MECÂNICA DOS FLUIDOS
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS – PARTE 3
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Equações de Euler
Aplicando a Segunda lei de Newton do movimento enquanto ela atravessa uma linha de corrente em um escoamento em regime permanente
Coordenada s
• Na direção da linha de corrente
Coordenada n
• Normal a linha de corrente no sentido para o centro da curvatura
Aceleração tangencial (as): Mede a taxa de variação no tempo da
magnitude da velocidade
Aceleração centrípeta (an): Mede a taxa de variação no tempo na
direção da velocidade
=
ds dV V as
R V an
2 =
Equações de Euler
Considerações:
Fluido invíscido
Pressão no centro da partícula igual a P Peso:
Massa:
( s n x)
g V g
W= ∆ = ∆∆ ∆ ∆ ρ ρ
( s n x)
V
m= ∆ = ∆∆ ∆ ∆ ρ ρ
Na direção s
=mas F
(
)
(
)
ds dV V x n s sen x n s g x n s ds dp p x n s ds dp
p− ∆ ∆∆ − + ∆ ∆ ∆ −ρ ∆∆ ∆ θ=ρ∆∆ ∆ 2
2 ÷
ρ
∆s∆n∆x0 1
= +
+ θ
ρ ds gsen
dV V ds dp
ds dz
senθ=
dp
+
VdV
+
gdz
=
0
ρ
Equações de Euler
Considerações:
Fluido invíscido
Pressão no centro da partícula igual a P Peso:
Massa:
( s n x)
g V g
W= ∆ = ∆∆ ∆ ∆ ρ ρ
( s n x)
V
m= ∆ = ∆∆ ∆ ∆ ρ ρ
Na direção n
=man F
(
)
(
)
R V x n s x
n s g x s n dn dp p x s n dn dp p
2
cos 2
2 ∆∆ − ∆ ∆ ∆ = ∆∆ ∆
∆ + − ∆ ∆ ∆
− ρ θ ρ ÷∆s∆n∆x
R V g
dn
dp cos 2
ρ θ
ρ =
− −
dn dz
= θ
cos
R
V
dn
dz
g
dn
dp
ρ
2ρ
=
−
Escoamento horizontal em regime permanente em um
fluido perfeito
Qual a pressão nos pontos B e C, nos dois condutos horizontais retos, um aberto e outro fechado, onde um fluido perfeito escoa com velocidade constante, considerando a pressão em A igual a PA
O ponto A e B estão na mesma linha de corrente
VA= VB= V
dz= 0
0 = + +VdV gdz dp
ρ
=
+
+
V
V p
p
VdV
dp
B
A
0
0
1
ρ
p
A=
p
BEscoamento horizontal em regime permanente em um
fluido perfeito
Qual a pressão nos pontos B e C, nos dois condutos horizontais retos, um aberto e outro fechado, onde um fluido perfeito escoa com velocidade constante, considerando a pressão em A igual a PA
O ponto A e C estão em linhas de
corrente diferentes
∞
=
R
R
V
dn
dz
g
dn
dp
ρ
2ρ
=
−
−
0
=
−
−
dp
ρ
gdz
0
0
=
−
−
−h p
p
gdz
dp
C
A
ρ
p
C=
p
A+
ρ
gh
Equação de Bernoulli
Analisando o movimento de uma partícula ao longo da linha de corrente de um fluido perfeito e a partir das equações de Euler, podemos obter a equação de
Bernoulli.
0
=
+
+
VdV
gdz
dp
ρ
+
VdV
+
gdz
=
0
dp
ρ
constante
2
2
=
+
+
V
gz
p
ρ
2 2 2 2 1 2 1 1
2
2
gz
V
p
gz
V
p
+
+
=
+
+
ρ
ρ
constante
2
2
=
+
+
z
g
V
g
p
ρ
!
Equação de Bernoulli e a conservação de
energia
Imaginemos agora um elemento de fluido escoando no interior de um
duto.
Um elemento de fluido tem
energia potencial devido à altura z em relação a um referencial. E também tem
energia cinética devido à sua velocidade V
Restrições da Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli tem algumas restrições em sua
aplicabilidade:
Escoamento permanente.
