Notas de Aula da Professora Denise Pinto

(1)

FUNC

¸ ˜

OES VETORIAIS

1.1 Introdu¸c˜

ao

Em Cálculo 1, trabalhamos com fun¸cões reais de uma variável real, i.e. fun¸cões da forma

f : Dom(f ) ⊆ R → R

x 7→ y = f (x).

Como exemplo de fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real, podemos citar f (x) = x2_{, x ∈ R}

e g(x) =√x, x ≥ 0.

Em Cálculo 2B trabalharemos com fun¸cões mais gerais, que são as fun¸cões vetoriais

de várias variáveis reais, as quais estão definidas na próxima se¸cão.

1.2 Fun¸c˜

oes Vetoriais

DEFINIC¸ ˜AO 1.2.1: Dado um conjunto Dom(F ) ⊆ Rn_{, uma fun¸c˜ao vetorial F de}

n variáveis reais é uma correspondência, F : Dom(F ) ⊆ Rn _{→ R}m_{, que a cada ponto}

X = (x1, x2, ..., xn) ∈ Dom(F ), associa um e apenas um Y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Rm.

Como de costume, o conjunto Dom(F ) ´e chamado de dom´ınio da fun¸c˜ao F .

No caso de fun¸c˜oes vetoriais F : Dom(F ) ⊆ Rn _{→ R}m_{, temos que existem, e s˜ao}

únicas, m fun¸cões reais de n variáveis reais, fi : Dom(F ) ⊆ Rn → R, i = 1, ..., n, tais

que para todo X ∈ Dom(F ),

F (X) = (f1(X), f2(X), ..., fm(X)).

Estas fun¸cões são chamadas de fun¸cões coordenadas de F ou fun¸cões componentes de

F . Desta forma, representamos a fun¸c˜ao F como

F : Dom(F ) ⊆ Rn _→ _Rm

X = (x1, x2, ..., xn) 7→ F (X) = (f1(X), f2(X), ..., fm(X)).

(2)

Como exemplo de fun¸c˜ao vetorial de uma vari´avel real podemos citar F (t) = (cos t , sen t),

t ∈ R e como exemplo de fun¸cão vetorial de várias variáveis reais, podemos citar F (x, y) =³px2_{+ y}2_{, xy , x + y}

´

, (x, y) ∈ R2_.

Observa¸c˜ao 1.2.1: Um ponto ou vetor X ∈ Rn _{pode ser representado tanto na}

hori-zontal quanto na vertical. Isto ´e, X = (x1, x2, ..., xn) ou X =

    x1 x2 : xn    .

Em rela¸cão ao dom´ınio da fun¸cão F temos um importante comentário a fazer. Conti-nuaremos aqui abusando da linguagem, tal como fizemos em Cálculo 1. Isto é, quando a fun¸cão F for dada por sua expressão e fizermos a pergunta: “qual é o dom´ınio da

fun¸c˜ao F ?” Estaremos de fato perguntando: “qual ´e o maior subconjunto de Rn _no

qual F est´a bem definida?”, ou seja, “qual ´e o maior subconjunto de Rn _{no qual todas}

as m express˜oes dadas por fi(X), i = 1, ..., m, est˜ao bem definidas?” Desta forma,

podemos ver que chamando de Di o maior subconjunto de Rnno qual a express˜ao dada

por fi(X) está bem definida, o dom´ınio da fun¸cão F é a interse¸cão de todos os Di,

i = 1, ..., m, i.e. Dom(F ) =Tm_i=1Di. Confira os exemplos abaixo.

Exemplo 1.2.1: Determine e esboce o dom´ınio da fun¸c˜ao

F (x, y) = µ 1 √ y, 1 √ −x ¶ .

Solu¸c˜ao: Neste caso, temos que f1(x, y) =

1 √ y e f2(x, y) = 1 √ −x. Portanto, D1 = {(x, y) ∈ R 2_{| y > 0} e} D2 = {(x, y) ∈ R2| x < 0}, de modo que Dom(F ) = {(x, y) ∈ R2_{| x}2_{+ y}2 _{< 1, y > 0 e x < 0}.}

Na figura ao lado temos um esbo¸co de Dom(F ) (em amarelo).

y

x

♥

Exemplo 1.2.2: Determine e esboce o dom´ınio da fun¸c˜ao

F (x, y) = Ã 1 p 1 − (x2_{+ y}2₎, x y, y x ! .

(3)

Solu¸c˜ao: Neste caso, temos que f1(x, y) = 1 p 1 − (x2_{+ y}2₎, f2(x, y) = x y e f3(x, y) = y x. Portanto, D1 = {(x, y) ∈ R2_{| x}2_+y2 _{< 1}, D2} _{= {(x, y) ∈ R}2_{| y 6=} 0} e D3 = {(x, y) ∈ R2| x 6= 0}, de modo que Dom(F ) = {(x, y) ∈ R2_{| x}2_{+ y}2 _{< 1, y 6= 0 e x 6= 0}.}

Na figura ao lado temos um esbo¸co de Dom(F ) (em verde). 1 –1 y x ♥

A seguir apresentamos os conceitos de imagem, gráfico e conjunto de n´ıvel de fun¸cões vetoriais de várias variáveis reais.

Dada a fun¸c˜ao F : Dom(F ) ⊆ Rn _{→ R}m_{, definimos os seguintes conjuntos}

• Imagem de F : Im(F ) = {F (X) ∈ Rm_{| X ∈ Dom(F )}.}

• Gr´afico de F : G(F ) = {(X, F (X)) ∈ Rn+m_{| X ∈ Dom(F )}.}

• Conjunto de N´ıvel K de F : dado K ∈ Im(F ), CK(F ) = {X ∈ Dom(F ) | F (X) = K}.

Observa¸cão 1.2.2: Em Cálculo I, a visualiza¸cão dos gráficos ajudavam em muito a compreensão das fun¸cões reais de uma variável real, que eram nossa matéria prima. Em tempo, lembre-se que dada uma fun¸cão f : Dom(f ) ⊆ R → R, seu gráfico é o subconjunto de R2 _{dado por G(f ) = {(x, f (x)) ∈ R}2_{| x ∈ Dom(f )}. Aqui em Cálculo}

2, a visualiza¸cão deste conjunto de pares ordenados (X, F (X)), X ∈ Dom(F ), que constituem o gráfico da fun¸cão F , continuarão de grande valia para um melhor en-tendimento das fun¸cões. Entretanto, vale a pena ressaltar que tal visualiza¸cão apenas será poss´ıvel se n + m ≤ 3.

Observa¸cão 1.2.3: Em Cálculo I, não fazia sentido esbo¸car nem dom´ınio, nem ima-gem de fun¸cão reais de uma variável real, pois tais conjuntos seriam simplesmente subconjuntos da reta. Aqui em Cálculo 2B, além de esbo¸car o dom´ınio (nos casos em que n ≥ 2, como nos Exemplos 1.2.1 e 1.2.2 anteriores), vamos ter interesse em esbo¸car imagens (nos casos em que m ≥ 2, como nos Exemplos 1.2.3 e 1.2.6 a seguir) e conjuntos de n´ıvel (nos casos em que n ≥ 2, como no Exemplo 1.2.5 a seguir).

(4)

Exemplo 1.2.3: Determine e esboce a imagem da fun¸c˜ao F (t) = (t, t2_{), t ≥ 0.}

Solu¸c˜ao: Temos que a imagem de F ´e o conjunto

Im(F ) = {(t, t2_{) ∈ R}2_{| t ≥ 0}.}

Observe que x = t e y = t2_{, de modo que a imagem}

da fun¸cão F é a parte da parábola y = x2_{, com x ≥ 0}

(figura ao lado).

y

x

♥

Exemplo 1.2.4: Determine e esboce o gr´afico da fun¸c˜ao f (x, y) =px2_{+ y}2_{, (x, y) ∈}

R2_.

Solu¸c˜ao: Temos que o gr´afico de f ´e o conjunto

G(f ) = {(x, y,px2_{+ y}2_{) ∈ R}3_{| (x, y) ∈ R}2_}.

Observe que z = px2_{+ y}2_{, de modo que o gr´afico da}

fun¸c˜ao f ´e o semicone z =px2_{+ y}2_{, com z ≥ 0 (figura}

ao lado).

x

y z

♥

Exemplo 1.2.5: Determine e esboce o conjunto de n´ıvel (1,0) da fun¸c˜ao F (x, y, z) = (x + y + z , z), (x, y, z) ∈ R3_.

Solu¸c˜ao: Temos que conjunto de n´ıvel (1,0) de F ´e o conjunto

C(1,0)(F ) = {(x, y, z) ∈ R3| x+y+z = 1 e z = 0},

que consiste da interse¸c˜ao do plano x + y + z = 1, com o plano z = 0, o que fornece a reta x + y = 1 no plano xy. o conjunto de n´ıvel (1, 0) de F est´a

esbo¸cado na figura ao lado. x

y z

♥

(5)

Solu¸c˜ao: Temos que o gr´afico de F ´e o conjunto

G(F ) = {(t, t, t2) ∈ R3| ∈ R}.

