Termodinâmica estatística de não-equilíbrio da condensação de Fröhlich-Bose-Einstein de mágnons excitados

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA POR

VALKÍRIA SUCCI VICENTE – CRB8/5398 - BIBLIOTECA DO IFGW

UNICAMP

Vannucchi, Fabio Stucchi, 1981-

V339t Termodinâmica estatística de não-equilíbrio da

condensação de Fröhlich-Bose-Einstein de mágnons

excitados / Fabio Stucchi Vannucchi. -- Campinas, SP :

[s.n.], 2011.

Orientadores: Roberto Luzzi, Áurea R. Vasconcellos.

Tese (doutorado) – Universidade Estadual de

Campinas, Instituto de Física “Gleb Wataghin”.

1. Termodinâmica de sistemas em não-equilíbrio.

2. Magnetismo. 3. Ondas de spin. 4. Mágnons.

5. Magnônica. 6. Fröhlich-Bose-Einstein, Condensação de.

I. Luzzi, Roberto, 1936- II. Vasconcellos, Áurea Rosas,

1939- III. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de

Física “Gleb Wataghin”. IV. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em inglês: Non-equilibrium statistical thermodynamics of the Fröhlich-Bose-

Einstein condensation of hot magnons

Palavras-chave em inglês:

Nonequilibrium thermodynamics

Magnetism

Spin waves

Magnons

Magnonics

Fröhlic-Bose-Einstein condensation

Área de Concentração: Física Estatística e Termodinâmica

Titulação: Doutor em Ciências

Banca Examinadora:

Roberto Luzzi [Orientador]

André Bohomoletz Henriques

Silvio Roberto de Azevedo Salinas

Guillermo Gerardo Cabrera Oyarzún

José Galvão Pisapia Ramos

Agradeço aos meus orientadores Roberto Luzzi e Áurea R. Vas on ellos pela pa- iente ededi ada orientação. Agradeço tambémpelas prazerosas reuniões, verdadeiras aulas de físi a.

À Professora Vera B. Henriques, pelos frutíferos onselhos.

Ao professor Sergio M. Rezende, pelas diversas ontribuições ao longo deste tra-balho.

Aos olegas de pós-graduação,pelas alegriase angústias ompartilhadas.

Agradeço aindaà Isa, omonão-espe ialistainteressada, pelas pre iosas opiniõese idéias. E, omo ompanheira,por todoo apoiodedi ado.

O presente trabalho foi realizado om apoio institu ional da Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), do Instituto de Físi a Gleb Wataghin (IFGW) e do De-partamento de Físi a da Matéria Condensada (DFMC),e foi nan iado pelo Conselho Na ional de Desenvolvimento Cientí o e Te nológi o (CNPq).

Este trabalho tem por objetivo desenvolver uma teoria sobre a termodinâmi a de não-equilíbrio de mágnons ex itados por fonte externa e em ontato om um banho térmi o. A teoria é apli ada ao re ém observado a úmulo de mágnons nos estados de mínima freqüên ia em experimentos om lmes nos magnetizados de granada de ferro-ítrio afastados do equilíbrio via fonte de radiação de mi roondas. Seguindo um formalismo de ensembles estatísti os de não-equilíbrio, a partir do hamiltoniano do sistema magnéti o são obtidas as equações de evolução para as variáveis termodinâ-mi as. Entre estas equações, as que des revem a evolução das populações médias de mágnons são estudadas em detalhe e atenção espe ial é dada às ontribuições não-lineares. Mostra-se que, por um lado, o termo não-linearproveniente da interação do sistema magnéti o om a rede ristalina transfere energia das populações dos modos de alta freqüên ia para os de baixa, gerando um a úmulo nos modos de mínima fre-qüên ia - o Efeito Fröhli h. Por outro lado, a interação mágnon-mágnon origina uma ontribuiçãoàevoluçãodas populaçõesquetende atermalizarosistema emtermosde uma temperatura de não-equilíbrio. É ainda utilizada uma modelagem de dois ui-dos, em que as equações inéti as das populações de mágnons asso iadas a todos os modossão ontraídasemapenasduas,querepresentamosmodosdemínimafreqüên ia e aqueles alimentados. Esta modelagempermiteestudarquantitativamenteaevolução temporal do sistema via integração numéri a. Constata-se que, para um determinado intervalo de taxas de alimentação, forma-se o ondensado devido ao Efeito Fröhli h. Para valores mais altos da potên ia da fonte de alimentação, a ontribuição devido à interaçãoentremágnonstorna-sedominanteeaformaçãodo ondensadoéinibida. Por m, osdiversospro essosderelaxaçãodo ondensadoparaoequilíbriosãoinvestigados em função dovalordafonte externa dosistema.

Palavras- have: Termodinâmi a de não-equilíbrio; Magnetismo; Ondas de spin; Magnni a, Condensação de Fröhli h-Bose-Einstein.

The purpose ofthis work istodevelop a nonequilibriumthermodynami theory on magnonsex itedbyanexternalpumpingsour eembeddedinathermalbath. This the-ory isappliedtothe re entlyobserved experiments withmagneti thin lmsof yttrium iron garnetdriven out ofequilibriumthroughmi rowaveradiationpumping. Resorting to a Non-EquilibriumStatisti al Ensemble Formalism,the evolution equations for the magnon populations are obtained and studied. The nonlinear ontributionarising out of the spin-latti e intera tion transfers the energy in ex ess of equilibrium from the pumped frequen y modes tothe lowerfrequen y ones, and, ina as ade down pro ess, o urs a large grow in the magnon populations of the lowest in frequen y modes - a phenomenonwe allFröhli hEe t. Inoppositiontothis ontribution, thereisanother one, generated by the magnon-magnon intera tion, that tends to lead the system to a state ofinternalnonequilibriumthermalization. Weintrodu eamodeling onsisting in a kindof two-uid model, inwhi h the kineti equationsfor the magnonpopulations are ontra ted in only two, representing the modes lowest in frequen y and the ones that are pumped by the external sour e. A quantitative study is performed through numeri al integration of the two related evolution equations. The emergen e of the ondensate, due to the Fröhli h Ee t, is eviden ed for a range of sour e power. For higher feeding taxes, the ontribution originated by the magnon-magnon intera tion be omes dominantand the emergen e of the ondensate is inhibited. Finally,the sev-eral relaxationpro essesinthe ondensateleadingtoequilibriumareanalyzedinterms of the sour epower.

Keywords: NonequilibriumThermodynami s;Magnetism;Spinwavesandmagnons; Magnoni s, Fröhli h-Bose-Einstein Condensate.

