INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
MIRIAN ANGELI
ATRIBUIÇÃO DE SIGNIFICADOS AO CONCEITO DE VARIÁVEL: UM ESTUDO DE CASO NUMA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Vitória 2014
MIRIAN ANGELI
ATRIBUIÇÃO DE SIGNIFICADOS AO CONCEITO DE VARIÁVEL: UM ESTUDO DE CASO NUMA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática do Campus Vitória do Instituto Federal do Espírito Santo como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Educação em Ciências e Matemática.
Orientadora: Profª. Drª. Maria Auxiliadora Vilela Paiva
Vitória 2014
(Biblioteca Nilo Peçanha do Instituto Federal do Espírito Santo) A582a Angeli, Mirian.
Atribuição de significados ao conceito de variável: um estudo de caso numa Licenciatura em Matemática / Mirian Angeli. – 2015.
133 f. : il. ; 30 cm
Orientador: Maria Auxiliadora Vilela Paiva.
Dissertação (mestrado) – Instituto Federal do Espírito Santo, Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática.
1. Álgebra - Estudo e ensino. 2. Matemática – Metodologia. 3. Professores – Formação. I. Paiva, Maria Auxiliadora Vilela. II. Instituto Federal do Espírito Santo. III. Título.
DECLARAÇÃO DA AUTORA
Declaro, para fins de pesquisa acadêmica, didática e técnico-científica, que esta Dissertação de Mestrado pode ser parcialmente utilizada, desde que se faça referência à fonte e à autora.
Vitória, 17 de Dezembro de 2014.
AGRADECIMENTOS
A conclusão desta dissertação marca o fim de uma importante etapa da minha vida: o Mestrado. Foi no mestrado que instiguei minha curiosidade e vontade pelo saber e pela esperança de uma educação de qualidade. Aprendi como professora, que tenho uma responsabilidade com a sociedade, na medida em que meu papel é mediar uma educação crítica e, para que isso seja possível, é preciso que eu busque alternativas para propiciar espaços que favoreçam uma aprendizagem significativa dos estudantes.
Mas para que tudo isso se tornasse possível, contei com algumas pessoas que foram âncora para meu crescimento tanto profissional, quanto pessoal. Por isso, gostaria de aproveitar este espaço para deixar registrada minha gratidão a essas pessoas que me auxiliaram, de uma forma ou de outra, na realização de um sonho. Agradeço ao programa EDUCIMAT do IFES e à toda sua coordenação por disponibilizar um curso de pós-graduação stritu senso tão bem fundamentado e estruturado, com profissionais de alto nível, que contribuíram muito para a conclusão dessa etapa da minha vida.
Em especial, sou muito grata à minha orientadora e amiga, Maria Auxiliadora Vilela Paiva, a querida Dôra. Muito obrigada por suportar e dar calmaria às minhas tantas angústias e dúvidas; por me resgatar dos meus momentos de desespero e fraqueza diante das dificuldades. Obrigada por sua incansável atenção!
Agradeço com um carinho muito especial às contribuições fundamentais para a pesquisa dadas pelos professores Dr. Alessandro Jacques Ribeiro, Dr. Rodolfo Chaves e Dr. Oscar Luiz Teixeira Rezende.
É preciso agradecer também à Faculdade da Região Serrana – FARESE, em nome de sua direção e coordenação, e aos licenciandos do curso de Licenciatura em Matemática pela disponibilidade para a realização desta pesquisa.
Em meus agradecimentos, tem um lugar especial a família adotada que ganhei. Kelly Krauzer e Rúdio Krauzer, muito obrigada pela estada a mim ofertada.
Finalmente, agradeço à minha família, namorado e amigos, pela paciência e compreensão nos momentos de ausência. E de forma mais que especial, agradeço à minha Mãe Inês, que foi minha maior incentivadora, financiadora e amiga. A pessoa que mais demonstra orgulho por aquilo que me tornei. Obrigada Mãe, é por você!
A todos que me ajudaram a ser quem sou, que depositam confiança em mim e para os quais sou uma esperança, resta-me afincadamente afirmar: não vou desapontá-los. Muito obrigada!
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO ESPÍRITO SANTO
Autarquia criada pela lei nº 11.892, de 29 de dezembro de 2008
RESUMO
O presente estudo tem como objetivo investigar o significado que alguns licenciandos de Matemática atribuem ao conceito de variável na Álgebra. A pesquisa se justifica pelo fato de que muitos são os estudantes que apresentam dificuldades relacionadas aos conteúdos algébricos, que podem ser originadas de metodologias inadequadas e/ ou insuficientes utilizadas pelos professores e, pela não significação dos conceitos que são tratados em sala de aula. Esse fato, geralmente se arrasta por toda a Educação Básica e culmina em cursos superiores, em especial nos de licenciatura em Matemática. A fim de buscar alternativas para identificar os significados que os licenciandos em Matemática atribuíam ao conceito de variável, a pesquisa exigiu estudos sobre a história e as concepções de Álgebra, a atribuição de significados aos conceitos, o conceito de variável e a investigação nas aulas de Matemática. Além disso, a pesquisa de caráter qualitativo, configurando-se como um estudo de caso,foi desenvolvida em uma Instituição privada de ensino superior, com duas turmas de Licenciatura em Matemática.Como instrumentos de coleta de dados, foram utilizados um questionário, entrevistas, intervenção com atividades investigativas e produção de relatos. A partir dos dados coletados, com auxílio das teorias de concepções de Álgebra de Zalman Usiskin (1995) e de construção de perfis conceituais de Eduardo Fleury Mortimer (1994, 1995 e 2000), foi possível criar perfis de significação dos estudantes para o conceito de variável. Os perfis criados referem-se às respostas dadas pelos licenciandos às questões propostas nos instrumentos de coleta de dados e são os seguintes: variável como um único número originário do cálculo, variável na relação entre grandezas, variável como um número qualquer na criação de padrões e variável como um objeto arbitrário na Álgebra Abstrata. Com base nas análises, ficou claro que metodologias diferenciadas de ensino são essenciais para a significação de conceitos por parte dos estudantes e consequentemente para uma aprendizagem do conceito de variável na Álgebra.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO ESPÍRITO SANTO
Autarquia criada pela Lei nº 11.892, de 29 de dezembro de 2008
ABSTRACT
The following study aims to inquire into the meaning of what some Mathematics licentiates attribute to the concept of variables in Algebra. The research is justified after the fact that many students have difficulties as to the algebraic contents, which can be rooted in inadequate and/or insuficcient methodologies used by teachers and, in the non-signification of the concepts approached in the classroom. This is something that usually lasts for the whole basic education, which culminates in higher education, especially in the Bachelor´s degree in Mathematics. In search of alternatives to identify the meaning the Mathematics licentiates attributed to the concept of variables, the research required studies on Algebraic history and concepts, the signification of the concepts of variables and the investigation into Math classes. Moreover the research has qualitative approach, being a case-study developed in a private college, working with two Mathematics classes. A questionnaire has been used as a tool to collect data, as well as interviews, investigative activities and production of accounts. From the colected data, with assistance from Zalman Usiskin´s algebra theorems (1995) and Eduardo Fleury Mortimer´s conceptual profiles (1994, 1995 and 2000), it was proved possible to create student´s signification profiles as to the concept of variables. The following profiles refer to the answers given by the licentiates to the proposed inquiries in the data collect instrument: variable as a single number originated from the calculation, variable in the relation between quantities, variable as any number in the origination of patterns and variable as an arbitrary object in abstract algebra. Based on the analysis, it was evident that manifold methodologies of teaching are essential to the signification of concepts by the students and hence to a learningtowards the algebraic concept of variables.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Questão 40 do questionário de Beta... 61
