MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS

(1)

LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL

T

E

O

R

I

A

D

E

S

T

R

U

T

U

R

A

S

MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS

ESTRUTURA CONTÍNUA

ISABEL ALVIM TELES

5 k N /m 1.5 m 50 kN 20 kN 10 kN 2 3 4 1 2 3 0.30 0.50 7 kN 0.30 0.40 1 mm 0.30 0.50 1

(2)

EXERCÍCIO PROPOSTO

Considere a estrutura representada na figura, realizada em betão com E = 30 GPa e com as secções aí indicadas.

A força de 50 kN aplicada no nó 2 é perpendicular à barra 3. A força de 10 kN aplicada no nó 4 é tem a direção da barra 3.

Responda às alíneas aplicando o Método dos Deslocamentos.

a)

Determine os deslocamentos dos nós da estrutura;

b)

Determine as reações nos apoios;

c)

Trace os diagramas de esforços da estrutura.

5 k N /m 1.5 m 50 kN 20 kN 10 kN 2 3 4 1 2 3 0.30 0.50 4 m 3 m 3 m 7 kN 0.30 0.40 1 mm 0.30 0.50 2 m 1

(3)

RESOLUÇÃO

• MATRIZ DE RIGIDEZ ELEMENTAR – SISTEMA DE EIXOS LOCAL

[

K_L

]

=

• MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO

[

T

]

=

• MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO TRANSPOSTA

[

T

]

T =

• MATRIZ DE RIGIDEZ ELEMENTAR – SISTEMA DE EIXOS GLOBAL

[

K_G

]

=

[

T

]

T

[

K_L

]

[

T

]

L EA 0 0 L EA − 0 0 0 ₃ L E 12 I 2 L E 6 _I 0 ₃ L E 12 I − 2 L E 6 _I 0 ₂ L E 6 _I L E 4 I ₀ 2 L E 6 _I − L E 2 I L EA − 0 0 L EA 0 0 0 ₃ L E 12 I − 2 L E 6 _I − ₀ 3 L E 12 I 2 L E 6 _I − 0 ₂ L E 6 _I L E 2 I ₀ 2 L E 6 _I − L E 4 I cos α sen α 0 0 0 0 - sen α cos α 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos α sen α 0 ₀ ₀ ₀ _{- sen α cos α} ₀ 0 0 0 0 0 1 cos α - sen α 0 0 0 0 sen α cos α 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos α - sen α 0 ₀ ₀ ₀ sen α cos α 0 0 0 0 0 0 1

(4)

ALÍNEA a)

• GRAUS DE LIBERDADE DA ESTRUTURA (SISTEMA GLOBAL)

• MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL, MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO E MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL

BARRA 1 Nós 1 - 2 Graus de liberdade (sistema global): Δ1, Δ2, Δ3 - Δ4, Δ5, Δ6

E = 30x106_kPa _{b = 0.3 m} _{A = 0.12 m}2 α = 90 º ⇒ cos α = 0 L = 6 m h = 0.4 m I = 0.002 m4 _{sin α = 1} =     1 L K 600 000 0 0 -600 000 0 0 =    _T1 0 1 0 0 0 0 0 2 666.67 8 000 0 -2 666.67 8 000 - 1 0 0 0 0 0 0 8 000 32 000 0 -8 000 16 000 0 0 1 0 0 0 -600 000 0 0 600 000 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -2 666.67 -8 000 0 2 666.67 -8 000 0 0 0 - 1 0 0 0 8 000 16 000 0 -8 000 32 000 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 =     1 G K 1 _{2 666.67} ₀ _{-8 000} _{-2 666.67} ₀ _{-8 000} 2 0 600 000 0 0 -600 000 0 3 -8 000 0 32 000 8 000 0 16 000 4 _{-2 666.67} ₀ _{8 000} _{2 666.67} ₀ _{8 000} 5 0 -600 000 0 0 600 000 0 6 -8 000 0 16 000 8 000 0 32 000 1 2 3 4 1 2 3 ∆1 ∆2 ∆3 ∆4 ∆5 ∆6 ∆7 ∆8 ∆9 ∆10 ∆12 ∆11