Introdução 1

1 Sistemas Magnéti os e Mágnons 5

1.1 Cara terização Me âni a (mi ros ópi a) . . . 6

1.1.1 Hamiltonianode spins . . . 6

1.1.2 Segunda quantização . . . 9

1.1.2.1 Mágnons . . . 9

1.1.2.2 Interação om a rede ristalina(fnons) . . . 17

1.1.2.3 Interação om a radiação(fótons) . . . 18

1.2 Cara terização Termodinâmi ade Não-Equilíbrio . . . 21

1.3 Resumo doCapítulo1 . . . 29

2 Equações Cinéti as 31 2.1 Equação de evolução para asamplitudes . . . 35

2.2 Equação de evolução para ospares . . . 37

2.3 Equação de evolução para aspopulações . . . 38

2.3.1 Efeito Fröhli h . . . 44

2.3.2 Interaçãomágnon-mágnon . . . 46

2.4 Resumo doCapítulo2 . . . 46

3 Modelo de Dois Fluidos 49 3.1 Resumo doCapítulo3 . . . 55

4 NEFBEC em lmes nos de YIG 57

4.1 Mágnons emlmes nos de YIG . . . 57

4.2 Condensação de Fröhli h-Bose-Einstein . . . 62

4.3 Modelo de dois uidos . . . 64

4.3.1 Evolução temporal . . . 66

4.3.2 Soluçõesesta ionárias . . . 74

4.3.3 Relaxação para o equilíbrio . . . 83

4.4 Resumo doCapítulo4 . . . 87

Con lusão 89 A Thermo-statisti al theory of kineti and relaxation pro esses 93 B Valores médios dos operadores 119 B.1 Cál ulode

D

ˆ

c

q

|t

E

e

D

ˆ

c

†

_q

_|t

E

. . . 121 B.2 Cál ulode

D

ˆ

c

(†)

q

a

ˆ

c

(†)

q

b

|t

E

. . . 122 B.3 Cál ulode

D

ˆ

c

(

q

†)

a

ˆ

c

(

†)

q

b

ˆ

c

(

†)

q

c

|t

E

. . . 123 C Termos inéti os 127 C.1 Amplitudes(

c

ˆ

q

) . . . 129 C.2 Correlações(

σ

ˆ

q

= ˆ

c

q

c

ˆ

−q

) . . . 133 C.3 Populações(

N

ˆ

q

= ˆ

c

†

q

ˆ

c

q

) . . . 143

D Modelagem de dois uidos 155 D.1 Separação emregiões

R

1

e

R

2

. . . 156

D.2 Teorema dovalormédioe vín ulos de equilíbrio . . . 159

O estudo de ex itações oletivas de spin em materiais magneti amente ordenados (as ondas de spins e suas quasipartí ulas, os mágnons) tem uma longa história de mais de 80anos [14℄. Re entemente este estudo tem readquiridorelevân ia,em parte por onta da observação da assim hamada Condensação de Bose-Einstein (BEC) de mágnons em lmes nos de granada de ferro-ítrio (YIG) afastados do equilíbrio [5 10℄. Este fenmenofundamenta a onstrução de fontes de mi roondas oerentes [11℄ e, desta forma, faz parte da re ém riada Magnni a: dis iplina - análoga à Eletrni a - asso iada aos dispositivos fun ionais ontrolados por ampos magnéti os em que os mágnons podem ser empregados omo portadores de informação.

A dita ondensação em ondições de não-equilíbriode mágnons foi primeiramente observada por Sergei O. Demokritov et al. em 2006 (Ref. 5), ao ex itarem um lme no de YIG, napresença de um ampo magnéti oestáti o, om uma fontede radiação de mi roondas. Utilizando té ni as de espe tros opia Brillouin, eviden iou-se a o or-rên ia de um surpreendente aumento dapopulaçãode mágnons nos modos de mínima freqüên ia. Os experimentos detalham omo os mágnons riados por onta da fonte externaemmodosdeterminadospelafreqüên iadaradiaçãobombeadaseredistribuem peloseu espe tro de freqüên ias e a abam então por a umular-se em torno dos modos de mínimafreqüên ia. Foram tambéminvestigadas adependên ia do ondensado om relação à potên ia da fonteexterna e a forma omo o sistema retornaao equilíbrio ao desligar-se a fonte.

Várias propostas teóri as anteriores foram formuladas om o objetivo de abordar o fenmeno (ver, por exemplo, Refs. 1214). Dentre elas temos a ontribuição de I. S. Tupitsyn et al. [12℄ que, utilizando a teoria de superuidez de N. N. Bogoliubov, on luem que a interação entre mágnons em um lme no de YIG magnetizado na direção do plano deveria se ontrapor à formação do ondensado. Por outro lado, há

o trabalho de S. M. Rezende [13℄, em que o surgimento do ondensado é justi ado ao se introduzir a ação de um banho térmi o de mágnons quentes, e aparentemente esta introdução mimetiza o efeito físi o que aqui apare e omo responsável pelo fen-meno. O trabalho de B. A. Maloumed et al. [14℄ apresenta o ondensado em termos de funções de onda de mágnonse, segundo equações fenomenológi as, obtém padrões espaço-temporais ompatíveis om experimentosenvolvendo resolução espa ial[15℄.

Nestetrabalhoédesenvolvidaumades riçãodospro essosdenão-equilíbrio envolvi-dos noreferido fenmeno. Para isso, onsideramos osaspe tos me âni os (mi ros ópi- os) do sistema magnéti o em questão - um onjunto de spins lo alizados, sob ampo magnéti o onstante, afastados do equilíbrio pela ação de fonte externa e imersos em banho térmi o - e utilizamos o formalismo de ensembles estatísti os de não-equilíbrio (que denominamos NESEF omo a rnimo da expressão em inglês Non-Equilibrium Statisti al Ensemble Formalism - verRefs. 1621) e sua teoria inéti a asso iada para en ontrarmos a evolução das orrespondentes variáveis (ma ros ópi as) que ara teri-zam oespaço de estados termodinâmi osde não-equilíbrio.

São fundamentais para a emergên ia do itado fenmeno as não-linearidades pre-sentes nas equações inéti asobtidas. Ainteraçãoentre osspins eo banhotérmi o(as vibraçõesdarede ristalina)dáorigematermosdeinteraçãomágnon-fnon,quelevama uma pe uliar ontribuiçãoparaasequações inéti asdas populaçõesdemágnons. Esta ontribuiçãonão-linearpromoveatransferên iadeenergia,mediadapelarede ristalina, dos modos alimentados pela fonte externa para aqueles de freqüên ias menores e é hamada de termo de Fröhli h, por onta de um termo análogo presente na pesquisa pioneira de Herbert Fröhli hsobre vibraçõespolares (fnons LO)embiopolímerossob ex itaçãoes ura(verRefs. 2225). Assu essivastransferên iasparaosmodosdemenor freqüên ia fazem om que o orra um a úmulonos modos de mínimafreqüên ia, o que pode ser hamado de Efeito Fröhli h, presente em vários sistemas de muitos bósons imersos em um banho térmi o e sob ação de fonte externa que os afaste do equilíbrio [2630℄, e levam à emergên ia do que hamamos de Condensação de Não-Equilíbrio de Fröhli h-Bose-Einstein(NEFBEC,deNon-Equilibrium Fröhli h-Bose-Einstein Con-densation).

Outras ontribuiçõesnão-linearessãotambémestudadas, omoaquelasprovenientes dode aimentodos mágnonsemfótons eadainteração mágnon-mágnon. O omporta-mento das populaçõesde mágnonsé fruto do arranjo omplexo entre as diversas

on-relatada anteriormente.

Noprimeiro apítulodes revemos,emtermosme âni osetermodinâmi os,sistemas magnéti ossobaaçãodefontesexternaseinteragindo omumbanhotérmi o. Resumi-damente, apresentamos ohamiltonianoasso iadoaos subsistemas relevantes(des rição me âni a) e, para realizar a des rição termodinâmi a de não-equilíbrio que permite ara terizarofenmeno,re orremosaouso doNESEF, uja onstruçãoparti ularizada a este aso é detalhada.

No Capítulo 2, são obtidas as equações inéti as das variáveis termodinâmi as de não-equilíbrio. Destas equações, analisamos em detalhe as equações de evolução das populações de mágnons asso iadas aos diversos modos, desta ando o papel desempe-nhado pelas ontribuições provenientes do termo de Fröhli h e da interação mágnon-mágnon, eeviden iando a origemda NEFBEC.

