348 REnCiMa, v. 11, n.4, p. 348-368, 2020 doi.org/10.26843/rencima eISSN: 2179-426X
UMA ANÁLISE DOS CONTEÚDOS CONCEITUAIS PRESENTES NO
ENSINO DE DERIVADAS
AN ANALYSIS OF THE CONCEPTUAL CONTENTS PRESENT IN THE TEACHING OF DERIVATIVES
José Roberto Damasceno da Silva Universidade Federal de Mato Grosso (UFMT)
Instituto de Ciências Exatas (ICET), Departamento de Matemática jrdamasceno@gmail.com
http://orcid.org/0000-0001-8050-3529
Resumo
O ensino de derivadas apresenta uma série de obstáculos que acabam por dificultar a sua efetiva aplicação nas aulas de Cálculo. Na maioria das vezes, os docentes priorizam o ensino apenas da definição de derivada, não levando em consideração a aplicação de estratégias que visam à mobilização da natureza procedimental e atitudinal dos conteúdos, excluindo as contribuições que esses fornecem para a formação integral dos aprendizes. Assim, esse trabalho evidencia uma análise dos conteúdos conceituais presentes no ensino de derivadas em três artigos do Bolema (Boletim de Educação Matemática), objetivando destacar as categorias procedimentais e atitudinais, além das conceituais, baseadas nos pressupostos de POZO e CRESPO (2009). Para tanto, os dados foram analisados qualitativamente, utilizando um procedimento de estudo de caso, com objetivo descritivo e natureza aplicada. A compreensão dessas categorias e de suas inter-relações podem tornar esse conteúdo mais concreto para sua efetiva aplicação nas aulas de Cálculo.
Palavras-chaves: Conteúdos conceituais, procedimentais, atitudinais. Derivadas.
Abstract
The teaching of derivatives presents a series of obstacles that end up hampering its effective application in Calculus classes. In most cases, teachers prioritize teaching only the definition of a derivative, not taking into account the application of strategies aimed at mobilizing the procedural and
349 REnCiMa, v. 11, n.4, p. 348-368, 2020 attitudinal nature of content, excluding the contributions they provide for the integral training of apprentices. Thus, this work evidences an analysis of the conceptual contents present in the teaching of derivatives in three articles of the Bolema (Mathematical Education Bulletin), aiming to highlight the procedural and attitudinal categories, as well as conceptual ones, based on the assumptions of POZO and CRESPO (2009). For that, the data were analyzed qualitatively, using a case study procedure, with a descriptive objective and applied nature. Understanding these categories and their interrelationships can make this content more concrete for effective application in Calculus classes.
Key-words: Conceptual, procedural, attitudinal contents. Derivatives.
Introdução
Há um bom tempo um estudo sobre novas modalidades de currículos vem sendo desenvolvido. A base desse estudo é uma diferenciação entre o ensino de conteúdos conceituais, conteúdos procedimentais e conteúdos atitudinais, ao mesmo tempo em que se tenta mostrar que os três estão interligados. Quando um professor tenta ensinar qualquer conceito, na verdade, ele está tentando ensinar vários procedimentos para que o aluno apreenda aquele conceito e, simultaneamente, tome atitudes de buscar aplicar esse conceito estudado em várias situações. Uma tendência mundial na educação é a busca de um ensino e de uma aprendizagem focada no desenvolvimento de competências e habilidades por parte dos alunos, não mais centrando o ensino e a aprendizagem em conceitos isolados da realidade. Nesse sentido uma série de documentos oficiais que tratam de diferentes níveis de ensino, tais como as diretrizes curriculares nacionais e os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), dentre outros, estão se alinhando a essa tendência mundial. Muito além de um simples planejamento anual das atividades que serão desenvolvidas pelos professores, através de planos de ensino que elenquem objetivos de ensino, tais como: ensinar a descrever, analisar, comparar, classificar, discutir, julgar, opinar, fazer diagnósticos, analogias e generalizações, dentre outros, essas ações devem estar vinculadas de forma efetiva aos conteúdos a serem ensinados. Senão o desenvolvimento de competências e habilidades ficará reduzido a uma simples e equivocada noção de que um conteúdo está sendo ensinado. Isto vai muito além de uma simples listagem de verbos num planejamento de ensino. Outro desafio nesse estudo é verificar se conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais só fazem sentido no âmbito do ensino e aprendizagem das ciências experimentais. Busca-se observar se estes conteúdos também se aplicam ao ensino e aprendizagem de uma ciência formal, axiomática, como a matemática. Nesse estudo, procura-se mostrar que os conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais ocorrem em qualquer atividade de ensino e aprendizagem, independentemente dos referenciais adotados.
350 REnCiMa, v. 11, n.4, p. 348-368, 2020 Conteúdos curriculares
Conteúdos atitudinais
Quando se fala em algum tipo de conteúdo, já se pensa em algo que se pode avaliar através de uma simples prova tradicional, que se possa ensinar através da transmissão de informações num quadro negro. Portanto, para um professor, não é uma tarefa simples compreender o que significa ensinar atitudes para um corpo de alunos. Não obstante seja esse o maior desejo de um professor, pois ensinar qualquer conteúdo científico não chega a ser problema para um profissional que foi formado para isso. A questão é ensinar atitudes para que esse aluno se interesse pelos conteúdos das ciências que se deseja ensiná-lo, principalmente, sabendo-se que esse aluno já traz consigo atitudes adquiridas fora do ambiente escolar e que estão muito arraigadas em sua personalidade. Trabalhar um conteúdo atitudinal significa estar atento ao uso de verbos, tais como: comportar-se, respeitar, tolerar, apreciar, ponderar, aceitar, praticar, ser consciente de, reagir a, conformar-se com, agir, conhecer, perceber, estar sensibilizado, sentir, prestar atenção a, interpor-se por, obedecer, inclinar-se, preocupar com, deleitar-se com, recrear-se com, preferir, etc. Aprender um conteúdo atitudinal significa assimilar normas que façam com que o aprendiz obtenha uma mudança de atitude de forma permanente que se contrapõe a mudanças de atitudes por imposição. A modelagem é uma técnica bastante eficiente para se ensinar atitudes, pois ao contrário das premiações e penalizações impostas na busca de atitudes desejadas, a modelagem faz com que atitudes sejam assimiladas de forma implícita, ficando em conformidade com esse tipo de conteúdo. Precisa ficar claro que não é qualquer modelo que irá ser seguido, pois há uma necessidade do aprendiz de se identificar com aquele determinado modelo. Os componentes comportamental, afetivo e cognitivo devem estar em certo equilíbrio para que a mudança de atitude seja duradoura e transferível, devendo-se considerar o uso de conflito como uma condição necessária para causar mudanças de atitudes.