(5)

BARRA 2 Nós 2 - 3 Graus de liberdade (sistema global): Δ4, Δ5, Δ6 - Δ7, Δ8, Δ9 E = 30x106_kPa _{b = 0.3 m} _{A = 0.15 m}2 α = 180 º ⇒ cos α = -1 L = 2 m h = 0.5 m I = 0.003 m4 _{sin α = 0} =     2 L K 2 250 000 0 0 -2 250 000 0 0 =    _T2 - 1 0 0 0 0 0 0 140 625 140 625 0 -140 625 140 625 0 - 1 0 0 0 0 0 140 625 187 500 0 -140 625 93 750 0 0 1 0 0 0 -2 250 000 0 0 2 250 000 0 0 0 0 0 - 1 0 0 0 -140 625 -140 625 0 140 625 -140 625 0 0 0 0 - 1 0 0 140 625 93 750 0 -140 625 187 500 0 0 0 0 0 1 4 5 6 7 8 9 =     2 G K 4 _{2 250 000} ₀ ₀ _{-2 250 000} ₀ ₀ 5 ₀ _{140 625} _{-140 625} ₀ _{-140 625} _{-140 625} 6 ₀ _{-140 625} _{187 500} ₀ _{140 625} _{93 750} 7 -2 250 000 0 0 2 250 000 0 0 8 ₀ _{-140 625} _{140 625} ₀ _{140 625} _{140 625} 9 ₀ _{-140 625} _{93 750} ₀ _{140 625} _{187 500}

BARRA 3 Nós 2 - 4 Graus de liberdade (sistema global): Δ4, Δ5, Δ6 - Δ10, Δ11, Δ12

E = 30x106_kPa _{b = 0.3 m} _{A = 0.15 m}2 α = -36,87 º ⇒ cos α = 0.8 L = 5 m h = 0.5 m I = 0.003 m4 _{sin α = -0.6} =     3 L K 900 000 0 0 -900 000 0 0 =    _T3 0.8 -0.6 0 0 0 0 0 9 000 22 500 0 -9 000 22 500 0.6 0.8 0 0 0 0 0 22 500 75 000 0 -22 500 37 500 0 0 1 0 0 0 -900 000 0 0 900 000 0 0 0 0 0 0.8 -0.6 0 0 -9 000 -22 500 0 9 000 -22 500 0 0 0 0.6 0.8 0 0 22 500 37 500 0 -22 500 75 000 0 0 0 0 0 1 4 5 6 10 11 12 =     3 G K 4 _{579 240} _{-427 680} _{13 500} _{-579 240} _{427 680} _{13 500} 5 _{-427 680} _{329 760} _{18 000} _{427 680} _{-329 760} _{18 000} 6 _{13 500} _{18 000} _{75 000} _{-13 500} _{-18 000} _{37 500} 10 -579 240 427 680 -13 500 579 240 -427 680 -13 500 11 _{427 680} _{-329 760} _{-18 000} _{-427 680} _{329 760} _{-18 000} 12 _{13 500} _{18 000} _{37 500} _{-13 500} _{-18 000} _{75 000}

(6)

• VETOR DE SOLICITAÇÃO

Solicitação aplicada nos nós (sistema global)

Nó 2 Nó 3 Nó 4

4 - 30 7 7 10 8 5 - 40 8 0 11 - 6

6 ₀ 9 ₀ 12 ₀

Solicitação aplicada nas barras – Forças equivalentes nodais

F_Global = TT. F_Local

BARRA 1 Nós 1 - 2 Graus de liberdade - sistema local: ΔL1, ΔL2, ΔL3 - ΔL4, ΔL5, ΔL6