Baseados nos experimentos anteriormente men ionados, desenvolvemos no Capí-tulo 3 uma ontração no sistema de equações diferen iais asso iadas às populações de mágnons de forma a separaro espaço re ípro o emduas regiões, sendo uma asso iada aos modos de mais baixafreqüên ia, ondese dáo fenmenoda ondensação, ea outra aos modos alimentados. Obtemos, portanto, um sistema de equações a opladas para apenas duas variáveis, as populações representativas do ondensado e aalimentada. É o que hamamos de Modelagem por Dois Fluidos que, no Capítulo 4 é empregada de forma a possibilitar a omparação entre a teoria e os experimentos. Através da integração numéri a das equações diferen iais não-lineares resultantes da modelagem são estudadas a evolução temporal destas populações relativas (a ex itação devido à fonteexterna eaposteriorrelaxaçãopara oequilíbrio) eadependên ia de seus valores esta ionários om a intensidade dafonteexterna.

Finalizando esta Introdução, enfatizamos que neste trabalho foi onstruída uma termodinâmi aestatísti a denão-equilíbriodesistemasmagnéti os,utilizadapara des- rever o omportamento de mágnons sob ação de fonte externa e em ontato om um banho térmi o,e estudar aformação e desenvolvimento daNEFBEC.

Sistemas Magnéti os e Mágnons

Consideremos uma amostra de material magnéti o isolante afastado do equilíbrio pelaaçãodeumafonteexternaeem ontato omumreservatóriotérmi oatemperatura

T

0

, des ritoesquemati amentena Figura1.1.

PSfragrepla ements EspalhamentoBrillouin Fontede Mi roondas Sistema de spins (mágnons) Radiação térmi a (fótons) Rede ristalina (fnons) Reservatório térmi o(

T

0

)

Figura 1.1: Diagrama ilustrativo do experimento men ionado na Introdução (de a ordo om asRefs. 510). Ossubsistemasdaamostrarelevantesnestetrabalhosãoosistema de spins, a rede ristalina e aradiação de orpo negro, queinteragem entre si. A fontedemi roondas,externa,introduzenergianosistemadespins. Arelaxaçãodo sistemadespinssedáatravésdainteraçãoentrerede ristalinaeradiaçãode orpo negro omumreservatóriotérmi oatemperatura

T

0

. Medidasexperimentaissobre o sistemasãofeitasvia espalhamento de luztipoBrillouin.

Neste apítulo des revemos os aspe tos me âni o (mi ros ópi o) e termodinâmi o (ma ros ópi o) que ompõem a termome âni a estatísti a asso iada ao sistema

mag-néti o em questão. Assim, na seção 1.1 é introduzido o hamiltoniano do sistema, e na seção 1.2são apresentadas as variáveistermodinâmi asrelevantes para oestudo do sistema.

1.1 Cara terização Me âni a (mi ros ópi a)

A partir da des rição da amostra e do experimento sobre ela realizado, nos on- entraremos no estudo do omportamento do subsistema de spins, que a partir daqui hamaremos simplesmente de sistema. Para a des rição me âni a deste sistema é fun-damentalter ooperadorhamiltonianoque,no aso demateriaismagnéti osisolantes, é expressoemtermosdos momentosmagnéti osdedipoloasso iadosaosíons magnéti os onstituintes

µ

ˆ

i

= ˆ

µ( ˜

R

i

)

, sendo

R

˜

i

a posição do

i

-ésimo íon. Estes operadores estão asso iados aoque hamaremosde spinsatmi os,designados pelooperador

ˆ

S

i

, que in-teragementre si, om o ampoeletromagnéti o apli adoe om um banhotérmi o(ver as Refs. 3, 4, 31, 32). A relação entre os operadores atmi os de momento magnéti o e spin é

ˆ

µ

i

= gµ

B

ˆ

S

i

,

(1.1)

sendo

g

o fatorgiromagnéti oe

µ

B

é o magneton de Bohr.

1.1.1 Hamiltoniano de spins

O hamiltonianodo sistemaque estamos onsiderando éformado portermos de in-teraçõesentrespinsatmi os,queenvolvemindiretamenteainteração omasvibrações darede ristalina,eporinteraçõesentre estes spins om outrossubsistemas, om am-pos apli adose om a radiaçãode orpo negro. O termo do hamiltoniano asso iado a interaçãoentre spins,

H

ˆ

S

,é formado por duas ontribuiçõesnaforma

onde a primeira ontribuiçãoé o termode interaçãoentre dipolosmagnéti os

ˆ

H

dip

=

1

2

X

i,j

6=i

"

ˆ

µ

i

· ˆ

µ

j

˜

R

3

ij

−

3( ˆ

µ

i

· ˜

R

ij

_˜

)( ˆ

µ

j

· ˜

R

ij

)

R

5

ij

#

=

(gµ

B

)

2

2

X

i,j

6=i

"

ˆ

S

i

· ˆ

S

j

˜

R

3

ij

−

3(ˆ

S

i

· ˜

R

ij

_˜

)(ˆ

S

j

· ˜

R

ij

)

R

5

ij

#

,

(1.3)

em que ada momento magnéti o

µ

ˆ

i

= gµ

B

S

ˆ

i

lo aliza-se na posição

R

˜

i

asso iada ao

i

-ésimoíonmagnéti o(e

R

˜

ij

= ˜

R

j

− ˜

R

i

). Também hamadodetermorelativísti o,este termorefere-seàenergiaasso iadaaomomentomagnéti onaposição

R

˜

i

sobapresença de um ampomagnéti o gerado pelomomentomagnéti o naposição

R

˜

j

[3,4, 31℄.

A outra ontribuição é o termo de tro a (ex hange). Válida para partí ulas fer-mini as arregadas, a interação de tro a resulta do efeito ombinado entre intera-ção oulombiana e anti-simetria da função de onda global das partí ulas em questão [3, 31,33℄. Essa ontribuição tem a forma

ˆ

H

troca

=

−

X

i,j

6=i

J( ˜

R

ij

)ˆ

S

i

· ˆ

S

j

,

(1.4)

sendo

J( ˜

R

ij

)

o assim hamado parâmetro de tro ae, novamente,

ˆ

S

i

o spin atmi ona posição

R

˜

i

. Este parâmetro de tro a depende basi amente da superposição das dife-rentes funçõesde ondaindividuaiseé,portanto,negligen iávelparaparesdepartí ulas distantes entre si-oquenos levaaarmarqueainteraçãode tro aéde urtoal an e, enquantoa interaçãode dipoloé de longo al an e. O ferromagnetismoe antiferromag-netismosãofasesmagnéti asdeequilíbrioquetêmsuaorigemem

H

ˆ

troca

emqueosinal de

J( ˜

R

ij

)

(também onhe ido por integral de superposição) determina atendên ia ao alinhamento paralelo (

J( ˜

R

ij

) > 0

) ou antiparalelo (

J( ˜

R

ij

) < 0

) entre os momentos magnéti os

µ

ˆ

i

e

µ

ˆ

j

[3133℄.

Das expressões (1.3) e (1.4) onstata-se que o termo do hamiltoniano referente a interações entre spins depende da posição relativa

R

˜

ij

entre os momentos magnéti os da rede ristalina,

ˆ

H

S

=

H

ˆ

S

( ˜

R

ij

)

. Mas as vibrações da rede ristalina levam a uma variaçãoem

H

ˆ

S

( ˜

R

ij

)

e este efeitopode ser tratado rees revendo a posição de um spin atmi o omo

˜

R

i

(t) = ˜r

i

+ ˜

u

i

(t),

(1.5)

sendo

˜r

i

as posiçõesde equilíbrio me âni o dos íons magnéti os e

u

˜

i

os deslo amentos om relação a estas. O termo de interação entre spins é então separado em duas

ontribuições,

ˆ

H

S

(˜r

ij

),

(1.6)

queseráaquisimplesmentetratado omo

H

ˆ

S

eéainteraçãoentre osspinsnas posições de equilíbrio me âni o dos íons magnéti os, e o termo de a oplamento spin-rede

H

ˆ

SL

que, para pequenos deslo amentos

u

˜

ij

,tem a seguinteforma[4℄

ˆ

H

SL

=

X

i,j6=i







"

˜

u

ij

·

∂

∂ ˜

R

ij

#

ˆ

H

S

( ˜

R

ij

) +

1

2

"

˜

u

ij

·

∂

∂ ˜

R

ij

#

2

ˆ

H

S

( ˜

R

ij

)







,

(1.7) sendo as funções

∂

˜

R

ij

H

ˆ

S

( ˜

R

ij

)

al uladas em

˜r

ij

, e onde

u

˜

ij

= ˜

u

j

− ˜u

i

.