Figura 2 - Questão 40 do questionário de Eta... 62
Figura 3 - Questão 40 do questionário de Gama... 64
Figura 4 - Questão 42 do questionário de Ômicron... 65
Figura 5 - Questão 43 do questionário de Ômicron... 66
Figura 6 - Questão 44 do questionário de Beta... 67
Figura 7 - Questão 44 do questionário de Ômicron... 69
Figura 8 - Questão 44 do questionário de Dzeta... 69
Figura 9 - Questão 44 do questionário de Psi... 70
Figura 10 - Questão 41 do questionário de Eta... 75
Figura 11 - Item b da Situação Problema 2 (Lista I) de Delta... 75
Figura 12 - Questionamento 5 (Lista I) de Delta. 75 Figura 13 - Itens I e II da Situação Problema 3 (Lista II) de Delta... 77
Figura 14 - Item II da Situação Problema 3 (Lista II) de Ômicron... 78
Figura 15 - Item II da Situação Problema 3 (Lista II) de Alfa... 78
Figura 16 - Item IV da Situação Problema 3 (Lista II) de Alfa... 79
Figura 17 - Questão 41 do questionário de Ômega... 80
Figura 18 - Item a da Situação Problema 1 (Lista I) de Capa... 82
Figura 19 - Questionamento 3 (Lista I) de Lambda... 82
Figura 20 - Itens I, II e III da Situação Problema 2 (Lista II) de Gama... 84
Figura 21 - Itens I, II e III da Situação Problema 2 (Lista II) de Dzeta... 84
Figura 22 - Questionamento 5 (Lista I) de Iota... 85
Figura 23 - Item d da Situação Problema 4 (Lista I) de Ômicron... 86
Figura 24 - Itens I e II da Situação Problema 1 (Lista II) de Sigma... 87
Figura 25 - Item VI da Situação Problema 1 (Lista II) de Delta... 88
Figura 26 - Item I da Situação Problema 4 (Lista II) de Dzeta... 90
Figura 27 - Item I da Situação Problema 4 (Lista II) de Csi... 90
Figura 28 - Questionamento 3 (Lista II) de Dzeta... 91
Figura 29 - Questionamento 3 (Lista II) de Nu... 92
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO... 12
1.1 REVISANDO A LITERATURA RUMO AO PROBLEMA E OBJETIVO DA PESQUISA... 17 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA... 28
2.1 ÁLGEBRA: HISTÓRIA E CONCEPÇÕES... 28
2.2 INVESTIGAÇÃO NAS AULAS DE MATEMÁTICA... 31
2.3 A SIGNIFICAÇÃO DE CONCEITOS MATEMÁTICOS... 37
2.4 VARIÁVEL: CONCEITO E SIGNIFICADO... 40
2.5 A ATRIBUIÇÃO DOS SIGNIFICADOS POR MEIO DA CRIAÇÃO DE PERFIS CONCEITUAIS... 44 3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS... 49
3.1 UMA ABORDAGEM QUALITATIVA POR MEIO DO ESTUDO DE CASO... 49 3.2 O CAMINHO DA PESQUISA... 51
3.3 (RE) CONHECENDO O CAMPO E OS SUJEITOS DA PESQUISA... 56 4 ANÁLISE DE DADOS... 60
4.1 ANÁLISE DOS PRÉ-CONCEITOS DOS ESTUDANTES ACERCA DA VARIÁVEL... 60 4.2 CONSTRUÇÃO DAS ZONAS DE PERFIS DE SIGNIFICAÇÃO CONCEITUAL DE VARIÁVEL... 71 4.2.1 Variável na relação entre grandezas... 74
4.2.2 Variável como um valor único originário do cálculo... 80
4.2.3 Variável como um valor qualquer na criação de padrões... 85
4.2.4 Variável como um objeto arbitrário na Álgebra abstrata... 89 4.2.5 Quadro resumo das Zonas de Perfis de Significação atribuídos
para Variável... 93
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS... 95
REFERÊNCIAS... 99
APÊNDICE A - Carta de Apresentação do Aluno de Mestrado... 103
APÊNDICE B - Autorização para desenvolvimento da pesquisa... 104
APÊNDICE C - Termo de Consentimento Livre e Esclarecido... 105
APÊNDICE D - Roteiro de Questionário... 106
APÊNDICE E - Investigando a Atribuição de Significados I... 112
APÊNDICE F - Roteiro de Entrevista... 118
APÊNDICE G - Roteiro de Intervenção... 119
APÊNDICE H - Investigando a Atribuição de Significados II... 127
1 INTRODUÇÃO
O presente estudo tem seu enfoque na aprendizagem da Álgebra, em especial no que se refere ao conceito de variável estabelecido por licenciandos de Matemática de uma instituição particular de ensino superior e a significação deste conceito estimulada por atividades de investigação.
Minhas inquietações acerca do aprendizado da Álgebra tiveram início em minha graduação em Licenciatura em Matemática, no período de 2008 a 2010. Em algumas aulas da disciplina de Didática, no quarto período do curso (2009/2), questões sobre o ensino e aprendizagem da Matemática eram sempre colocadas em discussão. Os questionamentos a respeito da Álgebra sempre se apresentaram a mim como os mais atrativos e intrigantes. Ainda, no primeiro período da disciplina de Estágio Supervisionado, também no quarto período de minha graduação, no segundo semestre do ano de 2009, algumas questões acerca do conteúdo algébrico no Ensino Fundamental passaram a se apresentar como motivadores para análises e pesquisas posteriores.
Neste período de estágio, foram ministradas aulas de “reforço” a alunos de uma escola estadual de Ensino Fundamental e Médio do município de Santa Maria de Jetibá - ES. Minha turma de faculdade foi separada em quatro grupos, ficando cada um deles responsável por uma turma. Tínhamos uma turma de 5ª série/ 6º ano, uma turma de 6ª série/ 7º ano, uma turma de 7ª série/ 8º ano e uma turma de 8ª série/ 9º ano. O grupo ao qual eu fazia parte ficou responsável pelo 8º ano, e observamos que grande parte dos alunos apresentava dificuldades na construção e utilização dos conceitos algébricos. Esse período de estágios seguiu por três semestres seguidos, inquietando-me no que concerne à aprendizagem da Álgebra pelos alunos.
Durante o curso, tive Álgebra como disciplina durante três períodos. Para minha surpresa, a Álgebra estudada no ensino superior em pouco (ou nada) lembrava aquela vista nos Ensinos Fundamental e Médio, trazendo teoremas, axiomas, corolários para o estudo das estruturas da Matemática. Isso provocou um
estarrecimento geral da turma, pois nunca havia tido contato com “aquela Matemática” apresentada em tais disciplinas.
Ainda em relação às disciplinas de Álgebra I, II e III, em momento algum elas trouxeram ou aproximaram os conteúdos tratados àqueles que trabalharíamos mais tarde nos Ensinos Fundamental e Médio, pois, de acordo com Usiskin (1995, p. 9), “a álgebra ensinada na escola média tem uma conotação muito diferente daquela ensinada em cursos superiores de matemática”. Dessa forma, conceitos algébricos, como o de variável, por exemplo, não foram enfatizados, deixando sob nossa responsabilidade, futuros professores de Matemática, a (re) construção e atribuição de significados aos conceitos a serem discutidos com os alunos futuramente.
Ao final do curso de Licenciatura em Matemática, para uma apresentação em uma das Jornadas Científicas que a Faculdade promove, escrevi um artigo que tratava da contextualização no processo de ensino e aprendizagem de equações do primeiro grau, sob o enfoque da psicologia, na tentativa de compreender as causas das dificuldades encontradas pelos alunos frente a esse conteúdo algébrico. Porém, sem pesquisas que não fossem as bibliográficas, pouco pude observar.
A visão acerca de tais situações seguiu-me em minha primeira experiência profissional, com quatro turmas de 8º ano (7ª série) - onde ganha ênfase a maior parte dos conceitos algébricos do Ensino Fundamental. Nessa oportunidade observei, na prática, os fatos que já havia notado durante a Licenciatura, vivenciando a dificuldade apresentada por grande parte dos alunos destas turmas em “manusear” e utilizar variáveis nos problemas algébricos, ora devido ao material utilizado, ora, em consequência de minha pouca experiência em lidar com o assunto e com a situação e, como também pela falta de atribuição de significados dos alunos a tais conceitos.