Graus de liberdade - sistema global: ΔG1, ΔG2, ΔG3 - ΔG4, ΔG5, ΔG6

pY = -5 kN/m F1 = 0 F2 = -15 kN 2 6 5 2 L . p_y = × = F3 = -15 kNm 12 6 5 12 L . p_y 2 2 = × = F4 = 0 F5 = -15 kN 2 6 5 2 L . p_y = × = F6 = 15 kNm 12 6 5 12 L . p_y 2 2 = × − = − pY = -5 kN/m FL-EN - LOCAL F1 = 0 F2 -15 F3 -15 F4 0 F5 -15 F6 15 1 5 k N /m 2 1 1 2 1 15 kN 15 kNm 15 kN 15 kNm

⇔

1 2 1 ∆L1 ∆L2 ∆L3 ∆L4 ∆L5 ∆L6 1 2 1 ∆G1 ∆G2 _∆_G₃ ∆G4 ∆G5 _∆G6 SISTEMA DE EIXOS LOCAL SISTEMA DE EIXOS GLOBAL 50 kN 2 40 kN 30 kN 10 kN 4 8 kN 6 kN

(7)

É fácil relacionar o sistema de eixos local com o global: ΔL1 ⇔ ΔG2 ΔL2 ⇔ - ΔG1 ΔL3 ⇔ ΔG3 ΔL4 ⇔ ΔG5 ΔL5 ⇔ - ΔG4 ΔL6 ⇔ ΔG6 Barra 1 - Nós 1 - 2 Barra 1 - Nós 1 - 2

FL-EN - LOCAL FG-EN - GLOBAL

F1 = 0 ⇒ F1 = 15 F2 -15 F2 0 F3 -15 F3 -15 F4 0 F4 15 F5 -15 F5 0 F6 15 F6 15

Vamos confirmar fazendo: F_Global = TT. F_Local

Barra 1 - Nós 1 - 2

FG-EN = T T * FL-EN FG-EN - GLOBAL

1 _F₁ ₀ _{- 1} ₀ ₀ ₀ ₀ 1 ₀ 1 _F₁ = 15 kN 2 _F₂ ₁ ₀ ₀ ₀ ₀ ₀ 2 _-15 2 _F₂ ₀ _kN 3 _F₃ ₀ ₀ ₁ ₀ ₀ ₀ 3 _-15 3 _F₃ _{-15 kNm} 4 _F₄ ₀ ₀ ₀ ₀ _{- 1} ₀ 4 ₀ 4 _F₄ _{15 kN} 5 _F₅ ₀ ₀ ₀ ₁ ₀ ₀ 5 _-15 5 _F₅ ₀ _kN 6 _F₆ ₀ ₀ ₀ ₀ ₀ ₁ 6 ₁₅ 6 _F₆ _{15 kNm}

BARRA 3 Nós 2 - 4 Graus de liberdade - sistema local: ΔL1, ΔL2, ΔL3 - ΔL4, ΔL5, ΔL6

Graus de liberdade - sistema global: ΔG4, ΔG5, ΔG6 - ΔG10, ΔG11, ΔG12

2 4 3 ∆_L 1 ∆_L 2 ∆_L 3 ∆_L 1 ∆_L 2 ∆_L 3 2 4 3 ∆G4 ∆G5 _∆_G₆ ∆G12 ∆G10 ∆G11

SISTEMA DE EIXOS GLOBAL SISTEMA DE EIXOS LOCAL

(8)

    + = ⊥ = ⇒ ) à barra (// kN 12 P ) à barra ( kN 16 P kN 20 Força x y  PY = -16 kN F1 = 0 F2 = ( ) (5 2 3,125) -5,0675 kN 5 875 , 1 16 2a L L b . P 3 2 3 2 y = × + × = + F3 = -7,03125 kNm 5 875 , 1 125 , 3 16 L b . a . P 2 2 2 2 y = × × = F4 = 0 F5 =

(

)

(

5 2 1,875

)

-10,9375 kN 5 125 , 3 16 2b L L a . P 3 2 3 2 y = × + × = + F6 = 11,71875 kNm 5 875 , 1 125 , 3 16 L b . a . P 2 2 2 2 y = × × − = − PY = -16 kN FL-EN - LOCAL F1 = 0 F2 -5.0625 F3 -7.03125 F4 0 F5 -10.9375 F6 11.71875 4 m 3 m 1.5 m 20 kN 2 4 3 16 k_N 12 k_N 5 m 2 m 3 m 2 4 3 16 k_N 5 m 2 m 3 m 2 4 3 5 m 5,0 675 kN 10,9 375_kN 7,0 312 5 k_Nm 11,7 187_{5 k} Nm