Finalmente,apresentamosoa oplamentodosmomentosmagnéti os omaradiação presente no material. A ontribuição para o hamiltoniano asso iada a um momento magnéti o

µ

ˆ

i

= ˆ

µ( ˜

R

i

)

sob ação de um ampomagnéti o

H(r)

é

−

Z

d

3

r ˆ

µ( ˜

R

i

)

· H(r) δ(r − ˜

R

i

),

(1.8)

indi ando a tendên ia de alinhamento do momento ao ampo. As partes de

H(r)

variáveisnotemposãoseparadas daquelas onstantes notempo,

H(r) = H

R

(r) + H

0

(r)

respe tivamente, oque dáorigem a dois termosdistintos,

ˆ

H

Z

=

−gµ

B

Z

d

3

r

X

i

ˆ

S

i

· H

0

(r) δ(r

− ˜

R

i

),

(1.9)

onhe ido omo o termo de Zeeman, e

ˆ

H

SR

=

−gµ

B

Z

d

3

_r

X

i

ˆ

S

i

· H

R

(r) δ(r

− ˜

R

i

),

(1.10)

que a oplaos spinslo alizadosnas posições

R

˜

i

à radiaçãopresentenomaterial, prove-niente dafonte externa eda radiaçãode orpo negro (dita radiaçãotérmi a).

Considerando ainda

H

ˆ

L

e

H

ˆ

R

asenergiasasso iadasàsvibraçõesdarede ristalina e à radiação de orpo negro respe tivamente, podemos então expressar o operador hamiltonianode umaamostrade materialmagnéti o-omitindograusde liberdadenão des ritos - por

ˆ

sendo,lembremos,

H

ˆ

S

ainteraçãoentreosspinsnasposiçõesdeequilíbriome âni o,

H

ˆ

Z

e

H

ˆ

SR

representando respe tivamente a interaçãodos spins om um ampo magnéti o estáti o e om aradiaçãoeletromagnéti a presente(externa ede orponegro) e

H

ˆ

SL

a interaçãoentre os spins e asvibrações darede ristalina.

1.1.2 Segunda quantização

Para otratamentodadinâmi ados spins (assim omono aso de qualquer sistema quânti o de muitos orpos)torna-se onveniente autilizaçãodoformalismodasegunda quantização. Destaforma,apresentamosnestaseçãoades riçãodosistemade interesse em termosdeste formalismo.

1.1.2.1 Mágnons

A des rição de um sistemade spins através doformalismode segunda quantização se dá em termos de ex itações elementares a partir de um estado fundamental asso i-ado a

H

ˆ

S

. As ex itações destes sistemas são formadas por ombinações de pequenos desvios lo ais omrelaçãoaoestadofundamental. Blo h[1℄representaestasex itações em termos de ondas de spin, e, onsiderando apenas a interação de tro a, obtém o omportamento da magnetizaçãoem ferromagnetos a baixas temperaturas - a relação de

T

3

2

de Blo h. Posteriormente, Holstein e Primako propõem uma teoria de ondas de spin quein orpora ainteraçãodipolareformaumabase paraboapartedapesquisa em ex itações magnéti as.

Ini ialmente, são introduzidos osoperadores de desvio de spin lo al,

ˆ

n

j

= S

− ˆ

S

j

z

,

(1.12)

sendo que onsideramos o estado fundamental ferrimagnéti o, emque ada spin segue a direçãodoeixo

z

(i.e. oautovalorde

S

ˆ

z

j

é

S

para todas aspartí ulas). Claramente, o autovalorde

n

ˆ

j

indi aonúmerodedesvios omrelaçãoa

S

,emunidadesde

~

,asso iado ao spin atmi ona posição

R

˜

j

. Os operadores

ˆ

riam (

S

ˆ

+

j

) eaniquilam (

S

ˆ

−

j

) desvios de spin. Então, são introduzidosoperadores de riação e aniquilação

ˆa

†

j

e

ˆa

j

taisque

ˆ

S

_j

−

=

√

2Sˆ

a

†

_j

1

₋

ˆa

†

j

ˆa

j

2S

!

1

_/

2

,

S

ˆ

_j

+

=

√

2S

1

₋

ˆ

a

†

j

ˆa

j

2S

!

1

_/

2

ˆa

j

,

S

ˆ

j

z

= S

− ˆn

j

= S

− ˆa

†

j

ˆa

j

.

(1.14) Levando em ontaainda asrelaçõesde omutaçãoentre as omponentes dospin pode-se mostrar que representam quasipartí ulas bosni as, pois obede em as relações de omutação



ˆa

j

, ˆa

†

m



= δ

l,m

; [ˆa

j

, ˆa

m

] = 0;

h

ˆa

†

_j

, ˆa

†

_m

i

= 0.

(1.15)

Estaexpressãode omponentesdespinemtermosdosoperadores

ˆa

†

j

e

ˆa

j

, onhe ida omo transformação de Holstein-Primako(Ref. 2,referida omo THP), é dada por

ˆ

S

_j

x

=

√

2S

2





1

₋

ˆ

a

†

j

ˆa

j

2S

!

1

_/

2

ˆa

j

+ ˆa

†

j

1

−

ˆ

a

†

_j

ˆa

j

2S

!

1

_/

2



 ,

ˆ

S

_j

y

=

√

2S

2i





1

−

a

ˆ

†

j

ˆa

j

2S

!

1

/

2

ˆa

j

− ˆa

†

j

1

−

ˆa

†

_j

ˆa

j

2S

!

1

/

2



 ,

ˆ

S

_j

z

= S

_{− ˆa}

†

_j

ˆa

j

.

(1.16)

Éimportantemen ionar aquiqueosnovosoperadores

ˆa

†

j

e

ˆa

j

atuamemum espaço distinto do asso iado aos operadores de spin. Ao apli ar su essivas vezes o operador

ˆ

S

_j

−

sobreo estadofundamentaldiminui-se a omponente

z

até ovalor

−S

. Posteriores apli ações de

S

ˆ

−

j

extinguiriam o referido autoestado, o que mostra que temos no má-ximo

2S

desvios de spin para ada momento magnéti o na posição

R

˜

i

. Se por um lado o número de desvios de spin em uma dada posição é limitado, por outro lado, a prin ípio innitas quasipartí ulas bosni as podem o upar um mesmo estado. Assim, a transformaçãode HP éefetivamenteválida nos asos emqueoautovalorde

ˆ

a

†

j

ˆa

j

não ultrapassa

2S

.

