AO DE DAUGAVET PARA POLIN ˆ OMIOS

(1)

MILTON GABRIEL PERDOMO SANDOVAL

EQUAC

¸ ˜

AO DE DAUGAVET PARA

POLIN ˆ

OMIOS

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERL ˆANDIA FACULDADE DE MATEM ´ATICA

(2)

MILTON GABRIEL PERDOMO SANDOVAL

EQUAC

¸ ˜

AO DE DAUGAVET PARA

POLIN ˆ

OMIOS

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal de Uberlândia, como parte dos requisitos para obten¸cão do t´ıtulo de MESTRE EM MATEM ÁTICA.

´

Area de Concentra¸cão: Matemática. Linha de Pesquisa: Análise Funcional.

Orientadora: Profa. Dra. Elisa Regina do Santos.

(3)

(4)

(5)

Dedicat´

oria

(6)

Agradecimentos

Quero agradecer aos professores de mestrado da UFU e de gradua¸cão da Universidade de Córdoba que contribu´ıram na minha forma¸cão acadêmica.

Agrade¸co a minha orientadora Elisa. Obrigado por tudo o que vocˆe fez para me ajudar a ter sucesso no mestrado. Obrigado pela paciˆencia e pela confian¸ca.

Quero agradecer aos professores da banca examinadora por aceitarem o convite. Obrigado pelas sugest˜oes e corre¸c˜oes.

Agrade¸co aos meus colegas de mestrado: Zé Henrique, Alu´ızio, Julian, Augusto, Javier e toda a grande turma do ano 2017. Obrigado pelo trabalho em equipe e os momentos para tomar um café e um pão de queijo. Obrigado por todas as conversas, pelo apoio, solidariedade e amizade. Muito obrigado. Uesley este parágrafo também é dedicado a você de forma especial. Muito obrigado.

Obrigado ao grupo Maz 1.0 e 2.0. Aos meus amigos Pedro, Marlon, Maycom, Ian, Jag-ner, Regiane, Guilherme, Mariana D. e toda a galera maneira da igreja. Obrigado pela amizade e o apoio.

Agrade¸co a minha esposa Yulis por tudo o que ela é. Obrigado por tudo. Estas palavras não descrevem completamente o meu agradecimento. Não dou conta de fazer.

Agrade¸co aos meus pais Milton Hernán e Estela Sandoval, pelo apoio desde a Colômbia, e aos meus irmãos David, Diana Sofia e Ruben.

(7)

PERDOMO, M. G. Equa¸cão de Daugavet para polinômios. 2018. 53 p. Disserta¸cão de Mestrado, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia-MG.

Resumo

Neste trabalho estudaremos a Equa¸cão de Daugavet e a Equa¸cão Alternativa de Daugavet para fun¸cões limitadas em espa¸cos de Banach. Primeiramente apresentaremos caracte-riza¸cões destas equa¸cões para fun¸cões limitadas e fun¸cões uniformemente cont´ınuas. Em seguida estudaremos tais equa¸cões para polinômios e aplica¸cões holomorfas em espa¸cos de Banach, especialmente em espa¸cos de fun¸cões cont´ınuas. Estudaremos ainda a proprie-dade de Daugavet de ordem k e a propriedade alternativa de Daugavet de ordem k. E finalmente exibiremos alguns resultados sobre a estabilidade da propriedade polinomial de Daugavet e da propriedade polinomial alternativa de Daugavet.

(8)

PERDOMO, M. G.Daugavet equation for polynomials. 2018. 53 p. M. Sc. Dissertation, Federal University of Uberlˆandia, Uberlˆandia-MG.

Abstract

In this work we will study the Daugavet Equation and the Alternative Daugavet Equa-tion for bounded funcEqua-tions on Banach spaces. Firstly we will present characterizaEqua-tions of these equations for bounded functions and uniformly continuous functions. Next we will study such equations for polynomials and holomorphic mappings on Banach spaces, especially on spaces of continuous functions. We will also study the k-order Daugavet property and the k-order alternative Daugavet property. And finally we will show some results about the stability of the polynomial Daugavet property and the alternative poly-nomial Daugavet property.