Observe que x = t, y = t e z = t2_{, de modo que o gr´afico}

da fun¸cão F é a interse¸cão do plano x = y com o cilindro

z = y2 _{(ou z = x}2_{) (figura ao lado).} x y

z

♥

Exemplo 1.2.7: Determine e esboce a imagem da fun¸c˜ao F (t) = (cos t, sen t),

t ∈ [0, 2π].

Solu¸c˜ao: Temos que a imagem de F ´e o conjunto dado por

Im(F ) = {(cos t, sen t) ∈ R2| t ∈ [0, 2π]}.

Para esbo¸car este conjunto, observe inicialmente que como x(t) = cos t e y(t) = sen t, temos que x2_{(t) + y}2_{(t) = 1. Portanto, todos os pontos da imagem desta fun¸c˜ao est˜ao}

contidos na circunferˆencia x2 _{+ y}2 _{= 1. Agora veremos que as equa¸c˜oes acima}

repre-sentam não apenas alguns pontos da circunferência, mas sim todos os pontos da mesma. De fato, considere a circunferência de raio 1 e centro na

origem esbo¸cada ao lado. Neste caso, ´e f´acil ver que    x = x(t) = cos t, t ∈ [0, 2π], y = y(t) = sen t,

onde t ´e o ˆangulo central indicado. Observe que quando

t varia de 0 a 2π, o ponto P = (x, y) parte do ponto

(1, 0) e completa a volta ao longo da circunferˆencia no sentido anti-hor´ario. y x P=(x,y) y(t) x(t) t 0

Concluimos portanto que a imagem desta fun¸cão é pre-cisamente a circunferência x2_{+ y}2 _{= 1 (figura ao lado).}

1 –1 1 –1 y x

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Solu¸c˜ao: Temos que o gr´afico de F ´e o conjunto dado por

Im(F ) = {(t, cos t, sen t) ∈ R3| t ∈ R}.

Para esbo¸car este conjunto, observe inicialmente que sendo y(t) = cos t e

z(t) = sen t, temos do Exemplo 1.2.6 acima, que y2_{(t) + z}2_{(t) = 1. Ou seja, a}

proje¸cão do gráfico de F , no plano yz, é a circunferência de raio 1 e centro na origem (figura abaixo à esquerda). Desta forma, temos que as coordenadas y e z do gráfico da fun¸cão F estão contidas no cilindro circular reto y2 _{+ z}2 _{= 1 (figura}

abaixo `a direita). 1 –1 1 –1 y x x y z

Além disto, a variável x vai aumentando conforme o valor de t vai crescendo, pois x = t. Desta forma, temos como gráfico desta fun¸cão, uma curva que faz uma espiral para frente, conforme o valor de t aumenta. Esta curva, semelhante a uma mola espiral, é chamada

de h´elice. x

y z

♥

Veremos agora exemplos que mostram que um mesmo conjunto pode ser apresentado como imagem de uma fun¸cão, ou como gráfico de outra fun¸cão, ou ainda, como con-junto de n´ıvel de uma terceira fun¸cão.

Exemplo 1.2.9: Determine o gr´afico da fun¸c˜ao

f : R2 _→ _R

(x, y) 7→ f (x, y) = x2_{+ y}2_.

Solu¸c˜ao: Temos que o gr´afico de f ´e o conjunto

G(f ) = {(x, y, x2_{+ y}2_{) ∈ R}3_{| (x, y) ∈ R}2_}.

Note que z = x2_{+ y}2_{, de modo que o gráfico da fun¸cão f é o parabolóide z = x}2_{+ y}2_. ♥

Exemplo 1.2.10: Determine a imagem da fun¸c˜ao

H : R2 _→ _R3

(7)

Solu¸c˜ao: Temos que a imagem de H ´e o conjunto

Im(H) = {(x, y, x2_{+ y}2_{) ∈ R}3_{| (x, y) ∈ R}2_}.

Novamente vemos que z = x2_+y2_{, de modo que a imagem da fun¸cão H é o parabolóide} z = x2_{+ y}2_.

♥

Exemplo 1.2.11: Determine o conjunto de n´ıvel 0 da fun¸c˜ao

g : R3 _→ _R

(x, y, z) 7→ g(x, y, z) = z − (x2_{+ y}2_).

Solu¸c˜ao: Temos que conjunto de n´ıvel 0 de g ´e o conjunto

C0(g) = {(x, y, z) ∈ R3| (x, y) ∈ R2 e z = x2+ y2},

que equivale a

C0(g) = {(x, y, x2+ y2) ∈ R3| (x, y) ∈ R2},

que tamb´em fornece o parabol´oide z = x2_{+ y}2_.

♥

Observe que nos trˆes exemplos acima, o conjunto pedido era dado pelo parabol´oide z = x2_+y2_{, esbo¸cado ao lado.}

Compare esta observa¸c˜ao com as defini¸c˜oes apresentadas abaixo.

x y

z

DEFINIC¸ ˜AO 1.2.2:

• Diz-se que um conjunto S ⊂ Rn+m _{está definido explicitamente se S é o gráfico}

em Rn+m _{de uma fun¸c˜ao F : Dom(F ) ⊆ R}n_{→ R}m_.

• Diz-se que um conjunto S ⊂ Rm _{est´a definido parametricamente se S ´e a imagem em}

Rm _{de uma fun¸c˜ao H : Dom(H) ⊆ R}n _{→ R}m_.

• Diz-se que um conjunto S ⊂ Rn+m _{est´a definido implicitamente se S ´e o conjunto de}

n´ıvel em Rn+m _{de uma fun¸c˜ao G : Dom(G) ⊆ R}n+m _{→ R}m_.

Na próxima aula, vamos falar de fun¸cões vetoriais de uma variável real e veremos mais exemplos de identifica¸cão e esbo¸co de imagens. Já na terceira aula, vamos falar de fun¸cões reais de várias variáveis reais, de modo que veremos mais exemplos de identi-fica¸cão e esbo¸co de dom´ınios, conjuntos de n´ıvel e gráficos.

(8)

1.3 Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 1.3.1: Descreva o conjunto S, onde S ´e a par´abola y = x2_{, x ∈ R de forma}

expl´ıcita, impl´ıcita e param´etrica.

Resposta: Forma expl´ıcita: S é o gráfico da fun¸cão f

f : R → R

x 7→ f (x) = x2_,

isto ´e,

S = G(f ) = {(x, x2_{) ∈ R}2_{| x ∈ R}.}

Forma impl´ıcita: S ´e o conjunto de n´ıvel zero da fun¸c˜ao g

g : R2 _→ _R

(x, y) 7→ g(x, y) = y − x2_,

isto ´e,

S = C0(g) = {(x, y) ∈ R2| y − x2 = 0}.

Forma paramétrica: S é a imagem da fun¸cão F

F : R → R

t 7→ F (t) = (t, t2_),

isto ´e,

S = Im(F ) = {(t, t2) ∈ R2| t ∈ R}.

Exerc´ıcio 1.3.2: Responda cada um dos itens a seguir.

a) Defina uma fun¸cão f1 cujo conjunto de n´ıvel 0 é a parábola y = x2 em R2.

b) Defina uma fun¸cão f2 cujo conjunto de n´ıvel 0 é o cilindro parabólico y = x2 em

R3_.

c) Determine e esboce o dom´ınio e a imagem da fun¸c˜ao f3(x, y) =

³

x, y,p1 − (x2_{+ y}2₎´_.

d) Determine uma fun¸cão f4 tal que seu gráfico é a imagem da fun¸cão f3 do item (c).

Resposta: a) f1 : R2 _→ _R (x, y) 7→ f (x, y) = y − x2_, b) f2 : R3 → R (x, y, z) 7→ f (x, y, z) = y − x2_,

(9)

c) Temos que o dom´ınio de f3 ´e o conjunto

Dom(f3) = {(x, y) ∈ R2| 1 − (x2+ y2) ≥ 0}

= {(x, y) ∈ R2_{| x}2_{+ y}2 _{≤ 1}.}

O dom´ınio de f3 ´e portanto a circunferˆencia de centro na origem e raio igual a 1 e seu

interior (figura abaixo `a esquerda). A imagem de f3 ´e o conjunto

Im(f3) = n³ x, y,p1 − (x2_{+ y}2₎ ´ ∈ R3| (x, y) ∈ R2 o .

A imagem de f3 ´e portanto a semi-esfera de centro na origem e raio igual a 1, com z ≥ 0 (figura abaixo `a direita).

1 –1 y x

x

y

z

d) f4 : Dom(f4) ⊆ R2 → R (x, y) 7→ f (x, y) =p1 − (x2_{+ y}2_),

onde Dom(f4) = {(x, y) ∈ R2| x2 + y2 ≤ 1}. Observe que de fato, G(f4) = { ³ x, y,p1 − (x2_{+ y}2₎ ´ ∈ R3_{| x ∈ R}.} ♥

(10)

FUNC

¸ ˜

OES VETORIAIS DE UMA

VARI ´

AVEL REAL

2.1 Fun¸c˜

oes Vetoriais de Uma Vari´

avel Real

Vamos agora tratar de um caso particular de fun¸c˜oes vetoriais F : Dom(f ) ⊆ Rn_{→ R}m_,

que são as fun¸cões vetoriais de uma variável real. Neste caso, temos que n = 1, i.e. o dom´ınio é um subconjunto de R.