Depois disso, tive a oportunidade de iniciar um trabalho como professora do curso de Licenciatura em Matemática de uma instituição particular de ensino superior da região serrana do Espírito Santo, que será campo desta pesquisa. Trabalhando com disciplinas como Geometria Plana e Espacial, Física I, II e III, Álgebra Linear, entre outras, pude observar que, mesmo na graduação grande parte dos licenciandos não atribui significados às variáveis que aparecem em conteúdos destas disciplinas,
tratando-as apenas como letras que representam números, como mostrarei mais adiante nas análises.
Apesar de ter conhecimento que a Álgebra, propriamente dita, tem início no7ºano (6ª série) com o estudo das equações do primeiro grau, e que a grande parte desta área da Matemática é apresentada aos alunos, de fato, no 8º ano (7ª série), entendo que muitos erros no trabalho com a Álgebra acompanham professores e alunos por todo o Ensino Fundamental, Médio e, muitas vezes pelo Ensino Superior. Nesse sentido, Imenes & Lellis (1994, p. 2) expressam que
professores e alunos sofrem com a álgebra da 7ª série. Uns tentando explicar, outros tentando engolir técnicas de cálculo com letras que, quase sempre, são desprovidas de significado para uns e outros. Mesmo nas tais escolas de excelência, onde aparentemente os alunos de 7ª série dominam todas as técnicas, esse esforço tem poucos resultados: na 1ª série do 2º Grau é necessário repetir tudo.
Tendo em vista as dificuldades encontradas pelos alunos frente ao algebrismo e a não preocupação com este fato por muito tempo, provavelmente pelo fato de que durante os anos 60 a Álgebra teve um ganho de importância considerável e logo depois, “a Álgebra pré-universitária veio paulatinamente perdendo espaço e é frequentemente vista como um amontoado de símbolos de valor indiscernível” (MARANHÃO et al 2004, p. 4). Por isto é preciso levar em consideração que grande parte desses problemas, pode perpassar pela “não” significação dos conceitos algébricos, em especial o de variável, vista apenas como “letra” em alguns casos, como pude perceber em minhas experiências como professora de Matemática dos Ensinos Fundamental, Médio e Superior, e como mostram Lins e Gimenez (1997), quando tratam das diversas concepções da atividade algébrica.
No texto, os autores expressam ainda que “[...] a atividade algébrica é descrita como “fazer ou usar álgebra”. A versão mais banal dessa posição é a que descreve a atividade algébrica como “calcular com letras”” (LINS E GIMENEZ, 1997, p. 90). O que se percebe, é a apresentação de uma visão superficial desse conteúdo, na ânsia de contemplar todo o plano de ensino da disciplina proposto, não atribuindo devida atenção à atribuição de significados dos alunos sobre os conceitos trabalhados e gerando lacunas e dificuldades na compreensão da Álgebra.
A partir de minhas experiências profissionais, compreendo a Álgebra como integrante essencial da Matemática e enfatizo que ela precisa fazer sentido para os alunos. Esse conteúdo, tal como vem sendo trabalhado em sala de aula, não considerando os conceitos construídos pelos próprios alunos, apresenta obstáculos à construção do pensamento algébrico dos estudantes, dificultando que estes sejam capazes de fazer relação entre o que se aprende em sala de aula com seu cotidiano. Percebo, muitas vezes, que o próprio professor não tem esses conceitos bem construídos. No que se refere ao pensamento algébrico, Kaput (1999, apud PONTE, BRANCO e MATOS, 2009, p. 9), coloca que este “é algo que se manifesta quando, através de conjecturas e argumentos, se estabelecem generalizações sobre dados e relações matemáticas, expressas através de linguagens cada vez mais formais”.
Nessa perspectiva, é de grande importância que seja dada uma atenção especial à Álgebra escolar. No que se refere à sua introdução nas séries finais no Ensino Fundamental e seu prosseguimento no Ensino Médio, se não houver a atribuição de significados de conceitos algébricos essenciais, como é o caso da variável, pode gerar complicações futuras. Além do Ensino Básico, merece atenção também a Álgebra estudada nos cursos de Licenciatura em Matemática que, em sua grande maioria não estabelece relação com os conceitos algébricos vivenciados nas salas de aula de ensino básico do Brasil.
A escolha em se delimitar o estudo acerca do processo de ensino e aprendizagem1 da Álgebra, focando no conceito de variável, deve-se ao fato de que tal integrante algébrico é parte fundamental dessa área de ensino, além de se mostrar como representante do simbolismo, tão essencial para o desenvolvimento do pensamento algébrico. Além disso, é por falta de compreensão do que representam as letras, em problemas algébricos, que grande parte dos alunos não chega a uma aprendizagem com vistas para o significado de conceitos. Dentro desse contexto, dando ênfase à aprendizagem do aluno, Matos e Ponte (2008, p. 196) expressam que “a utilização de símbolos algébricos e a construção do conceito de variável trazem-lhe usualmente dificuldades significativas e merecem, por isso, a nossa atenção”.
1Os termos “ensino e aprendizagem”, “ensino/aprendizagem” ou “ensino-aprendizagem” são
utilizados de acordo com a concepção de cada pesquisador acerca do assunto. Utilizo o primeiro termo, pois considero como separadas as duas vias do processo educativo, mesmo que considero que as duas estejam intrinsecamente relacionadas entre si.
Ainda em relação à Álgebra e à dificuldade em se trabalhar com a mesma em sala de aula, Booth (1995) descreve que esta se torna a origem de muitas confusões e atitudes não positivas entre os alunos, que podem ser desastrosas para a trajetória educacional dos educandos. A autora expressa ainda que este “é um sentimento que poderia muito bem ter sido expresso por qualquer professor de matemática. Não há dúvida que muitos de seus alunos também concordariam. Uma das razões para esse estado de coisas é que os alunos parecem achar álgebra difícil” (BOOTH, 1995, p. 23).
Booth (1995) realizou pesquisas com alunos de idade entre trezes e dezesseis anos no Reino Unido, buscando identificar os principais erros desses alunos em Álgebra e investigou as causas desses erros. Em seu trabalho, a autora concluiu que muitos dos erros que os alunos cometiam poderiam ser originados por “pseudoideias” dos estudantes acerca de:
a) O foco da atividade algébrica e a natureza das “respostas”; b) O uso da notação e da convenção em álgebra;
c) O significado das letras e das variáveis;2
d) Os tipos de relações e métodos usados em aritmética.
Assim, o trabalho de Booth se apresenta como mais uma motivação para esta pesquisa, pois afirma que a não atribuição de significados ao conceito de variável pelos estudantes pode causar danos na aprendizagem da Álgebra e, por isso mesmo, deve ser assunto tratado nos cursos de Licenciatura em Matemática como parte dos saberes docentes relacionados ao processo de ensino e aprendizagem da Álgebra.
Sob esse aspecto, o parecer CNE/CP Nº 009/2001 (2001, p.13) esclarece que: Estudos mostram que os ingressantes nos cursos superiores, em geral, e nos cursos de formação inicial de professores, em particular têm, muitas vezes, formação insuficiente, em decorrência da baixa qualidade dos cursos da educação básica que lhes foram oferecidos. Essas condições reais, nem sempre são levadas em conta pelos formadores, ou seja, raramente são considerados os pontos de partida e as necessidades de aprendizagem desses alunos.
Para reverter esse quadro de desconsideração do repertório de conhecimentos dos professores em formação, é preciso que os cursos de
preparação de futuros professores tomem para si a responsabilidade de suprir as eventuais deficiências de escolarização básica que os
2
professores receberam tanto no ensino fundamental como no ensino médio3.
