1 Faculdade Pitágoras de Uberlândia
Engenharia de Produção
Disciplina: Pesquisa Operacional Prof. João Paulo Seno
Modelos de Rede e Solução Comentada dos Exercícios 1, 2 e 3
Modelos de Rede:
É um conjunto de problemas que podem ser descritos numa forma gráfica conhecida como rede. Há, em engenharia, vários problemas que podem ser incluídos neste conjunto. Também são conhecidos como Problemas de Fluxo de Rede.
Redes:
São diagramas compostos por uma coleção de nós ligados entre si por um conjunto de arcos. Os nós são simbolizados por círculos e representam pontos de junção aos quais se conectam os arcos. Os arcos são representados por linhas, conectam os nós e podem revelar a direção do fluxo de um ponto para outro.
Figura 1 – Exemplo de Diagrama de Rede
Notas:
a) Os diagramas PERT/CPM estudados em Gestão das Operações são exemplos de diagramas de rede com características próprias, ou seja, há regras específicas para sua construção.
b) Os números dentro dos nós servem apenas para identificá-los. Não interferem nos cálculos. Porém, convenciona-se que utilizaremos números inteiros seqüenciais, começando do número 1.
c) Podemos ter valores numéricos associados aos nós e aos arcos, cujos significados dependem do tipo de problema que está sendo representado.
d) Se não houver um arco ligando dois nós, não há fluxo ente eles.
e) Os arcos contêm setas que indicam o sentido possível do fluxo. Pode haver dois arcos de sentidos opostos ligando dois nós. Isto significa que o fluxo é bidirecional.
Tipos de problemas de rede:
Problemas de Rede de Distribuição; Problemas de Transporte;
Problemas de Escala de Produção; Problemas do Menor Caminho; Problemas de Fluxo Máximo; Problemas de Caminho Crítico.
Solução do Exercício 1 - Problema de Distribuição:
A maioria dos problemas de fluxo de rede pode ser vista como uma simples variação deste tipo de problema. Por isto é o primeiro apresentado.
1 3 2 4 nós arcos
2
Características de um problema de fluxo de rede:
Pode ser representado graficamente por um diagrama de rede (ver o diagrama no enunciado do exercício). Nestes diagramas podemos ter nós fornecedores (supply nodes) e nós de demanda (demand nodes).
A capacidade de fornecimento líquido é representada por um número negativo e a demanda líquida é indicada por um número positivo. Neste exercício, o número -200, próximo ao nó que representa a cidade de Vitória, indica que o número de motocicletas pode ser reduzido de 200, ou seja, Vitória tem um suprimento de 200 motocicletas. Já no caso do nó que representa a cidade de Goiânia, temos o número +60, que representa uma demanda de 60 motocicletas. Poderíamos utilizar uma regra inversa, mas esta é uma convenção universal para solução deste tipo de problema.
Os nós que tanto recebem como enviam motocicletas, como é o caso de Belo Horizonte, são conhecidos como “transshipment nodes” ou nós intermediários. No entanto, mesmo assim estes nós terão um suprimento ou uma demanda. Nunca ambos. No caso de Belo Horizonte, 100 motocicletas deverão ficar lá, por isso é um nó cujo fluxo líquido é demandante. Daí a notação ser + 100.
Quais são as variáveis de decisão do problema?
Primeiramente, o objetivo de um modelo de fluxo de rede é determinar quantos itens devem ser movidos através de cada arco. Neste exercício, a empresa de transportes precisa determinar a maneira de transportar as motocicletas pelas rodovias (representadas no modelo pelos arcos) que leva ao menor custo total e que atende a necessidade dos distribuidores. Portanto, cada um dos arcos da rede representa uma variável de decisão. Determinar o fluxo ótimo para cada arco é o equivalente a determinar o valor ótimo para cada variável de decisão correspondente.