DEFINIC¸ ˜AO 2.1.1: Dado um conjunto Dom(F ) ⊆ R, uma fun¸c˜ao vetorial F de

uma variável real é uma correspondência, F : Dom(F ) ⊆ R → Rm_{, que a cada ponto}

t ∈ Dom(F ), associa um e apenas um Y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Rm.

Exemplo 2.1.1: Abaixo temos exemplos de fun¸c˜oes vetoriais de uma vari´avel real, com m = 2 ((a) e (c)) e m = 3 ((b) e (d)).

a) F1(t) = (2t, 4t), t ≥ 0.

b) F2(t) = (t, 2t, 4t), t ≥ 0.

c) F3(t) = (2 cos t, 3 sen t), t ∈ [0, 2π].

d) F4(t) = (cos t, sen t, t), t ≥ 0.

2.2 Opera¸c˜

oes com Fun¸c˜

oes Vetoriais de Uma

Vari-´

avel Real

Definiremos a seguir as usuais opera¸cões de soma, diferen¸ca, e produto por escalar entre fun¸cões vetoriais, da mesma forma que fizemos para fun¸cões reais. Além disso, definiremos novas opera¸cões, conforme pode ser visto na defini¸cão a seguir.

(11)

DEFINIC¸ ˜AO 2.2.1: Considere as fun¸c˜oes F, G : D ⊆ R → Rm _{e f : D ⊆ R → R e}

a constante k ∈ R. Neste caso, definimos as seguintes fun¸c˜oes:

a) a fun¸c˜ao F + G : D ⊆ R → Rm_{, chamada de soma de F e G, dada por}

(F + G)(t) = F (t) + G(t), ∀ t ∈ D;

b) a fun¸c˜ao F − G : D ⊆ R → Rm_{, chamada de diferen¸ca entre F e G, dada por}

(F − G)(t) = F (t) − G(t), ∀ t ∈ D;

c) a fun¸c˜ao kF : D ⊆ R → Rm_{, chamada de produto de F pela constante k, dada por}

(kF )(t) = kF (t), ∀ t ∈ D;

d) a fun¸c˜ao f F : D ⊆ R → Rm_{, chamada de produto de F pela fun¸c˜ao escalar f , dada}

por

(f F )(t) = f (t)F (t), ∀ t ∈ D; e) se f (t) 6= 0, ∀t ∈ D, a fun¸c˜ao F

f : D ⊆ R → R

m_{, chamada de quociente de F pela}

fun¸c˜ao escalar f , dada por

µ F f ¶ (t) = F (t) f (t), ∀ t ∈ D;

f) a fun¸c˜ao F.G : D ⊆ R → R, chamada de produto escalar de F e G, dada por (F.G)(t) = F (t).G(t), ∀ t ∈ D;

g) se m = 3, a fun¸c˜ao F × G : D ⊆ R → R3_{, chamada de produto vetorial de F e G,}

dada por

(F × G)(t) = F (t) × G(t), ∀ t ∈ D.

Exemplo 2.2.1: Sabendo que f (t) = sen t, F (t) = (t, et_{, t}2_{) e G(t) = (t, 1, t}3_{), calcule:}

(a) F + G (b) 2F (c) f F (d) F.G (e) F × G. Solu¸c˜ao:

a) (F + G)(t) = F (t) + G(t) = (t, et_{, t}2_{) + (t, 1, t}3_{) = (2t, 1 + e}t_{, t}2_{+ t}3_);

b) (2F )(t) = 2F (t) = 2(t, et_{, t}2_{) = (2t, 2e}t_{, 2t}2_);

c) (f F )(t) = f (t)F (t) = sen t (t, et_{, t}2_{) = (t sen t, e}t _{sen t, t}2 _{sen t);}

d) (F.G)(t) = F (t).G(t) = (t, et_{, t}2_{).(t, 1, t}3_{) = t}2_{+ e}t_{+ t}5_; e) (F × G)(t) = F (t) × G(t) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ~i ~j ~k t et _t2 t 1 t3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= (t 3_et_{− t}2_{, t}3 _{− t}4_{, t − te}t_). ♥

(12)

2.3 C´

alculo com Fun¸c˜

oes Vetoriais de Uma Vari´

avel

Real

Veremos agora os conceito de limite, continuidade e derivada de fun¸cões vetoriais de uma variável real. Iniciaremos com a defini¸cão de limite. A no¸cão limite de fun¸cões vetoriais de uma variável real naturalmente conserva a idéia de limite vista em Cálculo 1, onde apenas é preciso fazer o devido ajuste das distâncias envolvidas. Lembre-se que se ~v = (v1, v2, ..., vm) e ~u = (u1, u2, ..., um) são dois vetores em Rm, a distância entre ~v

e ~u ´e dada por

||~v − ~u|| =p(v1− u1)2+ (v2− u2)2+ ... + (vm− um)2,

onde a fun¸c˜ao || . || : Rm _{→ R ´e chamada de norma. Observe ainda que}

||~v|| = q v2 1 + v22+ ... + v2m = √ ~v.~v.

No que se segue, vamos supor que D ´e um intervalo ou uma uni˜ao finita de intervalos.

DEFINIC¸ ˜AO 2.3.1: (Limite) Seja F a fun¸c˜ao vetorial F : D ⊆ R → Rm_{. Suponha}

que F est´a definida em um intervalo aberto contendo o ponto t0 (exceto possivelmente

no pr´oprio ponto t = t0). Dizemos que F (t) tende a L, L ∈ R, quando t tende a t0,

cuja nota¸c˜ao ´e lim

t→t0

F (t) = L, se para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que,

0 < |t − t0| < δ ⇒ ||F (t) − L|| < ε.

Observe que para F (t) = (f1(t), f2(t), ..., fm(t)) e L = (l1, ..., lm), temos que

||F (t) − L|| =p(f1(t) − l1)2+ (f2(t) − l2)2+ ... + (fm(t) − lm)2.

Sendo assim, ´e f´acil verificar que lim

t→t0

F (t) = L se e somente se lim

t→t0

fi(t) = li, para todo

i = 1, ..., m. Confira o teorema a seguir.

TEOREMA 2.3.1: Seja F a fun¸c˜ao vetorial

F : D ⊆ R → Rm

t 7→ F (t) = (f1(t), f2(t), ..., fm(t)).

e seja L = (l1, l2, ..., lm). Suponha que F est´a definida em um intervalo aberto contendo

o ponto t0 (exceto possivelmente no pr´oprio ponto t = t0). Ent˜ao, temos que

lim

t→t0

F (t) = L ⇐⇒ lim

t→t0

(13)

Portanto, pelo teorema acima, temos que

“ O limite de F , quando t tende a t0, existe e ´e igual a L = (l1, l2, . . . , lm) se e

somente se o limite de todas as suas fun¸c˜oes coordenadas fi, i = 1, ...m, quando t

tende a t0, existem e s˜ao iguais a li, i = 1, ...m, respectivamente.”

Exemplo 2.3.1: Calcule lim

t→0 µ sen t t , 1 − cos t t ¶ . Solu¸c˜ao: De acordo com o teorema anterior, como lim

t→0 sen t t = 1 e limt→0 1 − cos t t = 0, temos que lim t→0 µ sen t t , 1 − cos t t ¶ = µ lim t→0 sen t t , limt→0 1 − cos t t ¶ = (1, 0) . ♥

As propriedades de limite conhecidas continuam v´alidas, acrescidas agora de pro-priedades envolvendo os produtos escalar e vetorial e a norma em Rm _{(em lugar do}

m´odulo).

TEOREMA 2.3.2: (Propriedades de Limite) Considere as fun¸c˜oes F, G : D ⊆ R → Rm _{e f : D ⊆ R → R, tais que lim}

t→t0F (t) = L, limt→t0G(t) = M e

limt→t0f (t) = k. Neste caso, temos que

a) limt→t0(F ± G)(t) = L ± M b) limt→t0(f F )(t) = kL c) limt→t0 µ F f ¶ (t) = L k, se k 6= 0 d) limt→t0||F (t)|| = ||L|| e) limt→t0(F.G)(t) = L.M f) caso m = 3, limt→t0(F × G)(t) = L × M

Observa¸c˜ao 2.3.1: Caso o ponto t0 ∈ D seja um extremo de intervalo, temos os

con-ceitos de limites laterais, cujas defini¸cões são adapta¸cões naturais da Defini¸cão 2.3.1 e cujas nota¸cões são as usuais. Além disso, os Teoremas 2.3.1 e 2.3.2 permanecem válidos se t0 ∈ D for um extremo de intervalo.

(14)

DEFINIC¸ ˜AO 2.3.2: (Continuidade) Seja F a fun¸c˜ao vetorial F : D ⊆ R → Rm _e

seja t0 ∈ I(aberto) ⊆ D. Dizemos que F ´e cont´ınua no ponto t0, se

lim

t→t0

F (t) = F (t0).

Observa¸c˜ao 2.3.2: Caso o ponto t0 ∈ D seja um extremo de intervalo, o limite

uti-lizado ´e um limite lateral apropriado.

Observe que de acordo com o Teorema 2.3.1, temos que lim

t→t0

F (t) = F (t0) ⇐⇒ lim

t→t0

fi(t) = fi(t0), i = 1, ..., m.