Este parecer, que se refere às Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da Educação Básica, em nível Superior, curso de Licenciatura, de Graduação Plena, fundamenta ainda mais este estudo, mostrando que, em geral, a formação que os alunos dos Ensinos Fundamental e Médio recebem possuem lacunas que não devem ser esquecidas pelos cursos de Licenciaturas, mas precisam ser consideradas, visando que estes futuros professores possam suprir essas mesmas dificuldades no momento em que estas surgirem.
Cabe ressaltar que, apesar de essa pesquisa não se enquadrar numa linha de pesquisa que se refira à formação de professores, pois sua preocupação principal é o processo de aprendizagem da Álgebra, ela contribuiu na formação de futuros professores de Matemática, no que tange aos saberes relacionados ao ensino e aprendizagem de conceitos algébricos.
Nesse contexto, a pesquisa sobre a atribuição de significados ao conceito de variável por licenciandos de Matemática, justifica-se ao trazer reflexões sobre o ensino e aprendizagem da Álgebra, contribuindo na formação desses licenciandos e de professores de Matemática em geral.
1.1 REVISANDO A LITERATURA RUMO AO PROBLEMA E OBJETIVO DA PESQUISA
Na construção dessa problemática alguns estudos sobre a Álgebra e seu ensino e aprendizagem foram importantes, em especial àqueles que se referem à construção de significados atribuídos por alunos ao conceito de variável, além dos que tratam da linguagem e do pensamento algébrico, bem como trabalhos que se referem ao estudo da Álgebra em cursos superiores.
3
Dentre esses estudos, Matos e Ponte (2008) apresentam uma pesquisa acerca das relações funcionais e do desenvolvimento do conceito de variável em alunos do 8º ano a partir de dois estudos de caso, acompanhando dois alunos de uma escola de Portugal. A pesquisa realizada era de linha qualitativa e interpretativa, fazendo uso de tarefas de cunho exploratório e investigativo, onde os alunos foram desafiados a trabalhar com determinada situação, identificando-a como um problema matemático, relacionando e explorando os dados obtidos, estabelecendo e testando hipóteses, além de validar e argumentar relações (PONTE, 2007).
Nos momentos citados anteriormente, onde se identifica um problema e busca-se uma solução para este por meio de hipóteses, acontece um momento fundamental na construção de conhecimentos pelo aluno, que é o desenvolvimento da autonomia desse indivíduo. A autonomia faz com que os estudantes confiem em suas próprias conclusões acerca de questionamentos a eles dirigidos. O incentivo a essa autonomia pode se tornar mais presente nas aulas de Matemática, quando os professores atribuem significados próprios aos conceitos trabalhados em sala de aula. Por isso é importante que os cursos de Licenciatura em Matemática se preocupem com a atribuição de significados de conceitos matemáticos pelos licenciandos, propiciando durante o curso momentos de reflexão sobre a teoria e prática.
Nesse artigo, Matos e Ponte (2008) fazem um estudo acerca de uma analogia entre a resolução de tarefas de investigação e exploração, envolvendo relações funcionais. O trabalho com atividades investigativas e de exploração, como exposto no estudo dos autores, pode contribuir na construção de significados para o estudo algébrico, fato este que se aproxima das intenções desta pesquisa, no que se refere à utilização desse tipo de atividades na construção de significado para o conceito de variável. Eles destacam o desenvolvimento do pensamento algébrico de alunos do 8ºano, bem como a interpretação e o uso da linguagem algébrica e a importância do reconhecimento do uso dos símbolos, atentando que
[...] diversas investigações alertam-nos para o fato de os símbolos poderem ser utilizados para representar aspetos matemáticos bastante diversificados e poderem, também, ser interpretados de modos distintos, consoante a situação (MATOS E PONTE, 2008, p.197)4.
Em seu trabalho, os autores dão um enfoque especial a Kaput (1999) que descreve que o pensamento algébrico acontece quando o indivíduo é capaz de estabelecer generalizações sobre dados e relações matemáticas, expressas por meio de linguagens cada vez mais formais. Tais generalizações acontecem por meio de processos de suposições e argumentações. A partir do exposto, Matos e Ponte (2008) ainda listam as cinco facetas do pensamento algébrico que, de acordo com eles, se apresentam como um dos desafios da Educação Matemática, em decorrência do fato de que sua abordagem nas escolas é, ainda hoje, realizada de forma superficial. São elas:
(i) a generalização e formalização de padrões e restrições; (ii) a manipulação de formalismos, guiada sintaticamente; (iii) o estudo de estruturas abstratas; (iv) o estudo de funções, relações e de variável conjunta; (v) e a utilização de múltiplas linguagens na modelação e no controle de fenômenos. (MATOS E PONTE, 2008, p. 197)5.
No que diz respeito ao pensamento algébrico, o trabalho analisado dá atenção especial às potencialidades do uso de símbolos que, de acordo com Sfard & Linchevski (1994, apud MATOS E PONTE, 2008) expressam ideias matemáticas de forma rigorosa e condensada, e também possibilitam um afastamento da semântica que representam, lançando mão de uma independência, a fim de tornarem-se ferramentas de grande potencial na resolução de problemas.
No sentido do uso de símbolos literais, os autores apresentam Küchemann (1981), quando afirmam que estes podem ser interpretados como uma letra avaliada; uma letra não considerada; uma letra como objeto; uma letra como incógnita; uma letra como número não generalizado; e uma letra como variável. Essas diferentes interpretações da linguagem algébrica, quando não exploradas de forma correta, acarretam em dificuldades adicionais aos alunos, segundo Ursini e Trigueros (2001). A forma de interpretação dessas letras será um dos pontos fundamentais desta pesquisa, pois é necessário que se compreenda qual o papel que uma letra assume
4
Tradução minha.
em situações diversas, para que, a partir de então, seja possível identificar qual o significado que os licenciandos de Matemática atribuem às variáveis, para que, depois disso, sejam capazes de operacionalizar dentro das atividades algébricas com propriedade.
English e Warren (1989) são lembrados por Matos e Ponte (2008) quando ressaltam que os currículos de Matemática contemporâneos, assim como os mais antigos, dão ênfase ao símbolo literal como incógnita. Nesse âmbito, cabe ressaltar que o processo de construção de conceitos algébricos, especialmente àqueles referentes às variáveis, não acontece apenas pela prática contínua de exercícios de aplicação em sala de aula, mas, Schoenfeld e Arcavi (1988, apud por MATOS E PONTE, 2008, p. 199)
[...] argumentam que, no cenário escolar, a construção do conceito de variável é um processo complexo, considerando-o mesmo como um tópico central no ensino-aprendizagem da Matemática e na construção de conceitos matemáticos mais avançados.
E por ser um processo complexo, gera muitas dificuldades nos alunos no uso da linguagem algébrica, tais como a interpretação das letras, a formalização dos métodos utilizados e a compreensão de notações e convenções (BOOTH, 1984), tornando o procedimento de resolução de atividades algébricas algo mecânico e sem significado.
Entre outros assuntos, os autores elencam também um dos principais desafios no processo de ensino e aprendizagem da Álgebra, devido aos diversos fatores já citados, que é a construção plena e multifacetada do conceito de variável e a promoção do sentido do símbolo.
Matos e Ponte (2008) identificam que as experiências anteriores vividas pelos alunos dentro da Álgebra influenciam na tomada de decisões para resolver problemas algébricos. Eles observaram, também, que os alunos apresentam mais dificuldades na interpretação de letras quando estas assumem o papel de um número generalizado. Um outro ponto que merece atenção, segundo os autores, é a construção do conceito de variável.
No mesmo sentido, os autores atentam para o fato de que um trabalho com caráter exploratório e investigativo na resolução de problemas, além da discussão aprofundada em sala de aula parece contribuir em grande escala para a construção de uma visão mais ampla sobre o papel dos símbolos e das suas diversas utilizações, como para a promoção do desenvolvimento e evolução do pensamento algébrico dos alunos.