Em POZO e CRESPO (2009, p. 38) pode-se diferenciar, em função de seu objeto, três tipos de atitudes que devem ser promovidas entre os alunos com o ensino de ciências, são eles: atitudes com respeito à ciência, atitudes com respeito à aprendizagem da ciência e com respeito às implicações sociais da ciência. Nas atitudes com respeito à ciência, destacam-se o interesse por aprendê-la, que pode ser através da motivação intrínseca ou extrínseca, e as atitudes específicas (conteúdos), que podem ser através do gosto pelo rigor e precisão no trabalho, através do respeito pelo meio ambiente, através da sensibilidade pela ordem e limpeza do material de trabalho e através da atitude crítica frente aos problemas apresentados pelo desenvolvimento da ciência. Nas atitudes com respeito à aprendizagem da ciência, destacam-se as relacionadas com o aprendizado, que podem ser através de um enfoque superficial (repetitivo) ou de um enfoque profundo (busca de significado); as relacionadas com o autoconceito, que podem ser através de conduta intelectual ou social; as relacionadas com os colegas, que podem ser de forma
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cooperativa em oposição à competitiva e de solidariedade em oposição ao individualismo; e as relacionadas com o professor através de modelo de atitudes.
Goya, Bzuneck e Guimarães (2008, apud Maieski, Oliveira e Bzuneck, 2013, p. 55) destacam que a motivação atualmente é um dos problemas enfrentados no campo educacional e, segundo Tapia e Fita (2006, p. 7), uma queixa presente na maioria dos encontros de professores é: “Os alunos não têm interesse em aprender o que queremos ensinar”. Essas afirmações ajudam-nos a perceber o quão difícil é, para o professor, a tarefa de motivar o aluno, qualquer que seja a área do conhecimento. Principalmente, quando esse aluno está imerso num sistema educacional que não favorece o seu desenvolvimento. Numa sociedade em que os valores morais e éticos estejam invertidos. Sem um ensino de qualidade, sem políticas de valorização do professor, sem resultados de pesquisas, efetivamente aplicáveis às salas de aula, a tarefa de motivação dos alunos por parte dos professores é bastante inglória. Na área das ciências exatas o problema torna-se ainda mais grave, pois um número expressivo de professores não possui uma formação adequada de educador, são em sua maioria bacharéis preocupados em transmitir técnicas, sem o menor conhecimento e interesse nas várias dimensões envolvidas no meio escolar. Resta apostar nos interesses individuais de cada profissional em buscar formas de ensino eficientes através de didáticas inovadoras, atrativas e jogos de linguagem adequados para a realidade de suas classes de aula. Como exemplo de iniciativa, podemos citar RIBEIRO, GENOVESE e COLHERINHAS (2016, p. 47), que quando em suas propostas de atividades na pesquisa, procuravam fazer com que os alunos também construíssem e/ou reforçassem os conteúdos atitudinais e não somente procedimentais e conceituais ao longo das atividades de ensino e aprendizagem. Para isso, dominar o significado dos conteúdos atitudinais, procedimentais e conceituais e suas inter-relações pode contribuir muito para o aprimoramento de sequências didáticas eficientes.
Conteúdos procedimentais
Quando se deseja ensinar qualquer conceito nas ciências, em geral, ou nas ciências naturais, em particular, é necessário lançar mão de diversos procedimentos para se alcançar a compreensão desse conceito por parte do aluno. Não está se ensinando, de fato, um conceito, mas sim diversos procedimentos para que o aprendiz realmente assimile o conceito e, com isto, tenha total possibilidade de aplicar o conceito aprendido em diversas situações de seu cotidiano. Por outro lado, deve-se deixar claro que não há sentido em ensinar um procedimento se, este, não estiver vinculado a um conceito. Trabalhar um conteúdo procedimental significa estar atento ao uso de verbos, tais como: manejar, confeccionar, utilizar, construir, aplicar, coletar, representar, observar, experimentar, testar, elaborar, simular, demonstrar, planejar, executar, compor, ler, desenhar, calcular, classificar, traduzir, recortar, saltar, inferir, esperar, etc, pois esses verbos indicam ações que estão relacionadas a procedimentos que serão executados para a aplicação do conceito que estar sendo estudado e, desta forma, buscar garantir a compreensão desse conceito. A atenção a eles é devida à necessidade de se distinguir imediatamente que se trata de um conteúdo
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procedimental, evitando, assim, equívocos em relação aos conteúdos conceituais e atitudinais.
Quanto a natureza dos procedimentos como conteúdo de aprendizagem, deve-se deixar claro que devido às suas particularidades não se pode ensiná-lo como se fosse um conhecimento declarativo. Segundo ANDERSON (1983 apud POZO; CRESPO, 2009, p. 48), existem diferenças entre conhecimento declarativo e conhecimento procedimental a partir da distinção entre saber dizer e saber fazer. O conhecimento declarativo consiste em “saber o que”, enquanto o conhecimento procedimental consiste em “saber como”; o conhecimento declarativo é “fácil de verbalizar”, enquanto o procedimental é “difícil de verbalizar”; o conhecimento declarativo se possui “tudo ou nada”, enquanto o conhecimento procedimental se possui “em parte”; o conhecimento declarativo se adquire “de uma vez” por exposição (ensino receptivo), enquanto o conhecimento procedimental se adquire “gradualmente” por prática/exercício (ensino por descoberta) e, finalmente, o conhecimento declarativo tem processamento “essencialmente controlado”, enquanto o conhecimento procedimental tem processamento “essencialmente automático”. Esses conhecimentos podem não estar relacionados um com o outro, mas, neste texto, serão levados em conta apenas aqueles que tenham relações entre si. Pois o foco são os conceitos, procedimentos e atitudes referentes ao meio escolar, através de sequências didáticas.