Considerando a seguinte numeração dos nós: Vitória – 1 BH – 2 Goiânia – 3 São Paulo – 4 Uberlândia – 5 Curitiba – 6 Santos – 7
E que as variáveis de decisão serão definidas como:
Xij = número de motocicletas transportadas do nó i para o nó j; Temos:
X12 = número de motocicletas transportadas de Vitória para BH;
X14 = número de motocicletas transportadas de Vitória para São Paulo;
X23 = número de motocicletas transportadas de BH para Goiânia;
X35 = número de motocicletas transportadas de Goiânia para Uberlândia;
X53 = número de motocicletas transportadas de Uberlândia para Goiânia;
X54 = número de motocicletas transportadas de Uberlândia para São Paulo;
X56 = número de motocicletas transportadas de Uberlândia para Curitiba;
X65 = número de motocicletas transportadas de Curitiba para Uberlândia;
X74 = número de motocicletas transportadas de Santos para São Paulo;
X75 = número de motocicletas transportadas de Santos para Uberlândia;
3 Observe que o número de variáveis de decisão é igual ao número de arcos. Isto também é uma regra para este tipo de problema.
Qual é a função objetivo para problemas de Fluxo de Rede?
Este é um problema do tipo “mínimo custo”. Cada unidade transportada entre as cidades faz incorrer um custo unitário, que está anotado em cada arco do diagrama.
Genericamente, este custo Cij pode representar um pagamento em dinheiro, uma distância ou algum outro tipo de “penalidade”.
O objetivo da maioria dos problemas de fluxo de rede é minimizar este custo total, distância total, ou seja, genericamente, minimizar a “penalidade total”.
Para este problema, temos que o custo total será:
CUSTO TOTAL = 30.X12 + 40.X14 + 50.X23 + 35.X35 + 40.X53 +30.X54 + 35.X56 + 25.X65 + 50.X74 + 45.X75 + 50.X76 E a função objetivo será, conseqüentemente,
MIN z = 30.X12 + 40.X14 + 50.X23 + 35.X35 + 40.X53 +30.X54 + 35.X56 + 25.X65 + 50.X74 + 45.X75 + 50.X76
Explicação: O custo unitário para se transportar uma motocicleta de Vitória para BH é de $30. Portanto, o componente de custo deste trajeto será 30.X12, onde X12 é a quantidade de motocicletas transportadas de Vitória para BH. Usando este mesmo raciocínio para todos os trajetos possíveis, e somando-os, temos o custo total acima. As restrições dos problemas de Fluxo de Rede:
Assim como o número de arcos num problema de rede determina o número de variáveis de decisão, o número de nós determinará o número de restrições, não contando a restrição obrigatória de todo problema de programação linear que é a de “não-negatividade”.
Para determinar as restrições, há um conjunto simples de regras a seguir, conhecidas como “Regras de
Balanceamento de Fluxo”, aplicáveis aos problemas de minimização de fluxo.
Abaixo, as regras na forma de tabela:
Tabela 1 – Regras de Balanceamento de Fluxo para problemas de Minimização de Fluxo
Para problemas onde: Aplicar, a cada nó, a seguinte regra:
FORNECIMENTO > DEMANDA Fluxo de Entrada - Fluxo de Saída ≥ Fornecimento ou Demanda FORNECIMENTO < DEMANDA Fluxo de Entrada - Fluxo de Saída ≤ Fornecimento ou Demanda FORNECIMENTO = DEMANDA Fluxo de Entrada - Fluxo de Saída = Fornecimento ou Demanda Entende-se por fluxo de entrada a soma de tudo o que entra no nó. O fluxo de saída é a soma de tudo o que sai do nó.
Em situações em que a capacidade de fornecimento é menor do que a demanda, será impossível atender a esta última. Assim, tenha consciência de que o modelo minimizará o custo, mas não atenderá a demanda total. As decisões que ele tomará levarão em consideração apenas o critério de custo mínimo para isto. Caso seu problema deva levar outras restrições em consideração, inclua-as à parte no modelo.
4 Para o problema em questão, temos:
• Capacidade total de fornecimento = 500 motocicletas; • Demanda total = 480 motocicletas.
A situação encontrada neste problema é a primeira apresentada na tabela 1, ou seja, o fornecimento é maior do que a demanda e as restrições ficam conforme abaixo. Como temos 7 nós, teremos 7 restrições.