Expandimosentão otermo daraiz quadrada empotên ias de

S

−

1

_/

2

e rees revemos

ˆ

ˆ

H

troca

=

−

X

i,j6=i

J(˜

r

ij

)( ˆ

S

i

x

S

ˆ

j

x

+ ˆ

S

y

i

S

ˆ

y

j

+ ˆ

S

i

z

S

ˆ

j

z

) =

=

_{− S}

2

X

i,j6=i

J(˜

r

ij

) + 2S

X

i

ˆa

†

_i

ˆ

a

i

X

j

J(˜

r

ij

)

− 2S

X

i6=j

J(˜

r

ij

)ˆa

†

i

ˆa

j

+

+

X

i,j6=i

J(˜

r

ij

)[ˆa

†

i

ˆa

i

ˆa

†

j

ˆ

a

j

+

1

2

(ˆa

i

ˆa

†

j

ˆa

†

j

ˆa

j

+ ˆa

†

i

ˆa

†

j

ˆa

j

ˆa

j

)] + S

2

O



(S

−

1

/

2

)

6



;

(1.17)

ˆ

H

dip

=

(gµ

B

)

2

2

X

i,j6=i

"

ˆ

S

x

i

S

ˆ

j

x

+ ˆ

S

y

i

S

ˆ

y

j

+ ˆ

S

i

z

S

ˆ

j

z

˜

r

3

ij

−

3( ˆ

S

x

i

r

˜

ij

x

+ ˆ

S

y

i

r

˜

y

ij

+ ˆ

S

i

z

r

˜

ij

z

)( ˆ

S

j

x

r

˜

x

ij

+ ˆ

S

y

j

r

˜

y

ij

+ ˆ

S

j

z

r

˜

z

ij

)

˜

r

5

ij

#

=

(gµ

B

S)

2

2

X

i,j

6=i

1

˜

r

3

ij



1

₋

3(˜

r

z

ij

)

2

˜

r

2

ij



−

−

3(gµ

B

)

2

_(2S

3

₎

1

_/

2

4

X

i,j

6=i

˜

r

z

ij

˜

r

5

ij

h

˜

r

_ij

−

(ˆa

i

+ ˆa

j

) + ˜

r

+

ij

(ˆa

†

i

+ ˆa

†

j

)

i

−

−

(gµ

B

)

2

_S

2

X

i,j6=i

1

˜

r

3

ij

(

2

−

6(˜

r

z

ij

)

2

˜

r

2

ij



ˆa

†

_i

ˆa

i

−

2

−

3(˜

r

+

_ij

˜

r

_ij

−

)

˜

r

2

ij

!

ˆ

a

†

_i

ˆa

j

+

3

2˜

r

2

ij

[(˜

r

_ij

+

)

2

ˆa

†

_i

ˆa

_j

†

+ (˜

r

_ij

−

)

2

ˆa

i

ˆa

j

]

)

+

+

3(gµ

B

)

2

_(2S)

1

_/

2

2

X

i,j6=i

(˜

r

z

ij

)

2

˜

r

5

ij



2˜

r

+

_ij

ˆa

†

_i

ˆa

i

ˆa

†

j

+ 2˜

r

−

ij

ˆ

a

†

i

ˆa

i

ˆ

a

j

+

1

2

[˜

r

+

ij

ˆa

†

i

ˆa

i

ˆa

†

i

+ ˜

r

−

ij

ˆ

a

†

i

ˆa

i

ˆa

i

]



+

(gµ

B

)

2

2

X

i,j

6=i

1

˜

r

3

ij

 

1

−

3(˜

r

z

ij

)

2

˜

r

2

ij



ˆa

†

_i

ˆa

i

ˆa

†

j

ˆa

j

−

1

2

−

3(˜

r

_ij

+

˜

r

−

_ij

)

4r

2

ij

!

(ˆa

i

ˆ

a

†

j

ˆa

†

j

ˆa

j

+ ˆa

†

i

a

ˆ

†

j

ˆa

j

ˆa

j

)+

+

3

8r

2

ij

(˜

r

_ij

+

ˆa

†

_i

ˆ

a

†

_j

ˆa

†

_j

ˆa

j

+ ˜

r

ij

−

a

ˆ

i

ˆa

†

j

ˆa

j

ˆa

j

)



+ S

2

_O



(S

−

1

/

2

)

5



,

(1.18) om

O



(S

−

1

_/

2

₎

n



representandotermos om

n

oumaisoperadoresde riaçãoouaniquilação e

r

˜

±

ij

= ˜

r

x

ij

± i˜r

y

ij

. Ou seja, expressamos

ˆ

H

S

emtermos de potên ias de

ˆa

†

j

e

ˆa

j

. Clara-mente, as par elas onstantes se referem ao estado fundamental de

H

ˆ

S

e, omo nos interessaremos pela dinâmi a do sistema, não nos deteremos sobre estes termos. Os termos lineares, presentes em

H

ˆ

dip

, indi amque a es olhado estado fundamentalestá in orreta, o quepode ser orrigidoatravésde uma rotaçãoapropriada, quegeralmente levaa orreçõesde energianegligen iáveis( omo des ritonapágina 189 da Ref. 31).

prove-nientes dotermo de Zeeman( om ampo externohomogêneo nadireção

z

),

ˆ

H

Z

=

−gµ

B

H

0

·

X

i

ˆ

S

i

=

−gµ

B

H

0

NS + gµ

B

H

0

X

i

ˆa

†

_i

ˆa

i

,

(1.19)

em que

N

é onúmerode íons magnéti os nomaterial,podemos es revê-los daforma

ˆ

H

_S

(2)

=

X

i,j

6=i



A

1

(˜r

ij

)ˆa

†

i

ˆa

j

+ A

2

(˜r

ij

)ˆa

†

i

ˆa

i

+

B

∗

_(˜r

ij

)

2

ˆa

†

i

ˆa

†

j

+

B(˜r

ij

)

2

ˆa

i

a

ˆ

j



,

(1.20) om

A

1

(˜r

ij

) =

−2SJ(˜r

ij

)

−

(gµ

B

)

2

S

2˜

r

5

ij

[2˜

r

2

_ij

_{− 3(˜r}

_ij

z

)

2

],

(1.21a)

A

2

(˜r

ij

) = 2SJ(˜

r

ij

) +

gµ

B

H

0

N

−

(gµ

B

)

2

S

˜

r

5

ij

[˜

r

2

_ij

− 3(˜r

z

ij

)

2

],

(1.21b)

B(˜r

ij

) =

−

3(gµ

B

)

2

S

2

(˜

r

−

_ij

)

2

˜

r

5

ij

.

(1.21 )

Seguindoaproposta dequantizarasondasdespin, devemosdes reverasex itações emtermos oletivos. Paratalm,primeiro onsideraremosasituaçãoemqueomaterial éum ristal ommaisde umíonmagnéti opor élulaunitária,sendoentão onveniente espe i araposiçãodoíonmagnéti o

˜r

i

omo ompostopelaposiçãodo entrodemassa dos íons magnéti os da élula unitária

r

n

ea sua posiçãorelativa

d

µ

, istoé,

˜r

i

= r

n

+ d

µ

,

(1.22)

emqueoíndi e

i

estariain orporandoosíndi es

n

e

µ

,quedeterminamrespe tivamente a élula unitária e o íon interno ( om

µ = 1, 2, . . .

até o número de íons magnéti os presentes na élula).