(9)

(10)

LISTA DE S´IMBOLOS

N _{_1,_{2, . . .}_}

N₀ N_{∪ {}₀_}

R _{conjunto dos n´}_{umeros reais}

R+ _{conjunto dos n´}_{umeros reais n˜ao-negativos} C _{conjunto dos n´}_{umeros complexos}

K R _ouC

T _{esfera unit´aria em} K

D _{disco unit´ario fechado em} C

Rez parte real de um numero complexo z

Imz parte imagin´aria de um numero complexo z Ω, K espa¸co topol´ogico

X1, . . . , Xm, X, Y espa¸cos vetoriais ou espa¸cos normados ou espa¸cos de Banach

sobre o corpo K

(X, τ) espa¸co vetorial topol´ogico

Xm produto cartesiano de X m-vezes X∗ dual topol´ogico de X

X′ dual alg´ebrico de X

BX bola unit´aria fechada em X

B_X◦ bola unit´aria aberta em X SX esfera unit´aria em X

co(A) envolt´oria convexa do subconjunto A de um espa¸co vetorial co(A) fecho da envolt´oria convexa do subconjunto A de um espa¸co

vetorial topol´ogico

Γ(A) envolt´oria absolutamente convexa do subconjunto A de um espa¸co vetorial

Im(f) imagem da aplica¸cão f ker(f) núcleo da aplica¸cão f

IdX operador identidade definido em X

L(X, Y) espa¸co dos operadores lineares de X em Y

L(X, Y) espa¸co dos operadores lineares cont´ınuos de X em Y L(m_X;_Y₎ _{espa¸co das aplica¸c˜oes multilineares de} _Xm _em _Y

(11)

Ls₍m_X;_Y₎ _{subespa¸co vetorial de} _L(m_X;_Y_{) das aplica¸c˜oes multilineares}

sim´etricas

Ls(mX;Y) subespa¸co vetorial de L(mX;Y) das aplica¸c˜oes multilineares cont´ınuas sim´etricas

P(mX, Y) espa¸co vetorial sobre K _{dos polinˆomios} _{m-homogˆeneos de} _X

em Y

P(m_{X, Y}₎ _{espa¸co vetorial sobre} _K _{dos polinˆomios} _{m-homogˆeneos}

cont´ınuos de X em Y

P(mX) P(mX,K₎

P(X, Y) espa¸co dos polinˆomios de X em Y

P(X, Y) espa¸cos dos polinˆomios cont´ınuos de X em Y

P(X) P(X,K₎

ℓ∞(BX, Y) espa¸co das fun¸c˜oes limitadas de BX em Y

ℓ∞(BX) ℓ∞(BX,K)

A∞(BX, X) espa¸co de Banach das fun¸c˜oes de BX em X, holomorfas em

B_X◦ e limitadas e cont´ınuas em BX

A∞(BX) espa¸co de Banach das fun¸c˜oes de BX em K, holomorfas em

BX◦ e limitadas e cont´ınuas em BX

Au(BX, X) subespa¸co fechado de A∞(BX, X) formado pelas fun¸c˜oes que

admitem uma extens˜ao uniformemente cont´ınua a BX

Au(BX) subespa¸co fechado deA∞(BX) formado pelas fun¸c˜oes que

ad-mitem uma extens˜ao uniformemente cont´ınua a BX

Cu(BX, X) espa¸cos das fun¸c˜oes uniformemente cont´ınuas de BX em X

Cb(Ω, X) espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas e limitadas de um espa¸co de

Hausdorff completamente regular Ω em X Cb(Ω) Cb(Ω,K)