Fluido incompressível (densidade constante)
Perdas de atrito desprezíveis.
A equação relaciona os estados entre dois pontos ao longo de uma mesma linha de corrente.
Todas estas condições são impossíveis de satisfazer em qualquer instante de tempo. Por sorte, para muitas situações reais onde as condições são aproximadamente satisfeitas, a equação dá bons resultados.
Restrições da Equação de Bernoulli
#
Ponto A
• Interface entre a tubulação principal e o tubo menor
Entre B e C
• Região com adição ou remoção de calor
Entre D e E
• Presença de Bomba ou turbina
Próximo à parede
• Dentro da camada limiteAplicações da Equação de Bernoulli
$ ! %
Se o reservatório é grande e o dreno pequeno então o movimento do fluido dentro do reservatório é muito lento, logo, na superfície VA = 0 (regime
permanente)
Para drenos de pequenos diâmetros, a diferença de elevação entre os pontos C e D é pequena, logo VC= VB= VD
B B B A A A
gz
V
p
gz
V
p
+
+
=
+
+
2
2
2 2
ρ
ρ
0
2
0
0
0
2
+
+
=
+
+
V
Bgh
V
B=
2
gh
Aplicações da Equação de Bernoulli
$ & !
A medida que o fluido contorna um
obstáculo liso, a energia do fluido é
transformada de uma forma para outra.
Considerando
a
linha
de
corrente
horizontal que cruza a frente da superfície
curva. A velocidade em B é zero
B B B A A A
gz
V
p
gz
V
p
+
+
=
+
+
2
2
2 2
ρ
ρ
2
2
A A
B
V
p
p
=
+
ρ
0
0
0
2
2
+
+
=
+
+
ρ
ρ
B A
A
V
p
p
Pressão de estagnação: Pressão total exercida pelo
Aplicações da Equação de Bernoulli
$
Além de utilizar um tubo de Pitot será necessário utilizar um
piezômetro
para determinar a velocidade de escoamento do fluido. O
piezômetro mede a pressão estática do fluido
B B B A A A
gz
V
p
gz
V
p
+
+
=
+
+
2
2
2 2
ρ
ρ
(
)
0
(
)
0
0
2
2+
+
+
+
=
+
+
+
ρ
ρ
ρ
ρ
g
h
d
V
Ag
h
d
l
gl
V
A=
2
Aplicações da Equação de Bernoulli
$
Pode-se utilizar apenas um tubo, mais elaborado, para medir a velocidade do escoamento em condutos fechados, é oTubo de Pitot estático.
O tubo de Pitot estático é constituído de dois tubos concêntricos. O interno mede a pressão de estagnação no ponto B (saída E) e o externo (através dos furos em D) mede a pressão estática em A (saída C)
B B B A A
A
V
gz
p
V
gz
p
+
+
=
+
+
2
2
2 2
ρ
ρ
0
0
0
2
2+
+
+
=
+
+
+
ρ
ρ
ρ
ρ
gh
V
p
gh
p
C A E(
E C)
A
p
p
V
=
−
ρ
2
pEe pCpodem ser obtidos através de manômetros
Aplicações da Equação de Bernoulli
O medidor de Venturi também pode ser utilizado para medir a
velocidade média ou a vazão de um fluido incompressível por um tubo. Consiste em um redutor, seguido por um tubo, ou garganta de Venturi, com diâmetro menor e depois volta-se para o diâmetro original.
2 2 2 2 1 2 1 1
2
2
gz
V
p
gz
V
p
+
+
=
+
+
ρ
ρ
2
1
Q
Q
=
0
2
0
2
2 2 2 2
1 1
+
+
=
+
+
V
p
V
p
ρ
ρ
=
4
4
2 2 2 2 1 1
d
V
d
V
π
π
(
)
(
1 2)
1 2 1
1
/
2
d
d
p
p
V
−
−
=
ρ
Equação de Bernoulli
$' (
) ! *
+, - . ) +,
- /0 1 2
-- /3 4 2 .
Equação de Bernoulli
$' 1
!
5
-5 6
. ) &! 5
- . 7 8