Nó (1): – X12 – X14 ≥ – 200 (Vitória) Nó (2): + X12 – X23 ≥ + 100 (Belo Horizonte) Nó (3): + X23 + X53 – X35 ≥ + 60 (Goiânia) Nó (4): + X14 +X54 +X74 ≥ + 80 (São Paulo) Nó (5): + X35 + X65 + X75 – X53 – X54 – X56 ≥ + 170 (Uberlândia) Nó (6): + X56 + X76 – X65 ≥ + 70 (Curitiba) Nó (7): – X74 – X75 – X76 ≥ – 300 (Santos)
Veja o arquivo de solução do Solver, disponível no Portal Universitário. Abaixo temos uma visualização da tela, com a solução já calculada pelo Solver.
Figura 2 – Tela da solução no Solver/Excel, do problema 1-2A.
O valor das variáveis, que são as células em amarelo, indica a solução ótima. Por exemplo, a companhia deveria enviar 120 motocicletas de Vitória para Belo Horizonte enquanto não deveria transportar nada de Goiânia para Uberlândia.
Observe também que o custo total desta estratégia de distribuição é $ 22.350,00. Você acha que pode encontrar uma alternativa mais econômica?
5 Sugestões para estudo: 1) Redesenhe o diagrama, eliminando os arcos com valor zero e anote os valores obtidos nos arcos que permanecem. Você terá uma visualização gráfica da solução do problema. 2) Tente alguma outra estratégia, usando seu “bom senso” e calcule o custo total. Veja o que acontece.
Solução do Exercício 2:
O exercício 2 é um problema do tipo “menor caminho”. As informações anotadas nos arcos referem-se aos tempos do trajeto entre uma cidade e outra. Sua configuração também poderia torná-lo um problema de mínimo custo se as informações nos arcos fossem de custo.
Trata-se de um problema que existe quando se necessita encontrar rotas mais curtas ou mais rápidas entre, por exemplo, uma Central do Corpo de Bombeiros e um ponto da cidade onde tenha ocorrido um problema. Cada intersecção de ruas na cidade poderia ser vista como um nó e as ruas entre elas como arcos do diagrama de rede. Como as condições de trânsito dependem do dia da semana e da hora do dia, é útil ter um modelo computadorizado que calcule a melhor opção a qualquer momento e rapidamente. Fica muito mais fácil encontrar as melhores alternativas.
Voltemos ao exercício 2. Veja o diagrama de rede, abaixo, que representa o problema.
Figura 1 – Diagrama de Rede que representa o problema do exercício 2
Cada nó representa uma cidade e os arcos representam as rodovias que interligam as cidades. Os nós são identificados por números inteiros sequenciais, que é uma maneira padronizada que adotamos. Os números próximos aos arcos representam, segundo o enunciado do problema, o tempo médio para ir de uma cidade a outra.
+1
6 Para resolver este problema usando um modelo de fluxo de rede, precisamos identificar qual é o fornecimento e qual é a demanda de cada nó.
A cidade 1, onde se encontra o nosso veículo e de onde ele deverá partir, tem um fornecimento 1. Logo, devemos anotar próximo ao nó 1 o número -1. A cidade 11, onde nosso veículo pretende chegar, tem uma demanda de 1. Logo, anotamos próximo ao nó 11 o valor +1.
Os demais nós, que eventualmente serão visitados, terão fluxo líquido igual a zero, pois mesmo que o nosso único veículo passe por um deles, ele não ficará lá.
Lembrando da tabela 1 apresentada durante a solução do exercício 1, sobre as regras que devemos aplicar a cada tipo de problema, podemos verificar que este problema se enquadra no tipo 3, onde o fornecimento é igual a demanda.