Sendo assim, temos que

“ F é cont´ınua em t0 se e somente se todas as suas fun¸cões coordenadas são cont´ınuas em t0.”

Dizemos ainda que F ´e cont´ınua em um intervalo B ⊂ D se F ´e cont´ınua para todo

t ∈ B e dizemos simplesmente que F ´e cont´ınua se F ´e cont´ınua para todo t em seu

dom´ınio.

Podemos agora definir formalmente o que se entende em matemática por uma curva, que, de uma certa forma, reflete a nossa no¸cão intuitiva. Confira a defini¸cão abaixo.

DEFINIC¸ ˜AO 2.3.3: (Curva) Considere a fun¸c˜ao vetorial F : I ⊆ R → Rm_{, onde I}

é um intervalo da reta. Se F é uma fun¸cão cont´ınua, chamamos sua imagem de curva.

Em outras palavras, temos que

“ curva ´e a imagem de uma fun¸c˜ao vetorial cont´ınua definida em um intervalo.”

Observa¸c˜ao 2.3.3: Quando estivermos nos referindo a uma curva C em Rm_{, imagem}

da fun¸c˜ao (cont´ınua) F : I ⊂ R → Rm_{, diremos que C ´e uma curva parametrizada pela}

fun¸cão F ou que F é uma parametriza¸cão para C.

Observa¸cão 2.3.4: Nem todo autor define curva da forma que fizemos. Em alguns livros, curva é definida como a própria fun¸cão vetorial cont´ınua F : I ⊂ R → Rm _{e sua}

(15)

para o conceito coincidir com nossa no¸c˜ao intuitiva.

Vamos agora passar ao conceito de derivada.

DEFINIC¸ ˜AO 2.3.4: (Derivada) Considere a fun¸c˜ao F : D ⊆ R → Rm _{e seja}

t0 ∈ I(aberto) ⊆ D. Dizemos que F ´e deriv´avel em t0, se

lim

h→0

F (t0 + h) − F (t0) h

existe. Neste caso, definimos a derivada de F em t0, denotada por F0(t0) ou dF dt (t0),

como sendo o valor deste limite.

Observe que, pelo Teorema 2.3.1, temos que

“ F é derivável em t0 se e somente se suas fun¸cões coordenadas são deriváveis em t0 e, neste caso,

F0_(t

0) = (f10(t0), ..., fm0 (t0)).”

Exemplo 2.3.2: Calcule a derivada de F em t0 = 1, onde F (t) = (3t2, sen t3, et

2

). Solu¸c˜ao: Conforme observado acima, como todas as três fun¸cões coordenadas de F são deriváveis para todo t ∈ R, temos que

F 0_{(1) =} ³_(3t2₎0¯_¯ 1, ( sen t 3₎0¯_¯ 1, (e t2 )0¯¯_¯ 1 ´ = ³ 6t|₁, 3t2_{cos t}3¯_¯ 1, 2t e t2¯¯ ¯ 1 ´ = (6 , 3 cos 1 , 2e) . ♥

Vamos agora `as propriedades da derivada.

TEOREMA 2.3.3: (Propriedades da Derivada) Considere as fun¸c˜oes F, G : D ⊆ R → Rm _{e f : D ⊆ R → R, todas diferenci´aveis em t}

0 ∈ I(aberto) ⊆ D. Neste caso,

temos que a) (aF ± bG)0_(t 0) = aF0(t0) ± bG0(t0), a, b ∈ R b) (f F )0_(t 0) = f0(t0)F (t0) + f (t0)F0(t0) c) (F.G)0_(t 0) = F0(t0).G(t0) + F (t0).G0(t0) d) caso m = 3, (F × G)0_(t 0) = F0(t0) × G(t0) + F (t0) × G0(t0)

(16)

e) ||F (t0)||0 = ³p F (t0).F (t0) ´₀ = F (t0).F0(t0) ||F (t0)||

Observa¸c˜ao 2.3.6: Caso o ponto t0 ∈ D seja um extremo de intervalo, temos os

conceitos de derivadas laterais, cujas defini¸cões são adapta¸cões naturais da Defini¸cão 2.3.4 e cujas nota¸cões são as usuais. Além disso, o Teorema 2.3.3 permanece válido se

t0 ∈ D for um extremo de intervalo.

Dizemos ainda que a fun¸cão F : D ⊆ R → Rm _{é diferenciável ou derivável se F é}

diferenci´avel para todo t0 ∈ D.

2.4 Interpreta¸c˜

ao Geom´

etrica da Derivada

Considere o intervalo I ⊂ R e um ponto t0 pertence ao interior do intervalo I. Seja C

uma curva no plano parametrizada pela fun¸c˜ao cont´ınua e injetora ~r : I ⊂ R → R2_,

diferenciável em t0. Em outras palavras, C é a curva imagem da fun¸cão ~r, onde ~r é

diferenciável em t0. Considere agora dois pontos P e Q em C, cujos vetores posi¸cão são,

respectivamente, ~r (t0) e ~r (t0+ h). Neste caso,

−→

P Q representa o vetor ~r (t0+ h) −~r (t0),

que é um vetor sobre a reta secante à curva C que contém os pontos P e Q (figura abaixo). Observe que se h > 0, o vetor ~r (t0+ h) − ~r (t0)

h , que ´e um m´ultiplo escalar

do vetor ~r (t0+ h) − ~r (t0), possui a mesma dire¸c˜ao e sentido deste vetor. Ao fazermos h → 0, observamos que este vetor se aproxima de um vetor sobre a reta tangente `a

curva C no ponto P . Por esta raz˜ao, ~r 0_(t

0) ´e chamado de vetor tangente `a curva C,

(17)

DEFINIÇ ÃO 2.4.1: (Vetor tangente unit´ario) Seja ~r é uma fun¸cão cont´ınua e injetora. Dado um ponto ~r (t0) ∈ C, se ~r0(t0) existe e é não-nulo, definimos o vetor ~t,

dado por ~t(t0) = ~r

0_(t

0) ||~r 0_(t

0)||

, como o vetor unit´ario tangente `a curva C, parametrizada por ~r, no ponto ~r (t0).

DEFINIÇ ˜AO 2.4.2: (Reta tangente) Seja ~r é uma fun¸cão cont´ınua e injetora. Dado um ponto ~r (t0) ∈ C, se ~r0(t0) existe e é não-nulo, a equa¸cão paramétrica da reta

tangente `a curva C no ponto ~r (t0) ´e dada por

(x, y) = ~r (t0) + λ~r 0(t0), λ ∈ R.

Exemplo 2.4.1: Determine a reta tangente `a curva C parametrizada por ~r, onde

~r (t) = (cos t, sen t), t ∈ [0, 2π], no ponto (0,1).

Solu¸c˜ao: Conforme visto, a reta tangente à curva C parametrizada pela fun¸cão ~r, no ponto ~r (t0), é dada por

(x, y) = ~r (t0) + λ~r 0(t0), λ ∈ R,

se ~r 0_(t

0) n˜ao ´e nulo. No caso, temos que ~r 0(t) = (− sen t, cos t), de modo que ||~r 0(t)|| 6=

0 para todo t ∈ [0, 2π]. Al´em disso, temos que o ponto (0,1) corresponde a ~r³π 2

´ . De fato, resolver a igualdade ~r (t0) = (0, 1), corresponde a resolver o sistema

   x(t0) = cos t0 = 0 t0 ∈ [0, 2π], y(t0) = sen t0 = 1

cuja solu¸c˜ao ´e t0 = π

2. Sendo assim, temos que

~r 0_(t 0) = ~r 0 ³π 2 ´ = ³ − senπ 2, cos π 2 ´ = (−1, 0). Portanto, a equa¸c˜ao da reta tangente pedida ´e dada por

(x, y) = (0, 1) + λ(−1, 0), λ ∈ R, isto ´e,

(x, y) = (−λ, 1), λ ∈ R, o que corresponde `a reta

y = 1.

Observe que ~r s´o deixa de ser injetora nos pontos t0 = 0 e t1 = 2π, pois ~r(0) = ~r(2π) =

(1, 0), que não é o ponto em questão no problema. Entretanto, só por curiosidade, observe que a derivada à direita de ~r no ponto t0 = 0 e a derivada à esquerda de ~r no

(18)

ponto t1 = 2π s˜ao ambas iguais a (0, 1).

♥

Observa¸c˜ao 2.4.1: Nas defini¸cões anteriores, pedimos que a parametriza¸cão ~r fosse injetora, pois, caso contrário, um ponto P na curva C poderia corresponder a dois pontos t1 e t2 distintos, o que poderia gerar inconsistência, como por exemplo, dois

vetores tangentes de dire¸cões diferentes. Com a exigência da injetividade de ~r, dado um ponto P na curva C, temos que a equa¸cão ~r(t0) = P fornece uma única solu¸cão

para t0.

Observa¸c˜ao 2.4.2: Se C é uma curva no espa¸co parametrizada pela fun¸cão ~r : I ⊂ R → R3_{, tanto a interpreta¸cão geométrica como as defini¸cões anteriores continuam}

procedentes, apenas com a altera¸c˜ao de que na equa¸c˜ao da reta tangente deve-se incluir a coordenada z, i.e.

