Números Complexos. Professores Jorge Aragona e Oswaldo R. B. de Oliveira

(1)

N´umeros Complexos

(2)

Cap´ıtulo 1

(3)

Cap´ıtulo 2

(4)

Cap´ıtulo 3

(5)

Cap´ıtulo 4

O TEOREMA FUNDAMENTAL

DA ´

ALGEBRA E OUTROS

(6)

Cap´ıtulo 5

S´

ERIES/CRIT´

ERIOS DE

(7)

Cap´ıtulo 6

S´

ERIES ABSOLUTAMENTE

CONVERGENTES E SOMAS

(8)

Cap´ıtulo 7

SEQUˆ

ENCIAS E S´

ERIES DE

FUNC

¸ ˜

OES E, S´

ERIES DE

POTˆ

ENCIAS

(9)

7.2 - Sequˆencias de Fun¸c˜oes

Neste cap´ıtulo X indica um subconjunto de K, com K = R ou K = C. 7.1 Defini¸c˜ao. Para uma sequˆencia de fun¸c˜oes, (fn), fn∶ X → K, temos:

(a) (fn) converge simplesmente a f ∶ X → K se, lim fn(x) = f (x) , ∀x ∈ X.

(b) (fn) converge uniformemente a f ∶ X → K se, para todo ǫ > 0, existe um

natural N tal que ∣fn(x) − f (x)∣ < ǫ , ∀n ≥ N, ∀x ∈ X.

f

n

f

+

ǫ

f

−

ǫ

X

ǫ

Figura 7.1: Convergˆencia Uniforme sobre X ⊂ R.

Se (fn) converge uniformemente a f ent˜ao (fn) converge simplesmente a f .

7.2 Exemplo. Dado n ∈ N, seja

fn(x) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨⎪⎪ ⎩ xn_, _{se 0 ≤ x < 1 ,} 1 , se 1 ≤ x ≤ 2 . ´ E claro que f(x) = lim n→+∞fn(x) = ⎧⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎩ 0 , se 0 ≤ x < 1 , 1 , se 1 ≤ x ≤ 2 .

(10)

1

1 f

₁

_f

₂

f

₃

f

₄

Figura 7.2: Ilustra¸c˜ao ao Exemplo 7.2.

7.3 Proposi¸c˜ao. Sejam (fn) e (gn) duas sequˆencias de fun¸c˜oes definidas em X

e a valores em C, convergindo uniformemente às fun¸cões f e g, respectivamente. Seja ainda λ uma constante em C. Então, as sequências de fun¸cões (fn+ gn) e

(λfn) convergem uniformente sobre X `as fun¸c˜oes f + g e λf, respectivamente.

Prova. ´E f´acil e a deixamos ao leitor ∎

7.4 Teorema. Se (fn) é uma sequência de fun¸cões, em X, cont´ınuas em x0 e

convergindo uniformemente a f ∶ X → K ent˜ao, f ´e cont´ınua em x0.

Prova.

Seja x0 ∈ X e ǫ > 0. Por hip´otese, existe um natural N tal que para todo

n ≥ N temos ∣fn(x) − f(x)∣ < ǫ para todo x ∈ X. Desta forma, como fN ´e

cont´ınua, existe δ > 0 tal que, se ∣x − x0∣ < δ ent˜ao ∣fN(x) − fN(x0)∣ < ǫ. Logo,

∣f(x) − f(x0)∣ ≤ ∣f(x) − fN(x)∣ + ∣fN(x) − fN(x0)∣ + ∣fN(x0) − f(x0)∣ < ǫ + ǫ + ǫ ∎

7.5 Corol´ario. Se (fn) é uma sequência de fun¸cões cont´ınuas, em X,

conver-gindo uniformemente a f ∶ X → K ent˜ao f ´e cont´ınua.

Prova. Imediata consequˆencia do teorema acima ∎

7.6 Teorema. Se (fn) é uma sequência de fun¸cões cont´ınuas em [a.b] ⊂ R, a

valores reais e convergindo uniformemente a f ∶[a,b] → R ent˜ao,

lim n→+∞∫ b a fn(x)dx = ∫ b a f(x)dx .

(11)

Prova.

Pelo Teorema 7.4, f ´e cont´ınua e, assim, integr´avel como toda fn. Dado ǫ > 0,

por hip´otese, existe N ∈ N tal que, se n ≥ N, ∣fn(x) − f(x)∣ < ǫ,∀x ∈ [a,b]. Assim

sendo, para todo n ≥ N temos ∣∫_abfn(x)dx − ∫ b a f(x)dx∣ ≤ ∫ b a ∣fn(x) − f(x)∣dx ≤ ∫ b a ǫ dx= ǫ(b − a) ∎

A hipótese da convergência uniforme para a validade da afirma¸cão no Teorema 7.6 acima é mostrada necessária pelo exemplo abaixo.

7.7 Exemplo. Seja fn∶[0,1] → R, n ∈ N, a sequˆencia de fun¸c˜oes dada por,

fn(x) = ⎧⎪⎪⎪⎪ ⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ 2n2 x , 0 ≤ x ≤ 1 2n 2n − 2n2_{x ,} 1 2n ≤ x ≤ 1 n 0 , _n1 ≤ x ≤ 1 . Temos lim

n_→+∞fn(x) = 0, para todo x ∈ [0,1]. Computando áreas de triângulos é

f´acil verificar que _∫01fn(x)dx = 1

2, para todo n ∈ N. Vide Figura 7.3 a seguir.

1 1 2 3 1 3 1 8 f1 f3 f8

(12)

7.8 Defini¸c˜ao. Seja Cn([a,b],R) o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes f ∶ [a,b] Ð→ R

tais que para todo k ∈ N, com 0 ≤ k ≤ n, a k-´esima derivada f(k) _{existe no intervalo}

aberto (a,b) e se estende cont´ınuamente ao intervalo fechado [a,b].

7.9 Teorema. Seja (fn) ⊂ C1([a,b],R) tal que (fn′) converge uniformemente a

f ∶[a,b] → R e, ainda, (fn) converge simplesmente a uma fun¸c˜ao F ∶ [a,b] → R .

Então, F é derivável e F′_{= f . Isto é,}

( lim_n →+∞fn(x)) ′ = lim n_→+∞f ′ n(x). Prova.

Pelo Primeiro Teorema Fundamental do C´alculo temos, fn(x) = fn(a) + ∫

x a f

′

n(t)dt, ∀x ∈ [a,b] .

Pelas hip´oteses e pelo Teorema 7.6, tomando o limite para n→ +∞, temos F(x) = F(a) + ∫

x

a f(t)dt.

Logo, pelo 2º Teorema Fundamental do Cálculo, F é derivável e F′= f ∎

O exemplo a seguir mostra que não é suficiente a convergência uniforme da sequência de fun¸cões (fn) à fun¸cão f, com f e fn de classe C1, para todo n ∈ N,

para concluirmos que a sequˆencia (f′

n) converge simplesmente a f′.

