋅⋅ ==== = == = A m