Na aprendizagem de procedimentos há de se considerar as diferenças entre técnicas e estratégias, além dos elementos componentes de uma estratégia. Inicialmente, deve-se observar que as estratégias são compostas por técnicas e, dessa forma, o uso eficiente de uma determinada estratégia está, intimamente, relacionado com o domínio de um conjunto de técnicas. Mas o uso de uma estratégia também necessitará de outros componentes cognitivos para poder exercer controle de seu desenvolvimento, tal como, um
metaconhecimento, que será necessário para escolher e planejar procedimentos mais
eficazes, controlar sua execução e avaliá-lo. Além do metaconhecimento, estratégias de apoio, conhecimentos conceituais específicos, técnicas, habilidades e algoritmos devem ser levados em consideração para obter-se uma estratégia eficiente. Por isso, planejar boas estratégias de ensino poderá fazer diferença significativa na motivação e, consequentemente, na aprendizagem dos alunos. Uma boa dica de estratégia é propor problemas motivadores, que tenham significância para a realidade do aluno, ao invés de propor inúmeros exercícios repetitivos que só servirão para acentuar o desinteresse por parte dele.
Cada tipo de conteúdo curricular apresenta um tratamento apropriado às suas características. Nos conteúdos atitudinais, atitudes, normas e valores são obtidos através de processos apropriados a eles, onde a modelagem, a influência social e o conflito sociocognitivo são fundamentais. Já nos conteúdos procedimentais, as técnicas e estratégias dependem de planejamento de atividades de ensino e aprendizagem apropriados a eles. Na realidade o que ocorre é uma evolução dentro do treinamento procedimental que vai da técnica à estratégia, que POZO e CRESPO (2009, p. 54) apresentam através do quadro abaixo:
353 REnCiMa, v. 11, n.4, p. 348-368, 2020 Tabela 1 – Fases no treinamento procedimental: da técnica à estratégia
Treinamento Fase Consiste em
Técnico Declarativa ou de instrução Proporcionar instruções detalhadas da sequência de ações que deve ser realizada
Automatização ou consolidação
Proporcionar a prática repetitiva necessária para que o aluno automatize a sequência de ações que deve realizar, supervisionando sua execução
Estratégico Generalização ou transferência do conhecimento
Colocar o aluno para enfrentar situações cada vez mais novas e abertas, de maneira que ele seja obrigado a tomar cada vez mais decisões
Transferência do controle Promover no aluno a autonomia no planejamento, na supervisão e na avaliação da aplicação de seus procedimentos
Mas para se dominar os conteúdos procedimentais não basta seguir fases do treinamento procedimental na evolução da técnica à estratégia. É necessário utilizar critérios que estruturem os procedimentos que darão suporte ao aprendizado das ciências, para que o ensino dos conteúdos procedimentais não exerça um papel coadjuvante em relação aos conteúdos conceituais. POZO e POSTIGO (1994 apud POZO; CRESPO, 2009, p. 59) apresentam uma classificação dos conteúdos procedimentais. Segundo esses autores os conteúdos procedimentais podem ser de “aquisição da informação”, através da observação, da seleção de informação, da busca e captação da informação e da revisão e memorização da informação; de “interpretação da informação”, através da decodificação ou tradução da informação e do uso de modelos para interpretar situações; de “análise da informação e realização de inferências”, através da análise e comparação da informação, das estratégias de raciocínio e das atividades de investigação ou solução de problemas; de “compreensão e organização conceitual da informação”, através da compreensão do discurso (escrito/oral), do estabelecimento de relações conceituais e da organização conceitual e, finalmente, de “comunicação da informação”, através da expressão oral, da expressão escrita e dos outros tipos de expressão. Mesmo com toda essa classificação e com as fases de treinamento dos conteúdos procedimentais, não se pode perder o foco da proposta de problemas bem elaborados, para o ensino das ciências, para que eles não se tornem simples exercícios de repetição. Proposta de trabalho como a de GOMES, BATISTA e FUSINATO (2017, p. 120), que planejaram uma atividade experimental com o objetivo de permitir ao aluno manusear diferentes materiais, seguir procedimentos, discutir no grupo as hipóteses levantadas e
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consequentemente os resultados obtidos. Tal atividade favorecia os conteúdos procedimentais, além dos conceituais e dos atitudinais.
Conteúdos conceituais
Não se pode esquecer que toda a informação apresentada sobre os conteúdos procedimentais não tem sentido se conteúdos conceituais não estiverem envolvidos e vice-versa. Trabalhar um conteúdo conceitual significa estar atento ao uso de verbos, tais como: identificar, reconhecer, classificar, descrever, comparar, conhecer, explicar, relacionar, situar, lembrar, analisar, inferir, generalizar, comentar, interpretar, tirar conclusão, esboçar, indicar, enumerar, esboçar, assinalar, resumir, distinguir, aplicar, etc. Os conteúdos conceituais podem ser divididos em três tipos: dados ou fatos, conceitos específicos e princípios ou conteúdos estruturais, que estão relacionados entre si. Pois os dados ou fatos para serem compreendidos necessitam fazer uso de conceitos específicos que, por sua vez, dão sentido ou significado aos dados ou fatos que, em contrapartida, ajudam a assimilar os conceitos específicos. Por outro lado, os princípios ou conceitos estruturais estabelecem relações entre os conceitos específicos e são necessários para compreendê-los que, em contrapartida, permitem acesso a esses princípios ou conceitos estruturais. Os dados ou fatos devem ser relacionados a uma rede de significados, enquanto os princípios ou conceitos estruturais estruturam essa rede de significados que, por sua vez, é formada por conceitos específicos. O uso de dados ou fatos não requer compreensão, enquanto o uso de princípios ou conceitos estruturais exige plena compreensão. Os dados ou fatos estão presentes em pontos específicos do currículo, enquanto a compreensão/assimilação ou construção dos princípios ou conceitos estruturais deve ser o objetivo do currículo. Em relação aos dados ou fatos, seu conhecimento, puro e simples, permite apenas utilizá-lo ou fazer previsões, eles são informações que afirmam ou declaram algo sobre o mundo, podem ser aprendidos tanto na escola, quanto no próprio mundo e seu conhecimento é necessário para aprender ciência. Já os princípios ou conceitos estruturais são conceitos muito gerais, atravessam todo o conteúdo da disciplina, apresentam grande nível de abstração, podem não ser suficientemente explícito e são implícitos à organização conceitual da área, que, em geral, não é tão explícita. A rede de significados relacionada aos conteúdos conceituais deve estar em concordância com o conhecimento científico e deve ser compartilhada entre alunos e professores. Cabe observar que a estrutura cognitiva individual também pode ser considerada como uma rede de significados. Segundo POZO (1992), pretender que os alunos aprendam a ciência como um conjunto de dados ou como um sistema de conceitos implica formas completamente diferentes de orientar o ensino dela e, por conseguinte, atividades de ensino, aprendizagem e avaliação também completamente diferentes.