A partir da pesquisa, Matos e Ponte (2008) puderam observar que, mesmo com um trabalho investigativo em sala de aula, as dificuldades dos alunos não vão desaparecer por completo. Essas dificuldades podem continuar a se manifestar, mostrando que a compreensão dos fundamentos algébricos é um processo lento, e que não é esgotado em apenas um ano de escolaridade. Daí a importância da construção de significados, que deve ser incentivada durante todo o processo educacional e na formação do professor de Matemática, em especial, no que se refere à Álgebra, pois aquilo que significa mais para um indivíduo passa a fazer mais sentido e quando o aluno é capaz de produzir um significado para aquilo que “aprende”, o assunto passa a fazer mais sentido e, dessa forma, possibilita, de fato, uma aprendizagem.
Um estudo que vai ao encontro da pesquisa de Matos e Ponte (2008), é o trabalho da autora Maccari (2009), que tem como assunto principal da Álgebra na sala de aula, na intenção de tentar produzir significado aos diversos usos que fazemos das variáveis e das incógnitas. Nesse texto, a autora coloca sua experiência em sala de aula como principal motivação à pesquisa, quando teve a oportunidade de observar as dificuldades relacionadas à Álgebra que seus alunos apresentavam. Essa também é a minha principal motivação.
A fim de direcionar o estudo, Maccari (2009) considera importante evidenciar alguns questionamentos acerca do trabalho do professor e sua relação com os conteúdos algébricos, com auxílio do livro didático, bem como trabalhar e desenvolver o pensamento algébrico sob perspectivas diversas e propor alternativas e possibilidades ao ensino e à aprendizagem desses conteúdos matemáticos.
Maccari (2009), na intenção de fundamentar seu trabalho, fez uma “viagem” pela História da Álgebra, destacando seus conceitos e o seu desenvolvimento em
diferentes épocas. Esse ponto da pesquisa justifica sua importância pelo fato de que, muitas vezes trabalhamos com determinados assuntos de forma mecanizada, devido à falta de conhecimento sobre sua epistemologia, ou porque ele se constituiu desta forma. A História é um instrumento de grande potencial em sala de aula, se bem utilizado. É preciso compreender que os conceitos tratados hoje em sala de aula não surgiram do nada, mas foram se constituindo no decorrer da História da humanidade.
Além de evidenciar a História e as principais dificuldades análogas à Álgebra, Maccari (2009) expõe suas intervenções com algumas turmas do Ensino Fundamental, onde fez uso de atividades diferenciadas sobre os conceitos de variável e incógnita e, por fim, apresenta os resultados, com a identificação de avanços significativos na aprendizagem do conteúdo algébrico. Os resultados apresentados no trabalho de Maccari (2009) constituem mais uma motivação para esta pesquisa, pois comprovam que é possível, por meio da significação de conceitos, minimizar as dificuldades apresentadas pelos alunos acerca dos conteúdos algébricos, favorecendo uma aprendizagem que, de fato faça sentido para o estudante6.
Um trabalho que apresenta grande importância para justificar o estudo em questão é o de Bussmann e Savioli (2008), que trata de uma investigação sobre o fato de existir ou não uma conexão entre a Álgebra no Ensino Superior e nos Ensinos Fundamental e Médio. De forma geral, os autores colocam que os conteúdos vistos nos cursos de Licenciatura em Matemática são, geralmente, “autônomos” dentro da graduação e sem conexão entre os “conteúdos específicos” de Matemática e os “conteúdos pedagógicos” (2008, p. 2).
Bussmann e Savioli (2008) expressam que
Nessa linha, os conteúdos algébricos, que de uma forma ou de outra o professor se depara no seu trabalho na Educação Básica, são vistos de forma isolada e aparecem em muitas das disciplinas no curso de Matemática. E é justamente nestes tópicos algébricos que se verifica um distanciamento maior entre a formação específica e a formação pedagógica (2008, p.2).
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Como estudante, considero, neste tópico, os alunos da Educação Básica (Ensinos Fundamental e Médio), os licenciandos em Matemática e os professores em formação continuada.
Para a realização da pesquisa, os autores citados anteriormente fizeram uma análise de documentos sobre o curso de Matemática da Universidade Estadual de Londrina, no Paraná, tais como ementas, projeto político pedagógico e programas de disciplinas, além de entrevistas com professores, estudantes e egressos da universidade, bem como análise de alguns livros didáticos.
A justificativa dos autores está centrada no fato de que a grande maioria dos licenciandos em Matemática não vê algumas disciplinas do curso, tais como Álgebra I, II e III, Análise Real e Álgebra Linear, como essenciais à sua formação como professores, especialmente por não conseguirem estabelecer uma relação de utilidade prática para as referidas disciplinas, gerando uma lacuna entre a formação profissional e o campo de trabalho. Sobre esse aspecto, House (1995, p.1) escreve que
há muito tempo a álgebra desfruta de um lugar de destaque no currículo de matemática, representando para muitos alunos tanto a culminação de anos de estudo de aritmética como o início de mais anos de estudo de outros ramos da matemática. Poucos contestam sua importância, embora muitos só tenham noções superficiais de seu significado e seu alcance.
Em consonância com o pensamento de House (1995), o trabalho de Bussmann e Savioli (2008) descreve que pouco são os trabalhos realizados que descrevem essa relação entre a Álgebra do Ensino Superior e aquela vista nas aulas dos Ensinos Fundamental e Médio. Além disso, os autores fazem uso da História da Matemática para refletir sobre alguns aspectos da Álgebra, visando justificar a forma como trabalhamos com ela nos dias de hoje.
Os autores usam as ideias de Shulman (1986) para destacar diferenças na formação de professores de Matemática e de bacharéis em Matemática. Não quer dizer que um bacharel tem uma formação matemática mais consistente do que um licenciado, acontece que, de acordo com Shulman (1986), o professor precisa, além do conhecimento matemático, conhecer a didática de conteúdos e o currículo da disciplina.
Por fim, Bussmann e Savioli (2008, p. 8) expressam que “o conhecimento matemático deve ser multidimensional e interativo, integrando vários aspectos que dificilmente poderiam ser vistos de forma isolada, visto que esse conhecimento foi desenvolvido socialmente, numa situação e num contexto social e cultural”. Assim,
os autores colocam como importante que entre as disciplinas dos cursos de Licenciatura em Matemática e as disciplinas a serem ministradas pelos futuros professores haja uma conexão, onde os licenciandos sejam capazes de enxergar a aplicabilidade e utilidade dos conceitos construídos.
Outros trabalhos ainda podem ser considerados como importantes à construção da problemática desta pesquisa, como é o caso da dissertação de mestrado de Christo (2006), cujo estudo mostra que grande parte das dificuldades encontradas pelos alunos na interpretação e na escrita da linguagem algébrica perpassa pela (não) compreensão do significado de variável. Sobre esse aspecto, Kieran (1992) coloca que alunos americanos dos 7º, 8º e 9º anos, com idades entre 13 e 15 anos, compreendem as variáveis como objetos que são concretos ou como rótulos desses objetos, entretanto, poucos destes alunos são capazes de interpretar letras como sendo variáveis.
No mesmo sentido, Pinto (1997) apresenta um trabalho que trata das dificuldades e dos erros ao se ensinar Álgebra. Para tratar das dificuldades, a autora se reporta à Booth (1984) que, dentre suas pesquisas, apresenta um estudo cujo objetivo é descobrir o porquê da complexidade que existe no processo de ensino e aprendizagem da Álgebra. A forma que Booth encontrou para buscar respostas aos seus questionamentos, de acordo com Pinto (1997), foi investigar os principais erros cometidos pelos alunos, na tentativa e fazer algumas generalizações, como já citado anteriormente.
Pinto (1997) descreve, ancorada nas ideias de Booth (1984), que um dos erros mais comuns cometido pelos alunos é por não aceitarem uma resposta que contenha dois termos, fato jamais ocorrido na Aritmética. E é quando os alunos ao tentarem reduzir tudo a um só termo como, por exemplo, refutando a ideia de que 2x + 3 pode ser solução para um problema algébrico, que o erro se estabelece. Para a maioria deles, a resposta que lhes daria mais segurança seria reduzir a solução encontrada em um único termo: 2x + 3 = 5x, ignorando o que já havia sido estudado anteriormente, e que, provavelmente, não fazia nenhum sentido para esses alunos.