C(K, X) espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas de um espa¸co de Hausdorff com-pacto K em X

C(K) C(K,K₎

Z subespa¸co de ℓ∞(BX)

ZX espa¸co das fun¸c˜oes Φ : BX → X tais que x∗ ◦Φ ∈ Z para

todo x∗ ∈X∗

ϕ⊗x0 elemento de ZX dado por [ϕ ⊗ x0](x) = ϕ(x)x0 para todo x∈BX, onde ϕ∈ Z e x0 ∈X

Π(X) {(x, x∗) :x∈SX, x∗ ∈SX∗, x∗(x) = 1}

V(Φ) imagem num´erica de Φ v(Φ) raio num´erico de Φ

ℓ∞(X) espa¸co das sequˆencias limitadas em X

ℓ1(X) espa¸co das sequˆencias em X cuja somat´oria das normas dos elementos converge

c0(X) espa¸co das sequências em X que convergem a zero c0 espa¸co das sequências em K que convergem a zero c espa¸co das sequências em K _{que convergem}

" _∞ M

j=1 Xj

#

c0

(12)

" _∞ M

j=1 Xj

#

ℓ∞

soma ℓ∞ de uma sequˆencia (Xj)∞j=1 de espa¸cos de Banach

" _∞ M

j=1 Xj

#

ℓ1

(13)

SUM ´

ARIO

Resumo vii

Abstract viii

Lista de s´ımbolos x

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

1.1 Conceitos e resultados básicos . . . 3 1.2 Aplica¸cões multilineares . . . 7 1.3 Polinômios e aplica¸cões holomorfas . . . 9 2 Equa¸cão de Daugavet para fun¸cões não lineares 14 2.1 Equa¸cão de Daugavet para fun¸cões limitadas . . . 14 2.2 Equacão de Daugavet para fun¸cões uniformemente cont´ınuas . . . 20

3 Equa¸c˜ao de Daugavet para polinˆomios 24

3.1 Polinômios em espa¸cos de fun¸cões cont´ınuas . . . 26 3.2 Fun¸cões holomorfas em espa¸cos de fun¸cões cont´ınuas . . . 32 4 Equa¸cão de Daugavet para polinômios k-homogêneos 37

(14)

INTRODUC

¸ ˜

AO

A Análise Funcional é o estudo dos espa¸cos vetoriais normados e dos operadores linea-res cont´ınuos entre eles, tal como é definido no Prefácio do livro de G. Botelho et al. [6]. Entre os diversos tópicos de pesquisa da Análise Funcional se encontra a Equa¸cão de Daugavet. Tendo conhecimentos básicos de espa¸cos vetoriais normados e operadores, é bem fácil de entender a defini¸cão da equa¸cão de Daugavet. Antes de introduzi-la, consideremos um exemplo noRn_{: Dados}_{u, v} _∈Rn_{é fácil mostrar que}_k_u_+v_k₌_k_u_k₊_k_v_k

se, e somente se, existe α > 0 tal que u = αv. Ou seja, dois vetores no Rn _satisfazem

a igualdade na desigualdade triangular se, e somente se, possuem a mesma dire¸cão e o mesmo sentido. Considerando agora o espa¸co normado dos operadores lineares cont´ınuos deC[0,1] emC[0,1] com a norma do supremo, I. K. Daugavet [11] mostrou em 1963 que ser compacto é uma condi¸cão suficiente para que um operador T de C[0,1] em C[0,1] satisfa¸ca a rela¸cão

kId+Tk=kIdk+kTk, ou equivalentemente

kId+Tk= 1 +kTk. (DE)

Esta última equa¸cão é conhecida hoje como Equa¸cão de Daugavet. Ao longo dos anos, diversos autores têm trabalhado para encontrar classes de fun¸cões que satisfa¸cam tal equa¸cão. Como resultado destas pesquisas temos alguns exemplos: G. Y. Lozanovskii [20], para o caso dos operadores compactos em L1[0,1]; H. Kamowitz [17], para o caso dos operadores compactos em C(K), onde K é um espa¸co de Hausdorff compacto sem pontos isolados; J. R. Holub [15], para o caso dos operadores fracamente compactos em C[0,1]; D. Werner [29], para o caso dos operadores fracamente compactos emC(K), onde K é um espa¸co de Hausdorff compacto sem pontos isolados. Dizemos que um espa¸co de Banach X tem a propriedade de Daugavet se todo operador de posto um em X satisfaz (DE).