Quanto à aprendizagem significativa, deve-se considerar as diferenças entre fatos e conceitos como conteúdos de aprendizagem. O que ocorre na maioria das aulas é um esforço por parte dos professores em ensinar conceitos específicos como se ensina dados ou fatos, o que prejudica decisivamente uma aprendizagem significativa. Para POZO (1992 apud POZO; CRESPO, 2009, p. 83), o fato consiste em uma cópia literal, enquanto o conceito
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consiste em uma relação com conhecimentos anteriores; o fato é aprendido por revisão (repetição), enquanto o conceito é aprendido por compreensão (significado); o fato é adquirido de uma vez, enquanto o conceito é adquirido gradualmente; o fato é esquecido rapidamente sem revisão, enquanto o conceito é esquecido lenta e gradualmente. Essas diferenças implicam em formas de avaliar fatos e conceitos de maneiras totalmente distintas. Enquanto o fato é avaliado em termos de respostas corretas ou incorretas, que não admitem graus intermediários, o conceito pode ser avaliado através de critérios abertos ou flexíveis. Para ajudar o professor a diferenciar entre fatos e conceitos durante o processo de avaliação, POZO (1992 apud POZO; CRESPO, 2009, p. 84) apresenta alguns critérios:
Evitar perguntas e tarefas que permitam respostas reprodutivas (diretas), ou seja,
evitar que a resposta “correta” apareça literalmente incluída nos materiais e atividades de aprendizagem.
Na avaliação, procurar situações e tarefas novas, pelo menos em algum aspecto,
exigindo do aluno que generalize seus conhecimentos para uma nova situação.
Avaliar no começo das sessões ou dos blocos temáticos os conhecimentos prévios
dos alunos, ativando suas ideias e trabalhando a partir delas.
Valorizar as ideias pessoais dos alunos, promovendo o uso espontâneo de sua
ter-minologia, treinando-os em parafrasear ou explicar as coisas com suas próprias palavras.
Valorizar as interpretações e conceituações dos alunos que se afastam ou desviam
da ideia aceita. Esta valorização deve ser feita não apenas antes, mas também depois da instrução.
Utilizar técnicas “indiretas” (classificação, resolução de problemas, etc.) que tornem inútil a repetição literal e acostumar os alunos a que se aventurem a usar seu conhecimento para resolver enigmas, problemas e dúvidas, em vez de encontrar a solução fora deles mesmos (no professor, no livro, etc.).
Todos esses critérios contribuem para uma aprendizagem significativa e para que essa aprendizagem ocorra, deve-se cumprir certas condições para que ocorra a compreensão. De acordo com AUSUBEL, NOVAK e HANESIAN (1978 apud POZO; CRESPO, 2009, p. 85) o esquema abaixo apresenta os requisitos necessários para que isso ocorra:
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Figura 1 – Condições ou requisitos para que ocorra uma aprendizagem construtiva. Ausubel, Novak e Hanesian, 1978.
Segundo PFUNDT e DUIT (1994 apud POZO; CRESPO, 2009, p. 88), há um número enorme de estudos que apontam a existência e permanência de concepções alternativas (sejam de origem sensorial, como as concepções espontâneas; de origem cultural, como as representações sociais ou de origem escolar, como as concepções analógicas) em relação à ciência, por parte dos alunos, que são o principal problema para a compreensão dos conteúdos conceituais. O que demonstra que esses alunos não possuem conteúdos conceituais adequados. Essas concepções alternativas acabam por formar o conhecimento intuitivo ou cotidiano dos alunos.
Existem diversas posturas ou teorias sobre as diferenças entre o co-nhecimento cotidiano e o científico (por exemplo, Claxton, 1984; Chi, 1992; Pozo e Carretero, 1987; Pozo et al., 1991; 1992; Rodrigo, 1997, Rodrigo e Correa, 1999; Vosniadou, 1994a), das quais podemos extrair três grandes diferenças nos princípios subjacentes às teorias intuitivas e científicas, que seria preciso modificar para conseguir uma compreensão destas últimas. O conhecimento intuitivo ou cotidiano apoia-se em supostos epistemológicos, ontológicos e conceituais radicalmente diferentes dos que são subjacentes às teorias científicas. (POZO; CRESPO, 2009, p. 100)
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O papel do professor é fazer com que as mudanças conceituais ocorram na mente do aluno de maneira gradativa, respeitando os conhecimentos intuitivos ou cotidianos dos alunos, já que estes conhecimentos não foram adquiridos de maneira instantânea ou do nada, até se alcançar a compreensão dos conhecimentos científicos. Para isto, é necessário que o professor reconheça em que dimensão o conhecimento intuitivo do aluno se encontra, ou seja, se este conhecimento está ancorado nos princípios epistemológicos, ontológicos ou conceituais e, promova essa mudança de acordo com a proposta de POZO e CRESPO (2009, p. 111) , conforme mostrada no quadro a seguir:
Tabela 2 – Três dimensões de mudança na aprendizagem da ciência
Princípios epistemológicos
Realismo ingênuo Realismo interpretativo Construtivismo A realidade é tal como a vemos.
O que não se percebe não se concebe.
A realidade existe e tem suas propriedades, mesmo que nem sempre possamos conhecê-la diretamente; contudo, por meio da ciência e da técnica podemos saber como ela realmente é.
O conhecimento científico é uma construção que nos proporciona modelos alternativos para interpretar a realidade, mas que não são parte dela.
Princípios ontológicos
Estados Processos Sistemas
Interpretação do mundo em termos de estados da matéria desconexos entre si.
Os fenômenos são interpretados como uma sucessão de fatos relacionados entre si por meio de certos processos.
Os fenômenos são interpretados a partir do conjunto de relações complexas que fazem parte de um sistema.
Princípios conceituais
Fatos ou dados Causalidade linear
(de simples para múltiplo) Interação
Os fenômenos e fatos são descritos em função das propriedades e mudanças observáveis.
Os fenômenos são explicados mediante relações causais simples que evoluem para diferentes graus de complexidade.
As propriedades dos corpos e os fenômenos são interpretados como um sistema de relações de interação.
Mudança sem conservação Mudança com conservação Conservação e equilíbrio Somente muda aquilo que
vemos que se altera. Há necessidade de explicar o que
Aceita-se a conservação de propriedades não observáveis, mas não o equilíbrio.
