O porta-avi ˜oes, o torpedo e o c´ırculo de
Apol ˆonio
A C Tort1&R Lopes
1Mestrado Profissional em Ensino de F´ısica Instituto F´ısica – Universidade Federal do Rio de Janeiro
O filme
O comandante do submarino
A soluc¸ ˜ao de interceptac¸ ˜ao est ´a pronta?
Figura :O ator alem ˜ao Curt J ¨urgens (1915–1982) no papel de comandante de submarino em The enemy below (1957).
O imediato
Disparar torpedos 1 e 2!
A soluc¸ ˜ao de interceptac¸ ˜ao
Figura :O porta-avi ˜oes em A ´e interceptado em B sobre a “soluc¸ ˜ao de interceptac¸ ˜ao”pelo torpedo disparado pelo submarino em C.
O c´ırculo de acordo com Apol ˆonio
Sejam dois pontos A e C colineares e um ponto B n ˜ao colinear com A e C tal que
|BC|
|AB| = κ, com κ > 0, mas 6= 1 (1)
O c´ırculo de acordo com Apol ˆonio
Sejam dois pontos A e C colineares e um ponto B n ˜ao colinear com A e C tal que
|BC|
|AB| = κ, com κ > 0, mas 6= 1 (1)
Uma propriedade importante
O c´ırculo de Apol ˆonio tem a importante propriedade:
|OA| · |OC| = |OB|2, (2) onde O ´e centro do c´ırculo e a medida |OB| = R, ´e o raio.
Uma propriedade importante
O c´ırculo de Apol ˆonio tem a importante propriedade:
|OA| · |OC| = |OB|2, (2) onde O ´e centro do c´ırculo e a medida |OB| = R, ´e o raio.
Uma propriedade importante
O c´ırculo de Apol ˆonio tem a importante propriedade:
|OA| · |OC| = |OB|2, (2) onde O ´e centro do c´ırculo e a medida |OB| = R, ´e o raio.
Se κ = 1...
Para κ = 1, o c´ırculo de Apol ˆonio transforma-se na mediana de AC
Se κ = 1...
Para κ = 1, o c´ırculo de Apol ˆonio transforma-se na mediana de AC
Se κ = 1...
Para κ = 1, o c´ırculo de Apol ˆonio transforma-se na mediana de AC
O problema da interceptc¸ ˜ao
O torpedo s ´o atinge o porta-avi ˜oes se ambos estiverem no ponto B, no mesmo instante de tempo t:
t = dist ˆancia velocidade = |AB| Vp.a. = |BC| Vt , (3)
Vp.a.e Vt, velocidades constantes!
Definindo κ = Vt/Vp.a., segue que
|BC| |AB| =
Vt
Vp.a.
= κ, (4)
O problema da interceptc¸ ˜ao
O torpedo s ´o atinge o porta-avi ˜oes se ambos estiverem no ponto B, no mesmo instante de tempo t:
t = dist ˆancia velocidade = |AB| Vp.a. = |BC| Vt , (3)
Vp.a.e Vt, velocidades constantes!
Definindo κ = Vt/Vp.a., segue que
|BC| |AB| =
Vt
Vp.a.
= κ, (4)
O problema da interceptc¸ ˜ao
O torpedo s ´o atinge o porta-avi ˜oes se ambos estiverem no ponto B, no mesmo instante de tempo t:
t = dist ˆancia velocidade = |AB| Vp.a. = |BC| Vt , (3)
Vp.a.e Vt, velocidades constantes!
Definindo κ = Vt/Vp.a., segue que
|BC| |AB| =
Vt
Vp.a.
= κ, (4)
O problema da interceptc¸ ˜ao
O torpedo s ´o atinge o porta-avi ˜oes se ambos estiverem no ponto B, no mesmo instante de tempo t:
t = dist ˆancia velocidade = |AB| Vp.a. = |BC| Vt , (3)
Vp.a.e Vt, velocidades constantes!
Definindo κ = Vt/Vp.a., segue que
|BC| |AB| =
Vt
Vp.a.
= κ, (4)
O problema da interceptc¸ ˜ao
O torpedo s ´o atinge o porta-avi ˜oes se ambos estiverem no ponto B, no mesmo instante de tempo t:
t = dist ˆancia velocidade = |AB| Vp.a. = |BC| Vt , (3)
Vp.a.e Vt, velocidades constantes!
Definindo κ = Vt/Vp.a., segue que
|BC| |AB| =
Vt
Vp.a.
= κ, (4)
O c´ırculo de Apol ˆonio em coordenadas cartesianas
q (x − xC) 2 +y2 q (x − xA) 2 +y2 = κ, (5)O c´ırculo de Apol ˆonio em coordenadas cartesianas
q (x − xC) 2 +y2 q (x − xA) 2 +y2 = κ, (5)O c´ırculo de Apol ˆonio em coordenadas cartesianas
q (x − xC) 2 +y2 q (x − xA) 2 +y2 = κ, (5)Um pouco de ´algebra permite rescrever a equac¸ ˜ao anterior na forma x − κ 2x A− xC κ2− 1 2 +y2= κ (xC− xA) |1 − κ2| 2 , κ 6=1, (6)
que a equac¸ ˜ao de um circulo de raio R com centro no ponto (x0,y0), onde x0= κ2xA− xC κ2− 1 , y0=0, R = κ (xC− xA) |1 − κ2| , κ 6=1. (7)
Um pouco de ´algebra permite rescrever a equac¸ ˜ao anterior na forma x − κ 2x A− xC κ2− 1 2 +y2= κ (xC− xA) |1 − κ2| 2 , κ 6=1, (6)
que a equac¸ ˜ao de um circulo de raio R com centro no ponto (x0,y0), onde x0= κ2xA− xC κ2− 1 , y0=0, R = κ (xC− xA) |1 − κ2| , κ 6=1. (7)
Um pouco de ´algebra permite rescrever a equac¸ ˜ao anterior na forma x − κ 2x A− xC κ2− 1 2 +y2= κ (xC− xA) |1 − κ2| 2 , κ 6=1, (6)
que a equac¸ ˜ao de um circulo de raio R com centro no ponto (x0,y0), onde x0= κ2xA− xC κ2− 1 , y0=0, R = κ (xC− xA) |1 − κ2| , κ 6=1. (7)
Caso κ > 1, vel. do torpedo > vel. do porta-avi ˜oes
Caso κ > 1, vel. do torpedo > vel. do porta-avi ˜oes
Caso 0 < κ < 1, vel. do torpedo < vel. do
porta-avi ˜oes
Caso 0 < κ < 1, vel. do torpedo < vel. do
porta-avi ˜oes
O ˆangulo cr´ıtico no caso 0 < κ < 1
O ˆangulo cr´ıtico no caso 0 < κ < 1
O ˆangulo cr´ıtico no caso 0 < κ < 1
Caso κ = 1
A equac¸ ˜ao (5) tem duas soluc¸ ˜oes. Ambas significam que os pontos A e C s ˜ao equidistantes de um ponto arbitr ´ario da mediana AC.
Primeira soluc¸ ˜ao:
x = xA+xC 2 , (9) que implica em |x − xA| = |x − xC| = |xc− xA| 2 . (10)
Caso κ = 1
A equac¸ ˜ao (5) tem duas soluc¸ ˜oes. Ambas significam que os pontos A e C s ˜ao equidistantes de um ponto arbitr ´ario da mediana AC. Primeira soluc¸ ˜ao:
x = xA+xC 2 , (9) que implica em |x − xA| = |x − xC| = |xc− xA| 2 . (10)
κ =
1, segunda soluc¸ ˜ao
xA=xC, ∀x , y (11)
Na segunda soluc¸ ˜ao, os pontos A e C concidem sobre a mediana. O porta-avi ˜oes e o torpedo seguem trajet ´orias paralelas coincidentes.
A simulac¸ ˜ao com o Modellus III
Usar equac¸ ˜oes param ´etricas para o c´ırculo:
Observac¸ ˜oes finais
• Os problemas de perseguic¸ ˜ao s ˜ao muitos e variam muito em complexidade.
• Podem ser simulados com o Modellus e discutidos no EM.
Observac¸ ˜oes finais
• Os problemas de perseguic¸ ˜ao s ˜ao muitos e variam muito em complexidade.
• Podem ser simulados com o Modellus e discutidos no EM.
Observac¸ ˜oes finais
• Os problemas de perseguic¸ ˜ao s ˜ao muitos e variam muito em complexidade.
• Podem ser simulados com o Modellus e discutidos no EM.
Observac¸ ˜oes finais
• Os problemas de perseguic¸ ˜ao s ˜ao muitos e variam muito em complexidade.
• Podem ser simulados com o Modellus e discutidos no EM.
Bibliografia
R. Lopes de Oliveira J ´unior: Problemas e curvas de perseguic¸ ˜ao no Ensino M ´edio: usando o Modellus como ferramenta alternativa. Dissertac¸ ˜ao de mestrado,
MPEF-IF-UFRJ (2011).
P. J. Nahin: Chases and Escapes. Princeton University Press, Princeton (2007).
A. C. Tort: Algumas observac¸ ˜oes sobre o c´ırculo de Apol ˆonio e o seu emprego no m ´etodo das imagens.
Revista Brasileira de Ensino de F´ısica33 n. 1 1704 (2011). M. B. Partenskii e P. C. Jordan: The Circle of Apollonius and its Applications in Introductory Physics. The Physics Teacher 46 104-108 (2008).