Em ontinuação,reformulamosades riçãopassandoparaoespaçore ípro oatravés da expansão de Fourier

ˆa

j

=

X

q,µ

e

i(q

·˜r

j

)

√

N

c

ˆa

q,µ

,

(1.23)

que, sendo omaterial ristalino,

X

j

e

i(q

·˜r

j

)

₌

X

n

e

i(q

·r

n

)

X

µ

e

i(q

·d

µ

)

_{= N δ}

q,0

,

(1.24) obtém-se

ˆ

H

_S

(2)

=

X

q,µ,µ

′



A

′

_µµ

′

(q) ˆa

†

q,µ

ˆa

q,µ

′

+

B

′∗

µµ

′

(q)

2

ˆa

†

q,µ

ˆ

a

†

−q,µ

′

+

B

′

µµ

′

(q)

2

ˆa

q,µ

ˆa

−q,µ

′



,

(1.25) e os oe ientes são

A

′

_µµ

′

(q) =

X

n,n

′

h

A

1

(r

nn

′

+ d

µµ

′

)

e

i

[

q

·(r

nn′

+d

µµ′

)

] + A

2

(r

nn

′

+ d

µµ

′

)

i

,

(1.26a)

B

′

_µµ

′

(q) =

X

n,n

′

B(r

nn

′

+ d

µµ

′

)

e

i

[

q·(r

nn′

+d

µµ′

)

],

(1.26b)

sendo

r

nn

′

= r

n

′

− r

n

,e om a restriçãode que

(n, µ)

6= (n

′

_{, µ}

′

₎

. Finalmente, pro ura-se adiagonalização dohamiltoniano

ˆ

H

_S

(2)

da Eq. 1.25, o que é realizado pela introdução de uma nova representação em termos de operadores de riação e aniquilação,

ˆ

c

†

q,γ

e

c

ˆ

q,γ

, omo ombinações lineares dos

ˆa

†

q,µ

e

ˆa

q,µ

de modo que

ˆ

H

_S

(2)

=

X

q,γ

~ω

q,γ

ˆ

c

†

q,γ

ˆ

c

q,γ

.

(1.27)

Obtemos desta forma o análogo para ondas de spin ao que se tem para ondas eletromagnéti as ujo movimentoéanalisadoem termosdos quanta distribuídos sobre os vários modos, om ada quantum re ebendo onome de fóton, etambém no aso de ondas vibra ionais, ujo movimentoé analisadoemtermos de fnons. Aqui,os quanta são denominados mágnons, om energia

~ω

q,γ

e velo idade de grupo

∇

q

ω

q,γ

. Além disso, a diagonalizaçãoda Eq. 1.25 origina diversos ramosasso iados aestes mágnons, indi ados pelo índi e

γ

, aso a élula unitária tenha mais de um íon magnéti o,sendo estesramosiguaisemnúmeroaosíonsmagnéti ospresentes(ver,parao asodagranada de ferro-ítrio- YIG, as Refs. 34, 35).

Neste trabalho nos on entramos em experimentos em lmes nos de YIG que ex itamapenasmágnonsdebaixasfreqüên ias(

. 10 GHz

),asso iadosaoramodemais baixa energia, o hamado modo a ústi o. Consideraremos então apenas os mágnons

a ústi os: para readequarmos as expressões anteriores, deve-se onsiderar apenas um spin efetivo por sítio da rede ristalina, e o parâmetro de tro a tambémé substituído por um parâmetro de tro a efetivo. Os índi es

µ

e

γ

são omitidos e os operadores de riação e aniquilaçãode mágnonsserão designadospor

c

ˆ

†

q

e

ˆ

c

q

. Então temos

ˆ

H

_S

(2)

=

X

q

~ω

q

ˆ

c

†

q

c

ˆ

q

.

(1.28)

Apesar destas onsiderações, pode-se per eber que a Eq. 1.25, reinterpretada em termos dos mágnons a ústi os, ainda não se diagonaliza, isto é, ainda não seexpressa omo a Eq. 1.28. A interação entre dipolos magnéti os leva a um a oplamento entre os modos

q

e

−q

, através dos termos

a

ˆ

†

q

ˆa

†

−q

e

ˆa

q

ˆa

−q

da Eq. 1.25. Para desa oplar estes modos, transformamos as variáveis

ˆa

†

q

e

ˆ

a

q

nas variáveis

ˆ

c

†

q

e

c

ˆ

q

pela seguinte transformação, usualmente onhe ida omo transformação de Bogoliubov[3, 4℄,

a

q

= u

q

c

q

+ v

q

∗

c

†

−q

,

a

†

_−q

= u

∗

_−q

c

†

_−q

+ v

_−q

c

q

,

(1.29)

sendo

u

q

e

v

q

funçõesde

q

. A onservação dasregras de omutaçãodaEq. 1.15 impõe que

|u

q

|

2

− |v

q

|

2

= 1

e, ajustando

u

q

e

v

q

de forma a anular os termos não diagonais obtém-se

u

q

=

s

A

′

_{(q) +}

_~ω

q

2

~ω

q

,

v

q

=

B

′

_(q)

|B

′

_(q)

_|

s

A

′

_(q)

_{− ~ω}

q

2

~ω

q

,

(1.30) e

~ω

q

=

q

[A

′

_(q)]

2

_{− |B}

′

_(q)

_|

2

_,

(1.31)

onde fatores de fases arbitrárias foram onsiderados iguais a um. É importante men- ionar queesta transformação tem relevân ia apenas napresença dainteração dipolar, aso ontrário

B

′

_{(q) = 0}

e a Eq. 1.29 éuma identidade. Assim omo foi feito para

H

ˆ

(2)

S

, apli amos astransformações de HP eBogoliubov a todos os termos de

ˆ

H

passando de uma des rição de spins para uma des rição de mágnons. Parti ularmente ohamiltoniano de interação entre spins torna-se

ˆ

om

H

ˆ

(2)

S

expresso pelaEq. 1.28 e

H

ˆ

MM

ontendoostermosexpressos nas Eqs. 1.17 e 1.18deordemsuperioràquadráti a,rees ritosemtermosdemágnons,querepresentam as interações entre estas quasipartí ulas. De todas estas ontribuições às interações entre mágnons, nós reteremos apenas ostermos de quarta ordem,

ˆ

H

MM

=

X

q,q

1

,q

2

V

q,q

1

,q

2

ˆ

c

†

q

ˆ

c

q

†

1

c

ˆ

q

2

ˆ

c

q+q

1

−q

2

,

des revendo o espalhamento de mágnons(verRef. 3, seção 68).

Relação de dispersão para mágnons

Arelaçãodedispersão,expressapelaEq. 1.31,éobtidaexpli itamenteaoseefetuar as somasem

r

ij

des ritas nas Eqs. 1.26ae1.26b. Nos asos emqueainteração dipolar pode ser negligen iada,a relaçãode dispersão é dada por

~ω

q

= gµ

B

H

0

+

X

n,n

′

_6=n

2SJ(r

nn

′

)



1

−

e

i(q

·r

nn′

)



.

(1.33)

Considerando ainda que se trata de um ristal úbi o om parâmetro de rede

a

e que o parâmetro de tro a tem relevân ia apenas entre os primeiros vizinhos,

J(r

nn

′

) =

J δ

r

nn′

,a

, obtemos

~ω

q

= gµ

B

H

0

+ 6SJ

− 2SJ [cos(aq

x

) + cos(aq

y

) + cos(aq

z

)] ,

(1.34)

expressão esta que, para mágnons om omprimentos de onda tais que

a

|q| ≪ 1

, dá origem à onhe ida relaçãode dispersão quadráti a,

~ω

q

= gµ

B

H

0

+ 2SJa

2

q

2

.

(1.35)

Ain lusãodasinteraçõesdipolaresintroduz onsideráveisdi uldadesparaobtenção da relação de dispersão, devido às somas presentes nos termos 1.26a e 1.26b. Usual-mente onsidera-se uma esfera no espaço denido por

r

nn

′

que englobe muitas élulas unitáriasmas tenha um volumebemmenor queo daamostra. Assomas indi adas são então separadas emduas regiões: interna eexterna àesfera. A primeiraestá asso iada aos altos valoresde

q =

|q|

e éfortementedependentedaestrutura ristalina;assomas

externas àesfera são transformadas emintegrais,dependemdas ondiçõesde ontorno da amostrae dão origem aos modos magnetostáti os ( f. Ref. 3,4, 31).