Os diferentes fenômenos são interpretados em termos de interação, o que leva à
358 REnCiMa, v. 11, n.4, p. 348-368, 2020 muda, mas não o que
permanece.
conservação e ao equilíbrio.
Relações qualitativas Regras heurísticas Relações quantitativas Os fenômenos são interpretados
de maneira qualitativa.
Utilização de regras simplificadoras.
Proporção, probabilidade, correlação.
Os conceitos apresentados neste capítulo serão a referência para a análise dos artigos publicados no Bolema sobre o ensino e a aprendizagem do conceito de derivada.
Materiais e método
Os materiais utilizados neste trabalho foram os artigos “Algunos Indicadores del Desarrollo del Esquema de Derivada de una Función” de SÁNCHEZ-MATAMOROS, GARCÍA e LLINARES (2013), “Análisis según el Modelo Cognitivo APOS* del Aprendizaje Construido del Concepto de la Derivada” de URQUIETA, YAÑEZ e ANDRADE (2014) e “Una Introducción a la Derivada desde la Variación y el Cambio: resultados de una investigación con estudiantes de primer año de la universidad” de VRANCKEN e ENGLER (2014), publicados no Bolema, que foram analisados qualitativamente, pois baseou-se na percepção do pesquisador quanto a presença de elementos conceituais nos textos analisados; utilizando um procedimento de estudo de caso, pois foram separados dentre todos os artigos publicados pela revista Bolema, até o período de início dessa pesquisa, aqueles artigos que contemplavam o ensino do conceito de derivadas; com objetivo descritivo, pois busca destacar as categorias procedimentais e atitudinais, além das conceituais; e natureza aplicada, pois utilizou-se, como base, os pressupostos de POZO e CRESPO (2009), conforme foram apresentados nas seções anteriores. Tentou-se responder questões do tipo:
O artigo apresenta (explícita ou implicitamente) uma definição para uma
moda-lidade de conteúdo curricular (conteúdos conceituais, conteúdos procedimentais ou conteúdos atitudinais)?
Quais são os referenciais teóricos relevantes para a compreensão do artigo em
discussão?
O artigo expõe um objeto de ensino? Explicita ou implicitamente?
Considerando a modalidade de conteúdo curricular, qual foi (ou quais foram) a
dimensão prioritariamente exposta na introdução do artigo: (i) estudos sobre a definição de tal modalidade?; (ii) estudos sobre o ensino de tal modalidade?; (iii) estudos sobre a avaliação de tal modalidade?
O artigo sob análise apresentou (explícita ou implicitamente) as perguntas de pesquisa
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Qual foi (quais foram) o objetivo do artigo sob análise?
Trata-se de um objetivo original considerando as referências bibliográficas
mencio-nadas na seção de introdução do artigo sob análise ou trata-se de uma replicação considerando o conteúdo da introdução de tal artigo?
O artigo sob análise descreve uma investigação pautada em metodologia qualitativa
ou quantitativa?
Quais são os participantes e o contexto (ambiente físico e social) no qual o estudo
relatado foi realizado?
Quais os principais materiais realizados na execução do estudo?
Qual o procedimento adotado na construção do corpo empírico do estudo?
Em que extensão o procedimento adotado mostra-se compatível e/ou consistente com
procedimentos de ensino e/ou de avaliação da modalidade de conteúdo curricular em contextos aplicados (p.ex., em sala de aula)?
Quais foram as principais medidas (evidências) de aprendizagem da modalidade de
conteúdo curricular?
Em que extensão os principais resultados responderam as questões de pesquisa
(explícitas ou implícitas) que justificaram a realização do estudo?
Em que extensão o objetivo do estudo foi obtido? Quais são as evidências (resultados)
que se mostram consistentes com a obtenção do objetivo do estudo? Existem restrições na obtenção do objetivo?
Discussão
O artigo: “Algunos Indicadores del Desarrollo del Esquema de Derivada de una Función”.
Esse artigo apresenta de maneira implícita uma preocupação com conteúdos conceituais e conteúdos procedimentais, numa dimensão de estudos sobre o ensino de ambos, pois propõe apresentar indicadores de desenvolvimento do esquema de derivada de uma função, entendendo como esquema, segundo PIAGET e INHELDER (1978 apud SÁNCHEZ-MATAMOROS; GARCÍA; LLINARES, 2013, p. 20), a estrutura ou a organização de ações, tais como se transferem ou se generalizam como consequência da repetição de uma determinada ação em circunstâncias iguais ou análogas. O referencial teórico utilizado pelos autores são os níveis intra, inter e trans operacional de desenvolvimento de um esquema proposto por Piaget e García para caracterizar o uso flexível que os alunos fazem da equivalência lógica entre diferentes elementos matemáticos quando resolvem um
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problema, como um indicador do desenvolvimento do esquema de derivada. Portanto, a base teórica utilizada neste estudo é um mecanismo denominado abstração reflexiva.
O artigo expõe de maneira explícita que o objeto de ensino é a identificação de indicadores do desenvolvimento do esquema de derivada de uma função. A referência sob análise apresentou implicitamente a pergunta de pesquisa: As relações entre os elementos matemáticos que os alunos são capazes de estabelecer durante a resolução de um problema podem ser consideradas as coordenações de operações no sentido piagetiano, que apoiam a reestruturação do conhecimento? Esta pergunta justificou a execução do estudo, cujo objetivo foi a identificação das relações lógicas estabelecidas entre os elementos matemáticos que os alunos usam quando resolvem um problema para caracterizar o processo de desenvolvimento do esquema de derivada. Não se trata de um objetivo original considerando as referências bibliográficas mencionadas na seção de introdução do artigo, mas, sim, de uma replicação considerando o conteúdo da introdução do artigo.
Tratou-se de uma pesquisa qualitativa, onde participaram 150 alunos de 16 a 19 anos, sendo 50 alunos do primeiro ano do ensino médio de 16 a 17 anos, 50 alunos do segundo ano do ensino médio de 17 a 18 anos e 50 alunos do primeiro ano do bacharelado em Matemática de 18 a 19 anos. Não foi citado em que ambiente físico e social foi realizada essa pesquisa.