(x, y, z) = ~r (t0) + λ~r 0(t0), λ ∈ R.

2.5 Interpreta¸c˜

ao F´ısica da Derivada

Uma raz˜ao para escolher especificamente ~r 0_{(t) como o vetor tangente, ao inv´es de um}

múltiplo dele, é que muitas vezes vamos considerar o parâmetro t como a variável tempo e ~r (t) como sendo a representa¸cão da trajetória de uma part´ıcula que se desloca no espa¸co ou no plano. Com esta interpreta¸cão, ||~r 0_{(t)|| é a defini¸cão natural de velocidade}

do movimento ao longo da trajet´oria C descrita por ~r (t) quando t varia. O termo “velocidade” se deve ao fato de que, para h pequeno, tem-se que ||~r (t) − ~r (t + h)||

|h| ´e

(19)

(figura abaixo). Além do mais, é fácil mostrar que se ~r 0_{(t) existe,} lim h→0 ||~r (t + h) − ~r (t)|| |h| = ||~r 0_(t)||.

Sendo assim, ||~r 0_{(t)|| ´e o limite das taxas m´edias sobre intervalos de tempo}

arbitraria-mente pequenos. Desta forma, a fun¸c˜ao real v definida por v(t) = ||~r 0_{(t)|| ´e chamada}

de velocidade escalar, e o vetor ~v, definido por ~v (t) = ~r 0_{(t), ´e chamado de vetor}

ve-locidade no ponto ~r (t).

Da mesma forma, se ~v (t) é derivável, definimos ~a (t) = ~v 0_{(t) como o vetor acelera¸cão}

do movimento e a(t) = ||~a (t)|| como a intensidade da acelera¸cão. Quando ~r (t) descreve a trajetória de uma part´ıcula de massa constante m, então m~a (t) é o vetor for¸ca que atua sobre a part´ıcula e ma(t) é a intensidade da for¸ca que age na part´ıcula.

2.6 Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 2.6.1: Considere as fun¸cões do Exemplo 2.1.1. Determine e esboce (se poss´ıvel) as imagens e os gráficos destas fun¸cões.

(20)

a) Temos que a imagem de F1 ´e o conjunto Im(F1) = {(2t, 4t) ∈ R2| t ≥ 0}.

Observe que como x = 2t e y = 4t, temos que y(t) = 2x(t), t ≥ 0. Portanto, a imagem desta fun¸c˜ao ´e a semi-reta (em R2_{) y = 2x, x ≥ 0. Uma outra forma de}

verificar que trata-se de uma semi-reta, ´e observar que

F1(t) = (2t, 4t) = t(2, 4), t ≥ 0. Portanto, a imagem

desta fun¸cão é a semi-reta (em R2_{) que contém a origem}

e é paralela ao vetor (2, 4) (apenas múltiplos positivos deste vetor). A imagem de F1 está esbo¸cada ao lado.

y

x

O gr´afico de F1 ´e o conjunto

G(F1) = {(t, 2t, 4t) ∈ R2| t ≥ 0}.

Conforme observado no item anterior, podemos escrever o conjunto de pontos (t, 2t, 4t), t ≥ 0, como (t, 2t, 4t) =

t(1, 2, 4), t ≥ 0. Portanto, a imagem desta fun¸c˜ao ´e a

semi-reta (em R3_{) que cont´em a origem e ´e paralela ao}

vetor (1, 2, 4) (apenas múltiplos positivos deste vetor). O gráfico de F1 está esbo¸cado ao lado.

x y

z

b) Temos que a imagem de F2 ´e o conjunto Im(F2) = {(t, 2t, 4t) ∈ R3| t ≥ 0}.

Observe que a imagem de F2 coincide com o gr´afico de F1 (figura ao lado).

G(F2) = {(t, t, 2t, 4t) ∈ R4| t ≥ 0}.

Como o gráfico de F2 está em R4, não podemos

esbo¸c´a-lo.

x y

z

c) Temos que a imagem de F3 ´e o conjunto

Im(F3) = {(2 cos t, 3 sen t) ∈ R2| t ∈ [0, 2π]}.

Observe que como x(t) = 2 cos t e y(t) = 3 sen t, t ∈ [0, 2π], temos que x

2_(t)

4 +

y2_(t)

9 = 1. Portanto, todos os pontos da imagem da fun¸c˜ao F3 est˜ao contidos na elipse

x2_(t)

4 +

y2_(t)

9 = 1. Não faremos aqui, mas é poss´ıvel mostrar qua as equa¸cões acima representam não apenas alguns pontos desta elipse, mas sim, todos os pontos da mesma (figura ao lado).

–3 3 2 –2 y x

(21)

G(F3) = {(t, 2 cos t, 3 sen t) ∈ R2| t ≥ 0}.

Para esbo¸car este conjunto, observe inicialmente que sendo y(t) = 2 cos t e z(t) = 3 sen t, temos, conforme visto acima, que x2(t)

4 +

y2_(t)

9 = 1. Ou seja, a proje¸cão do gráfico de F3, no plano yz, é uma elipse. Desta forma,

temos que as coordenadas y e z do gr´afico da fun¸c˜ao F3

est˜ao contidas no cilindro eliptico reto x

2_(t)

4 +

y2_(t)

9 = 1,

x ≥ 0, pois x = t ≥ 0. Para finalizar, observe que

a variável x vai aumentando conforme o valor de t vai crescendo (x = t). Desta forma, temos como gráfico da fun¸cão F3 é uma curva que faz uma espiral para frente,

conforme o valor de t aumenta. Este exemplo é seme-lhante ao Exemplo 1.2.8, onde a circunferência é substi-tuida por uma elipse. O gráfico de F3 está esbo¸cado na

figura ao lado.

x

y z

d) Temos que a imagem de F4 ´e o conjunto Im(F4) = {(cos t, sen t, t) ∈ Rt| t ≥ 0}.

Para esbo¸car a imagem da fun¸c˜ao F4, observe que ela ´e

muito semelhante ao gr´afico da fun¸c˜ao do Exemplo 1.2.8, onde os pontos da imagem agora pertencem ao cilindro, no plano xy, x2_{(t) + y}2_{(t) = 1, z ≥ 0, pois z = t ≥ 0..}

Portanto, a proje¸cão da imagem da fun¸cão F4, no plano xy, é a circuferência de centro na origem e raio igual a

um. Além disto, quando o valor de t vai aumentando, a variável z também vai aumentando (z = t). Desta forma, temos como imagem da fun¸cão F4, uma mola ou

hélice na vertical (figura ao lado). O gráfico de F4 é o

conjunto

G(F4) = {(t, cos t, sen t, t) ∈ R4| t ≥ 0}.

Como o gráfico de F4 está em R4, não podemos

esbo¸c´a-lo.

x y

z

♥

Exerc´ıcio 2.6.2: Obtenha a equa¸cão da reta tangente à imagem da fun¸cão F (t) = (cos t, sen t, t), t ∈ R, no ponto de sua imagem que corresponde a t = π

(22)

Solu¸c˜ao: Observe que quando t = π 2, temos que F³π 2 ´ = ³ cos³π 2 ´ , sen ³π 2 ´ ,π 2 ´ = ³ 0, 1,π 2 ´ .

Portanto a equa¸c˜ao da reta tangente pedida ´e igual a (x, y, z) = F ³π 2 ´ + λF 0³π 2 ´ , λ ∈ R = ³ 0, 1,π 2 ´ + λF 0³π 2 ´ , λ ∈ R.

Desta forma, devemos encontrar F0³π

2 ´

. Derivando ent˜ao F e calculando F0³π

2 ´ , encontramos F 0_{(t) =}    x(t) = − sen t y(t) = cos t z(t) = 1 ⇒ F 0³π 2 ´ = (−1, 0, 1)

A equa¸cão desejada é então

(x, y, z) = ³ 1, 0,π 2 ´ + λ (−1, 0, 1) , λ ∈ R. ♥

2.7 Apˆ

endice: Uma Observa¸c˜

ao Interessante Sobre a

Derivada

Lembre-se que para uma fun¸c˜ao f : Dom(f ) ⊆ R → R, sua derivada em um ponto x0

pertencente a um intervalo aberto contido ne dom´ınio de f , se existir, fornece o coefi-ciente linear da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f (x0). Portanto, em Cálculo 1, associávamos a diferenciabilidade de uma fun¸cão f à suavidade do seu gráfico. O que fizemos agora, não foi trabalhar com o gráfico da fun¸cões vetoriais de uma variável e sim com sua imagem. Vimos uma interpreta¸cão geométrica diferente para a derivada de fun¸cões vetoriais de uma variável, que é relacionada à sua imagem. Portanto, o fato de uma curva, imagem de uma fun¸cão vetorial F , apresentar ou não “bicos”, nada mais tem a ver com a diferenciabilidade da fun¸cao vetorial F . Nos dois exemplos abaixo, ilustraremos situa¸cões que mostram que não há rela¸cão entre a diferenciabilidade de uma fun¸cão vetorial e sua imagem possuir ou não “bicos”. No primeiro exemplo temos um caso em que uma curva suave pode tanto ser imagem de uma fun¸cão diferenciável ou não e, no segundo exemplo, vemos um caso em que uma fun¸cão diferenciável possui uma imagem com “bicos”.