7.10 Exemplo. A sequˆencia de fun¸c˜oes fn(x) = 1_nsin nx, com x ∈ R e n ∈ N,

converge uniformemente `a fun¸c˜ao nula dada por f(x) = 0, para todo x ∈ R.

Verifica¸c˜ao. De fato, dado ǫ > 0 existe um natural N tal que 1

N < ǫ e assim

temos ∣fn(x) − 0∣ ≤ 1 n ≤

1

N < ǫ se n ≥ N. Mas, a sequˆencia de fun¸c˜oes (fn′), onde

f′

n(x) = cos nx, n˜ao converge simplesmente pois a sequˆencia (cos n π

2)_n_∈N diverge.

7.11 Critério (de Cauchy, para convergência uniforme de uma sequência de fun¸c˜oes). A sequência (fn) de fun¸cões definidas em X e a valores em K

converge uniformemente a f ∶ X → K se e somente se para todo ǫ > 0 existe um natural N tal que

(13)

Prova.

(⇒) Dado ǫ > 0, seja N ∈ N dado pela convergˆencia uniforme. Ent˜ao, se n,m ≥ N e x ∈ X, temos ∣fn(x) − f(x)∣ < ǫ e ∣fm(x) − f(x)∣ < ǫ. Portanto,

∣fn(x) − fm(x)∣ ≤ ∣fn(x) − f(x)∣ + ∣fm(x) − f(x)∣ < ǫ + ǫ = 2ǫ .

(⇐) Neste caso, para todo x ∈ X, a sequência numérica (fn(x)) é de Cauchy

e, convergente. Seja f(x) = lim

m_→+∞fm(x). Dado ǫ > 0 consideremos N ∈ N

tal que ∣fn(x) − fm(x)∣ < ǫ, ∀n,m ≥ N, ∀x ∈ X. Tomando o limite nesta

desigualdade para m→ +∞ temos ∣fn(x) − f(x)∣ ≤ ǫ, ∀n > N, ∀x ∈ X ∎

7.3 - S´eries de Fun¸c˜oes

7.12 Defini¸c˜ao. Seja (fn) uma sequˆencia de fun¸c˜oes em X e a valores em K.

Ent˜ao, +∞∑

n=1

fn é a série de fun¸cões cujas somas parciais são as fun¸cões

sn= f1+ ... + fn= n

∑

j=1

fj ∶ X → K, n ∈ N .

7.13 Defini¸c˜ao. A s´erie de fun¸c˜oes +∞∑

n=1

fn converge, sobre seu dom´ınio X, para a

fun¸c˜ao s ∶ X → K se, para cada x ∈ X temos, +∞∑

n=1fn(x) = s(x).

7.14 Defini¸c˜ao. Dada a s´erie de fun¸c˜oes +∞∑

n=1

fn, definidas no conjunto X, a

fun¸c˜ao s(x) =+∞∑

n=1

fn(x) definida sobre o conjunto dos pontos x ∈ X em que a s´erie

de fun¸cões converge é chamada a soma da série +∞∑

n=0

fn.

7.15 Defini¸c˜ao. A s´erie de fun¸c˜oes +∞∑

n=0

fn, definidas em X e a valores em K,

converge uniformemente à fun¸cão s ∶ X → K se a sequência (sn) de suas somas

(14)

7.16 Teorema. (Integra¸c˜ao termo a termo) Seja s(x) =+∞∑

n=1

fn(x),∀x ∈ [a,b],

uma série de fun¸cões em C([a,b],R), uniformemente convergente. Então, a fun¸cão s ∶[a,b] → R é cont´ınua e

∫_abs(x)dx = +∞ ∑ n=1∫ b a fn(x)dx .

Prova. Consequˆencia imediata do Corol´ario 7.5 e do Teorema 7.6 ∎ 7.17 Teorema. (Deriva¸c˜ao termo a termo) Seja s(x) =+∞∑

n=1

fn(x),∀x ∈ [a,b],

uma s´erie de fun¸c˜oes de classe C1

, a valores reais, tal que a s´erie +∞∑

n=1

f′

n converge

uniformemente em [a,b]. Então, a fun¸cão s ∶ [a,b] → R é de classe C1

e, s′(x) = ( +∞ ∑ n=1 fn(x)) ′ =+∞∑ n=1 fn′(x),∀x ∈ [a,b] .

Prova. Segue trivialmente do Teorema 7.9 aplicado à sequência de fun¸cões(sn) =

(f1+ ... + fn)∎

7.18 Teorema (Critério de Cauchy para convergência uniforme de uma série de fun¸c˜oes). A série de fun¸cões +∞∑

n=1

fn, definidas em X e a valores em K,

converge uniformemente `a fun¸c˜ao s(x) = +∞∑

n=1

fn se e somente se para todo ǫ > 0

existir N ∈ N tal que

∣∑m k=1 fk(x) − n ∑ k=1 fk(x)∣ < ǫ, ∀n,m ≥ N , ∀x ∈ X .

Prova. Consequência imediata do critério de Cauchy para sequências de fun¸cões aplicado à sequência (sn) = (f1+ ... + fn) das somas parciais da série

+∞ ∑ n=1fn pois, ∣∑m k=1 fk(x) − n ∑ k=1 fk(x)∣ = ∣sm(x) − sn(x)∣ ∎

7.19 Teorema (Teste M de Weierstrass). Seja +∞∑

n=1

fn uma s´erie de fun¸c˜oes,

definidas em X e a valores em K, satisfazendo

∣fn(x)∣ ≤ Mn,∀n ∈ N , ∀x ∈ X , e +∞ ∑ n=1 Mn< ∞ . Ent˜ao, a s´erie +∞∑ n=0

fn converge uniformemente, em X, `a fun¸c˜ao s(x) = +∞

∑

n=1

(15)

Prova. Pelo Critério 5.16 (Critério de Cauchy para uma série numérica), dado ǫ > 0 existe N ∈ N tal que ∀n > N e p ∈ N temos Mn+1+ Mn+2+ ... + Mn+p < ǫ.

Logo, a sequˆencia (sn) das somas parciais de +∞

∑

n=1

fn satisfaz: se n > m > N ent˜ao,

∣sn(x) − sm(x)∣ = ∣fm₊₁(x) + fm₊₂(x) + .... + fn(x)∣ < Mm₊₁+ Mm₊₂+ ....Mn< ǫ .

Tomando o limite na expressão acima para m tendendo a +∞ obtemos então, é fácil ver, ∣sn(x) − s(x)∣ ≤ ǫ, para todo n > N, para todo x ∈ X ∎

7.4 - Derivada Complexa

A derivada complexa é definida através do limite de quocientes de Newton, como no caso real. Voltaremos a este tópico na se¸cão dedicada às equa¸cões de Cauchy-Riemann. Abaixo, os conjuntos Ω, Ω1 e Ω2 são abertos em C, f ∶ Ω→ C

é uma fun¸cão na variável complexa z e z0 um ponto em Ω.