Para a coleta de dados foram utilizados três questionários do tipo lápis e papel e uma entrevista individual que teve lugar após a resolução dos problemas, e foi feita tendo em conta as respostas dadas. Para a construção do corpo empírico do estudo seguiu-se duas etapas:
Na primeira etapa foi feita a descrição do esquema de Derivada. Esta etapa tinha
como objetivo identificar os elementos matemáticos e as relações lógicas (transformações e coordenações no sentido piagetiano) que podem ocorrer durante a resolução de problemas. Para fazer esta descrição considerou-se como os elementos matemáticos eram introduzidos, usados e justificados em alguns livros-texto escolares do ensino médio e alguns livros de Cálculo utilizados no primeiro ano do Bacharelado de Matemática.
Na segunda etapa foi feita a seleção dos problemas. Foram construídos 12
problemas com diferentes níveis de exigência cognitiva entendida como o número e tipo de relações que se podiam estabelecer durante sua resolução considerando a descrição anterior. Com estes 12 problemas construiu-se três questionários para os três níveis de alunos.
Este procedimento mostra-se compatível com o ensino de conteúdos conceituais e procedimentais quando os pesquisadores apontam que tais procedimentos permitem identificar elementos matemáticos de diferentes naturezas, também ajuda a identificar o tipo de relação que era possível estabelecer entre os elementos matemáticos, no sentido de coordenação piagetiana durante a resolução de um problema. Esta coordenação foi entendida como uma relação lógica entre os elementos que os alunos geram para obter
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informação, que pode ser necessária para a resolução do problema. Através dessa relação lógica os alunos serão capazes de inferir sobre outro conceito. Com a elaboração dos problemas adequados, os alunos iriam analisar gráficos de funções, relacionar conceitos e sintetizar modos de representação. Todas essas indicações da presença de conteúdos conceituais e procedimentais estavam presentes no planejamento das atividades propostas pelos pesquisadores.
O processo de análise dos dados ocorreu em duas fases:
Na primeira fase foram analisadas as respostas de cada aluno a cada uma das tarefas
do questionário de forma isolada. Isto permitiu identificar os elementos matemáticos e suas relações, que cada aluno usava ao resolver cada uma das tarefas. Desta análise fez-se uma primeira inferência sobre o que poderia ser uma evidência do nível de desenvolvimento do esquema para cada aluno.
Na segunda fase analisou-se como cada aluno resolvia todas as tarefas do
questionário. Esta fase permitiu caracterizar e validar os descritores dos níveis de desenvolvimento do esquema de derivada gerados previamente, considerando a natureza das relações que os estudantes estabeleciam entre os elementos matemáticos durante a resolução da tarefa, e identificar inconsistências pela forma como as tarefas eram resolvidas. Esta maneira de proceder permitiu gerar características que definem a transição entre os níveis de desenvolvimento intra, inter e trans operacional.
As principais evidências de aprendizagem de conteúdos conceituais e procedimentais ocorrem quando os pesquisadores expõem os resultados das tarefas e entrevistas realizadas pelos alunos José e Juan, nomes fictícios, onde Juan é considerado no nível trans do desenvolvimento do esquema de derivada e José no nível inter. O processo de construção de um elemento matemático constituído por uma equivalência lógica se manifesta através da utilização flexível de Juan, quando ele realiza a bidirecionalidade das implicações lógicas. Neste instante, ele está fazendo a transição entre os níveis inter e trans operacional, ao mesmo tempo em que se utiliza de conteúdos procedimentais para tal ação. Os resultados apresentados, neste estudo, responderam de maneira satisfatória à questão de pesquisa, justificando assim sua realização e apontando que os dados obtidos apoiam a ideia de que a construção do conhecimento é progressiva.
O artigo: “Análisis según el Modelo Cognitivo APOS* del Aprendizaje Construido del Concepto de la Derivada”.
Esse artigo, também, apresenta de maneira implícita uma preocupação com conteúdos conceituais e conteúdos procedimentais, numa dimensão de estudos sobre o ensino de ambos, pois propõe investigar que processos cognitivos se produzem ao relacionar o conceito de função derivada com outros conceitos, além de investigar qual é o nível de aprendizagem construída pelos alunos da amostra da pesquisa. O referencial teórico utilizado pelos autores é o modelo cognitivo APOS (Action-Process-Object-Scheme) de Ed
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Dubinsky para analisar o desenvolvimento da compreensão. Este modelo surge como uma tentativa de compreender o mecanismo da abstração reflexiva, também citada no artigo anterior.
O artigo expõe de maneira explícita que o objeto de ensino é a análise da aprendizagem construída pelos alunos. A referência sob análise apresentou explicitamente as perguntas de pesquisa:
Que processos cognitivos se produzem ao relacionar o conceito de função derivada
com outros conceitos? (propriedades qualitativas de uma função e modelagem e resolução de alguns problemas por uma equação diferencial).
Qual é o nível de aprendizagem construída pelos alunos de uma amostra1?
Estas perguntas justificaram a execução do estudo, cujo objetivo foi investigar como os alunos aprendem matemática, como constroem o conhecimento e qual é o nível de aprendizagem construída em um tema, de especial dificuldade para eles, como é o conceito de derivadas e suas aplicações. Não se trata de um objetivo original considerando as referências bibliográficas mencionadas na seção de introdução do artigo, mas, sim, de uma replicação, pois se assemelha muito com o conteúdo do artigo anterior.
Tratou-se de uma pesquisa qualitativa, através do estudo de casos. Após uma série de testes diagnósticos, foram selecionadas de forma aleatória, duas alunas, cujos nomes fictícios foram Daniela e Lola.
Como parte da estratégia de aprendizagem se implementou:
Aulas modulares com enfoque particular dado ao conteúdo de derivadas. Incluíram-se conteúdos teóricos com atividades em grupos para deIncluíram-senvolver dentro e fora da sala de aula.
Laboratórios Computacionais, usando o software MAPLE 8. O laboratório de
informática é uma aula que é realizada em uma sala de aula interativa, seguindo um padrão com instruções e modelos ilustrativos de problemas.
A interação social entre todos os atores do processo de ensino.
Para se entender a construção do corpo empírico do estudo, faz-se necessário entender o uso do modelo cognitivo APOS aplicado ao conceito de derivada. Em qualquer processo de aprendizagem interessa que o aluno atinja a estrutura cognitiva da fase superior, ou seja, conforme o modelo proposto por Piaget e García no artigo anterior, se o aluno se encontra na fase intra, se atingir a fase inter, ao atingir a fase inter, busca-se atingir a fabusca-se trans operacional. Por meio de ações, processos, objetos e outros esquemas, o aluno pode resolver um determinado problema. Para isso, o aluno deve atingir primeiro o esboço de uma função e suas propriedades, as operações entre as
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funções, composição e decomposição de funções, bem como a compreensão do limite de uma função. Com estes esquemas em mente, se realiza uma decomposição genética do conceito de derivada. Segundo ASIALA et al. (1996 apud URQUIETA; YAÑEZ; ANDRADE, 2014, p. 409), em geral, uma decomposição genética de um conceito se define como a análise teórica do conceito em função das construções mentais que um aluno deve realizar para desenvolver a compreensão deste.
Segundo os autores:
Para desenvolver uma compreensão em nível de “ação”, o estudante deve
entender o conceito de derivada num ponto; sua interpretação geométrica como uma aproximação para a inclinação da reta tangente num ponto do gráfico de f, que é obtido como um limite de uma sucessão de inclinações de retas secantes quando o comprimento do intervalo de base se aproxima de zero; interpretação física da velocidade instantânea obtida por passagem do limite de uma sequência de velocidades médias em intervalos cujo comprimento se aproxima de zero; encontrar derivadas num ponto utilizando limites de funções elementares.
Em nível de “processo” se considerou o manejo da operação e demonstrações simples das propriedades da função derivada; como determinar, fundamentando, a derivada de uma potência de grau n, a derivada de uma soma e diferença de funções, a derivada de um produto e de um quociente de funções.
Em nível de “objeto” deve ser capaz de demonstrar propriedades da derivada de um nível maior de abstração, ou seja, funções não representadas por uma fórmula. Deve ser capaz de inverter um processo, no sentido de voltar para o processo inicial, refletir sobre as ações, agindo sobre o processo que originou o objeto. Também, coordenar novos processos.
O aluno deve ser capaz de coordenar o esquema de função com o esquema de
diferenciação e definir, a partir dessa abordagem, os conceitos envolvidos com a análise qualitativa de funções. Esta coordenação lhes permitirá analisar e realizar tal estudo via diferenciação e reverter o processo, ou seja, conhecendo o comportamento da função derivada inferir propriedades da função. O aluno reconhece e coordena ambos os esquemas e os aplica na resolução de problemas de otimização. O aluno reconhece, modela e resolve problemas cuja representação matemática é uma equação diferencial.
Em relação às fases do modelo proposto por Piaget e García no artigo anterior, segundo os autores, considera-se:
Fase Intra: neste nível o aluno tem uma coleção de regras para determinar derivadas
e uma coleção de conceitos que determinam as características qualitativas de uma função e suas propriedades, conhece algoritmos de resolução de uma equação diferencial linear de primeira ordem, reconhece como modelar os fenômenos que se representam mediante estas equações, porém não é capaz de reconhecer as relações existentes entre eles.
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Fase Inter: o aluno começa a reconhecer que de alguma maneira os esquemas se
relacionam e que podem ser vistos como um todo. Neste trabalho não se inclui a construção do esquema de regra da cadeia.
Fase Trans: se caracteriza pela construção de uma estrutura subjacente, coerente
com algumas das relações descobertas na fase de desenvolvimento inter. O aluno constrói uma estrutura subjacente de conhecimentos, propriedades das funções e reconhece várias instâncias do conceito de derivada, como derivadas de ordem superior ligadas a um processo. Também, constrói a estrutura formada pelos distintos algoritmos de solução de uma equação diferencial e os fenômenos que deve modelar. Os esquemas passam a caracterizar-se como uma coleção que se descreve por um só processo.
Isto posto, para a construção do corpo empírico do estudo se usaram dois instrumentos. Um é o conjunto de avaliações aplicadas durante o curso da disciplina de Matemática I, denominado instrumento secundário, usado somente como referência. O outro é a “Prueba de Medición de Estándares (PME)” que foi o instrumento primário e que não faz parte do conjunto de avaliações da disciplina de Matemática I. A PME foi projetada usando o modelo cognitivo APOS que permitiu analisar e discutir os casos de aprendizagem construída selecionados nesta pesquisa. Os temas considerados para a elaboração da PME foram selecionados do conjunto de padrões de aprendizagem para um curso de Cálculo Diferencial e Integral. São eles: compreender e interpretar o conceito de derivada, como ação ou processo, segundo a compreensão do APOS; conhecer a definição formal de derivada, como processo, segundo a compreensão do APOS; usar corretamente as regras de derivação, como objeto, segundo a compreensão do APOS; analisar funções através do cálculo diferencial, compreender e aplicar critérios de otimização e ser capaz de modelar e resolver situações concretas através de equações diferenciais, como esquemas, segundo a compreensão do APOS.
As principais evidências de aprendizagem de conteúdos conceituais e procedimentais ocorrem quando os pesquisadores expõem os resultados das avaliações realizadas pelas alunas Daniela e Lola, nomes fictícios, onde Daniela evidencia conhecer o conceito de derivada em nível de “ação”, o memorizou sem compreendê-lo, onde se pode perceber um conteúdo conceitual do tipo dado ou fato. Além de evidenciar seu conhecimento e manejo algébrico, que se classificou em nível “objeto”, onde se pode perceber um conteúdo procedimental. Conclui-se que a aprendizagem construída por Daniela em nível de “pré-esquema” é fraca, no sentido que manipula alguns conceitos em nível de “objeto” e mostra dificuldades em alguns processos inversos, por esse motivo não alcançou um desenvolvimento completo de pré-esquema. Lola, por sua vez, integra e relaciona vários conceitos relacionados com a derivada, o que a colocou em nível de “esquema-Inter”, por outro lado, revela uma aprendizagem fraca do conceito de derivada num ponto (nível de “ação”). Contudo, evidencia uma aprendizagem em nível de “pré-esquema” do conceito de derivada, em relação à análise qualitativa de funções e à resolução de problemas. Os resultados apresentados, neste estudo, responderam de maneira superficial às questões de pesquisa, devido à fragilidade de conhecimentos dos sujeitos participantes dos casos.
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Justifica-se mais, sua realização, pela fundamentação teórica robusta que aponta que aprendizagem construída requer atenção com inúmeras variáveis.
O artigo: “Una Introducción a la Derivada desde la Variación y el Cambio: resultados de una investigación con estudiantes de primer año de la universidad”.