(23)

Exemplo 2.7.1: Considere as trˆes fun¸c˜oes vetoriais abaixo.

F1(t) = (t, t2), F2(t) = (t3, t6) e F3 =

½

(t, t2_{), se t ≥ 0}

(t3_{, t}6_{), se t < 0} .

Determine e esboce a imagem destas fun¸cões e verifique que F1 e F2 são diferenciáveis

na origem, enquanto que F3 não é diferenciável na origem.

Solu¸c˜ao: Nos trˆes casos acima temos que y(t) = (x(t))2_,

de modo que a imagem das três fun¸cões é a parábola y =

x2_{, x ∈ R (figura ao lado). Quanto `a diferenciabilidade}

destas fun¸cões, é fácil ver que

F₁0(t) = (1, 2t) e F2(t) = (3t2, 6t5), de modo que F0 1(0) = (1, 0) e F20(0) = (0, 0). y x 0

Observe ainda que tanto F1 como F2 são diferenciáveis na origem, mas que só F1 possui

reta tangente na origem (a reta y = 0), uma vez que F0

2(0) = (0, 0). Já em rela¸cão à

fun¸c˜ao F3, temos que

F0 3(t) =    (1, 2t), se t < 0 6 ∃, se t = 0 (3t2_{, 6t}5_{), se t < 0} ,

pois, o limite lim

h→0

F3(h) − F3(0)

h n˜ao existe, uma vez que os limites laterais s˜ao

diferen-tes. De fato, lim h→0+ F3(h) − F3(0) h = h→0lim+ µ h h, h2 h ¶ = lim h→0+(1, h) = (1, 0) e lim h→0− F3(h) − F3(0) h = h→0lim− µ h3 h, h6 h ¶ = lim h→0− ¡ h2_{, h}5¢_{= (0, 0).} ♥

Exemplo 2.7.2: Considere as fun¸c˜oes vetoriais

G1(t) = (t, |t|) e G2(t) = (t|t|, t2), t ∈ R.

Determine e esboce a imagem destas fun¸cões e verifique que G1 não é diferenciável na

(24)

Solu¸c˜ao: Observe que

G2(t) =

½

(−t2_{, t}2_{), se t < 0}

(t2_{, t}2_), _{se t ≥ 0} .

Deste modo, temos que

y(t) = ½ −x(t), se x < 0 x(t), se x ≥ 0 . y x 0

Portanto, a imagem de G2 ´e dada por y = |x|, x ∈ R. Da mesma forma, como G1(t) = (t, |t|), ∀x ∈ R, tamb´em temos que y = |x|, x ∈ R, de modo que a imagem

das duas fun¸cões é igual a y = |x|, x ∈ R (figura ao lado). vamos agora estudar a diferenciabilidade destas fun¸cões na origem. Quanto à diferenciabilidade da fun¸cão G1,

observe que G0 1(t) =    (1, −1), se t < 0 6 ∃, se t = 0 (1, 1), se t < 0 , pois, lim h→0+ G1(h) − G1(0) h = h→0lim+ µ h h, h h ¶ = lim h→0+(1, 1) = (1, 1) e lim h→0− G1(h) − G1(0) h = h→0lim− µ h h, −h h ¶ = lim h→0−(1, −1) = (1, −1). Como lim h→0− G1(h) − G1(0) h 6= limh→0+ G1(h) − G1(0)

h , temos que n˜ao existe limh→0

G1(h) − G1(0)

h ,

o que significa que G1 não é diferenciável na origem.

Quanto `a diferenciabilidade da fun¸c˜ao G2, observe que G0 2(t) =    (−2t, 2t), se t < 0 (0, 0), se t = 0 (2t, 2t), se t < 0 , pois, lim h→0+ G2(h) − G2(0) h = h→0lim+ µ h2 h, h2 h ¶ = lim h→0+(h, h) = (0, 0)

(25)

e lim h→0− G2(h) − G2(0) h = h→0lim− µ −h2 h, h2 h ¶ = lim h→0−(−h, h) = (0, 0). Como lim h→0− G2(h) − G2(0) h = (0, 0) = limh→0+ G1(h) − G1(0)

h , temos que limh→0

G1(h) − G1(0)

h =

(0, 0), o que significa que G0

1(0) = (0, 0).

(26)

FUNC

¸ ˜

OES REAIS DE V ´

ARIAS

VARI ´

AVEIS REAIS

3.1 Fun¸c˜

oes Reais de V´

arias Vari´

aveis Reais

Vamos agora tratar do segundo caso particular de fun¸cões vetoriais de várias variáveis reais, F : Dom(F ) ⊆ Rn _{→ R}m_{, que são as fun¸cões reais de várias variáveis reais.}

Neste caso, temos que m = 1 e n ≥ 2, i.e. o dom´ınio ´e um subconjunto de Rn_{, n ≥ 2,}

enquanto que a imagem ´e um subconjunto da reta .

DEFINIÇ ˜AO 3.1.1: Dado Dom(f ) ⊆ Rn_{, uma fun¸cão real f de várias variáveis reais}

´e uma correspondˆencia, f : Dom(f ) ⊆ Rn _{→ R, que a cada ponto X = (x}

1, x2, ..., xn) ∈

Dom(f ), associa um e apenas um y = f (X) ∈ R.

Exemplo 3.1.1: Abaixo temos alguns exemplos de fun¸cões reais de várias variáveis, com n = 2 ((a) e (b)) e n = 3 ((c) e (d)). a) f (x, y) = 4 − (x2_{+ y}2_{), (x, y) ∈ R}2_. b) g(x, y) = xy, (x, y) ∈ R2_. c) h(x, y, z) = x + y + z, (x, y, z) ∈ R3_. d) w(x, y, z) = 1 x2_{+ y}2_{+ z}2, (x, y, z) ∈ R3\{(0, 0, 0)}.

Conforme já mencionado, o conjunto Dom(f ) é chamado de dom´ınio da fun¸cão f . Além disso, continuaremos abusando da linguagem, conforme mencionado nas aulas anteriores. Isto é, quando a fun¸cão f for dada por sua expressão e fizermos a pergunta:

“qual é o dom´ınio da fun¸cão f ?” Estaremos de fato perguntando: “qual é o maior subconjunto de Rn _{no qual f está bem definida?”, ou seja, “qual é o maior subconjunto}

de Rn _{no qual a express˜ao dada por f (X) est´a bem definida?”}

(27)

3.2 Opera¸c˜

oes com Fun¸c˜

oes Reais de V´

arias Vari´

a-veis Reais

Definiremos a seguir as usuais opera¸cões de soma, diferen¸ca, produto e quociente, da mesma forma que fizemos para fun¸cões reais de uma variável.

DEFINIC¸ ˜AO 3.2.1: Considere as fun¸c˜oes f, g : D ⊆ Rn _{→ R e a constante k ∈ R.}

Neste caso, definimos as seguintes fun¸c˜oes:

a) a fun¸c˜ao f + g : D ⊆ Rn _{→ R, chamada de soma de f e g, dada por}

(f + g)(X) = f (X) + g(X), ∀ X ∈ D;

b) a fun¸c˜ao f − g : D ⊆ Rn _{→ R, chamada de diferen¸ca entre f e g, dada por}

(f − g)(X) = f (X) − g(X), ∀ X ∈ D;

c) a fun¸c˜ao kf : D ⊆ Rn _{→ R, chamada de produto de f pela constante k, dada por}

(kf )(X) = kf (X), ∀ X ∈ D;

d) a fun¸c˜ao f g : D ⊆ Rn_{→ R, chamada de produto de f pela fun¸c˜ao g, dada por}

(f g)(X) = f (X)g(X), ∀ X ∈ D; e) se g(X) 6= 0, ∀X ∈ D, a fun¸c˜ao f

g : D ⊆ R

n_{→ R, chamada de quociente de f pela}

fun¸c˜ao g, dada por _µ

f g

¶

(X) = f (X)

g(X), ∀ X ∈ D.

Vamos agora nos concentrar em fun¸c˜oes reais de apenas duas vari´aveis reais.

3.3 Fun¸c˜

oes Reais de Duas Vari´

aveis Reais

Vamos trabalhar agora apenas com fun¸cões reais de duas variáveis reais. Isto é, vamos trabalhar com fun¸cões f da forma

f : Dom(f ) ⊆ R2 _→ _R

(x, y) 7→ f (x, y).

Vamos iniciar identificando e esbo¸cando o dom´ınio de algumas fun¸c˜oes de duas vari´aveis reais.

(28)

Exemplo 3.3.1: Determine e esboce o dom´ınio das fun¸cões definidas pelas expressões abaixo. a) f1(x, y) = x + y x − y. b) f2(x, y) = √ y − x +√1 − y. c) f3(x, y) = 1 p x2_{− y}2. d) f4(x, y) = p x2 _{− y}2_{− 1.} e) f5(x, y) = y x − 1. f) f6(x, y) = ln(xy − 1). Solu¸cão:

a) Neste caso, como o termo x − y aparece no denomi-nador da express˜ao de f1, devemos ter x − y 6= 0. Desta

forma, segue que

Dom(f1) = {(x, y) ∈ R2| y 6= x}.

