Capítulo 5
5.1 –
Experiências para entender a
flambagem
1) Pegue uma régua escolar de plástico e pressione-a entre dois pontos bem próximos, um a cinco centímetros do outro. Você está simulando uma estrutura em compressão simples. Agora, pressione dois pontos distantes 15cm um do outro. Algo começa a aparecer nessa nova posição, é visivelmente mais fácil criar condições para a barra começar a encurvar. A barra está começando a sofrer o fenômeno da flambagem. Faça agora com pontos distantes a 30cm. Force a régua até a ruptura. A régua se quebra, pois o plástico é um material frágil.
2) Pise em cima de uma lata vazia de refrigerante. Você notará que a lata, sem se quebrar, amassa. Não quebrou porque, ao contrário do plástico que é frágil, o alumínio é dúctil e se deforma bastante antes de perder sua unidade.
ü Peças comprimidas de grande altura podem flambar, fato que é reduzido sensivelmente se a altura for pequena.
ü Quanto maior for a espessura da peça comprimida, menor a tendência a flambar.
ü Quanto mais flexível for o material (menor E), mais fácil é a ocorrência da
flambagem.
Deve-se a Leonhard Euler (1744) a primeira formulação de uma quantificação do limite que se pode colocar uma peça comprimida, para que ela não flambe.
5.2 – Carga crítica – fórmula de Euler
para coluna ideal com apoios de pinos
Elementos estruturais compridos e esbeltos, sujeitos a uma força de compressão axial são denominados colunas.
Uma coluna ideal é uma coluna perfeitamente reta antes da carga. A carga é aplicada no centroide da seção transversal.
A deflexão lateral que ocorre é denominada flambagem.
A carga axial máxima que uma coluna pode suportar quando está na iminência de sofrer flambagem é denominada carga crítica, Pcr.
Essa equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes de solução geral é:
Condições de contorno: y=0 em x=0, C2=0 e y=0 em x=L: = = -2 2 d y EI M Py dx æ ö æ ö = çç ÷÷+ çç ÷÷ è ø è ø 1 2cos P P y C sen x C x EI EI æ ö +ç ÷ = è ø 2 2 0 d y P y dx EI æ ö = çç ÷÷ è ø 1 0 C sen P L EI
O menor valor de P é obtido com n=1, de modo que a carga crítica é: = çç ÷÷ è ø = ® = æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø 1 1 0 0 0 0 P C sen L EI C y P sen L EI
p
æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø P L n EIp
= = 2 2 2 1,2,3.... n EI P n Lp
= 2 2 cr EI P LPcr ⟶ carga crítica ou carga axial σ
cr ⟶tensão crítica
E ⟶módulo de elasticidade para o material
I ⟶ menor momento de inércia para a área da seção transversal
L ⟶ comprimento da coluna sem apoio i⟶ menor raio de giração da coluna
λ=L/i ⟶ índice de esbeltez – medida da flexibilidade da coluna
(
)
2 2 2 2 / cr cr EI P L E σ L i p p = = I i A =(
)
2 2 2 2 2 ( ) / cr cr E Ai P L P E A L i p p = æ ö = ç ÷ è øGráfico Tensão crítica x λ 2 2 cr P E A p l æ ö = ç ÷ è ø
A coluna sofrerá flambagem em torno do eixo principal da seção transversal que tenha o menor
momento de inércia (o eixo menos resistente).
Na coluna da figura ao lado, sofrerá flambagem em torno do eixo a-a e não do eixo b-b.
1)Um tubo de aço A-36 com 7,2m de comprimento e a seção transversal mostrada ao lado deve ser usado como uma coluna presa por pinos na extremidade. Determine a carga axial admissível máxima que a coluna pode sofrer flambagem. Resposta:
Exercício de fixação
200 250 e E GPa MPa s = = Pcrit=228,2kN2)Uma coluna de aço A-36 tem 4m de comprimento e está presa por pinos em ambas as extremidades. Se a área da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura, determine a carga crítica. Resposta:
Exercício de fixação
200 250 e E GPa MPa s = = Pcrit=22,7kNO elemento estrutural A-36 W200 X 46 de aço mostrado na figura ao lado deve ser usado como uma coluna acoplada por pinos. Determine a maior carga axial que ele pode suportar antes de começar a sofrer flambagem ou antes que o aço escoe.