Esse artigo apresenta de maneira implícita uma preocupação com conteúdos conceituais e conteúdos procedimentais, numa dimensão de estudos sobre o ensino de ambos, pois propõe apresentar indicadores do pensamento e linguagem variacional presente na aprendizagem do conceito de derivada de uma função, entendendo que o pensamento e linguagem variacional, segundo CANTORAL et al. (2003 apud VRANCKEN; ENGLER, 2014, p. 451), estuda os fenômenos de ensino, aprendizagem e comunicação de saberes matemáticos próprios da variação e mudança no sistema educacional e no meio social que lhe dá lugar. O referencial teórico utilizado pelas autoras são os trabalhos de Ricardo Cantoral2, além .
O artigo expõe de maneira explícita que o objeto de ensino é a identificação de indicadores do pensamento e linguagem variacional presentes na aprendizagem do conceito de derivada de uma função. A referência sob análise apresentou implicitamente a pergunta de pesquisa: Os indicadores do pensamento e linguagem variacional presentes na aprendizagem do conceito de derivada podem despertar o sistema educacional para outra forma de se ensinar o cálculo diferencial e integral, que não seja através de processos de construção e validação formais, assim como os aspectos algorítmicos? Esta pergunta justificou a execução do estudo, cujo objetivo foi levantar as noções relacionadas à derivada, que os alunos constroem quando interagem com atividades articuladas em torno da ideia de variação e mudança, que favorecem o tratamento e a articulação de diferentes sistemas de representação. Não se trata de um objetivo original considerando as referências bibliográficas mencionadas na seção de introdução do artigo, mas, sim, de uma replicação considerando o conteúdo da introdução do artigo.
Tratou-se de uma pesquisa qualitativa, através da montagem de sequências didáticas baseadas na metodologia da engenharia didática. A sequência foi aplicada em sala de aula com os alunos da disciplina de Matemática II do curso de Engenharia Agronômica da Faculdade de Ciências Agrárias da Universidade Nacional do Litoral (Argentina). Eles haviam sido aprovados na disciplina de Matemática I, disciplina na qual se desenvolvem os conteúdos referentes às funções.
Para a coleta de dados foram utilizadas listas de atividades com problemas sobre o conceito de derivadas e suas aplicações, que contemplavam o pensamento e a linguagem variacional, para serem resolvidas por 23 grupos pequenos de alunos. Para a construção do corpo empírico do estudo optou-se pela seleção dos grupos com alunos que cursaram, pela primeira vez, a disciplina de Matemática II, que tenham assistido a todas as aulas e tenham mantido a formação do grupo de trabalho durante todas as sessões.
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Consideraram-se, também, os registros das observações do professor e de um colaborador presente na sala de aula durante o desenvolvimento da sequência. Apresentaram-se os trabalhos de alguns grupos e, a partir dos mesmos, foram comentadas as principais conquistas e dificuldades. Foram transcritas, também, trechos de entrevistas realizadas na semana posterior ao desenvolvimento da sequência, com a intenção de obter mais informações sobre os processos e raciocínios que haviam seguido em suas respostas, aprofundando-se, desta forma, em suas concepções.
Este procedimento mostra-se compatível com o ensino de conteúdos conceituais e procedimentais quando os pesquisadores propõem atividades com gráficos de funções, onde a leitura do gráfico, pelos alunos, permite obter dados sobre movimentos, a partir dos quais é possível calcular as velocidades médias para distintos intervalos de tempo. Além do cálculo da velocidade instantânea. Ou, em outro problema, quando os alunos tiveram a oportunidade de identificar a diferencial como a operação que permite medir as mudanças. Ou, relacionar o tipo de movimento de acordo com a velocidade. Outro aspecto importante presente nas atividades foi a possibilidade de se interpretar geometricamente o quociente de variação. Em outra atividade, aproximadamente, a metade dos grupos buscou conjecturar sobre a velocidade de uma partícula num determinado instante e o comportamento no caso em que os intervalos sejam infinitamente pequenos. Todas essas indicações da presença de conteúdos conceituais e procedimentais estavam presentes no planejamento das atividades propostas pelos pesquisadores.
As principais evidências de aprendizagem de conteúdos conceituais e procedimentais ocorrem quando os pesquisadores expõem os resultados das tarefas e entrevistas realizadas pelos grupos de alunos. Tanto na resolução das atividades propostas, quanto nas etapas de discussão e institucionalização, os alunos utilizaram ideias, estratégias, procedimentos relacionados ao pensamento variacional. Além disso, expuseram argumentos e usaram linguagem característica deste tipo de pensamento. As atividades propostas conseguiram motivar os alunos e mobilizar as suas concepções. Os alunos sentiam que eram capazes de resolvê-los e o conhecimento esperado foi emergindo tanto nas discussões de pequenos grupos como na colocação, em comum, para toda a sala. A metodologia de trabalho proposta fez com que todos se envolvessem e se dispuseram a analisar as atividades planejadas. A formação de pequenos grupos favoreceu também este aspecto, já que ninguém tomou uma atitude passiva. Os resultados apresentados, neste estudo, responderam de maneira satisfatória à questão de pesquisa, justificando assim sua realização e apontando que os dados obtidos apoiam a ideia de que o pensamento e linguagem variacional contribuem para a construção do conhecimento.
Conclusão
Nesse estudo foram analisados três artigos publicados no Bolema que trabalharam o conceito de derivadas e suas aplicações, onde os dois primeiros utilizaram referenciais teóricos semelhantes, bastante distintos do referencial adotado no último. Mas todos, mesmo sem citar de maneira explícita os conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais, se
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utilizaram desses conteúdos, pois, em suas essências, buscavam a construção de conhecimentos e não apenas o repasse de informações. Sendo assim, não se pode construir conhecimento sem envolver as três modalidades de conteúdos, ou seja, em todos os artigos, quando os pesquisadores apontavam sucesso dos sujeitos envolvidos nas pesquisas, automaticamente, esses sujeitos tinham mobilizado pelo menos duas dessas modalidades de conteúdos. Outro item observado foi que tais conteúdos apareceram em trabalhos vinculados a uma ciência formal, axiomática, como a matemática, através do conceito de derivadas e suas aplicações. Isso indica que os conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais ocorrem independentemente da área de conhecimento, pois o que importa é a atividade de ensino e aprendizagem. Ou seja, se algo precisar ser ensinado e aprendido, certamente, conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais estarão envolvidos e sempre de maneira não isolada. Essa atenção com essas modalidades de conteúdos e suas inter-relações indicará boas possibilidades de sucesso no trabalho do professor, contribuindo para o desenvolvimento de didáticas de ensino mais eficientes, mais interesse por partes dos alunos, menos evasão escolar, melhor formação, dentre outras.
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