Em 1970, J. Ducan et al. [13] provaram que para todo espa¸co de Hausdorff compacto K, toda medidaσ-finita µe todo operador linear T em C(K) ou em L1(µ), a equa¸c˜ao

max

(15)

é satisfeita. A partir de então essa equa¸cão passou a ser conhecida como Equa¸cão Alter-nativa de Daugavet. Dizemos que um espa¸co de Banach X tem a propriedade alternativa de Daugavet se todo operador de posto um em X satisfaz (ADE).

Atualmente tais equa¸cões têm sido amplamente estudadas. Além disto, em 2007 Y. S. Choi et al. [9] ampliaram o seu estudo para fun¸cões mais gerais, particularmente para polinômios definidos em espa¸cos de Banach da seguinte maneira. Dado um espa¸co de BanachX, um polinômio P ∈ P(X, X) satisfaz aequa¸cão de Daugavet se

kId+Pk= 1 +kPk, (DE)

eP satisfaz a equa¸c˜ao alternativa de Daugavet se max

|w|=1kId+wPk= 1 +kPk. (ADE) Dizemos que um espa¸co de BanachX tem a propriedade polinomial de Daugavet (PDP) se todo polinômio fracamente compacto sobre X satisfaz (DE). Analogamente, X tem apropriedade polinomial alternativa de Daugavet (APDP) se todo polinômio fracamente compacto sobreX satisfaz (ADE). O objetivo deste trabalho é estudar tais equa¸cões para polinômios homogêneos, polinômios e aplica¸cões holomorfas.

A seguir descrevemos a organiza¸c˜ao deste trabalho.

No Cap´ıtulo 1 apresentamos algumas defini¸cões e resultados de Topologia Geral, Análise Funcional e Espa¸cos Vetoriais Topológicos, assim como uma breve introdu¸cão aos polinômios em espa¸cos de Banach. Esse cap´ıtulo contém essencialmente os elementos fundamentais que facilitarão a compreensão dos cap´ıtulos seguintes.

No Cap´ıtulo 2 apresentamos em detalhes uma abordagem mais geral do estudo da (DE) e da (ADE), baseado em estudos recentes de Choi et al. [9]. Esse cap´ıtulo contém uma caracteriza¸cão especialmente importante para fun¸cões uniformemente cont´ınuas em rela¸cão a (DE) e (ADE).

Os Cap´ıtulos 3 e 4 são destinados ao tema principal desta disserta¸cão, a equa¸cão de Daugavet para polinômios. O Cap´ıtulo 3 contém um dos teoremas mais importantes deste trabalho (Teorema 3.1.2). Nesse cap´ıtulo, fazendo uso dos resultados Cap´ıtulo 2, estudamos (DE) e (ADE) para polinômios definidos em subespa¸cos Cb-rich de espa¸cos de

fun¸cões cont´ınuas e para fun¸cões holomorfas definidas em espa¸cos de fun¸cões cont´ınuas. Já no Cap´ıtulo 4, apresentamos resultados sobre o comportamento da propriedade de Daugavet de ordem k e da propriedade alternativa de Daugavet de ordem k conforme variamos o k.

Finalmente, o Cap´ıtulo 5 ´e destinado a apresentar um estudo da estabilidade da pro-priedade polinomial de Daugavet e da propro-priedade polinomial alternativa de Daugavet.

(16)

CAP´

ITULO 1

PRELIMINARES

Para o desenvolvimento deste trabalho precisaremos apresentar inicialmente um con-junto de defini¸cões e resultados de Topologia Geral, Análise Funcional, da teoria de Espa¸cos Vetoriais Topológicos e da Análise Funcional Não Linear. Grande parte dos re-sultados são clássicos e muito conhecidos, neste caso não incluiremos suas demonstra¸cões. Na primeira se¸cão apresentaremos os principais conceitos e resultados de Topologia Geral, Análise Funcional e Espa¸cos Vetoriais Topológicos. Na segunda se¸cão introduziremos as aplica¸cões multilineares cont´ınuas e alguns resultados importantes sobre tais aplica¸cões. Por fim, na terceira se¸cão trataremos de polinômios e aplica¸cões holomorfas em espa¸cos de Banach.

1.1 Conceitos e resultados b´

asicos

Apresentaremos primeiramente algumas defini¸cões e resultados de Topologia Geral. Proposi¸cão 1.1.1. Todo subconjunto fechado F de um espa¸co topológico compacto Ω é compacto.

Demonstra¸c˜ao. Veja [18, Proposi¸c˜ao 7.2.2].

Proposi¸cão 1.1.2. Sejam Ω1 e Ω2 espa¸cos topológicos e f: Ω1 −→ Ω2 uma aplica¸cão cont´ınua. Para todo subconjunto compacto K de Ω1, f(K) é um subconjunto compacto de Ω2.

Defini¸cão 1.1.3. Um espa¸co topológico Ω se dizT1 se dados dois pontos distintos em Ω existe uma vizinhan¸ca de cada um deles que não contém o outro.

(17)

Defini¸cão 1.1.5. Seja ϕ : Ω → X onde Ω é um espa¸co topológico e X é um espa¸co vetorial. Definimos osuporte de ϕ por

supp(ϕ) = {x∈Ω : ϕ(x)6= 0}.

Teorema 1.1.6. Cada espa¸co de Hausdorff localmente compacto ´e um espa¸co de Tycho-noff.

Demonstra¸c˜ao. Veja [24, Teorema 22.4].

A seguir apresentamos defini¸cões e resultados de Análise Funcional e Espa¸cos Vetoriais Topológicos.

Teorema 1.1.7. (Teorema de Hahn-Banach)Seja Y um subespa¸co vetorial de um espa¸co normado X sobre K _{e seja} _ϕ_: _Y _−→ K _{um funcional linear cont´ınuo. Ent˜ao existe um}

funcional linear cont´ınuoϕ_e: X −→K _{cuja restri¸c˜ao a} _Y _{coincide com} _ϕ _e _k_ϕ_e_k₌_k_ϕ_k_.

Demonstra¸c˜ao. Veja [6, Corol´ario 3.1.3].

Teorema 1.1.8. (Teorema de Hahn-Banach) Sejam X um espa¸co normado, X 6= {0} e x∈X. Ent˜ao

kxk= sup{|ϕ(x)|:ϕ∈X∗ e kϕk ≤1}. Demonstra¸c˜ao. Veja [6, Corol´ario 3.1.5].

Teorema 1.1.9. (Teorema de Hahn-Banach) Seja X um espa¸co normado. Para todo x0 ∈ X, x0 6= 0, existe um funcional linear cont´ınuo ϕ ∈X∗ tal que kϕk = 1 e ϕ(x0) =

kx0k.

Demonstra¸c˜ao. Veja [6, Corol´ario 3.1.4].

SejamX um conjunto, (Yi)i∈I uma fam´ılia de espa¸cos topol´ogicos e (fi)i∈I uma fam´ılia

de fun¸c˜oesfi: X −→Yipara cadai∈I.Para cadai∈Ie cada abertoAi emYi, considere

o conjunto

fi−1(Ai) ={x∈X :f(x)∈Ai}.

Chame de Φ a cole¸c˜ao dos subconjuntos de X que podem ser escritos como interse¸c˜oes finitas de conjuntos da formafi−1(Ai).

Proposi¸cão 1.1.10. Existe uma topologia τ em X que tem Φ como uma base, isto é, os elementos de τ são uniões de elementos de Φ.

Demonstra¸c˜ao. Veja [31, 8.9].

Defini¸cão 1.1.11. A topologia τ da Proposi¸cão 1.1.10 é chamada de topologia gerada pela fam´ılia de fun¸cões (fi)i∈I.

(18)

Quando uma sequˆencia (xn)∞n=1 em X convergir para x∈E na topologia fraca, escre-vemosxn

w

−→x.

Dado um subconjunto Ado espa¸co normado X, denotaremos porAw o fecho de Ana topologia fraca e o chamaremos defecho fraco deA.

Defini¸cão 1.1.13. Um subconjunto A de um espa¸co normado X é dito relativamente fracamente compactose Aw é fracamente compacto em X.

Defini¸c˜ao 1.1.14. Seja X um espa¸co vetorial sobre K_{. Um subconjunto} _A _⊆ _X _{´e dito}

convexo seαx+βy ∈A para todos x, y ∈A e escalares α, β ≥0 com α+β = 1.

Defini¸c˜ao 1.1.15. Sejam X um espa¸co vetorial sobreK _e _A_⊆_X. _A _{envolt´oria convexa}

de A, denotada porco(A), é a interse¸cão de todos os conjuntos convexos deX que contêm A.

Proposi¸cão 1.1.16. Sejam X um espa¸co vetorial sobre K _e _A _⊆_{X. Então a envoltória}

convexa de A ´e dada por

co(A) =

( _n X

i=1

λixi :n∈N, xi ∈A, 0≤λi ≤1 e n

X

i=1

λi = 1

)

.

Demonstra¸c˜ao. Veja [26, Theorem 4.2.3].

Teorema 1.1.17. Seja (X, τ) espa¸co vetorial topológico. A envoltória convexa da união de um número finito de conjuntos compactos é compacta.

Teorema 1.1.18. Sejam(X, τ) espa¸co vetorial topol´ogico e A ⊆X. Ent˜ao co A=co(A).

Defini¸c˜ao 1.1.19. Seja X um espa¸co vetorial sobre K_{. Um subconjunto} _A _⊆ _X _´e

dito absolutamente convexo se αx+βy ∈ A para todos x, y ∈ A e escalares α, β com

|α|+|β| ≤1.

Defini¸c˜ao 1.1.20. Sejam X um espa¸co vetorial sobre K _e _A _⊆ _{X. A} _envolt´oria

ab-solutamente convexa de A, denotada por Γ(A), é a interse¸cão de todos os conjuntos absolutamente convexos de X que contêmA.

Proposi¸cão 1.1.21. Sejam X um espa¸co vetorial sobre K _e _A _⊆_{X. Então a envoltória}

absolutamente convexa de A ´e dada por

Γ(A) =

( _n X

i=1

λixi :n∈N, xi ∈A e n

X

i=1

|λi| ≤1

)

.

(19)

Teorema 1.1.22. (Teorema de Krein-Smuliam) Seja X um espa¸co de Banach. Se Aw é um subconjunto fracamente compacto deX então Γ(A)w é fracamente compacto em X. Demonstra¸cão. Veja [[27], Teorema 4.5.10].

Teorema 1.1.23. (Segunda forma geométrica do Teorema de Hanh-Banach)Sejam A e B subconjuntos convexos, não vazios e disjuntos do espa¸co normado X. Se A é fechado e B é compacto, então existem um funcional ϕ∈X∗ e a, b∈R _{tais que}

Reϕ(x)≤a < b ≤Reϕ(y) para todosx∈Aey∈B. Demonstra¸c˜ao. Veja [6, Teorema 3.4.9 e Exercic´ıo 3.6.27(b)].