⇔

(9)

2 4 3 5 m 2 m 3 m 2 4 3 5 m 4,5 kN

⇔

12 kN 7,5 kN PX = 12 kN F1 = 4,5 kN 5 875 , 1 12 L b . P_x = × = 0 F2 = 0 F3 = 0 F4 = 7,5 kN 5 125 , 3 12 L a . P_x = × = F5 = 0 F6 = 0 PY = -16 kN + PX = 12 kN Barra 3 - Nós 2 - 4

FL-EN - LOCAL FL-EN - LOCAL

F1 = 0 + 4.5 ⇒ F1 = 4.5 F2 -5.0625 F2 -5.0625 F3 -7.03125 F3 -7.03125 F4 0 + 7.5 F4 7.5 F5 -10.9375 F5 -10.9375 F6 11.71875 F6 11.71875 Barra 3 - Nós 2 - 4

FG-EN = T T * FL-EN FG-EN - GLOBAL

4 _F₄ _0.8 _0.6 ₀ ₀ ₀ ₀ 1 _4.5 4 _F₄ = 0.5625 kN 5 _F₅ _-0.6 _0.8 ₀ ₀ ₀ ₀ 2 _-5.0625 5 _F₅ _{-6.75 kN} 6 _F₆ 0 0 1 0 0 0 3 _-7.03125 6 _F₆ _{-7.03125 kNm} 10 _F₁₀ 0 0 0 0.8 0.6 0 4 _7.5 10 _F₁₀ _{-0.5625 kN} 11 _F₁₁ 0 0 0 -0.6 0.8 0 5 _-10.9375 11 _F₁₁ _{-13.25 kN} 12 _F₁₂ 0 0 0 0 0 1 6 _11.71875 12 _F₁₂ _{11.71875 kNm} PX = 12 kN FL-EN - LOCAL F1 = 4.5 F2 0 F3 0 F4 7.5 F5 0 F6 0

(10)

Vetor solicitação

sistema de eixos global

[

F_G

]

= 1 ₁₅ = 15 1 2 ₀ ₀ 2 3 _-15 _-15 3 4 - 30 + 15 + 0.5625 _{- 14.4375} 4 5 _{- 40 - 6.75} _{- 46.75} 5 6 _{15 - 7.03125} _7.96875 6 7 ₇ ₇ 7 8 ₀ ₀ 8 9 ₀ ₀ 9 10 _{8 - 0.5625} _{7 4375} 10 11 _{- 6 - 13.25} _{- 19.25} 11 12 _11.71875 _11.71875 12

Vetor das reações

sistema de eixos global

[

R_G

]

= 1 R1 2 R2 3 R3 4 ₀ 5 ₀ 6 ₀ 7 ₀ 8 R8 9 ₀ 10 R10 11 ₀ 12 ₀

Vetor dos deslocamentos

sistema de eixos global

[

∆_G

]

= 1 ₀ 2 ₀ 3 ₀ 4 Δ4 5 Δ5 6 Δ6 7 Δ7 8 _{- 0.001} 9 Δ9 10 ₀ 11 Δ11 12 Δ12

(11)

• MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DA ESTRUTURA

[

K_G

]

Est.

[

∆_G

]

=

[

F_G

]

+

[

R_G

]

4 5 6 7 9 11 12 1 2 3 8 10 4 K LL K LF * ∆ Li = F Li + 0 5 6 7 9 11 12 1 K FL K FF ∆ F FF R F 2 3 8 10

[

] [

] [ ]

[

]

[

] [

] [ ] [

]

       + = ∆ + ∆ ∆ ⇒ = ∆ + ∆ R F . K . K F . K . K F F F FF Li FL Li L F LF Li LL

Na página seguinte estão representados o sistema

[

K_G

]

Est.

[

∆_G

]

=

[

F_G

]

+

[

R_G

]

na forma

inicial, com os graus de liberdade ordenados de forma crescente do 1 ao 12, e na forma

rearranjada, separando graus de liberdade sem restrições de deslocamento (livres): 4, 5, 6, 7,

9, 11 e 12 e graus de liberdade com restrições de deslocamento (fixos):1, 2, 3, 8 e 10.

(12)

* ∆G = FG + RG 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 6 6 6 ,6 7 0 -8 0 0 0 -2 6 6 6 ,6 7 0 -8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 15 1 R 1 2 0 6 0 0 0 0 0 0 0 -6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 R 2 3 -8 0 0 0 0 3 2 0 0 0 8 0 0 0 0 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 3 -15 3 R 3 4 -2 6 6 6 ,6 7 0 8 0 0 0 2 8 3 1 9 0 6 ,6 7 -4 2 7 6 8 0 2 1 5 0 0 -2 2 5 0 0 0 0 0 0 -5 7 9 2 4 0 4 2 7 6 8 0 13 5 0 0 4 ∆4 4 -14 ,4 3 7 5 4 0 5 0 -6 0 0 0 0 0 0 -4 2 7 6 8 0 10 7 0 3 8 5 -12 2 6 2 5 0 -14 0 6 2 5 -14 0 6 2 5 4 2 7 6 8 0 -3 2 9 7 6 0 18 0 0 0 5 ∆5 5 -4 6 ,7 5 5 0 6 -8 0 0 0 0 16 0 0 0 2 1 5 0 0 -12 2 6 2 5 2 9 4 5 0 0 0 14 0 6 2 5 9 3 7 5 0 -13 5 0 0 -18 0 0 0 3 7 5 0 0 6 ∆6 6 7 ,9 6 8 7 5 6 0 7 0 0 0 -2 2 5 0 0 0 0 0 0 2 2 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 ∆7 7 7 7 0 8 0 0 0 0 -14 0 6 2 5 14 0 6 2 5 0 14 0 6 2 5 14 0 6 2 5 0 0 0 8 -0 ,0 0 1 8 0 8 R 8 9 0 0 0 0 -14 0 6 2 5 9 3 7 5 0 0 14 0 6 2 5 18 7 5 0 0 0 0 0 9 ∆9 9 0 9 0 10 0 0 0 -5 7 9 2 4 0 4 2 7 6 8 0 -13 5 0 0 0 0 0 5 7 9 2 4 0 -4 2 7 6 8 0 -13 5 0 0 10 0 10 7 ,4 3 7 5 10 R 1 0 11 0 0 0 4 2 7 6 8 0 -3 2 9 7 6 0 -18 0 0 0 0 0 0 -4 2 7 6 8 0 3 2 9 7 6 0 -18 0 0 0 11 ∆1 1 11 -19 ,2 5 11 0 12 0 0 0 13 5 0 0 18 0 0 0 3 7 5 0 0 0 0 0 -13 5 0 0 -18 0 0 0 7 5 0 0 0 12 ∆1 2 12 11 ,7 18 7 5 12 0 ∗ ∆G = FG + RG 4 5 6 7 9 11 12 1 2 3 8 10 4 2 8 3 1 9 0 6 ,6 7 -4 2 7 6 8 0 2 1 5 0 0 -2 2 5 0 0 0 0 0 4 2 7 6 8 0 13 5 0 0 -2 6 6 6 ,6 7 0 8 0 0 0 0 -5 7 9 2 4 0 4 ∆4 4 -14 ,4 3 7 5 4 0 5 -4 2 7 6 8 0 10 7 0 3 8 5 -12 2 6 2 5 0 -14 0 6 2 5 -3 2 9 7 6 0 18 0 0 0 0 -6 0 0 0 0 0 0 -14 0 6 2 5 4 2 7 6 8 0 5 ∆5 5 -4 6 ,7 5 5 0 6 2 1 5 0 0 -12 2 6 2 5 2 9 4 5 0 0 0 9 3 7 5 0 -18 0 0 0 3 7 5 0 0 -8 0 0 0 0 16 0 0 0 14 0 6 2 5 -13 5 0 0 6 ∆6 6 7 ,9 6 8 7 5 6 0 7 -2 2 5 0 0 0 0 0 0 2 2 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 ∆7 7 7 7 0 9 0 -14 0 6 2 5 9 3 7 5 0 0 18 7 5 0 0 0 0 0 0 0 14 0 6 2 5 0 9 ∆9 9 0 9 0 11 4 2 7 6 8 0 -3 2 9 7 6 0 -18 0 0 0 0 0 3 2 9 7 6 0 -18 0 0 0 0 0 0 0 -4 2 7 6 8 0 11 ∆1 1 11 -19 ,2 5 11 0 12 13 5 0 0 18 0 0 0 3 7 5 0 0 0 0 -18 0 0 0 7 5 0 0 0 0 0 0 0 -13 5 0 0 12 ∆1 2 12 11 ,7 18 7 5 12 0 1 -2 6 6 6 ,6 7 0 -8 0 0 0 0 0 0 0 2 6 6 6 ,6 7 0 -8 0 0 0 0 0 1 0 1 15 1 R 1 2 0 -6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 R 2 3 8 0 0 0 0 16 0 0 0 0 0 0 0 -8 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0 0 3 0 3 -15 3 R 3 8 0 -14 0 6 2 5 14 0 6 2 5 0 14 0 6 2 5 0 0 0 0 0 14 0 6 2 5 0 8 -0 ,0 0 1 8 0 8 R 8 10 -5 7 9 2 4 0 4 2 7 6 8 0 -13 5 0 0 0 0 -4 2 7 6 8 0 -13 5 0 0 0 0 0 0 5 7 9 2 4 0 10 0 10 7 ,4 3 7 5 0 10 R 1 0 KG - E s tr u tu r a KG - E s tr u tu r a