Por m, abe ainda omentar a relação de dispersão de mágnons em lmes nos. Neste aso, não podemos supor invariân ia transla ional dis retana direção asso iada à espessura na - perpendi ular aolme -, impossibilitando uma expansão de Fourier omo a 1.23. Assume-se então que os mágnons se propagam paralelamente ao lme om vetor de onda

q

k

, e as

N

⊥

élulas unitárias na direção perpendi ular levam à formação de modos transversais designados por

n

. Portanto, um mágnon de vetor de onda

q

k

tem

N

⊥

distintos valores de energia

~ω

n,q

k

, om

n = 0, . . . , N

⊥

− 1

. Diversos pro edimentossão utilizadospara oestudo do omportamentodarelaçãode dispersão

ω

n,q

_k

, que basi amente se resumem aresoluçõesnuméri asou aproximaçõesanalíti as para o modotransversal mais baixo,

ω

0,q

k

.

Re entemente, Rezende [13℄ e Kreiselet al. [36℄ ompararam expressões analíti as para

ω

0,q

k

om resoluções numéri as através de distintas abordagens. A expressão analíti a analisada da relação de dispersão para o modofundamental, onsiderando o ampomagnéti o onstante apli adoparalelamenteaolme, é dada por

ω

0,q

_k

= γ

rh

H

0

+ D



q

_k





2

+ 4πM

0

(1

− f

q

_k

)

sen

θ

q

k

i h

H

0

+ D



q

_k





2

+ 4πM

0

f

q

_k

i

,

(1.36)

sendo

γ = gµ

B

/

~

a razão giromagnéti a,

D = 2JSa

2

_/gµ

B

a onstantede rigidez (sti-ness onstant),

M

0

amagnetização de saturação domaterial e

θ

q

k

o ânguloentre

q

k

e

H

0

.

f

q

k

éoassim hamadofatordeforma,quedependedaespessuradolmeno

d

. A expressão espe í a deste fator de formadepende do tipo de aproximação empregada, mas pode ser aproximada por

f

q

_k

= 1

− c



q

_k



 d,

(1.37)

onde

c

é uma onstante om valores

c =

1

_/

₂

no aso da aproximação onsiderando um modouniforme[13, 36℄e

c =

4

/

π

para a aproximação de mais baixoautoestado [36℄.

Observando a Figura 1.2 eviden ia-se a dependên ia da relação de dispersão om o ângulo de propagação om relação a

H

0

, sendo que as mais baixas energias estão asso iadas aos mágnons que se propagam paralelamenteao ampo magnéti o estáti o apli ado,

θ

q

k

= 0

◦

.

2,5

3

3,5

4

4,5

10

1

10

2

10

3

10

4

10

5

10

6

PSfragrepla ements a)

ω

0

,q

k

(GHz)



q

k





( m

−1

) b) (GHz) ( m ) ( m )

-4 -2

0

2

4

-2

-1

0

1

2

3

4

5

PSfrag repla ements a) (GHz) ( m ) b)

ω

0

,q

k

(GHz)

ω

0

,q

k

(GHz)

q

_kx

(

×10

4

m

−1

)

q

_kz

(

×10

5

m

−1

) Figura 1.2: Relação de dispersão de mágnons em lmes nos segundo a Eq. 1.36. Os

parâ-metros utilizados foram

γ = 2, 8 GHz/kOe

,

H

0

= 700 Oe

,

D = 5

× 10

−9

_{Oe cm}

2

,

4πM

0

= 1, 75 kG

e

d = 0, 5 µm

. O fator de forma usado foi

f

q

k

= 1

−



q

_k



 d/2

(aproximação de modo uniforme). a) Freqüên ia angular

ω

em função de



q

_k





, onsiderando distintos ângulos de propagação om relação ao ampo magnéti o estáti o,

θ

q

k

= 0

◦

, 10

◦

, . . . , 90

◦

(da base para o topo). b) Freqüên ia angular

ω

em função das omponentes dovetorde onda

q

kx

e

q

kz

elinhas de ontorno om espaçamento de

0, 3 GHz

apartirdo mínimo.

éefetivamenteválida(i.e. ompatível omresultadosnuméri os)apenasparaosmodos taisque

θ

q

k

. 45

◦

. Para estesmodos,salienta-se,obalançoentre asinteraçõesdetro a e dipolarlevaa um mínimo de energiafora do entroda zona de Brillouin, omopode ser vistonaFigura 1.2, para vetores de onda om

5

× 10

4

_cm

−1

_.



_q

k



 . 2 × 10

5

_cm

−1

.

1.1.2.2 Interação om a rede ristalina (fnons)

O a oplamento dos spins om a rede ristalinapode ser tratadode formaanáloga. Considerando

R

n

as posições dos entros de massa dos íons magnéti os das élulas unitárias e

u

n

os deslo amentos om relaçãoàs posiçõesde equilíbrio

r

n

, as vibrações darede ristalinasãoquantizadas emtermos deoperadoresde riaçãoeaniquilaçãode fnons

ˆb

†

k

e

ˆb

k

, quasipartí ulas de vetor de onda

k

taisque ( f. Ref. 4)

u

n

= R

n

− r

n

=

 ~

2N



1

2

X

k

e(k)

√

Ω

k



ˆb

k

e

ik

·r

n

_{+ ˆb}

†

k

e

−ik·r

n



_,

(1.38)

onde omitimosporsimpli idade aindi ação de polarização(longitudinale transversal) que  a implí ita,

Ω

k

é arelação de dispersão dofnon,

e(k)

seu versor de polarização e nos restringimos aos fnons a ústi os. Desta forma o hamiltoniano asso iado às vibrações darede ristalinaé dada por

ˆ

H

L

=

X

k

~Ω

k



ˆb

†

k

ˆb

k

+

1

2



.

(1.39)

Quantoao a oplamento spin-rede, Eq. 1.7, faz-se a substituição

R

nn

′

− r

nn

′

=

 ~

2N



1

2

X

k

e(k)

√

Ω

k

n

ˆb

k

e

ik

·r

n′

+ ˆb

†

k

e

−ik·r

n′



−



ˆb

k

e

ik

·r

n

_{+ ˆb}

†

k

e

−ik·r

n

o

_,

(1.40) as derivadas são al uladas nas posições de equilíbrio me âni o e os termos de spin são rees ritos em termos dos operadores de riação e aniquilação de desvios de spin. Passa-seentão aoespaçore ípro o omatransformação 1.23,assomas noíndi e

n

são realizadas antes que as somas sobre os vetores de onda e, utilizando a transformação de Bogoliubov e erta manipulação algébri a, obtém-se

ˆ

H

SL

=

X

q,k6=0

(ˆb

k

+ ˆb

†

_−k

)

n

F

q,k

ˆ

c

†

q

ˆ

c

q

−k

+

L

q,k

c

ˆ

q

†

c

ˆ

†

k−q

+

L

∗

q,

−k

ˆ

c

q

ˆ

c

−k−q

o

+

+

X

q,k6=0

n

R

q,k

ˆb

†

_k

ˆb

k

−q

+

R

+

q,k

ˆb

k

†

ˆb

†

q−k

+

R

+

−q,−k

∗

ˆb

−k

ˆb

k

−q

o

(ˆ

c

q

+ ˆ

c

†

_−q

),

(1.41) e

F

q,k

,

L

q,k

e

R

(±)

q,k

são os oe ientes resultantes (que representam asintensidades de a oplamentonas interações).

1.1.2.3 Interação om a radiação (fótons)

No que diz respeito à interação entre o ampo eletromagnéti o e o sistema mag-néti o,

ˆ

H

SR

,podemostambémexpressá-laemtermosdoformalismode segunda quan-tização. Es revemos o ampo externo daseguinte forma

om

d

ˆ

α,q

(

d

ˆ

†

α,q

)representando operadores de aniquilação( riação)de fótons e

H

α,p

(r) = ip

× A

α,p

(r),

A

α,p

(r) =

s

2π

ζ

p

e

ip

·r

_e

(α)

_,

(1.43)

om

ζ

p

sendo afrequên ia angulardofóton,

p

seu momentolinear e

e

(α)

um versor de polarização(eas diversas polarizaçõesindi adas por

α

).