As variáveis de decisão (cuja quantidade será igual ao número de arcos) são: X1,2 = Quantidade de veículos que sai do da cidade 1 e desloca-se para a cidade 2 X1,3 = Quantidade de veículos que sai do da cidade 1 e desloca-se para a cidade 3 X2,3 = Quantidade de veículos que sai do da cidade 2 e desloca-se para a cidade 3 X2,4 = Quantidade de veículos que sai do da cidade 2 e desloca-se para a cidade 4 X3,5 = Quantidade de veículos que sai do da cidade 3 e desloca-se para a cidade 5 X3,6 = Quantidade de veículos que sai do da cidade 3 e desloca-se para a cidade 6 X4,6 = Quantidade de veículos que sai do da cidade 4 e desloca-se para a cidade 6 X4,7 = Quantidade de veículos que sai do da cidade 4 e desloca-se para a cidade 7 X5,6 = Quantidade de veículos que sai do da cidade 5 e desloca-se para a cidade 6 X5,9 = Quantidade de veículos que sai do da cidade 5 e desloca-se para a cidade 9 X6,8 = Quantidade de veículos que sai do da cidade 6 e desloca-se para a cidade 8 X6,9 = Quantidade de veículos que sai do da cidade 6 e desloca-se para a cidade 9 X7,8 = Quantidade de veículos que sai do da cidade 7 e desloca-se para a cidade 8 X7,10 = Quantidade de veículos que sai do da cidade 7 e desloca-se para a cidade 10 X89 = Quantidade de veículos que sai do da cidade 8 e desloca-se para a cidade 9 X8,10 = Quantidade de veículos que sai do da cidade 8 e desloca-se para a cidade 10 X9,11 = Quantidade de veículos que sai do da cidade 9 e desloca-se para a cidade 11 X10,11 = Quantidade de veículos que sai do da cidade 10 e desloca-se para a cidade 11 Notas:
1) No nome da variável, utilizamos uma vírgula para separar os dois índices (nó de origem, nó de destino) para evitar confusão.
2) Observe que as variáveis são contínuas, ou seja, podem assumir quaisquer valores reais. Como temos neste caso apenas um veículo, os valores finais serão zero (se o veículo não passou pela rodovia representada pela variável) ou um (se passou). Mas isso não significa que as variáveis são binárias, que só podem assumir valores 0 ou 1. Outro aspecto a ser observado é que não podemos ter valores “quebrados”, pois não se dividem carros ao meio e uma parte vai por um caminho e a outra por outro. Neste caso, pode-se dizer que as variáveis deveriam ser inteiras. Usar variáveis inteiras num problema de programação linear gera dificuldades matemáticas e computacionais para se encontrar uma solução ótima. Veremos isto também um pouco mais adiante na disciplina. Por enquanto, vamos considerar que as variáveis são apenas contínuas. Função objetivo (o objetivo é minimizar o tempo total de viagem):
MIN z = 2,5.X1,2 + 3.X1,3 + 1,7.X2,3 + 2,5.X2,4 + 1,7.X3,5 + 2,8.X3,6 + 2.X4,6 + 1,5.X4,7 + 2.X5,6 + 5.X5,9 + + 3.X6,8 + 4,7.X6,9 + 1,5.X7,8 + 2,3.X7,10 + 2.X8,9 + 1,1.X8,10 + 3,3.X9,11 + 2,7.X10,11
As restrições serão:
7 b) Restrições de fluxo para cada nó (teremos uma para cada nó):
Nó 1: – X12 – X13 = –1 Nó 2: + X12 – X23 – X34 = 0 Nó 3: + X13 + X23 – X35 – X36 = 0 Nó 4: + X24 – X46 – X47 = 0 Nó 5: + X35 – X56 – X59 = 0 Nó 6: + X36 + X46 + X56 – X68 – X69 =0 Nó 7: + X47 – X78 – X7,10 = 0 Nó 8: + X68 + X78 – X89 – X8,10 = 0 Nó 9: + X59 + X69 + X89 – X9,11 =0 Nó 10: + X7,10 + X8,10 – X10,11 = 0 Nó 11: + X9,11 + X10,11 = +1
A modelagem está concluída. Veja a solução no Solver, do Excel. Para interpretar o resultado, desenhe a rota. Onde os valores das variáveis forem 1, significa que a respectiva rodovia foi percorrida. Portanto, desenhe apenas estas rodovias.