(13)

∗ ∆L + ∗ ∆F = FL 4 5 6 7 9 11 12 1 2 3 8 10 4 2 8 3 1 9 0 6 ,6 7 -4 2 7 6 8 0 2 1 5 0 0 -2 2 5 0 0 0 0 0 4 2 7 6 8 0 13 5 0 0 4 ∆ 4 4 -2 6 6 6 ,6 7 0 8 0 0 0 0 -5 7 9 2 4 0 1 0 4 -14 ,4 3 7 5 5 -4 2 7 6 8 0 10 7 0 3 8 5 -12 2 6 2 5 0 -14 0 6 2 5 -3 2 9 7 6 0 18 0 0 0 5 ∆ 5 5 0 -6 0 0 0 0 0 0 -14 0 6 2 5 4 2 7 6 8 0 2 0 5 -4 6 ,7 5 6 2 1 5 0 0 -12 2 6 2 5 2 9 4 5 0 0 0 9 3 7 5 0 -18 0 0 0 3 7 5 0 0 6 ∆ 6 6 -8 0 0 0 0 16 0 0 0 14 0 6 2 5 -13 5 0 0 3 0 6 7 ,9 6 8 7 5 7 -2 2 5 0 0 0 0 0 0 2 2 5 0 0 0 0 0 0 0 7 ∆ 7 7 0 0 0 0 0 8 -0 ,0 0 1 7 7 9 0 -14 0 6 2 5 9 3 7 5 0 0 18 7 5 0 0 0 0 9 ∆ 9 9 0 0 0 14 0 6 2 5 0 10 0 9 0 11 4 2 7 6 8 0 -3 2 9 7 6 0 -18 0 0 0 0 0 3 2 9 7 6 0 -18 0 0 0 11 ∆ 11 11 0 0 0 0 -4 2 7 6 8 0 11 -19 ,2 5 12 13 5 0 0 18 0 0 0 3 7 5 0 0 0 0 -18 0 0 0 7 5 0 0 0 12 ∆ 12 12 0 0 0 0 -13 5 0 0 12 11 ,7 18 7 5 KL L KL F * ∆L + * ∆F = FF + RF 4 5 6 7 9 11 12 1 2 3 8 10 1 -2 6 6 6 ,6 7 0 -8 0 0 0 0 0 0 0 4 8 ,6 0 9 E -0 4 1 2 6 6 6 ,6 7 0 -8 0 0 0 0 0 1 0 1 15 1 R 1 2 0 -6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 -1, 4 0 3 E -0 4 2 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 R 2 3 8 0 0 0 0 16 0 0 0 0 0 0 0 6 1, 7 12 E -0 4 3 -8 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0 0 3 0 3 -15 3 R 3 8 0 -14 0 6 2 5 14 0 6 2 5 0 14 0 6 2 5 0 0 7 8 ,6 4 0 E -0 4 8 0 0 0 14 0 6 2 5 0 8 -0 ,0 0 1 8 0 8 R 8 10 -5 7 9 2 4 0 4 2 7 6 8 0 -13 5 0 0 0 0 -4 2 7 6 8 0 -13 5 0 0 9 5 ,5 9 2 E -0 4 10 0 0 0 0 5 7 9 2 4 0 10 0 10 7 ,4 3 7 5 10 R 1 0 11 -1, 3 2 6 E -0 3 12 -3 ,6 8 9 E -0 4 KF F KF L R 1 = -18 ,6 6 5 k N R 2 = 8 4 ,1 8 4 9 k N R 3 = 2 4 ,6 2 6 6 k N m R 8 = -18 ,1 8 4 9 k N R 1 0 = 3 ,6 6 5 k N ∆4 = 8 ,6 0 9 E -0 4 m ∆5 = -1, 4 0 3 E -0 4 m ∆6 = 1, 7 12 E -0 4 r a d ∆7 = 8 ,6 4 0 E -0 4 m ∆9 = 5 ,5 9 2 E -0 4 r a d ∆1 1 = -1, 3 2 6 E -0 3 m ∆1 2 = -3 ,6 8 9 E -0 4 r a d