Outro problema que pode causar dificuldades na aprendizagem da Álgebra citado por Pinto (1997), é o uso dos mesmos sinais usados na aritmética (+, -, =, entre
outros), causando confusão no sentido que o sinal apresenta em cada uma das áreas da Matemática (Aritmética e Álgebra, neste caso).
No mesmo sentido do aumento da dificuldade dos alunos, está a justaposição e a compreensão do significado das letras. No que se refere à justaposição, Pinto (1997) coloca que a confusão se dá pelo fato de que, na Aritmética, a justaposição de números pode ser representada pela adição destes (45 = 40 + 5), enquanto que na Álgebra é a multiplicação que indica esta justaposição (3m = 3 x m). Em relação à compreensão das letras e seu significados em expressões diversas, a autora volta a considerar Booth (1984) para explicar como isso acontece. Um exemplo que pode ser apresentado para justificar isso, é que em aritmética 5l significa 5 litros, onde a letra l é o símbolo de uma unidade de medida, neste caso, o litro, e não uma quantidade de litros. Essa dissonância se reflete na Álgebra, quando os alunos confundem, por exemplo, que 6l representam 6 lápis e não 6 vezes o número de lápis.
Pinto (1997) discorre ainda sobre o sentido que os alunos atribuem às variáveis. Ela explica que, para os alunos, uma letra só pode assumir um único valor, assim como acontecia na Aritmética com, por exemplo, 10, que representa a quantidade 10. Sendo assim, os estudantes transferem essas interpretações à Álgebra, vedando suas potencialidades na Resolução de Problemas. Esse erro dos alunos pode ser observado quando se troca uma letra por outra no processo de resolução de uma questão. Muitos alunos não conseguem enxergar que essas “letras”, apesar de serem diferentes, possuem a mesma função. De forma geral, Pinto (1997) coloca que grande parte das dificuldades apresentadas pelos alunos no trabalho com Álgebra se dá por falta de compreensão de conceitos básicos, em muitos casos, da Aritmética.
Em complemento do tema em questão, Panossian (2008) apresenta uma pesquisa, onde trabalha com a manifestação do pensamento e da linguagem algébrica nos estudantes. Assim, como a maioria dos trabalhos nessa área, a autora coloca a importância da pesquisa frente às dificuldades enfrentadas pelos estudantes que, em muitos casos podem estar associadas a casos específicos da Álgebra. A fim de buscar resultados às questões norteadoras de sua pesquisa, especialmente no que se refere à linguagem e ao pensamento, Panossian (2008) expõe a relevância dos
resultados obtidos em sua pesquisa para o desenvolvimento da dissertação e para a organização do ensino da Álgebra por parte dos professores.
No sentido de contribuir no caminho rumo à construção do problema e dos objetivos deste estudo, apresento ainda a pesquisa desenvolvida na tese de doutorado de Ribeiro (2007), relacionada aos multisignificados de equação no ensino da Matemática. Grosso modo, esse trabalho visou investigar tais significados na perspectiva de um ensaio teórico, dando ênfase ao desenvolvimento epistemológico da noção de equação, fazendo relação com um estudo bibliográfico das teorias de Registros de Representação Semiótica, de Raymond Duval e da Transposição Didática, de Yves Chevallard.
Em um trabalho posterior, Ribeiro (2010) faz uma proposta da construção de perfil conceitual de equação a as implicações disto à Educação Matemática. No artigo, o autor busca uma relação entre os multisignificados de equação e os perfis conceituais propostos por Mortimer (1994, 1995, 2000), procurando identificar como os significados de equação podem constituir as diferentes zonas que um perfil conceitual pode abranger. A construção dos perfis conceituais é uma das intenções deste estudo, no sentido de contribuir para a análise dos dados.
Dentre os resultados que Ribeiro (2010) apresenta, é evidenciada a presença dos significados Intuitivo-Pragmático7 e/ou do Processual-Tecnicista8, quando estabelece a primeira versão da construção de um perfil conceitual de equação. Além disso, o autor ressalta a necessidade e importância da instrumentalização de professores de Matemática, para uma compreensão de como seus alunos produzem significados aos conceitos trabalhados.
Sendo assim, minha experiência acadêmica e profissional, a relação com a Álgebra em sala de aula, bem como as leituras realizadas acerca do assunto despertaram em mim um desejo de identificar e compreender o significado que os licenciandos
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Neste significado, segundo Ribeiro (2008), a equação é concebida como noção intuitiva, ligada à ideia de igualdade entre duas quantidades. Sua utilização relaciona-se à resolução de problemas cotidianos.
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Neste significado a equação é concebida como a sua própria resolução, isto é, os métodos e as técnicas que são usadas para sua resolução. Além disso, essa significação não enxerga a equação como um ente matemático (RIBEIRO, 2008, p. 112).
em Matemática atribuem aos conceitos algébricos. Sob essa perspectiva, apresenta-se uma pesquisa na intenção de buscar respostas ao problema proposto, que gira em torno de saber:
Quais os significados que licenciandos de Matemática atribuem ao conceito de variável?
E para auxiliar a coleta de dados que auxiliem na busca por uma solução para o problema desta pesquisa, o objetivo geral do estudo é:
Investigar os significados que os licenciandos de Matemática de uma instituição particular de ensino superior atribuem ao conceito de variável na Álgebra.
No sentido de investigar os significados atribuídos pelos licenciandos ao conceito citados, a pesquisa contará com um estudo histórico da Álgebra e do conceito de variável, além de uma reflexão acerca do ensino e da aprendizagem da Álgebra nos cursos de Licenciatura em Matemática.
Dentro da pesquisa, também terá destaque a linguagem algébrica e o reconhecimento dos símbolos, com suas diferentes finalidades e em situações diversas, levando em consideração os significados que os estudantes atribuem a eles, tendo em vista o fato de que as “letras” (variáveis) são parte essencial do algebrismo. Nesse sentido, Tinoco (2008, p. 6) coloca que “o uso da linguagem algébrica e das técnicas algébricas para argumentar matematicamente é muito pouco explorado”. No mesmo âmbito, Ponte, Branco e Matos (2009, p. 8) completam que
a linguagem algébrica cria a possibilidade de distanciamento em relação aos elementos semânticos que os símbolos representam. Deste modo, a simbologia algébrica e a respectiva sintaxe ganham vida própria e tornam-se poderosas ferramentas para a resolução de problemas.
A busca por uma forma mais significativa de se trabalhar os conceitos algébricos é também uma das intenções da pesquisa. Assim, a investigação será uma aliada nesse processo, tomando forma na abordagem realizada durante as aulas, no trabalho com atividades algébricas, o que culminará no Produto Final.
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Levando em consideração o problema e os objetivos desta pesquisa, acredito que seja de real importância refletir, apresentar e analisar algumas observações acerca do histórico e da definição de Álgebra, questões essas que poderão servir como base à compreensão de alguns dados de pesquisa, bem como a concepção dos licenciandos acerca do conceito algébrico de variável. Além disso, como um dos interesses da pesquisa refere-se à construção do significado desse conceito por meio de atividades investigativas, cabe, no estudo, uma seção referente a processos investigativos de construção dos conhecimentos e uma discussão acerca da produção de significados, fazendo uso da teoria de construção de zonas de perfis conceituais, levando em consideração o contexto onde os estudantes pesquisados se encontram.
2.1 ÁLGEBRA: HISTÓRIA E CONCEPÇÕES
Inicio a reflexão histórica da Álgebra a partir dos estudos de Ponte, Branco e Matos (2009, p. 5), que expressam ser possível
dizer que as origens da Álgebra situam-se na formalização e sistematização de certas técnicas de resolução de problemas que já são usadas na Antiguidade – no Egipto, na Babilônia, na China e na Índia. Por exemplo, o célebre papiro de Amhes/Rhind é essencialmente um documento matemático com a resolução de diversos problemas, que assume já um marcado cunho algébrico.