7.20 Defini¸c˜ao. Dada f ∶ Ω→ C, e z0 ∈ Ω, f ´e deriv´avel em z0 se existir o limite

abaixo, dito ent˜ao a derivada de f em z0,

f′(z0) = lim z_→z0

f(z) − f(z0)

z− z0

.

Analogamente ao caso real, a fun¸cão f(z) = z2_{, z ∈ C, é derivável em todo ponto}

e f′(z) = 2z. Mas, f(z) = z, z ∈ C, não é derivável em nenhum z₀_{. Se z}₀ _{= 0,}

os quocientes z

z, z ≠ 0, não tendem a nenhum número se z → 0, o que é óbvio

escolhendo z = x, x ≠ 0 e z = iy, y ≠ 0. Se z0 ≠ 0 a argumenta¸c˜ao ´e similar.

7.21 Proposi¸c˜ao. Se f ∶ Ω→ C é derivável em z0∈ Ω então f é cont´ınua em z0.

Prova. Trivial pois, lim z→z0[f(z) − f(z 0)] = lim z→z0 f(z) − f(z0) z− z0 (z − z 0) = f′(z0)(z − z0) = 0 ∎

(16)

7.22 Proposi¸c˜ao. Se f, g ∶ Ω→ C são deriváveis em z0 então, as fun¸cões f + g,

f g, λf (λ ∈ C), e f_g (supondo g(z0) ≠ 0) s˜ao deriv´aveis em z0. Ainda mais,

(a) (f + g)′(z₀) = f′(z₀) + g′(z₀). _(b) (λf)′(z₀) = λf′(z₀). (c) (fg)′(z₀) = f′(z₀)g(z₀)+f(z₀)g′(z₀). _(d)(f g) ′ (z0) = f′_(z 0)g(z0)−f(z0)g′(z0) g2 (z0) . Prova.

(a) e (b) Seguem da Defini¸c˜ao 7.20 e Proposi¸c˜ao 3.57 (a) e (b), respectivamente. (c) Dividindo f(z)g(z) − f(z0)g(z0) = [f(z) − f(z0)]g(z) + f(z0)[g(z) − g(z0)]

por z − z0, z ≠ z0, e ent˜ao computando o limite para z→ z0 da equa¸c˜ao

f(z)g(z) − f(z0)g(z0) z− z0 =f(z) − f(z0) z− z0 g(z) + f(z0) g(z) − g(z0) z₋z0 , obtemos pela Defini¸c˜ao 7.20 e Proposi¸c˜ao 7.21 o resultado desejado. (d) Se f = 1, dividindo 1 g_(z)− 1 g_(z0) = − g(z)−g(z0) g_(z)g(z0) por z − z0, z ≠ z0, obtemos, 1 g(z)− 1 g(z0) z− z0 = −g(z) − g(z0) z− z0 1 g(z)g(z0) ,

cujo limite para z → z0 é, pela Defini¸cão 7.20 e Proposi¸cão 7.21, −g

′_(z 0)

g2

(z0).

Aplicando tal fórmula e o ´ıtem (c) à fatora¸cão f_g = f.1

g obtemos (d) ∎

Evidentemente então, como p(z) = z é derivável, todo polinômio é derivável. 7.23 Proposi¸c˜ao. Sejam f ∶ Ω1 → C e g ∶ Ω2 → C com f(Ω1) ⊂ Ω2. Se f é

derivável em z0 e g é derivável em f(z0) então g ○ f é derivável em z0 e,

(g ○ f)′(z₀) = g′(f(z₀))f′(z₀) .

Prova. Como g é derivável em w0= f(z0), é cont´ınua em w0= f(z0) a fun¸cão

h(w) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪ ⎩ g_(w)−g(w0) w−w0 − g ′(w₀) se w ≠ w₀_, 0 se w = w0 . Escrevendo g(w) − g(w0) = [h(w) + g′(w0)](w − w0), e substituindo w = f(z),

w0 = f(z0) e dividindo por z −z0, z ≠ z0, obtemos o quociente de Newton de g ○ f ,

g(f(z)) − g(f(z0))

z− z0

= [h(f(z)) + g′(f(z₀))]f(z) − f(z0)

z− z0

(17)

Analisemos o limite do segundo membro quando z → z0. Utilizando que f ´e

derivável em z0 [logo, f é cont´ınua em z0 e(h○f) é cont´ınua em z0] conclu´ımos que

lim

z_→z0(h ○ f)(z) = h(f(z

0)) = h(w0) = 0. Logo, o limite citado ´e g′(f(z0))f′(z0) ∎

7.5 - Séries de Potências e Propriedades Operatórias

7.24 Defini¸c˜ao. Dada uma sequência (an) ⊂ C e z0 ∈ C, a série de fun¸cões

complexas +∞∑

n=0

an(z − z0)n, z ∈ C, é a série de potências com coeficientes (an),

centrada em z0, ou em torno de z0.

A s´erie de potˆencias+∞∑

n=0

an(z−z0)n´e convergente (divergente) no ponto z = w ∈ C se

a s´erie num´erica +∞∑

n=0

an(w−z0)né convergente (divergente). Através da transla¸cão

w = z − z0 passamos da s´erie +∞ ∑ n=0 an(z − z0)n para a s´erie +∞ ∑ n=0 anwn. Desta forma,

simplificamos a exposi¸c˜ao supondo a s´erie centrada em z0 = 0.

Doravante z denotará tanto a variável z como o número z ∈ C. O contexto indicará o sentido.

7.25 Teorema. Seja +∞∑

n=0

anzn uma s´erie de potˆencias centrada na origem e

ρ= 1

lim sup √n ∣a

n∣

∈[0,+∞],

com ρ = +∞ se lim sup √n ∣a

n∣ = 0 e ρ = 0 se limsup n

√

∣an∣ = +∞.

(a) Se ∣z∣ < ρ a s´erie converge absolutamente. (b) Se ∣z∣ > ρ a s´erie diverge.

(c) Se ∣z∣ = ρ o critério é inconclusivo sobre a convergência ou divergência. (d) A série converge absolutamente e uniformemente em todo disco fechado

D(0;r) tal que 0 < r < ρ. Prova. Notemos que, se z ≠ 0 ent˜ao

√

(18)

(a) Se ∣z∣ < ρ ent˜ao limsup√n ∣a

nzn∣ < 1 e pelo Crit´erio da Ra´ız +∞

∑ ∣anzn∣ < ∞.

(b) Se∣z∣ > ρ ent˜ao limsup √n ∣a

nzn∣ > 1 e pelo Crit´erio da Ra´ız, +∞

∑ ∣anzn∣ = +∞.

(c) Deixamos ao leitor encontrar exemplos ilustrativos.

(d) Segue do ´ıtem (a) e do Teste M de Weierstrass pois ´e f´acil ver que temos ∣anzn∣ ≤ ∣an∣rn, para todo z ∈ Dr(0), e ∑∣an∣rn< ∞ ∎

D(0;ρ)

Figura 7.4: O Disco (aberto) de Convergˆencia.

7.26 Defini¸c˜ao. (Hadamard) O raio de convergˆencia da s´erie +∞∑

n=0anz n _´e

ρ= 1

lim sup√n ∣a

n∣

∈ [0,+∞] .

Observa¸c˜ao. Dada uma sequˆencia (an) em C∗= C ∖{0} tal que existe lim ∣a_an+1

n ∣,

pelo Teorema 5.28 existe lim √n ∣a

n∣ e ρ = 1 lim_∣an+1 an ∣ = 1 limn√ ∣an∣.

Fixada uma série de potências indicamos por ρ o seu raio de convergência. 7.27 Defini¸c˜ao. Dada a série de potências +∞∑

n=0

anzn, com raio de convergˆencia

ρ> 0, o disco aberto D(0;ρ) é o disco de convergência da série.

Se ρ = 0 temos o disco degenerado {z = 0}. Se ρ > 0 e z pertence ao disco D(0;ρ), pelo Teorema 7.25, a s´erie +∞∑ anzn converge absolutamente e portanto

a sequência (anzn)n∈N é somável. Assim sendo, escrevemos brevemente ∑ anzn

para indicarmos a s´erie de potˆencias +∞∑ anzn.

A seguir mostramos que toda série de potências pode ser desenvolvida como uma série de potências em torno de cada ponto em seu dom´ınio. É importante observar que este fato não é evidente.

(19)

7.28 Teorema (Transla¸c˜ao). Seja f(z) = ∑anzn convergente em D(0;ρ), com

ρ> 0. Ent˜ao, fixado z0 ∈ D(0;ρ), existe uma sequˆencia complexa (bn) tal que

f(z) = ∑bn(z − z0)n, ∀ z ∈ D(z0; ρ −∣z0∣). z0 ρ− ∣z0∣ 0 ρ Figura 7.5: Transla¸c˜ao.

Prova. Seja z, com ∣z0∣ + ∣z − z0∣ < ρ. Como a s´erie de potˆencias dada converge

absolutamente em Dρ(0), s˜ao iguais e finitos os valores das somas (n˜ao ordenadas)

∑ n ∣a n∣(∣z0∣ + ∣z − z0∣) n = ∑ n 0_≤p≤n∑ ∣a n∣( n p)∣z0∣ n_−p∣z − z 0∣p.

Pela associatividade para somas (n˜ao ordenadas) seguem as identidades

∑ n 0_≤p≤n∑ an( n p)z n−p 0 (z − z0)p = ⎧⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ ∑ n an(z 0 + z − z0)n=∑ nanz n_{= f}(z) +∞ ∑ p=0( +∞ ∑ n=pan( n p)z n−p 0 )(z − z0)p ∎

Analogamente aos polinômios podemos multiplicar e compor séries de potências. Ainda, vantajosamente, podemos computar o rec´ıproco de uma série de potências. 7.29 Teorema (Produto de Cauchy). Sejam ∑anzn e ∑ bnzn convergentes

no disco D(0;R), com R > 0. A s´erie

∑

n≥0

cnzn, com cn= ∑ j+k=n

ajbk, ∀n ∈ N ,

´e convergente em D(0;R) e satisfaz ∑cnzn=(∑anzn)(∑bnzn) .

Prova. Seja z ∈ D(0;R). Como

(20)

pela associatividade para somas (n˜ao ordenadas) segue, ∑ n,m anznbmzm = ⎧⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎩ (∑ n anzn)(∑ m bmzm) ∑ n( ∑j_+k=n ajbk)zn ∎

7.30 Corol´ario (Potencia¸c˜ao). Seja f(z) = ∑anznconvergente no disco D(0;R)

e p fixo em N. Ent˜ao, para todo z ∈ D(0;R) vale

f(z)p = ∑ bnzn, com bn= ∑ n1+...+np=n

an1...anp .

Prova. Seja z ∈ D(0;R). Ent˜ao temos ∞ >( ∑∣an∣∣z∣n) p = ∑ n1∈N...,np∈N ∣an1∣∣z∣ n1 ...∣anp∣∣z∣ np _.

Logo, pela Lei Associativa para somas n˜ao ordenadas segue,

∑ n1∈N,...,np∈N an1z n1 ...anpz np ₌ ⎧⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎩ ( ∑_n 1 an1z n1)...( ∑ np anpz np) = ( ∑ n anz n)p ∑ n(n1+...+n∑ p=n an1...anp)z n _∎

7.31 Teorema (Composi¸c˜ao). Sejam f(z) = ∑anzn e g(z) = ∑bmzm

conver-gentes em D(0;R),R > 0. Se ∣g(0)∣ < R, ent˜ao existe r > 0 tal que

f(g(z)) = ∑cmzm, ∀z ∈ D(0;r) .

0

r

g _R g(z) f

R

C

(21)

Prova. Por hip´otese temos ∣b0∣ = ∣g(0)∣ < R. Logo, por continuidade podemos

escolher 0 < r < R, tal que ∑∣bm∣∣z∣m < R se z ∈ D(0;r). Assim, fixando um tal

z, devido à convergência absoluta da série ∑ anzn em D(0;R) obtemos

∞ >∑ n ∣a n∣( ∑ m ∣b m∣∣z∣m) n = ∑ n∈N ∣an∣ ∑ m1∈N,...,mn∈N ∣bm1∣∣z∣ m1 ...∣bmn∣∣z∣ mn _.

Ent˜ao, pela associatividade para somas n˜ao ordenadas segue,

∑ n an ∑ m1,...,mn bm1z m1 ...bmnz mn ₌ ⎧⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎩ ∑ nan( ∑mbmz m)n _{= f}(g(z)) ∑ m( ∑n an ∑ m1+...+mn=m bm1...bmn)z m _∎

7.32 Proposi¸c˜ao (Rec´ıproco). Seja f(z) = ∑anzn, z ∈ Dr(0), r > 0, tal que

a0≠ 0. Então, existe δ > 0 tal que vale o desenvolvimento em série de potências

1

f(z) =∑ bnz

n_,_{∀z ∈ D} δ(0) .

1ª Prova.

Dividindo f = f(z) por a0 se necess´ario, supomos a0 = 1. Por continuidade,

existe δ > 0 tal que ∑n≥1∣anzn∣ < 1 se ∣z∣ < δ. Indiquemos cn = −an, ∀n ≥ 1, e

−∑n≥1anzn=∑cnzn. Assim, se ∣z∣ < δ, temos as identidades finitas

1+∑ ∣cnzn∣+( ∑∣cnzn∣) 2 +... =∑ p ( ∑n ∣c n∣∣z∣n) p =∑ p _(n1,n2,...,n∑p)∈Np ∣cn1∣∣z∣ n1 ...∣cnp∣∣z∣ np_.

Ent˜ao, pela associatividade para somas (n˜ao ordenadas) seguem as identidades,

∑ p _(n1,n2,...,n∑ p)∈Np cn1z n1 ...cnpz np ₌ ⎧⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ +∞ ∑ p=0( ∑cnz n)p₌ 1 1_{−∑ c}_nzn = 1 1_{+∑ a}_nzn = 1 f(z), +∞ ∑ N =0 bNzN, bN = ∑ n1+...+nj=N cn1...cn_j . 2ª Prova. Suponhamos a0= 1. Ent˜ao, g(z) = 1 − f(z) = ∑_n≥1anzn e h(z) = 1 1_−z =∑n≥0zn

est˜ao definidas em torno de zero e g(0) = 0. Pelo Teorema 7.31 existe δ > 0 tal que h(g(z)) = 1

1_{−[1−f(z)]} = 1

f(z) é uma série de potências sobre o disco Dδ(0) ∎

(22)

7.33 Teorema (Deriva¸c˜ao). As s´eries f(z) = ∑anzn e g(z) = ∑nanzn−1 tem

mesmo disco de convergˆencia D(0;ρ). Se ρ > 0 temos,

f′(z) = g(z), ∀z ∈ D(0;ρ) . Prova. Dividamos a prova em duas partes complementares.

(a) Da desigualdade∑n≥1∣anzn∣ ≤ ∣z∣∑n≥1∣nanzn−1∣ segue: o disco de convergˆencia

de g está contido no disco de convergência de f . Ainda, se o disco de con-vergência de f é degenerado então o de g também o é (fim do caso trivial). (b) Suponhamos f convergente em D(0;τ), τ > 0. Fixemos R > 0 e z

satisfa-zendo ∣z∣ < R < τ. Seja h tal que 0 < ∣h∣ < r = R − ∣z∣. Para n ≥ 2 obtemos (z + h)n_{− z}n h = nz n₋₁ _{+ h}_∑n p=2 (n p)z n_−p_hp₋₂ e portanto, ∣(z+ h_h)n− zn − nzn−1_{∣ ≤ ∣}h∣ r2 n ∑ p=2( n p) ∣z∣ n−p_rp _≤ ∣h∣ r2R n _.

Logo, ∑ nanzn−1 converge absolutamente e g converge em D(0;τ). Por fim,

∣∑an(z + h) n_{− z}n h − ∑ nanz n−1_{∣ ≤ ∣}h∣ r2 ∑∣an∣R n ÐÐ→ 0 ∎h→0

7.34 Corol´ario. Seja f(z) = ∑

n≥0

anzn com raio de convergˆencia ρ > 0. Ent˜ao, f

é infinitamente derivável no seu disco de convergência e, (a) f(k)(z) = ∑ n≥k n(n − 1)....(n − k + 1)anzn−k = ∑ n≥k n! (n−k)!anzn−k.

(b) f ´e dada por sua s´erie de Taylor centrada em 0,

f(z) = ∑ n≥0 f(n)(0) n! z n _. (c) Se f(z) = 0,∀z ∈ Dρ(0), ent˜ao an= 0, ∀n ∈ N.

Prova. Do Teorema 7.33 segue, por recursão, que f é infinitamente derivável no seu disco de convergência e também o ´ıtem (a).

(b) Substituindo z = 0 em (a) obtemos f(k)(0) = k!a

k. Logo, ak= f(k)(0)/k!.

(23)

7.35 Teorema (Taylor). Seja f(z) = +∞∑

n=0

anzn com raio de convergˆencia ρ > 0.

Dado z0∈ D(0;ρ), ´e v´alida a propriedade

f(z) =+∞∑ n=0 f(n)(z₀) n! (z − z0) n _, _{∀ z ∈ D}(z 0; ρ −∣z0∣). ρ− ∣z₀∣ 0 z₀ ρ

Figura 7.7: Teorema de Taylor. Prova.

Segue do Teorema 7.28 (Teorema de Transla¸cão) e do Corolário 7.34 ∎ A série +∞∑

n=0

f(n)(z0)

n! (z − z0)

n _{´e a s´erie de Taylor de f em torno de z} 0.

7.36 Corolario. Seja f(z) = ∑anzn uma s´erie de potˆencias com disco de

con-vergência D(0;ρ), ρ > 0, e z0 ∈ D(0;ρ) tal que f(n)(z0) = 0, ∀n ≥ 0. Então, f é

identicamente nula e an= 0 , ∀n ≥ 0.

Prova. Consideremos X ={w ∈ Dρ(0) ∶ f(n)(w) = 0,∀n ≥ 0}.

Se w ∈ X, pelo Teorema 7.35 temos f(z) = ∑f(n)_n!(w)(z−w)n_{= 0, se z ∈ D}(w;r),

para algum r > 0. Portanto segue que D(w;r) ⊂ X e, assim, X ´e aberto.

Tamb´em D(0;ρ)∖X ´e aberto: se ω ∈ D(0;ρ)∖X existe m tal que f(m)(ω) ≠ 0

e ent˜ao, pela continuidade de f(m)_{, existe ǫ > 0 tal que f}(m)(z) ≠ 0, ∀z ∈ D ǫ(ω)

e portanto Dǫ(ω) ⊂ D(0;ρ) ∖ X. Logo, o conexo Dρ(0) ´e uni˜ao disjunta de dois

abertos e assim um deles ´e o conjunto vazio. Como z0 ∈ X, temos X = Dρ(0) e

f = 0. Por ´ultimo, sendo f(n)(0) = a

(24)

A seguir mostramos dois resultados para séries de potências análogos a co-nhecidos resultados para polinômios. O primeiro corresponde ao fato de que um polinômio de grau n ≥ 1 tem zeros isolados. O segundo corresponde ao fato de que um polinômio é determinado pelo seu valor em n + 1 pontos distintos. 7.37 Corolario (Princ´ıpio dos Zeros Isolados para séries de potências).

Consideremos f(z) = ∑anzn com raio de convergˆencia ρ > 0 e f n˜ao nula. Se

f(z0) = 0, z0 ∈ D(0;ρ), existem m ≥ 1, m ∈ N, e uma s´erie de potˆencias g definida

em um disco D(z0; δ), δ > 0, tais que para todo z ∈ D(z0; δ) vale,

f(z) = (z − z0)mg(z) e g(z) ≠ 0 .

Prova. Seja f(z) = ∑f(n)(z0)

n! (z−z0)

n_{, com z ∈ D}(z

0; ρ′) e ρ′> 0, o que ´e garantido

pelo Teorema 7.35. Como f ≠ 0 e f(0)(z

0) = f(z0) = 0, pelo Corol´ario 7.36 existe

o primeiro natural m ≥ 1 tal que f(m)(z 0) ≠ 0. Assim, indicando bn= f(n)_(z₀₎ n! , n ∈ N, temos f(z) = +∞ ∑ n=0 bn(z − z0)n=(z − z0)m[bm+ bm+1(z − z0) + bm+2(z − z0) 2 + ....] donde, notando que para z − z0 ≠ 0 a s´erie no lado esquerdo converge se, e s´o se,

a s´erie no lado direito converge, conclu´ımos que ambas convergem em Dρ′(z0).

Desta forma, g(z) = ∑[bm+ bm₊₁(z − z0) + bm₊₂(z − z0)2+ ....] ´e tal que

f(z) = (z − z0)mg(z) e g(z0) = bm ≠ 0 se z ∈ D(z0; ρ′) .

Para finalizar, escolhemos δ > 0 tal que 0 < δ < ρ′ _{e g}(z) ≠ 0 se z ∈ D(z₀_{; δ}) ∎

7.38 Corol´ario (Princ´ıpio da Identidade para s´eries de potˆencias).

Se-jam ∑anzn e ∑ bnzn convergentes em D(0;R) e X ⊂ D(0;R) um conjunto com

ponto de acumula¸cão em D(0;R). É válida a propriedade abaixo: se ∑ anzn=∑bnzn,∀z ∈ X , então temos an= bn,∀n ∈ N .

Prova. Efetuando a subtra¸c˜ao∑anzn−∑ bnzn=∑(an−bn)znvemos que podemos

supor bn= 0, ∀n. Suponhamos então que z0 é um ponto de acumula¸cão de zeros

de f(z) = ∑anzn. Pela continuidade de f temos f(z0) = 0. Então, se f não é nula,

pelo Princ´ıpio dos Zeros Isolados z0´e o ´unico zero de f em algum D(z0; r),r > 0, o

que contradiz a hip´otese. Conclu´ımos ent˜ao que f(z) = ∑anzn= 0, ∀z ∈ D(0;R),

(25)

EXERC´ICIOS - CAP´ITULO 7

1. Determine o dom´ınio de convergência da série e esboce o gráfico de f : (a) f(x) = +∞∑

n=1

xn _{(b) f}(x) = +∞∑

n=1

nxn

2. Para t ∉ 2πZ e n ∈ N valem as identidades (a) eit+ e2it_{+ e}3it_{+ ... + e}nit₌ enit− 1

1 − e−it =

sen(n2t)

sen(2t)

ei(n+1)2t .

(b) cos t + cos 2t + ... + cos nt = sen

nt 2 cos(n + 1) t 2 sen2t = −1 2 + sen(2n + 1)t 2 2sent2 , este é o n-ésimo núcleo de Dirichlet.

(c) sen t + ... + sen nt = cos

t 2 − cos(n + 1 2)t 2sent 2 =sen nt 2sen(n + 1) t 2 sent 2 , este é o n-ésimo núcleo conjugado de Dirichlet .

Sugestão: compute as partes real e imaginária da expressão em (a). 3. Mostre que as séries +∞∑

n=1 cos nx n e +∞ ∑ n=1 sen nx

n convergem, para todo x ∈ R.

Sugest˜ao: Utilize o exerc´ıcio anterior e o crit´erio de Dirichlet.

4. Determine o limite f(x) = lim fn(x), ∀x ∈ X, e mostre que a sequˆencia (fn)

n˜ao converge uniformemente a f , nos casos abaixo. (a) fn(x) =

sen(nx)

1_+n2_x2, X = R. Dica: analise o que ocorre nos pontos x_n=

π 2n.

(b) n

x+n, X =[0,+∞). Dica: analise o que ocorre nos pontos xn= n.

(c) fn(x) = (senx_x ) n , se x ≠ 0 e fn(0) = 1, onde X = R. (d) fn(x) = (1 − 2nx2)e−nx 2 , com X = R. (e) fn(x) = x 2n 1_+x2n, com X = R. (f) X =[0,1] e fn(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪ ⎩ (n − 1)x, 0 ≤ x ≤ 1 n 1 − x ,1 n≤ x ≤ 1 .

(26)

5. Mostre a convergˆencia uniforme de (fn) em X ⊂ R nos casos abaixo.

(a) fn(x) = sennx_n7 , onde X = R.

(b) fn(x) = e−nxsin x, onde X =[0,+∞).

(c) fn(x) = xe−nx

2

, onde X = R. 6. Determine o limite f(x) = lim

n_→+∞fn(x), onde x ∈ [0,1], e mostre que

lim n_→+∞∫ 1 0 fn(x)dx ≠ ∫ 1 0 ( limn→+∞fn(x))dx, supondo fn(x) = ⎧⎪⎪⎪⎪ ⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ n2_{x ,} 0 ≤ x ≤ _2n1 , n2(1 n− x), 1 2n ≤ x ≤ 1 n, 0 , 1 n ≤ x ≤ 1 . 7. Sendo fn(x) = n 2 x2

1_+n2_x2, x ∈[−1,1], mostre que f_n converge simplesmente a f

(determine f ) mas n˜ao uniformemente. Ainda assim, lim n→+∞∫ 1 −1 fn(x)dx = ∫ 1 −1nlim→+∞fn(x)dx .

8. Para cada n ≥ 1, seja fn(x) = _nxnx2

+1, x∈ R. Consideremos f(x) = limn_→+∞fn(x).

(a) Determine o dom´ınio de convergˆencia da sequˆencia (fn). Esboce os

gr´aficos de f e das fun¸c˜oes fn.

(b) A convergência da sequência (fn) à fun¸cão f é uniforme sobre R ? E

sobre o intervalo [r,+∞),r > 0 ?

9. Para cada n ≥ 1, seja fn(x) =1_+nnx2_x4, x∈ R. Consideremos f(x) = lim

n_→+∞fn(x).

(a) Determine o dom´ınio de convergência. Esboce os gráficos de f e das fun¸cões fn.

(b) A convergência é uniforme sobre [0,1] ? Justifique. Vide sugestão no livro.

(d) Mostre que _∫01[ lim_n

→+∞fn(x)]dx ≠ limn_→+∞∫ 1

(27)

10. Mostre que a s´erie dada converge uniformemente no intervalo dado. (a) ex₌+∞∑ n=0 xn n ! em[−r,r],r > 0. (b) +∞ ∑ n=1 xn 2n₊₁, em[−r,r],0 < r < 1.

11. Mostre que a fun¸c˜ao dada ´e cont´ınua. (a) f(x) =+∞∑ n=1 cos nx3 n4 , x ∈ R. (b) f(x) = +∞ ∑ n=1 1 2nx, x ∈[1,+∞). 12. Seja f(x) = +∞∑ n=1 x x2 +n2. Justifique a igualdade: ∫ 1 0 f(x)dx = 1 2 +∞ ∑ n=1log(1+ 1 n2).

13. Sejam (an)n≥0 e (bn)n≥1 duas sequˆencias em R. Suponhamos que

F(x) = a0 2 + +∞ ∑ n=1 [ancos nx + bnsen nx], x ∈ [−π,+π],

a convergˆencia sendo uniforme. Mostre que: (i) an= 1 π∫ +π −π F(x)cos nxdx,∀n ≥ 0. (ii) bn= _π1∫_−π+πF(x)sen nxdx,∀n ≥ 1,

A série é acima é a série de Fourier de F e os números an, n≥ 0, e bn, n≥ 1,

s˜ao os coeficientes de Fourier de F .

14. Determine os coeficientes de Fourier de f(x) = x2_, _{−π ≤ x ≤ π.}

15. Determine os coeficientes de Fourier de f(x) = ∣x∣, −π ≤ x ≤ π. 16. (a) Descreva o dom´ınio da fun¸c˜ao g(z) = y_x+ 1

1_−yi, (z = x + iy).

(b) Seja Ω ={x + iy ∶ x > 0 e ∣y∣ < 1} e considere a fun¸c˜ao f ∶ Ω → C, f(z) = y ∫ +∞

0 e

−xt_dt_{+ i}+∞_∑ n=0

yn_{, z}_{= x + iy ∈ Ω .}

Mostre que Ω ⊂ Dom(g) e que f(z) = g(z), ∀z ∈ Ω.

17. Mostre que a fun¸cão Re: z ∈ C ↦Re(z) ∈ C não é derivável em nenhum ponto de C.

(28)

18. Considerando o isomorfismo canˆonico entre R2 _{e C, dado Ω aberto em C}

indiquemos por ˜Ω ⊂ R2_{o aberto identificado a Ω por tal isomorfismo. Ainda,}

dada f ∶ Ω→ C indiquemos por ˜f∶ ˜Ω → R2

a fun¸c˜ao: ˜

f(x,y) = (Re(f(z)), Im(f(z))), z = x + iy .

Suponha que existe f(k)_{, ∀k ∈ N [em breve veremos que se existe f}′ _ent˜ao

existe f(k)_{, ∀k ∈ N]. Ent˜ao, verifique os itens abaixo.}

(a) Mostre que ˜f ´e de classe C2

.

(b) Compute a matriz jacobiana de ˜f e mostre que o determinante jaco-biano de ˜f no ponto (x,y) ∈ ˜Ω ´e ∣f′(z)∣, com z = x + iy.

19. Mostre que para uma fun¸cão L ∶ C→ C são equivalentes : (i) L é C-homogênea [isto é, L(zw) = zL(w), ∀z,w ∈ C]. (ii) L é C-linear.

(29)

BIBLIOGRAFIA

1. Ahlfors, Lars V., Complex Analysis - An Introduction to the Theory of Analy-tic Functions of One Complex Variable, International Series in Pure and Applied Mathematics, McGraw-Hiil, Inc., 1979.

2. Aigner, M., and Ziegler, G. M., Proofs from THE BOOK, 4th ed., Springer, 2010.

3. Apostol, T. M., Calculus, 2nd. ed., Ed. Waltham/Blaisdell, 1967-1969. 4. Aragona, J. N´umeros Reais, 1ªed., Editora da F´ısica, 2010.

5. Argand, J. R., “Réflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suivies d’une application à la démonstration d’un théorème d’analyse”, Annales de Mathemátiques Pures et Appliquées, tome 5 (1814-1815), p. 197-209.

6. Argand, J. R., Imaginary Quantities: Their Geometrical Interpretation, Uni-versity Michigan Library, 2009.

7. Argand, J. R., Essay Sur Une Manière de Représenter Les Quantités Imagi-naires Dans Les Contructions Géométriques, Nabu Press, 2010.

8. Bak, J., Ding, P., and Newman, D. J., “Extremal Points, Critical Points, and Saddle Points of Analytic Functions”, American Mathematical Monthly 114 (2007), pp. 540-546.

9. Bak, Joseph and Newman, Donald J., Complex Analysis, 3rd. ed., UTM, Springer, 2010.

10. Beardon, Alan F., Complex Analysis - The Argument Principle in Analysis and Topology, A Wiley-Interscience Publication, 1979.

11. Beardon, Alan F., Limits - A New Aproach to Real Analysis, UTM, Springer, 1991.

12. Boas, H. P., “ Julius and Julia: Mastering the Art of the Schwarz Lemma”, American Mathematical Monthly 117 (2010), pp. 770-785.

13. Boas, R. P., Invitation to Complex Analysis, Mathematical Association of America, 2nd. ed., 2010.

14. Boulos, P., Exerc´ıcios Resolvidos e Propostos de Sequências e Séries 15. Boyer, Carl B., História da Matemática, Ed. Edgard Blucher, 1974.

16. Bressoud, David, A Radical Approach to Real Analysis, 2nd ed., The Mathe-matical Association of America, 2006.

(30)

17. Burckel, Robert B., An Introduction to Classical Complex Analysis - Vol 1, Mathematische Reihe, Birkh¨auser, 1979.

18. Burckel, R. B., “Fubinito (Immediately) Implies FTA”, The American Mathematical Monthly, Vol 113, No. 4 (April 2006), pp. 344-347.

19. Burckel, R. B., “ A Classical Proof of the Fundamental Theorem of Algebra Dissected”, Mathematics Newsletter of the Ramanujan Matehmatical Society, Vol. 17, No. 2 (September 2007), pp. 37-39.

20. Busam, R. and Freitag, E. , Complex Analysis, 2nd edition, Universitext, Springer (2008).

21. Carath´eodory, C., Theory of Functions of a Complex Variable, Vol. 1, 2nd english edition, Chelsea Publishing Company (1964).

22. Cater, F. S., “ An Elementary proof that analytic functions are open map-pings”, Real Analysis Exchange, Vol 27(1), 2001/2002, pp. 389-392.

23. Cauchy, A. L., Cours d’Analyse, Vol VII, Premi`ere Partie, Chapitre X, Editrice CLUEB, Bologna 1990.

24. Chrystal, G., Algebra, An Elementary Text-book, Part I, sixth edition, Chelsea Publishing Company, New York, N.Y., 1952.

25. Churchill, R. V., Vari´aveis Complexas e Aplica¸c˜oes, EDUSP/McGraw-Hill, 1975.

26. Connell, E. H. and Porcelli, P., “Power Series Development without Cauchy’s Formula”, Bulletin of the American Mathematical Society 67 (1961), pp. 177-181.

27. Connell, E. H. and Porcelli, P., “An Algorithm of J. Schur and the Taylor Series”, Proceedings of the American Mathematical Society 13 (1962), pp. 232-235.