(14)

Deslocamentos dos nós da estrutura

∆1 = 0 ∆2 = 0 ∆3 = 0 ∆4 = 8,61 x 10-4_m ∆5 = -1,40 x 10-4_m ∆6 = 1,71 x 10-4_rad ∆7 = 8,64 x 10-4_m ∆8 = -1,00 x 10-3_m ∆9 = 5,59 x 10-4_rad ∆10 = 0 ∆11 = -1,33 x 10-3_m ∆12 = -3,69 x 10-4_rad

Reacções nos apoios

R1 = H1 = -18,665 kN R2 = V1 = 84,185 kN R3 = M1 = 24,627 kNm R8 = V2 = -18,185 kN R10 = H3 = 3,665 kN 24,627 kNm 84,185 kN 18,665 kN 3,665 kN 18,185 kN

(15)

Esforços nas barras

[ ]

F_L =

[

K_L

] [

. ∆_L

]

−

[

F_L_-_EN

]

[

∆_L

]

=

[ ]

T .

[

∆_G

]

[ ]

F_L =

[

K_L

]

.

[ ]

T .

[

∆_G

]

−

[

F_L_-_EN

]

BARRA 1 Nós 1 - 2 Barra 1 - Nós 1 - 2 FL - LOCAL F1 = 84.185 kN F2 18.665 kN F3 24.627 kNm F4 -84.185 kN F5 11.335 kN F6 -2.634 kNm ΔL1 ⇔ ΔG2 ΔL2 ⇔ - ΔG1 ΔL3 ⇔ ΔG3 ΔL4 ⇔ ΔG5 ΔL5 ⇔ - ΔG4 ΔL6 ⇔ ΔG6 = 0 = 0 = 0 = -1,40 x 10-4 = -8,61 x 10-4 = 1,71 x 10-4 FL = KL * ∆ L - FL-EN F1 600 000 0 0 -600 000 0 0 1 ₀ ₀ F2 0 2 666.67 8 000 0 -2 666.67 8 000 2 ₀ _-15 F3 0 8 000 32 000 0 -8 000 16 000 3 ₀ _-15 F4 -600 000 0 0 600 000 0 0 4 -1.40E-04 0 F5 0 -2 666.67 -8 000 0 2 666.67 -8 000 5 -8.61E-04 -15 F6 0 8 000 16 000 0 -8 000 32 000 6 _1.71E-04 ₁₅ 5 k N /m 1 2 1 8 4 ,1 8 k N 1 8 ,6 7 k N 2 4 ,6 3 k N m -8 4 ,1 8 k N 1 1 ,3 3 k N -2 ,6 3 k N m ∆ L 1 ∆ L 2 ∆ L 3 ∆ L 4 ∆ L 5 ∆ L 6