Pouco a pouco vai-se definindo o conceito de equação e a Álgebra começa a ser entendida como o estudo da resolução de equações.
De acordo com Lins e Gimenez (1997), a atividade algébrica teve início com os babilônios e os egípcios, por volta de 1700 a.C., com o desenvolvimento de regras eficientes para diversos cálculos, além da resolução de problemas. Entretanto, não desenvolveram nenhum tipo de notação para apresentar de forma generalizada essas questões. Depois de, mais ou menos, dois mil anos, o grego Diofanto cria um
sinal especial para representar a incógnita numa equação e uma forma muito semelhante à nossa para escrever equações.
Ainda, segundo os autores, por volta do ano 1550, o francês Vieta recebe destaque por ser o primeiro a sistematizar o uso de letras que representassem também os valores conhecidos em uma expressão algébrica. Para Lins e Gimenez (1997, p. 91),
para os que seguem essa linha de pensamento, o que Vieta introduz é um cálculo com letras (que representam quantidades ou grandezas geométricas), cálculo esse que tem suas regras próprias, compatíveis, é claro, com as noções usuais da aritmética e da geometria.
Dando continuidade ao breve histórico, Lins e Gimenez (1997) expressam que a gênese da noção de estrutura algébrica se dá, em princípio com Galois e Abel, no início dos anos 1800, de uma forma mais “tímida” e implícita, e posteriormente com Bourbaki, a partir dos anos 1940, onde passamos então a ter, de fato, o cálculo com letras, de uma forma mais elaborada e aprimorada, a forma da “sintaxe9
: um cálculo com regras próprias e ignorantes de qualquer sistema particular que funcione como elas (números, por exemplo). Um mundo, enfim, completamente “abstrato”” (LINS e GIMENEZ, 1997, p. 91).
De acordo com Ponte, Branco e Matos (2009), o termo Álgebra surgiu séculos depois dos estudos de Diofanto, com trabalhos de al-Khwarizmi, para descrever uma operação de transposição de termos, tão importante para a resolução de equações. Por conseguinte, os autores destacam que
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a partir de meados do século XIX a Álgebra conhece uma evolução profunda. O estudo das equações algébricas esgota-se com a demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra e com a demonstração de que não existem métodos algébricos gerais para a resolução de equações de grau superior ao 4.º. A partir dessa altura, a atenção dos matemáticos volta-se cada vez mais para o estudo de equações não algébricas, ou seja, para o estudo de equações diferenciais, tanto ordinárias como com derivadas parciais e para o estudo de equações envolvendo objetos matemáticos como funções. Outros matemáticos dedicam-se a partir daí ao estudo de estruturas abstratas como grupo, espaço vectorial, anel e corpo, temas que passam a constituir o núcleo central da “Álgebra moderna”10
(PONTE, BRANCO e MATOS, 2009, p. 7).
No mesmo sentido, Lins e Gimenez (1997) citam alguns nomes de estudiosos da área, tais como Eon Harper e G. H. F. Nesselmann, que estabeleceram que, nos vários momentos da sua história, a Álgebra pode ser classificada em “retórica (apenas palavras), sincopada (alguma notação especial, em particular palavras abreviadas) e simbólica (apenas os símbolos e suas manifestações)”11 (p. 92). A importância da história, na compreensão de conceitos algébricos é essencial para que se fuja de uma tendência puramente letrista. Essa classificação dos momentos da Álgebra também é lembrada por Tinoco et al (2007, p. 3), quando a autora relata que
apesar de reconhecer a lentidão do processo percorrido pela humanidade e a sua evolução, observa-se em sala de aula a exigência de que o aluno atinja a fase simbólica com uma rapidez fora do seu alcance, sendo as duas primeiras fases frequentemente ignoradas no estudo da álgebra.
Nesse sentido, torna-se relevante não “pular” etapas na construção de conceitos algébricos, pois isso pode prejudicar também o desenvolvimento do pensamento algébrico. A esse respeito, Lins e Gimenez (1997, p. 95) expressam que “de algum modo, seguir a trajetória do uso de letras permite seguir a trajetória do desenvolvimento de um pensamento algébrico”.
Nos dias de hoje, a Álgebra oscila momentos com “a ascensão e a queda de movimentos como o da “matemática moderna” e o do “retorno ao básico”” (HOUSE, 1995, p. 2). No que se refere à Matemática Moderna, tem-se visto muito a tecnologia da computação, influenciando “como e o que os alunos aprendem e como e o que os professores ensinam” (HOUSE, 1995, p. 2). Entretanto, esse impacto da tecnologia computacional em âmbito educacional não acompanhou o avanço desta
10
Tradução minha.
11
em outros campos da vida do indivíduo. Assim, apesar de pequenas mudanças nas práticas de ensino das escolas, House ressalta que
os alunos continuam sendo treinados para armazenar informações e para desenvolver a competência no desempenho de manipulações algorítmicas. E, embora níveis adequados de conhecimento factual e de técnicas sejam resultados importantes do programa da álgebra, a necessidade maior dos alunos é uma compreensão sólida dos conceitos algébricos e da capacidade de usar o conhecimento em situações novas e às vezes inesperadas (1995, p. 2).
E no que se refere a uma compreensão sólida de conceitos algébricos, penso que esta esteja intrinsecamente relacionada com a atribuição de significados que os estudantes realizam na (re) construção de tais conceitos. Tratarei sobre esse aspecto mais adiante, em outro tópico da pesquisa.
Para falar de Álgebra é preciso também tentar encontrar uma definição que mais se aproxime dos objetivos a serem alcançados nesta pesquisa. Assim, Birkhoff e Mac Lane (1967) dão início à Álgebra que trabalham tentando relacionar as álgebras da escola básica e da universidade.
A álgebra começa como a arte de manipular somas, produtos e potências de números. As regras para essas manipulações valem para todos os números, de modo que as manipulações podem ser levadas a efeito com letras que representem os números. Revela-se então que as mesmas regras valem para diferentes espécies de números [...] e que as regras inclusive se aplicam a coisas [...] que de maneira nenhuma são números. Um sistema algébrico [...] consiste em um conjunto de elementos de qualquer tipo sobre os quais operam funções como a adição e a multiplicação, contanto apenas que essas operações satisfaçam certas regras básicas (BIRKHOFF e MAC LANE, 1967, p. 1).
De acordo com a obra escrita pelos autores supracitados, a Álgebra se inicia com a Aritmética, com suas regras e operações direcionadas aos números que, mais tarde também terão valia para o trabalho com as variáveis, a serem definidas posteriormente.
Assim, “a álgebra da escola média tem a ver com a compreensão do significado das “letras” (hoje comumente chamadas variáveis12
) e das operações com elas, e consideramos que os alunos estão estudando álgebra quando encontram variáveis pela primeira vez” (USISKIN, 1995, p. 9). Enquanto isso, a Álgebra estudada nos
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cursos de Licenciatura em Matemática como uma “determinada maneira de a Matemática proceder, por meio de uma linguagem característica” e como o “estudo das „estruturas‟”. (MONDINI e BICUDO, 2010, p. 47- 48).
2.2 A INVESTIGAÇÃO NAS AULAS DE MATEMÁTICA
A intenção desta pesquisa refere-se diretamente à construção de significados estabelecida pelos licenciandos em Matemática de uma instituição de ensino superior da região serrana do Espírito Santo sobre o conceito de variável, quando estes são incentivados com atividades investigativas. Nesse sentido, cabe refletir acerca de tais atividades e como elas podem influenciar o processo de ensino e aprendizagem da Álgebra, numa perspectiva de colocar o estudante numa postura mais crítica e ativa da construção do conhecimento e na atribuição de significados aos conceitos trabalhados na sala de aula.