Temos portanto que o dom´ınio da fun¸c˜ao ´e todo plano

xy, excetuando a reta y = x (figura ao lado).

y

x

b) Neste caso, para podermos tirar as duas raizes que aparecem na express˜ao de f2, devemos ter y − x ≥ 0 e

1 − y ≥ 0. Portanto, segue que

Dom(f2) = {(x, y) ∈ R2| y ≥ x e y ≤ 1}.

Ao lado temos um esbo¸co da regi˜ao determinada pelas retas y = x e y = 1.

y

x 1

c) Neste caso, para podermos tirar a raiz que aparece na express˜ao de f3, devemos ter x2 − y2 ≥ 0. Al´em disso,

como o termo px2 _{− y}2 _{está no denominador da fun¸cão} f3, é necessário ter x2_{− y}2 _{6= 0. Portanto, segue que}

Dom(f3) = {(x, y) ∈ R2| x2− y2 > 0}.

Como x2_{− y}2 _{> 0 ⇔ y}2 _{< x}2 _{⇔ |y| < |x| ⇔ −|x| < y <} |x|, temos que

Dom(f3) = {(x, y) ∈ R2| − |x| < y < |x|}.

Ao lado temos um esbo¸co do dom´ınio da fun¸c˜ao f .

y

(29)

d) Neste caso, para podermos tirar a raiz que aparece na express˜ao de f4, devemos ter x2− y2− 1 ≥ 0. Portanto,

segue que

Dom(f4) = {(x, y) ∈ R2| x2− y2 ≥ 1}.

Ao lado temos um esbo¸co da regi˜ao determinada pela hip´erbole x2_{− y}2 _{= 1.}

y

x

1 –1

e) Neste caso, como o termo x − 1 aparece no denomi-nador da express˜ao de f5, devemos ter x − 1 6= 0. Desta

forma, segue que

Dom(f5) = {(x, y) ∈ R2| x 6= 1}.

xy, excetuando a reta x = 1 (figura ao lado).

y

x 1

f) Neste caso, como o termo xy − 1 aparece como argu-mento do logaritmo natural na express˜ao de f6, devemos

ter xy − 1 > 0. Desta forma, segue que

Dom(f6) = {(x, y) ∈ R2| xy > 1}.

Ao lado temos um esbo¸co da regi˜ao determinada pela hip´erbole xy = 1. (figura ao lado).

y

x

♥

3.4 Exemplos de Fun¸c˜

oes Reais de Duas Vari´

aveis

Reais

Veremos a seguir exemplos de alguns tipos de fun¸c˜oes reais de duas vari´aveis reais.

Exemplo 3.4.1: (Fun¸c˜ao Polinomial) Uma fun¸cão polinomial de duas variáveis reais a valores reais é uma fun¸cão f : R2 _{→ R dada por}

f (x, y) = X

m+n≤p

amnxnym,

(30)

estendida a todas solu¸c˜oes (m, n), m e n naturais, da inequa¸c˜ao m + n ≤ p. Exemplo: f (x, y) = 2x5_y2_{+ x}2_y3_.

Exemplo 3.4.2: (Fun¸c˜ao Afim) Uma fun¸cão afim de duas variáveis reais a valores reais é uma fun¸cão f : R2 _{→ R dada por}

f (x, y) = ax + by + c,

onde a, b e c são números reais dados. A fun¸cão afim é um caso particular de uma fun¸cão polinomial.

Exemplo: f (x, y) = 2x + 7y +√6.

Exemplo 3.4.3: (Fun¸c˜ao Linear) Uma fun¸cão linear de duas variáveis reais a valores reais é uma fun¸cão f : R2 _{→ R dada por}

f (x, y) = ax + by,

onde a e b são números reais dados. A fun¸cão linear é um caso particular de uma fun¸cão afim.

Exemplo: f (x, y) = 2x + √2

3y.

Exemplo 3.4.4: (Fun¸c˜ao Racional) Uma fun¸cão racional de duas variáveis reais a valores reais é uma fun¸cão f : Dom(f ) ⊆ R2 _{→ R dada por}

f (x, y) = p(x, y) q(x, y),

onde p e q s˜ao fun¸c˜oes polinomiais dadas. Temos, neste caso, que Dom(f ) = {(x, y) ∈ R3_{| q(x, y) 6= 0}.} Exemplo: f (x, y) = x 2_y2_{+ 7y}3 xy + x . Observe que Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2_{| x(y + 1) 6= 0}} = {(x, y) ∈ R2_{| x 6= 0 e y 6= −1}}

xy, excetuando as retas x = 0 e y = −1 (figura ao lado).

y

x 1

(31)

Seja f : Dom(f ) ⊆ R2 _{→ R. Conforme j´a sabemos, dado k ∈ Im(f ), temos que o}

conjunto de n´ıvel da fun¸c˜ao f correspondente ao n´ıvel k ´e o subconjunto do dom´ınio dado por

Ck(f ) = {(x, y) ∈ Dom(f ) | f (x, y) = k}.

No caso em questão, que é o das fun¸cões reais de duas variáveis reais, os conjuntos de n´ıvel de f são de fato curvas, as quais são portanto chamadas de curvas de n´ıvel de

f . Conforme mencionado, as curvas de n´ıvel são muito úteis para se ter uma visão do

comportamento da fun¸cão. Isto porque elas nos fornecem todos os pontos do dom´ınio tais que o valor da fun¸cão é constante. Desta forma, se tivéssemos todas as curvas de n´ıvel k poder´ıamos construir o gráfico de f “pegando”cada curva de n´ıvel de f e colocando na altura z = k.

Observa¸c˜ao 3.5.1: Como sabemos que f ´e constante ao longo das curvas de n´ıvel, observe que duas curvas de n´ıvel de uma fun¸c˜ao f correspondentes aos n´ıveis k1 e k2,

onde k1 6= k2, n˜ao podem se interceptar.

Vamos agora fazer alguns exemplos.

Exemplo 3.5.1: Determine e esboce as curvas de n´ıvel das fun¸c˜oes dadas abaixo. a) f1(x, y) = x + y. b) f2(x, y) = x2+ y2. c) f3(x, y) = y x − 1. d) f4(x, y) = ln(xy − 1). e) f5(x, y) = y2− x2. f) f6(x, y) = xy2 x2_{+ y}4. Solu¸c˜ao:

a) Neste caso, observe que Dom(f1) = R2 e que Im(f1) = R. Desta forma, temos que

para todo k real, o conjunto de n´ıvel k de f1 ´e dado por Ck(f1) = {(x, y) ∈ R2| x + y = k},

ou seja, as curvas de n´ıvel k de f1 s˜ao retas x + y = k. Por exemplo,

para k = 0, temos a reta y = −x; para k = 1, temos a reta y = −x + 1; para k = 2, temos a reta y = −x + 2; para k = −1, temos a reta y = −x − 1; para k = −2, temos a reta y = −x − 2.

(32)

esbo¸cada em azul, as curvas de n´ıvel k > 0 est˜ao esbo¸cadas em verde e as curvas de n´ıvel k < 0 est˜ao esbo¸cadas em rosa.

y

x

b) Neste caso, observe que Dom(f2) = R2 e que Im(f2) = {z ∈ R | z ≥ 0}. Desta

forma, temos que para todo k ≥ 0 real, o conjunto de n´ıvel k de f2 ´e dado por Ck(f2) = {(x, y) ∈ R2| x2+ y2 = k}.

Observe que para k = 0, temos apenas o ponto (0, 0), i.e. C0(f2) = {(0, 0)}. Já para k > 0, temos que as curvas de n´ıvel k > 0 de f2 são circunferências x2 + y2 = k, i. e.

circunferˆencias de raio √k e centro na origem. Por exemplo,

para k = 1, temos a circunferˆencia x2_{+ y}2 _{= 1;}

para k = 4, temos a circunferˆencia x2_{+ y}2 _{= 4.}

As curvas de n´ıvel de f2 encontram-se esbo¸cadas abaixo. A curva de n´ıvel k = 0 (a

origem) est´a esbo¸cada em azul e as curvas de n´ıvel k > 0 est˜ao esbo¸cadas em verde. y

x

c) Neste caso, observe que

Dom(f3) = {(x, y) ∈ R2| x 6= 1}

e que Im(f3) = R. Desta forma, temos que para todo k real, o conjunto de n´ıvel k de f3 ´e dado por

Ck(f3) = {(x, y) ∈ Dom(f3) | y = k(x − 1)},

ou seja, as curvas de n´ıvel k de f3 s˜ao retas y = k(x − 1). Por exemplo,

para k = 0, temos a reta y = 0; para k = 1, temos a reta y = x − 1;

(33)

para k = 2, temos a reta y = 2x − 2; para k = −1, temos a reta y = −x + 1; para k = −2, temos a reta y = −2x + 2.

As curvas de n´ıvel de f3 encontram-se esbo¸cadas abaixo. As curvas de n´ıvel k = 0

(semi-retas) estão esbo¸cadas em azul, as curvas de n´ıvel k > 0 (semi-retas) estão esbo¸cadas em verde e as curvas de n´ıvel k < 0 (semi-retas) estão esbo¸cadas em rosa.

y

x

d) Neste caso, observe que

Dom(f4) = {(x, y) ∈ R2| xy > 1}

e que Im(f4) = R. Desta forma, temos que para todo k real, o conjunto de n´ıvel k de f4 ´e dado por

Ck(f4) = {(x, y) ∈ Dom(f4) | ln(xy − 1) = k}.