Pelaequação anterior vemos que

H

∗

α,p

= H

α,−p

e rearranjando aEq. 1.42 temos

H(r) =

X

α,p

H

α,p

(r) ( ˆ

d

α,p

+ ˆ

d

†

α,

−p

).

(1.44)

Lembrando que através da transformação de HP (Eq. 1.16) os operadores de spin expressam-se segundo os operadores de riação e aniquilaçãode desvios de spin,

ˆ

S

_n

x

∼

=

r

S

2

(ˆa

†

n

+ ˆa

n

),

S

ˆ

n

y

∼

= i

r

S

2

(ˆa

†

n

− ˆa

n

)

e

S

ˆ

z

n

= S

− ˆa

†

n

ˆa

n

,

(1.45)

a interação spin-radiação(Eq. 1.10) toma aforma

ˆ

H

SR

=

−gµ

B

X

j

H(r)

_{· ˆ}

S

n

=

− gµ

B

Z

d

3

r

X

j,α,p



H

x

_α,p

(r) ( ˆ

d

α,p

+ ˆ

d

†

α,

−p

)

r

S

2

(ˆa

†

n

+ ˆa

n

)+

+ H

y

_α,p

(r) ( ˆ

d

α,p

+ ˆ

d

†

α,

−p

)i

r

S

2

(ˆa

†

n

− ˆa

n

)+

+ H

z

α,p

(r) ( ˆ

d

α,p

+ ˆ

d

†

α,

−p

)(S

− ˆa

†

n

ˆa

n

)



δ(R

n

− r),

(1.46)

que, passando os operadores

a

ˆ

†

n

e

ˆa

n

para o espaçore ípro o(e desprezando os termos onstantes), torna-se

ˆ

H

SR

=

X

α,p

( ˆ

d

α,p

+ ˆ

d

†

α,

−p

)



(λ

x

_α,p

+ λ

y

_α,p

)ˆa

†

_p

+ (λ

x

_α,p

− λ

y

α,p

)ˆa

−p

+

+

X

α,p,q

λ

z

_α,p

( ˆ

d

α,p

+ ˆ

d

_α,−p

†

)ˆa

†

q

ˆa

q

−p

,

(1.47)

onde

λ

x

α,p

= igµ

B

s

πNS

ζ

p

(p

× e

(α)

₎

x

,

λ

y

_α,p

= gµ

B

s

πNS

ζ

p

(p

_{× e}

(α)

)

y

,

λ

z

α,p

= igµ

B

s

πS

ζ

p

(p

× e

(α)

₎

z

.

(1.48)

Finalmente introduzindo a transformação de Bogoliubov (Eq. 1.29),

H

ˆ

SR

se ex-pressa em termosdos operadores de mágnons

ˆ

c

†

e

ˆ

c

naforma

ˆ

H

SR

=

X

α,p

( ˆ

d

α,p

+ ˆ

d

†

α,

−p

)

S

α,p

⊥∗

ˆ

c

†

p

+

S

α,−p

⊥

ˆ

c

−p

+

+

X

α,p,q

( ˆ

d

α,p

+ ˆ

d

†

_α,−p

)

n

S

α,q,p

ka

ˆ

c

†

q

ˆ

c

q

−p

+

S

α,q,p

kb

ˆ

c

†

q

c

ˆ

p−q

†

+

S

α,−q,−p

kb∗

c

ˆ

−q

c

ˆ

q

−p

+ v

q

v

q

∗

−p

o

.

(1.49) om

S

α,p

⊥∗

= λ

x

α,p

(u

∗

p

+ v

−p

∗

) + λ

y

α,p

(u

∗

p

− v

∗

−p

),

S

α,q,p

ka

= λ

z

α,p

(u

∗

q

u

q−p

+ v

q

∗

−p

v

q

)

S

α,q,p

kb

= λ

z

α,p

u

∗

q

v

q−p

∗

,

(1.50)

Relembramosqueo ampoeletromagnéti oqueinterage omosspinstemduas ori-gens distintas: afonteexternaearadiaçãode orponegro. Faz-sene essário,portanto, dis riminar a origem dos operadores de aniquilação (e, impli itamente, de riação) de fótons, para oque es revemos

d

ˆ

S

α,q

e

d

ˆ

T

α,q

,sendo o primeiroasso iado àfonte externa e osegundo àradiaçãode orponegro. Nesta linguagemdesegunda quantizaçãopode-se aindamostrar( f. Ref. 37) queohamiltonianoasso iadoàenergia ontida naradiação de orponegro,

H

ˆ

R

, é

ˆ

H

R

=

X

α,p

~ζ

p



ˆ

d

T

_α,q

†

d

ˆ

T

_α,q

+

1

2



.

(1.51)

operadores de mágnons, fnons efótons.

1.2 Cara terização Termodinâmi a de Não-Equilíbrio

Para des rever oestado termodinâmi ode não equilíbrio dosistemare orremos ao FormalismoEstatísti ode Ensemblesde Não-Equilíbrio(NESEF,oa rnimodotermo eminglês) queserá aquiapresentado de formaheurísti a, assim omo nareferên ia38, reproduzidanoApêndi eA. Asreferên ias1621ofere emapresentaçõesaprofundadas e alternativassobre o assunto.

Osvaloresdas variáveisma ros ópi assãoobtidosatravésdamédiasobreo ensem-ble estatísti o de não-equilíbrio das variáveis mi ros ópi as ponderadas pelo operador estatísti o adequado. Este operadorestatísti o de não-equilíbrio,

R

ˆ

ε

(t)

,deve satisfazer duas ondições:

(i) por um lado, deve, a prin ípio, depender de todas as variáveis dinâmi as do sistema (observáveis) de forma que os valores médios sobre o ensemble de não-equilíbrio orrespondamde fatoàsvariáveistermodinâmi asde não-equilíbrio que ara terizam o ma roestado de não-equilíbrio do sistema e que seja assegurada sua normalização;

(ii) poroutro,suaevoluçãodeveserdes ritaemtermosdadinâmi ami ros ópi a do sistemae deve in luiradequadamentea irreversibilidade ma ros ópi a.

Quantoaoprimeirorequisito,ooperadorestatísti ode não-equilíbrio,aprin ípio, deve-riaser uma função detodasas variáveisdinâmi asdosistema. No entanto,adepender daes alade tempoobservada,pode-seadotarumades rição reduzida

1

,naqualapenas parte das variáveisdinâmi asésu ientepara ades rição dosistemae, portanto,para a denição do operador estatísti o. Estas variáveis dinâmi as são então hamadas de variáveis dinâmi as de base (ourelevantes)e aes olhaapropriadadesse onjuntodeve

1

Esta reduçãodes ritivamen ionada serela ionade forma direta àhierarquia de tempos de Bo-goliubov [16,18,39℄,queasso iaes alasdetempodistintasa adaumdosdiversospro essos dissipa-tivospresentesemfenmenosma ros ópi os. A hierarquiadees alastemporaisassimobtidapermite a análise destes fenmenos em termos de estágios orrespondentes, sendo que a ada novo estágio atingido orrelaçõesinternas são perdidase reduçõessu essivasno onjunto de variáveis des ritivas tornam-se possíveis. Assim, esemprede a ordo omasparti ularidadesdoexperimento sobestudo, sãodenidos osdiversosestágios(oudes rições): inéti o,hidrodinâmi oepróximoaoequilíbrio.