(16)

BARRA 2 Nós 2 - 3 ΔL1 ⇔ - ΔG4 ΔL2 ⇔ - ΔG5 ΔL3 ⇔ ΔG6 ΔL4 ⇔ - ΔG7 ΔL5 ⇔ - ΔG8 ΔL6 ⇔ ΔG9 = -8,61 x 10-4 = 1,40 x 10-4 = 1,71 x 10-4 = -8,64 x 10-4 = 1,00 x 10-3 = 5,59 x 10-4 FL = KL * ∆ L - FL-EN F1 2250 000 0 0 2250 000 0 0 1 _-8.61E-04 ₀ F2 0 140 625 140 625 0 140 625 140 625 2 _1.40E-04 ₀ F3 0 140 625 187 500 0 140 625 187 500 3 1.71E-04 0 F4 -2250 000 0 0 -2250 000 0 0 4 -8.64E-04 0 F5 0 -140 625 -140 625 0 -140 625 -140 625 5 _0.001 ₀ F6 0 140 625 93 750 0 140 625 93 750 6 _5.59E-04 ₀ Barra 2 - Nós 2 - 3 FL - LOCAL F1 = 7.000 kN F2 -18.185 kN F3 -36.370 kNm F4 -7.000 kN F5 18.185 kN F6 0.000 kNm 2 3 2 7 kN -18,18 kN -36,37 kNm -7 kN 18,18 kN ∆L1 ∆L2 ∆L3 ∆L4 ∆L5 ∆L6

(17)

BARRA 3 Nós 2 - 4 FL = KL * T * ∆ G - FL-EN F1 900 000 0 0 -900 000 0 0 0.8 -0.6 0 0 0 0 4 8.61E-04 4.5 F2 0 9 000 22 500 0 -9 000 22 500 0.6 0.8 0 0 0 0 5 -1.40E-04 -5.0625 F3 0 22 500 75 000 0 -22 500 37 500 0 0 1 0 0 0 6 1.71E-04 -7.03125 F4 -900 000 0 0 900 000 0 0 0 0 0 0.8 -0.6 0 10 0 7.5 F5 0 -9 000 -22 500 0 9 000 -22 500 0 0 0 0.6 0.8 0 11 -1.33E-03 -10.9375 F6 0 22 500 37 500 0 -22 500 75 000 0 0 0 0 0 1 12 -3.69E-04 11.7188 Barra 3 - Nós 2 - 4 FL - LOCAL F1 = -24.932 kN F2 13.801 kN F3 39.004 kNm F4 12.932 kN F5 2.199 kN F6 0.000 kNm 2 4 3 -24 ,93_kN 13 ,80 kN 39 kN_m 12 ,93 kN 2,2 0 k_N ∆_L 1 ∆_L 2 ∆_L 3 ∆_L 4 ∆_L 5 ∆_L 6 16_kN 12 kN

(18)

Diagramas de esforços

+ + -ESFORÇO TRANSVERSO (kN) -8 4 ,1 8 24 ,90 12 ,93 -7,00 ESFORÇO AXIAL (kN) -3.734 m -2 4 ,6 3 -39 ,00 4,1 25 -36,37 -MOMENTOS FLECTORES (kNm) 1 0 ,2 3 -2 ,6 3 3.734 m 1.8₇₅ m 1 8 ,6 7 -1 1 ,3 3 13 ,80 -2,2₀ -18,18