resumo prismas

PRISMA

1. PRISMA ILIMITADO OU PRISMA INDEFINIDO: é a reunião das retas paralelas a uma reta dada r e que passam pelos pontos de uma região poligonal também dada. Se a região poligonal for convexa o prisma será ilimitado convexo, senão será côncavo.

2. ELEMENTOS: n arestas- retas; n diedros e n faces- faixas de plano.

3. SECÇÃO: é uma região poligonal plana (polígono plano) com um só vértice em cada aresta.

4. PROPRIEDADES:

P1  As secções paralelas de um prisma ilimitado são polígonos congruentes.

P2 A soma dos diedros de um prisma ilimitado convexo de n arestas é igual a (n-2).1800 (fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono).

5. SUPERFÍCIE: a superfície de um prisma ilimitado convexo é a reunião das faces desse prisma, também chamada superfície prismática convexa ilimitada ou indefinida.

6. PRISMA CONVEXO LIMITADO: é a reunião da parte de um prisma convexo ilimitado, compreendida entre os planos de duas secções paralelas e distintas, com estas secções.

7. ELEMENTOS DO PRISMA LIMITADO: duas bases congruentes (polígono de n lados); n faces laterais (paralelogramos); (n+2) faces; n arestas laterais; 3n arestas; 3n diedros; 2n vértices e 2n triedros.

8. ALTURA: a altura de um prisma é a distância h entre os planos das bases.

9. SECÇÕES: as secções de um prisma são cortes feitos através de um plano que intercepta todas as arestas laterais. Toda secção de um prisma é um polígono com vértice em cada aresta lateral. Pode ser reta ou normal e transversal. Secção reta ou normal é a secção cujo plano é perpendicular às arestas laterais. Secção transversal é a secção cujo plano é paralelo às bases. Fig. 1

fig 4 fig 5

10. SUPERFÍCIE: superfície lateral é a reunião das faces laterais. A área desta superfície é chamada área lateral (Al). Superfície total é a reunião da superfície lateral mais as bases. A

área desta superfície é chamada área total e indicada por At.

11. CLASSIFICAÇÃO DOS PRISMAS:

Quanto a posição das arestas laterais em relação às bases:

Prisma reto  é o prisma cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. As faces laterais são retângulos.(fig 4)

Prisma oblíquo é o prisma cujas arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. As faces laterais são paralelogramos.(fig 5)

Prisma regular é todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares

(fig 6)

12. NATUREZA DE UM PRISMA: A natureza de um prisma será dada pelo polígono que constitui suas bases. Um prisma será triangular, quadrangular, pentagonal, etc.. se a base for um triângulo, quadrilátero, pentágono, etc... Veja se é capaz de dizer a natureza de um prisma Fig. 3

PARALELEPÍPEDOS

ROMBOEDROS

Fig. 7

Fig. 8

13. PARALELEPÍPEDOS E ROMBOEDROS

Paralelepípedo é um prisma cujas bases são paralelogramos (fig 7). Paralelepípedo reto: é um prisma reto cujas bases são paralelogramos.

Podemos constatar que neste caso as faces laterais são retângulos.

Paralelepípedo reto-retângulo ou ortoedro: é um prisma reto

cujas bases são retângulos. Neste caso as faces laterais também são.

Romboedro: é o paralelepípedo que possui todas as arestas congruentes. As faces são losangos (fig 8). Romboedro reto: é o paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes. Podemos verificar que as

bases são losangos e as arestas laterais são quadrados.

Romboedro reto retângulo ou cubo: é um romboedro reto cujas bases são quadrados. Como as arestas

são todas congruentes, as faces são quadrados.

14. DIAGONAL E ÁREA:

 Dado um cubo de aresta a, calcular a diagonal e a área lateral e total.

 Dado um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, calcular as diagonais das faces f1, f2, f3, a diagonal do paralelepípedo e sua área total.

15. VOLUME DE UM SÓLIDO

Todo sólido ocupa uma porção do espaço. A medida dessa porção é o volume do sólido. Para calcular o volume de um corpo, usamos em geral, como unidade padrão o volume de um cubo de aresta medindo 1u: esse volume é de 1u3. Assim, se a aresta mede 1cm, o volume desse cubo é 1 cm3; se a aresta mede 1m, o volume é 1m3.

Por exemplo, considere um paralelepípedo reto retângulo de dimensões 2cm, 3cm e 4cm;

o cubo de aresta 1cm cabe nesse paralelepípedo 2.3.4 vezes; podemos, então, dizer que o volume desse sólido é 2.3.4= 24 cm3.

Assim, o volume de um paralelepípedo reto retângulo, de dimensões a, b e c (na mesma unidade u), é V= a . b. c.

Em particular, para um cubo de aresta de medida a, o volume é: V=a3.

PRINCÍPIO DE CAVALIERI

Suponha a existência de uma coleção finita de chapas retangulares (paralelepípedos retângulos) de mesmas dimensões e, conseqüentemente, de mesmo volume. Imagine ainda a formação de dois sólidos com esta coleção de chapas como indicam as figuras A e B abaixo:

Tanto no caso A como no B, a porção de espaço ocupado pela coleção de chapas é o mesmo, isto é, os sólidos A e B têm o mesmo volume.