Exemplo
1-2 6 4 6 4 5890 mm , 45,5 10 mm , 15,3 10 mm 250 , 200 x y e A I I MPa E GPa s = = ´ = ´ = =Ocorrerá flambagem em torno do eixo y–y (menor):
Quando totalmente carregada, a tensão de compressão média na coluna é:
Visto que a tensão ultrapassa a tensão de escoamento,
Resposta:
(
)
2 3 2 6 4 2 3 2 2 (200 10 / ) 15,3 10 mm 1887,6 10 1887,6 (4000 ) cr N mm EI P N kN L mm p p ´ ´ = = = ´ = 3 2 2 1887,6 10 320,5 320,5 5890 mm mm cr cr P N N MPa A s = = ´ = = 3 2 2 250 1472,5 10 1472,5 mm 5890 N P P N kN mm = \ = ´ = 1472,5 P = kNA fórmula de Euler foi deduzida para uma coluna com extremidades acopladas por pinos ou livres para girar. Todavia, muitas vezes as colunas podem ser apoiadas de outro modo.
Leé denominado comprimento efetivo da coluna.
Um coeficiente dimensional K, fator de comprimento efetivo, é usado para calcular Le.
KL
L
e
=
5.3- Colunas com vários tipos de
Portanto, temos,
( )
(
)
2 2 2 2 / cr cr e e EI E P L L i p p s = = λ=L3)Determinar a carga crítica se a coluna for engastada na base e presa por pinos no topo.
Resposta:
Exercício de fixação
4) O elemento estrutural W200x100 é feito de aço A—36 e usado como uma coluna de 7,5m de comprimento. Podemos considerar que a base dessa coluna está engastada e que o topo está preso por um pino. Determine a maior força axial P que pode ser aplicada sem provocar flambagem. Considere:
Exercício de
fixação-E = 200GPa Ix = 113(106)mm4 Iy = 36,6(106)mm4 σ e=250MPaEssa equação tem solução geral é:
Condições de contorno: y=0 em x=0, C2=e e y=0 em x=L: = = - + 2 2 ( ) d y EI M P e y dx æ ö æ ö = çç ÷÷+ çç ÷÷ -è ø è ø 1 2cos P P y C sen x C x e EI EI æ ö æ ö +ç ÷ = -ç ÷ è ø è ø 2 2 d y P P y e dx EI EI æ ö - çç ÷÷ è ø = æ ö ç ÷ ç ÷ è ø 1 [1 cos P ] e L EI C P sen L EI
Usando identidades trigonométricas: Deflexão máxima: (x=L/2) æ ö = × çç ÷÷ è ø 1 2 P L C e tg EI cos 1 2 P L P P y e tg sen x x EI EI EI é æ ö æ ö æ ö ù = ê çç ÷÷ çç ÷÷+ çç ÷÷- ú ê è ø è ø è ø ú ë û é æ ö ù = ê çç ÷÷- ú ê è ø ú ë û sec 1 2 máx P L y e EI
máx
P
Mc
A
I
s
= + 2 1 sec 2 e máx L P ec P A i i EA s = éê + æç ö÷ùú è ø ë û = é æ ö ù = ê çç ÷÷ - ú ê è ø ú ë û é æ ö ù = ê çç ÷÷ - ú ê è ø ú ë û sec 1 2 sec 1 2 máx máx M Py P L y e EI P L M Pe EI sec 1 2 máx P P L c Pe A EI I s = + éê æç ö÷ - ùú è ø ë û σmáx ⟶ tensão elástica máxima na coluna
P ⟶ carga vertical aplicada a coluna e ⟶ excentricidade da carga P
c ⟶ distância do eixo neutro até a fibra externa da coluna onde ocorre a tensão de compressão máxima
A ⟶ área da seção transversal da coluna
Le ⟶ comprimento não apoiado da coluna no plano de flexão.
E ⟶ módulo de elasticidade para o material i⟶ raio de giração
5) A coluna W8x48 de aço estrutural A-36 está engastada na base e presa por pino no topo. Se for submetida à carga excêntrica de 75kip, determine se ela falha por escoamento. A coluna está escorada de modo a não sofrer flambagem em torno de y-y. Considere:
Exercício de
fixação-E = 29(103)ksi
σ
e = 36ksi
6) Um elemento estrutural W10x15 de aço A-36 é usado como uma coluna engastada. Determine a carga excêntrica máxima P que pode ser aplicada de modo que a coluna não sofra flambagem ou escoamento. Considere:
Exercício de
fixação-E = 29(103)ksi σ e = 36ksi d=9,99in P=36,8kN A = 4,41in2 Ix = 68,9in4 Iy = 2,89in4 ix=3,95in Resposta:7) A coluna de alumínio tem a seção transversal mostrada abaixo. Se estiver engastada na base e livre no topo, determine a força máxima que pode ser aplicada em A sem provocar flambagem ou escoamento. Considere:
