Modelagem Geométrica: Boundary Representation

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Modelagem Geométrica:

Boundary Representation

Gabriel Caixeta Silva

caixetasilva@hotmail.com

Prof. Dr. André Tavares da Silva

Prof. Dr. Marcelo da Silva Hounsell

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Introdução

● Modelagem Geométrica

● Representação

● Estrutura de dados ● Operadores de Euler

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Introdução |

Modelagem Geométrica

É a subárea do Processamento Gráfico que estuda a simulação de formas que definem objetos do mundo real (3D);

Busca modelar geometricamente modelos: ● Rígidos;

● Flexíveis;

● Manufaturados; ● Naturais;

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Representações

Construtiva

● Boundary Representation (B-Rep)

● Constructive Solid Geometry (CSG)

Por decomposição

● Uniforme

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Boundary Representation (B-rep)

● Representação por superfícies limítrofes ● Representação por superfícies limitantes ● Representação por Bordos

● Representação por Fronteira ● Representação por Faces

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Boundary Representation (B-rep)

Descreve completamente objetos sólidos como uma coleção

organizada de superfícies limitantes.

Uma superfície limitante separa pontos que são internos e

externos ao sólido.

C

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Boundary Representation (B-rep) model

Consiste em 2 tipos de informação: ● Geométrica:

○ A informação geométrica é utilizada para para definir a posição espacial, das curvas, superfícies e pontos.

● Topológico:

○ Informações topológicas permitem fazer ligações entre entidades

geométricas;

Possui dois tipos de entidades:

● Entidades geométricas: ponto, curva e superfícies. ● Entidades topológicas: vértice, aresta, face, volume;

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Boundary Representation (B-rep) model

As superfícies do sólido deve atender às seguintes condições: ● Fechadas;

● Orientáveis;

● Não auto-intersectantes; ● Todas conectadas;

● Todas limitantes do objeto;

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Faixa de Möbius Orientável?

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B-Reps

| TIPOS

Generalizados: superfícies suaves, arestas curvas

● Patches, “retalhos”; ● Flexíveis;

● Exatas;

Poliédricos: superfícies planares, arestas retas

● Simplificados; ● Eficientes;

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B-Reps

| Poliédricos

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B-Rep

| Poliédrico

É um B-rep simplificado que representa um poliedro:

● O objeto é limitado por superfícies planares poligonais; ● As faces são limitadas por arestas retas;

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B-Rep

| Poliédrico

Exemplos de Poliedros Simples Platônicos ou Regular

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Cada poliedro platônico tem um dual onde os vértice de um é o

centro da face de outro.

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Estruturas de Dados

É o modo de armazenar as informações geométricas e topológicas de um modelo.

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Estruturas de Dados

| Codificação Explícita

Codifica explicitamente os polígonos da superfície fornecendo uma lista de vértices com suas coordenadas

F1 = ((x1,y1,z1),(x5,y5,z5),(x2,y2,z2)) F2 = ((x3,y3,z3),(x2,y2,z2),(x5,y5,z5)) F3 = ((x3,y3,z3),(x4,y4,z4 ),(x5,y5,z5)) F4 = ((x1,y1,z1 ),(x4,y4,z4 ),(x5,y5,z5))

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Estruturas de Dados

| Codificação Explícita

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F1 = ((x1,y1,z1),(x5,y5,z5),(x2,y2,z2)) F2 = ((x3,y3,z3),(x2,y2,z2),(x5,y5,z5)) F3 = ((x3,y3,z3),(x4,y4,z4 ),(x5,y5,z5)) F4 = ((x1,y1,z1 ),(x4,y4,z4 ),(x5,y5,z5))

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Estruturas de Dados

| Codificação Explícita

Considerações:

● Vantagens

○ É extremamente simples

● Desvantagem:

○ Não considera que os vértices são compartilhados

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Estruturas de Dados

| Lista de Vértices

Definições:

● Geometria: há uma lista de vértice armazenados separadamente.

● Topologia: as faces listam os vértices que as compõe.