Como ln(xy − 1) = k ⇔ xy − 1 = ek _{⇔ xy = 1 + e}k_{, temos que as curvas de n´ıvel k de}

f s˜ao hip´erboles xy = 1 + ek_{. Por exemplo,}

para k = 0, temos a hipérbole xy = 2; para k = 1, temos a hipérbole xy = 1 + e; para k = 2, temos a hipérbole xy = 1 + e2_;

para k = −1, temos a hip´erbole y = xy = 1 + 1

e;

para k = −2, temos a hip´erbole y = xy = 1 + 1

e2.

estão esbo¸cadas em azul, as curvas de n´ıvel k > 0 estão esbo¸cadas em verde e as curvas de n´ıvel k < 0 estão esbo¸cadas em rosa.

y

x

(34)

para todo k real, o conjunto de n´ıvel k de f5 ´e dado por Ck(f5) = {(x, y) ∈ R2| y2 − x2 = k}.

Observe que para k = 0, temos que y2 _{− x}2 _{= 0 ⇔ y}2 _{= x}2 _{⇔ |y| = |x| ⇔ y = ±x,}

i.e. as curvas de n´ıvel zero são as retas y = x e y = −x. Já para k > 0, temos que as curvas de n´ıvel k > 0 de f5 são hipérboles y2− x2 = k > 0, i. e. hipérboles cujos focos

est˜ao no eixo y. Contudo, para k < 0, temos que as curvas de n´ıvel k < 0 de f5 s˜ao

hipérboles y2_{− x}2 _{= k < 0, i. e. hipérboles cujos focos estão no eixo x. Por exemplo,}

para k = 0, temos as retas y = x e y = −x; para k = 1, temos a hip´erbole y2_{− x}2 _{= 1;}

para k = 2, temos a hip´erbole y2_{− x}2 _{= 2;}

para k = −1, temos a hip´erbole x2_{− y}2 _{= 1;}

para k = −2, temos a hip´erbole x2_{− y}2 _{= 2.}

(retas) estão esbo¸cadas em azul, as curvas de n´ıvel k > 0 estão esbo¸cadas em verde e as curvas de n´ıvel k < 0 estão esbo¸cadas em rosa.

y

x

f) Neste caso, observe que Dom(f6) = R2\{(0, 0)}. J´a a imagem de f6, vamos

deter-minar mais tarde. Desta forma, temos que para todo k ∈ Im(f6), o conjunto de n´ıvel k de f6 ´e dado por

Ck(f6) = ½ (x, y) ∈ Dom(f6) ¯ ¯ ¯ xy 2 x2_{+ y}4 = k ¾ .

Observe que k = 0 ∈ Im(f6), e que o conjunto de n´ıvel 0 de f6 ´e dado por C0(f6) = {(x, y) ∈ Dom(f6) | x = 0 ou y = 0}.

Desenvolvendo ent˜ao a igualdade xy2

x2_{+ y}4 = k, para k 6= 0, temos que xy2

x2_{+ y}4 = k ⇔ xy

2 _{= kx}2_{+ ky}4 _{⇔ kx}2_{− y}2_{x + ky}4 _{= 0.}

Resolvendo a equa¸c˜ao acima em x, segue que

x = y

2_{± y}2√_{1 − 4k}2

(35)

De posse deste resultado, fica claro que Im(f6) = · −1 2, 1 2 ¸

. Sendo assim, para k ∈ · −1 2, 1 2 ¸

, k 6= 0, temos que o conjunto de n´ıvel k de f6 ´e dado por

Ck(f6) = ½ (x, y) ∈ Dom(f6) ¯ ¯ ¯ x = y2 µ 1 ± 1√1 − 4k2 2k ¶¾ ,

ou seja, as curvas de n´ıvel k(k 6= 0) de f6 s˜ao as par´abolas x = y2

µ

1 ± 1√1 − 4k2

2k

¶ , com (x, y) 6= (0, 0). Por exemplo,

para k = 1/2, temos a par´abola x = y2_;

para k = 1/3, temos as par´abolas x = y2

Ã 3 +√5 2 ! e x = y2 Ã 3 −√5 2 ! ; para k = 1/4, temos as par´abolas x = y2

Ã 4 +√12 2 ! e x = y2 Ã 4 −√12 2 ! ; para k = −1/2, temos a par´abola x = −y2_;

para k = −1/3, temos as par´abolas x = −y2

Ã 3 +√5 2 ! e x = −y2 Ã 3 −√5 2 ! ; para k = −1/4, temos as par´abolas x = −y2

Ã 4 +√12 2 ! e x = −y2 Ã 4 −√12 2 ! ; As curvas de n´ıvel de f6 encontram-se esbo¸cadas abaixo.

y

x

Vamos agora passar aos gráficos de fun¸cões reais de duas variáveis. Portanto, é inter-essante que você fa¸ca uma revisão de planos, cilindros, esferas, superf´ıcies de revolu¸cão e superf´ıcies quádricas em geral. Na Parte 4, temos uma revisão destes tópicos. Não deixe de estudá-los.

3.6 Gr´

aficos de Fun¸c˜

oes Reais de Duas Vari´

aveis

Seja f : Dom(f ) ⊆ R2 _{→ R. Conforme já sabemos, temos que o gráfico da fun¸cão f é}

(36)

G(f ) = {(x, y, f (x, y)) ∈ R3_{| (x, y) ∈ Dom(f )}.}

No caso em questão, que é o das fun¸cões reais de duas variáveis reais, atente para o fato de que os gráficos destas fun¸cões estão em R3_.

A representa¸cão geométrica do gráfico de uma fun¸cão de duas variáveis é uma tarefa dif´ıcil. Por isto, em alguns casos nos contentamos com as curvas de n´ıvel. Vamos agora fazer alguns exemplos que não estão entre os mais dif´ıceis.

Exemplo 3.6.1: Determine e esboce os gráficos das fun¸cões dadas abaixo. Use as curvas de n´ıvel encontradas no Exemplo 3.5.1, se achar necessário.

a) h1(x, y) = x + y. b) h2(x, y) = x2+ y2. c) h3(x, y) = y2− x2. d) h4(x, y) = e−(x 2_+y2₎ . e) h5(x, y) = 1 − y2. f) h6(x, y) = y x − 1. g) h7(x, y) = ln(xy − 1). Solu¸c˜ao:

a) Temos que o gr´afico de h1 ´e dado por

G(h1) = {(x, y, x + y) ∈ R3| (x, y) ∈ R2}.

Temos portanto que o gráfico da fun¸cão é o plano

z = x + y,

que é o plano que contém a origem e é perpendicular aos

vetores (1, 1, −1) e (−1, −1, 1) (figura ao lado). x

y z

b) Temos que o gr´afico de h2 ´e dado por

G(h2) = {(x, y, x2+ y2) ∈ R3| (x, y) ∈ R2}.

Temos portanto que o gráfico da fun¸cão é o parabolóide

z = x2_{+ y}2 _{(figura ao lado).}

x

y z

(37)

c) Temos que o gr´afico de h3 ´e dado por

G(h3) = {(x, y, y2− x2) ∈ R3| (x, y) ∈ R2}.

Temos portanto que o gráfico da fun¸cão é o parabolóide hiperbólico z = y2_{− x}2 _{(figura ao lado).}

x y

z

d) Temos que o gr´afico de h4 ´e dado por G(h4) =

n³

x, y, e−(x2_+y2₎´

∈ R3_{| (x, y) ∈ R}2o_.

Neste caso, observe que, as vari´aveis x e y s´o aparece na forma (px2 _{+ y}2₎2_{. Estamos portanto diante de uma}

superf´ıcie de revolu¸cão. Desta forma, para descobrir a fun¸cão z = f (y) (ou z = f (x)), cuja rota¸cão do gráfico resultou na superf´ıcie em questão, vamos substituir o termo (x2 _{+ y}2_{) na expressão de h}

4 por y2 (ou por x2).

Encontramos assim, a fun¸c˜ao z2 _{= f (y) = e}−y2

. Temos então, que o gráfico de h4 é a superf´ıcie gerada pela

rota¸c˜ao da curva z2 _{= e}−y2

, no plano yz, em torno do eixo z (ou, o que d´a no mesmo, a rota¸c˜ao da curva z2 ₌ e−x2

, no plano xz, em torno do eixo z) (figura ao lado).

x y

z

d) Temos que o gr´afico de h5 ´e dado por G(h5) =

©¡

x, y, 1 − y2¢ ∈ R3| (x, y) ∈ R2ª.

Neste caso, observe que, no plano yz, a equa¸cão z = 1 − y2_{, é a equa¸cão de uma parábola. Portanto, em R}3_,

a equa¸cão z = 1 − y2 _{é a equa¸cão de um cilindro cuja}

diretriz ´e a par´abola z = 1 − y2_{, no plano yz, e cuja}

geratriz é paralela ao eixo x. Este cilindro é chamado de cilindro parabólico (figura ao lado).

x y