Para pensar: Como deveria ser modelado o problema caso tivéssemos um comboio de 5 veículos que deveriam realizar o mesmo trajeto?
Solução do Exercício 3:
Este exercício é um exemplo de problema de “fluxo máximo”. A primeira vista, parece ter uma solução muito diferente dos dois problemas de rede anteriores. Porém, com a aplicação de um “macete”, ele poderá ser resolvido da mesma maneira. O “macete” é o seguinte:
• 1º) Acrescentamos um arco de retorno (fictício), do nó final para o nó inicial. O desenho fica como mostrado abaixo;
• 2º) Atribuímos demanda 0 para todos os nós da rede (tudo o que entra, sai).
Se maximizarmos o arco de retorno, estamos automaticamente maximizando o fluxo do nó 1 para o nó 6, uma vez que forçamos o sistema a ser balanceado.
Figura 2 – Diagrama de Rede que representa o problema, mais o arco de retorno
8 As variáveis de decisão são os fluxos em cada um dos arcos:
X12 = fluxo do campo de extração para a estação de bombeamento 1; X13 = fluxo do campo de extração para a estação de bombeamento 2;
X24 = fluxo da estação de bombeamento 1 para a estação de bombeamento 3; X25 = fluxo da estação de bombeamento 1 para a estação de bombeamento 4; X34 = fluxo da estação de bombeamento 2 para a estação de bombeamento 3; X35 = fluxo da estação de bombeamento 2 para a estação de bombeamento 4; X46 = fluxo da estação de bombeamento 3 para a refinaria;
X56 = fluxo da estação de bombeamento 4 para a refinaria; X61 = fluxo do retorno.
Nota: Todas as variáveis acima são medidas em barris/hora.
Como já dissemos, se o objetivo é conseguir o máximo de fluxo do campo de extração para a refinaria, uma vez que atribuímos demanda zero para todos os nós, precisamos maximizar X61.
Logo, a função objetivo será (maximizar o fluxo total): MAX z = X61
Para determinar as restrições, primeiro aplicamos a regra do balanceamento e depois devemos escrever restrições a respeito da quantidade máxima de barris de petróleo que podem fluir por cada duto, por hora (observe que há limitação de capacidade nos dutos).
As restrições do problema são:
a) Não negatividade: Xij ≥ 0, para todos os i e j;
b) Restrições de balanceamento de fluxo (uma para cada nó) Nó 1: + X61 – X12 – X13 = 0 Nó 2: + X12 – X24 – X25 = 0 Nó 3: + X13 – X34 – X35 = 0 Nó 4: + X24 + X34 – X46 = 0 Nó 5: + X25 + X35 – X56 = 0 Nó 6: + X46 + X56 – X61 = 0
c) Restrições de capacidade de fluxo para cada duto (ou seja, para cada variável de decisão): X12 ≤ 6 (máximo fluxo do campo de extração para a estação de bombeamento 1) X13 ≤ 4 (máximo fluxo do campo de extração para a estação de bombeamento 2)
X24 ≤ 3 (máximo fluxo da estação de bombeamento 1 para a estação de bombeamento 3) X25 ≤ 2 (máximo fluxo da estação de bombeamento 1 para a estação de bombeamento 4) X34 ≤ 2 (máximo fluxo da estação de bombeamento 2 para a estação de bombeamento 3) X35 ≤ 5 (máximo fluxo da estação de bombeamento 2 para a estação de bombeamento 4) X46 ≤ 6 (máximo fluxo da estação de bombeamento 3 para a refinaria)
X56 ≤ 4 (máximo fluxo da estação de bombeamento 4 para a refinaria) X61 ≤ ∞ (máximo fluxo do retorno)
Nota: Na prática não temos como considerar o valor “∞” (infinito). Devemos utilizar um valor numérico grande, que nunca seria atingido. Em nosso modelo, no Excel, vamos utilizar 9.999.
Veja a implementação da solução deste exercício no Excel. Para interpretar os resultados, anote o fluxo ideal calculado para cada duto, nos respectivos arcos do diagrama de rede.