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Estruturas de Dados

| Lista de Vértices

Lista de vértice

V1 = (x1,y1,z1)

V2 = (x2,y2,z2)

V3 = (x3,y3,z3)

V4 = (x4,y4,z4)

V5 = (x5,y5,z5)

Lista de Faces

F1 = (V1,V5,V2)

F2 = (V3,V2,V5)

F3 = (V3,V4,V5)

F4 = (V1,V4,V5)

F5 = (V1,V2,V3,V4)

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Estruturas de Dados

| Lista de Vértices

Considerações:

● Proporciona maior economia de memória ● É um esquema simples e rápido.

● Achar adjacências é complicado

● As arestas são desenhadas duas vezes;

● Alterar as coordenadas de um vértice, todos os polígonos incidentes serão modificados.

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Estruturas de Dados

| Lista de Arestas

● Acrescentamos uma lista de arestas definida por pares de referências à lista de vértices.

● A lista de faces é definida por referências às arestas que as definem, descritas na lista de arestas.

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Estruturas de Dados

| Lista de Arestas

Para Melhorar pode-se acrescentar na lista de arestas informações sobre as faces adjacentes a uma aresta (em um número fixo de 2).

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Estruturas de Dados

| Lista de Arestas

Melhorada

Tem-se uma lista de arestas (sem repeti-las) que indicam os vértices que as compõem

Faces apontam para a lista de arestas e cada aresta inclui referência (de volta) para as duas faces que compartilham uma aresta (redundância)

Facilita entretanto, a determinação das duas faces incidentes na aresta

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Estruturas de Dados

| Winged-Edge (WE)

Uma estrutura de dados que armazenam mais informações topológicas;

Facilita a busca dos elementos relacionados; Facilita a validação topológica;

Armazena informação na estrutura associada às arestas com número pequeno de campos

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Estruturas de Dados

| Winged-Edge (WE)

Permite obter todos os 9 tipos de adjacência entre vértices, arestas e faces;

Permite determinar quais faces ou vértices estão adjacentes a aresta em tempo constante;

Atualizada com o uso de operadores de Euler;

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Estruturas de Dados

| Winged-Edge (WE)

Analisando a aresta a , ela é ligada pelos

vértices X e Y.

a aresta e os vértices incidem nas faces 1 e 2; A aresta a é utilizada duas vezes em direções diferentes.

Na face 1 a aresta predecessora e sucessora são respectivamente b e c,

Na face 2 a aresta predecessora e sucessora são respectivamente d e e,

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Estruturas de Dados

| Winged-Edge (WE)

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Estruturas de Dados

| Half-Edge (HE)

Um pouco mais sofisticada que a Winged-Edge

Em vez de armazenar as bordas da malha, armazenamos

meias-arestas.

Pode-se chamar as duas meias-arestas que compõem uma aresta de um “par”.

São direcionadas e as duas arestas de um par têm direções opostas

Permite todas as adjacências e outras requisições a serem feitas em tempo constante

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Estruturas de Dados

| Half-Edge (HE)

Os pontos amarelos são os vértices

da malha

As barras azuis claras são as Half-Edge.

As setas no diagrama representam ponteiros.

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Estruturas de Dados

| Half-Edge (HE)

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Validação de B-reps Poliédricos

Validação Geométrica:

● Os pontos não podem se repetir;

● Todos os pontos de uma face tem que estar no mesmo plano;

● Uma face pode ter uma limitação do número de vértices. Validação Topológica:

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Operadores de Euler

Permitem adicionar ou excluir, vértices, arestas ou faces para criar um novo poliedro.

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Operadores de Euler

| Euler-Poincaré

Formula: V -E + F - H = 2 (C - G) V = Vértices E = Arestas F = Faces

H = buracos nas faces (holes)

G = buracos que transpassam o objeto, face a face (Genus)

C = número de conjuntos disjuntos do objeto

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Operadores de Euler

| Holes

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Operadores de Euler

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Alguns Operadores e seus inversos: ● MEV (KEV): Make Edge and Vertex ● MEF (KEF): Make Edge and Face ● MEKR (KEMR): Make Edge, Kill Ring

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Operadores de Euler

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Operadores de Euler

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Operadores de Euler

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Modelagem Geométrica:

Boundary Representation

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