O favorecimento da investigação foge daquilo que conhecemos como o ensino tradicional de Matemática. Sobre esse aspecto, Alro e Skovsmose (2010, p. 51) expõem sobre o método tradicional de ensino, ressaltando que
[...] nesse modelo, as aulas costumam ser divididas em duas partes: primeiro, o professor apresenta algumas ideias e técnicas matemáticas, geralmente em conformidade com um livro-texto. Em seguida, os alunos fazem alguns exercícios pela aplicação direta das técnicas apresentadas. O professor confere as respostas. Uma parte essencial do trabalho de casa é resolver exercícios do livro. Há variações possíveis no tempo gasto com a parte expositiva e com a resolução dos exercícios. Outros elementos podem ser combinados com esse modelo, por exemplo, os alunos podem apresentar pequenos seminários ou exercícios resolvidos.
Esse modelo mecanizado de um processo de ensino e aprendizagem, no que diz respeito à Álgebra, faz com que alunos e professores adotem uma tendência letrista, excluindo qualquer possibilidade de se trabalhar a Álgebra de forma investigativa. Lins e Gimenez (1997) descrevem que nesse modelo acontece a sequência “técnica
(algoritmo)/ prática (exercícios)13” (p. 105). E segundo os mesmos autores, esse tipo
13
de metodologia é o que se encontra na maioria dos livros didáticos do mercado brasileiro e, de acordo com eles, o que pode ser ainda pior,
é que essa prática não se baseia em investigação ou reflexão de qualquer natureza ou profundidade, apenas em uma tradição, tradição essa que estudos e projetos de todos os tipos, e por todo o mundo – inclusive no
Brasil – já mostraram ser ineficaz e mesmo perniciosa à aprendizagem (LINS e GIMENEZ, 1997, p. 106).
Nesse sentido, numa tentativa de criar outros momentos em sala de aula, onde professores e alunos participam da elaboração e discussão das atividades a serem trabalhadas em sala, é que a investigação é indispensável. Trabalhar de forma investigativa propicia a estudantes e professores uma metodologia diferenciada daquela que é, muitas vezes a única nas salas que aula: o Paradigma do Exercício14.
Assim, para o desenvolvimento de um trabalho que favoreça a investigação, é preciso que as práticas de sala de aula sejam evidenciadas e diferenciadas daquelas com base puramente em exercícios. Skovsmose (2008), quando discorre sobre a diferença do tipo de atividades, esclarece que “a distinção entre elas tem a ver com as “referências” que visam levar os estudantes a produzir significados para as atividades e conceitos matemáticos” (p. 22).
No que se refere a uma investigação matemática, Ponte, Brocardo e Oliveira (2009, p. 20) esclarecem que esta deve acontecer em quatro momentos, cujo
primeiro abrange o reconhecimento da situação, a sua exploração preliminar e a formulação de questões. O segundo momento refere-se ao processo de formulação de conjecturas. O terceiro momento inclui a realização de testes e o eventual refinamento das conjecturas. E, finalmente, o último que diz respeito à argumentação, à demonstração e avaliação do trabalho realizado. Esses momentos surgem, muitas vezes, em simultâneo: a formulação das questões e a conjectura inicial, ou a conjectura e o seu teste, etc.
Assim, de acordo com os autores, para se trabalhar sob uma perspectiva investigativa nas aulas de Matemática é preciso refletir acerca do conteúdo que está sendo tratado em sala de aula, permitindo que os estudantes elaborem questionamentos, levantem hipóteses, discutam com os demais colegas e com o
14
professor, para que sejam capazes de chegar a um resultado satisfatório. Nesse sentido, Ponte, Brocardo e Oliveira (2009, p. 28) ressaltam que
o sucesso de uma investigação depende [...], tal como de qualquer outra proposta do professor, do ambiente de aprendizagem que se cria na sala de aula. É fundamental que o aluno se sinta à vontade e lhe seja dado tempo para colocar questões, pensar, explorar as suas ideias e exprimi-las, tanto ao professor como aos seus colegas. O aluno deve sentir que as suas ideias são valorizadas e que se espera que as discuta com os colegas, não sendo necessária a validação constante por parte do professor.
Portanto, para que o trabalho com a investigação aconteça de modo a favorecer uma aprendizagem com mais significado para o estudante, o professor deve fazê-lo perceber que, apesar de poderem dispor do auxílio do professor, o êxito de uma atividade de investigação está centrado especialmente na autonomia e iniciativa de si próprio.
Cabe destacar que o trabalho com a investigação matemática muito se assemelha com a Resolução de Problemas. As investigações podem ser desencadeadas a partir problemas ou simples exercícios. Mas, então, o que difere essas duas formas de investigação? Para Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), essa distinção é de fundamental importância para analisar os tipos de tarefas que se apresentam no processo de ensino e aprendizagem de conceitos Matemáticos, em nosso caso especial, os relacionados à Álgebra. Nesse sentido, os autores escrevem que um “problema é uma questão para a qual o aluno não dispõe de um método que permita a sua resolução imediata, enquanto que um exercício é uma questão que pode ser resolvida usando um método já conhecido” (PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, 2009, p. 22-23).
Todavia, tanto exercícios quanto problemas possuem em seu enunciado o que é dado e o que pedido e o professor já conhece, antecipadamente, seus resultados. Mas quando se propõe um trabalho investigativo com tais tarefas, visa-se o uso de situações mais abertas, onde “a questão não está bem definida no início, cabendo a quem investiga um papel fundamental na sua definição” (PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, 2009, p. 23), que é a busca pelos dados necessários à resolução da mesma. Dessa forma, como os dados iniciais podem ser diferentes para cada aluno, assim também poderão ser os resultados obtidos (PONTE, BROCARDO E OLIVEIRA, 2009).
De modo geral, as investigações preveem um trabalho mais ativo do aluno, envolvendo, de fato, este indivíduo em sua própria aprendizagem, favorecendo uma busca por subsídios para a resolução de questões que lhe foram propostas. Contudo, os exercícios e outros instrumentos utilizados no processo de ensino e aprendizagem da Matemática não devem ser descartados. Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2009, p. 24), o “desafio é articular esses diferentes tipos de tarefas de modo a constituir um currículo interessante e equilibrado, capaz de promover o desenvolvimento matemático dos alunos com diferentes níveis de desempenho”.
Como a investigação pode partir de um simples exercício, o que permitirá que isso aconteça será a abordagem que o professor planeja para suas aulas. Para se planejar uma aula de Matemática que vise a investigação é preciso levar em consideração que uma atividade investigativa desenvolve-se, geralmente em três etapas (que podem acontecer em uma ou mais aulas), descritas da seguinte forma:
(i) introdução da tarefa, em que o professor faz a proposta à turma, oralmente ou por escrito, (ii) realização da investigação, individualmente, aos pares, em pequenos grupos ou com toda a turma, e (iii) discussão dos resultados, em que os alunos relatam aos colegas o trabalho realizado (PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, 2009, p. 25).
Em complemento às ideias supracitadas, Alro e Skovsmose (2010, p. 59) ressaltam que
há dois elementos básicos que não podem ser ignorados ao realizar uma investigação. Um processo investigativo não pode ser uma atividade compulsória, ele pressupõe o envolvimento dos participantes. Além disso, ele deve ser um processo aberto. Resultados e conclusões não podem ser determinados de antemão. [...] Assim, descobrimos que “aprendizagem como ação” e “aprendizagem como investigação” combinam muito bem. Pelo exposto é possível estabelecer que, assim como em qualquer outra atividade, o planejamento tem função indispensável numa abordagem investigativa do processo de ensino e aprendizagem da Matemática.
Tanto no planejamento, como no desenvolvimento da atividade, o papel do professor tem fundamental importância no processo investigativo de aprendizagem. Na parte inicial da atividade, quando a tarefa é proposta aos alunos, o papel do professor está em não pormenorizar sua explicação ao que o aluno deve fazer (dando regras que