Agora, imaginemos estes sólidos com base num mesmo plano  e situados num mesmo semi-espaço dos determinados por .

Qualquer plano  , secante aos sólidos A e B, paralelo a, determina em A e B superfícies de áreas iguais (superfícies equivalentes). A mesma idéia pode ser estendida para duas pilhas com igual número de moedas congruentes.

A formalização do fato que acabamos de caracterizar intuitivamente é conhecida como Princípio ou

Postulado de Cavalieri:

Dois sólidos, nos quais todo plano secante, paralelo a um dado

plano, determina superfícies de áreas iguais (superfícies

equivalentes), são sólidos de volumes iguais (sólidos equivalentes).

Podemos então afirmar que o volume de um prisma é dado por

Lista de exercícios:

1. Uma cozinha tem formato cúbico e seu pé direito (altura) é de 3 m. Se todas as paredes da cozinha, que tem duas portas de 0,80 m x 2,20 m, devem ser azulejadas até o teto, quantos metros quadrados de azulejos são necessários? R: 32,48m2

2. A diferença entre as diagonais de dois cubos mede 3 cm e a aresta do menor é de 7 3 cm. Calcule a diagonal, a área total e o volume do maior. R: d=24cm, At=1152cm2, V=1536 3 cm3.

3. Aumentando de 1 m a aresta de um cubo, a sua área lateral sobre um acréscimo de 164 m2. Calcule a área total e o volume do cubo. R: At=2400m2e V=8000m3.

4. Uma caixa d'água cúbica de aresta 1 m está completamente cheia e retiramos 70 litros de água. De quanto desce o nível da água? R: 7 cm.

5. 0 sal é transportado para o depósito num veículo cuja carroceria mede 2,20 m de largura, 3,20 m de comprimento e 0,70 m de altura. 0 responsável pelo depósito garante que, em cada viagem, o caminhão carrega 5 m3de sal. Esta informação é verdadeira? Por quê? R: não, 4,93 m3

6. As dimensões de um ortoedro são três números pares consecutivos. Sendo 24 m a soma das dimensões, calcule a diagonal, área total e o volume.Calcule também a área da região determinada pela intersecção desse sólido com o plano que contém duas

arestas laterais opostas de maior medida.

R: d=13,9m, At=382m2, V=504m3, Aplano=95,67m2.

7. Na figura 1 temos um paralelepípedo cuja base é um quadrado de perímetro igual a 24dm. Calcule o volume. R:180 3 dm3. 8. A diagonal da base de um ortoedro mede 40 cm. Calcule a

área total, sabendo que as suas dimensões foram uma progressão geométrica de razão 3. At= 312 cm2.

9. Um cubo e um prisma hexagonal regular são equivalentes. Calcule a altura do prisma, sabendo que a aresta do cubo mede 2 3 cm e a aresta da base do prisma, 2 cm. R:

10. A base de um prisma reto é um trapézio isósceles de 6m e 12m de bases e lado oblíquo igual a 5m. Sendo a altura do prisma 8m, calcule a) a área da base; b) a área lateral; c) a área total; d) o volume. R: 36m2; 224m2; 296m2e 288m2.

11. A embalagem de um chocolate tem a forma de um prisma triangular regular, cuja aresta da base mede 2 cm e a lateral, 10 cm. Calcule a área de papel utilizado na embalagem e o volume máximo de chocolate que ela pode conter. R: A=(60+2 3 ) cm2.=, V= 10 3 cm3

12. Num supermercado, as mercadorias são acondicionadas em sacos de papel em forma de prisma quadrangular regular, cujas dimensões são de 0,20 x 0,20 x 0,40 m. Determine:

a) Sem considerar as dobras, a quantidade de papel, em m2, para 300.000 sacos; R: 108000 m2. b) Número máximo de barras de chocolate, em forma de prisma triangular regular com 10 cm de altura e 6 cm de aresta na base, que é possível acondicioná-las em cada saco de papel. R: 102 barras. R:

13 Numa barra metálica oca, a secção reta é formada externamente por um hexágono regular com 8 cm de lado e a parte vazia por um triângulo eqüilátero com 6 cm de lado. Calcule o volume da barra, cujo comprimento é de 0,40m. R:V=3480 3 cm3.

14.A base de um prisma reto é um triângulo isósceles em que os lados iguais medem 13 cm e o outro 10 cm. Sua altura é igual ao perímetro do triângulo da base. Calcule a área total e o volume.

R:1416 cm2e 2160 cm3.

15.A soma das medidas de todas as arestas de um prisma hexagonal regular é 108 cm. Sendo o apótema da base 2 3 cm, calcule o volume do prisma. R: .240 3cm3..

16. Em um cubo ABCD são os vértices da face superior e EFGH os respectivos vértices da face inferior. Sabendo que a aresta mede a 2 e que M e N são os pontos médios, respectivos de AB e