28. Conway, John B., Functions of One Complex Variable I, 2nd ed., GTM, Springer, 2000.

29. Doxiadis, A. e Papadimitriou, C. H., Logicomix - Uma Jornada ´Epica em Busca da Verdade, Ed. Martins Fontes, 2010.

30. Estermann, T., “On The Fundamental Theorem of Algebra”, Journal of The London Mathematical Society, 31 (1956), pp. 238-240.

(31)

31. Fefferman, C., “An Easy Proof of the Fundamental Theorem of Algebra”, The American Mathematical Monthly, Vol. 74, No. 7. (Aug. - Sep., 1967), pp. 854-855.

32. Fine, B. and Rosenberger, G., The Fundamental Theorem of Algebra, Springer-Verlag, New York, 1997.

33. Fitzpatrick, P. M., Advanced Calculus, 2nd. ed., Pure and Applied Under-grad. Texts, AMS, 2009.

34. Gamelin, Theodore W., Complex Analysis, UTM, Springer, 2000.

35. Gauss, C. F., Werke, Volume 3, 33-56 (in latin; English translation available at http:www.cs.man. ac.uk/∼pt/misc/gauss-web.html).

36. Guidorizzi, Hamilton L., Um Curso de C´alculo - Volume 4, 5ª ed., LTC

Editora, 2002.

37. Hairer, E. and Wanner, G., Analysis by Its History, UTM, Springer, 1991. 38. Hurwitz, A. and Courant, R., “Allgemeine Funktionentheorie und elliptis-che Funktionen”, Grundlehren der Mathematiselliptis-chen Wissenschaften 3, Springer-Verlag (4th ed. 1964), Berlin.

39. Jack, I. S., “Functions starlike and convex of order α”, Journal of the London Mathematical Society (2) 3 (1971), pp. 469-474.

40. Jahnke, Hans Niels, editor, A History of Analysis, History of Mathematics Vol 24, AMS and LMS, 2003.

41. Jensen, J. L. W. V., “Recherches sur la Th´eorie des ´Equations”, Acta Mathe-matica, Vol 36 (1912), pp. 181-195 .

42. Kakutani, S., and Nagamo, M., “About the functional equation n∑−1

ν=0

f(z + e(2νπ/n)i_ξ) = nf(z).”, Zenkoku Shijˆo Danwakai 66 (1935), pp. 10-12 (in japanese).

43. Knapp, Anthony W., Basic Real Analysis, Cornestones, Birkh¨auser, 2005. 44. Knopp, Konrad, Theory and Application of Infinite Series, reprint of the 2nd. English ed. 1951, Dover Publications Inc., 1990.

45. Kochol, M., “An Elementary Proof of The Fundamental Theorem of Alge-bra”, International Journal of Mathematical Education in Science and Techno-logy, 30 (1999), 614-615.

46. K¨orner, T. W., “On The Fundamental Theorem of Algebra”, The American Mathematical Monthly, Vol 113, No. 4 (April 2006), pp. 347-348.

(32)

48. Leland, K. O., “A polynomial approach to topological analysis”, Compositio Mathematica, tome 17 (1965), pp. 291-298.

49. Lima, E. L., Curso de An´alise, IMPA, CNPq, Rio de Janeiro, 1976.

50. Littlewood, J. E., “Mathematical notes (14): Every polynomial has a root”, Journal of The London Mathematical Society 16 (1941), pp. 95-98.

51. Narasimhan, Raghavan and Nievergelt, Yves, Complex Analysis in One Variable, 2nd ed., Birkh¨auser, 2001.

52. Neto, Alcides Lins, Fun¸c˜oes de Uma Vari´avel Complexa, IMPA, 2005. 53. Oliveira, O. R. B., “The Fundamental Theorem of Algebra: An Elementary and Direct Proof”, The Mathematical Intelligencer 33, No. 2, (2011), 1-2. DOI: 10.1007/s00283-011-9199-2.

54. Osserman, R., “ From Schwarz to Pick to Ahlfors and Beyond”, Notices of the AMS, Vol. 46, number 8 (1999), pp. 868-873.

55. P´olya, G. and Szeg¨o, G., Problems and Theorems in Analysis I, Classics in Mathematics, Reprint of the 1978 edition, Springer, 1991.

56. Porcelli, P. and Weiner, L. M., “A derivation of Cauchy’s Inequality for Polynomials”, Revista de Matematica y Fisica Teorica, vol 11 (1957), pp. 25-28. 57. Read, A. H., “Higher Derivatives of Analytic Functions from the Standpoint of Topological Analysis”, Journal of the London Mathematical Society 36 (1961), pp. 345-352.

58. Redheffer, R. M., “What! Another Note Just on the Fundamental Theorem of Algebra?”, The American Mathematical Monthly, Vol 71, No. 2. (Feb., 1964), pp.180-185.

60. Remmert, R., Theory of Complex Functions, GTM, v. 122., Springer, 1991. 61. Remmert, R., “The Fundamental Theorem of Algebra”, in H. -D. Eb-binghaus, et al., eds., Numbers, Graduate Texts in Mathematics, no. 123, Springer-Verlag, New York, 1991, Chapters 3 and 4.

62. Rudin, W., Princ´ıpios de Análise Matemática, Ao Livro Técnico e Editora Universidade de Bras´ılia, 1971.

63. Searc´oid, M. O., Elements of Abstract Analysis, Springer-Verlag, London 2003.

64. Simmons, George F., C´alculo com Geometria Anal´ıtica - Vol 2, Pearson Makron Books, 1988.

(33)

65. Shilov, G. E., Elementary Real and Complex Analysis, Dover Public. Inc., 1973.

66. Soares, Marcio G., Cálculo em uma variável complexa, Cole¸cão Matemática Universitária, IMPA, 4. ed., 2007.

67. Spiegel, M. R. and Lipschutz, S., and Schiller, J. J., and Spellman, D., Complex Variables, Schaum’s Outlines, McGraw-Hill, 2nd ed., 2009

68. Spivak, M., Calculus, 4th edition, Publish or Perish, Inc., 2008.

69. Stillwell, J., Mathematics and its History, Springer-Verlag, New York, 1989, pp. 266-275.

70. Vaggione, D., “On The Fundamental Theorem of Algebra”. Colloquium Mathematicum 73 No. 2 (1997), 193-194.

71. Walsh, J. L., “ A mean value theorem for polynomials and harmonic poly-nomials”, Bulletin of the American Mathematical Society Vol. 42 (1936), pp. 923-936.

72. Whyburn, G. T., “The Cauchy Inequality in Topological Analysis”, Procee-dings of the National Academy of Sciences 48 (1962), pp. 1335-1336.

73. Whyburn, G. T., Topological Analysis, Revised Ed., Princeton Unversity Press, 1964.