Teorema 1.1.24. (Teorema de Eberlein-Smulian) Sejam X um espa¸co de Banach e A um subconjunto de X. Então A é relativamente fracamente compacto (respectivamente, fracamente compacto) se, e somente se, cada sequência em A admite uma subsequência que converge fracamente para algum ponto em X (respectivamente, para algum ponto de A).

Demonstra¸c˜ao. Veja [2, Theorem 3.40].

Teorema 1.1.25. (Teorema de Mazur)SejamX um espa¸co normado eAum subconjunto convexo de X. Então o fecho de A na topologia da norma coincide com o fecho de A na topologia fraca. Em particular, um conjunto convexo é fechado na topologia fraca se, e somente se, é fechado na topologia da norma.

Demonstra¸c˜ao. Veja [6, Teorema 6.2.11].

Teorema 1.1.26. (Bishop-Phelps-Bollob´as) Sejam X espa¸co de Banach e 0 < δ < 1. Dados z ∈BX e h∈SX∗ com

|1−h(z)|< δ2/4,

existem y∈SX e g ∈SX∗ tais que g(y) = 1, ky−zk< δ e kg−hk< δ.

Demonstra¸c˜ao. Veja [5, Section 16, Theorem 1].

Defini¸cão 1.1.27. Uma sequência (xn)∞n=1 no espa¸co de BanachX é chamada debase de Shauder deX se cada x∈X tem uma representa¸cão única na forma

x= ∞

X

n=1 anxn,

onde an ∈ K para todo n ∈ N. A unicidade da representa¸c˜ao permite considerar os

funcionais lineares

x∗_n :X −→K_{, x}∗

n

∞

X

j=1 ajxj

!

=an,

n∈N_{, que s˜ao chamados de} _{funcionais coordenadas} _(ou _{funcionais coeficientes).}

(20)

Defini¸cão 1.1.29. Seja (ei)∞i=1 uma sequência básica em um espa¸co de Banach X e seja (fi)∞i=1uma sequência básica em um espa¸co de BanachY. Dizemos que (ei)∞i=1éequivalente a (fi)∞i=1 se para toda sequência de escalares (ai)∞i=1 tem-se que

∞

X

i=1

aiei converge se, e

somente se, ∞

X

i=1

aifi converge.

Proposi¸cão 1.1.30. Seja (ei)∞i=1 uma sequência básica em um espa¸co de Banach X e seja(fi)∞i=1 uma sequência em um espa¸co de Banach Y. São equivalentes:

i) (fi)∞i=1 é uma sequência básica equivalente a (ei)∞i=1.

ii) Existe um isomorfismo T de span{ei} em span{fi} tal que T(ei) = fi para todoi.

iii) Existem C1, C2 >0 tais que para todos os escalares a1, ..., an,

C1 n X i=1 aiei

_X ≤ n X i=1 a1f1

_Y ≤ C2 n X i=1 aiei

_X .

Demonstra¸c˜ao. Veja [14, Fact 6.17].

Teorema 1.1.31. (Krein, Milman, Rutnan, Valdivia)

Seja(ej)∞_i₌₁ uma sequˆencia b´asica em um espa¸co de BanachX e seja e∗j

∞

i=1 os funcionais coeficientes da base (ej)∞_i₌₁ de span{ej}. Suponha que (fj)∞_i₌₁ ´e uma sequˆencia em X tal

que

∞

X

i=1

kei−fik ke∗ik=C <1.

Então(fj)∞_i₌₁ é uma sequência básica equivalente a (ej)∞_i₌₁.

1.2 Aplica¸

c˜

oes multilineares

As aplica¸cões multilineares são essenciais para a defini¸cão de polinômios entre espa¸cos de Banach, os quais irão desempenhar um papel especial neste trabalho. Nesta se¸cão apresentaremos os conceitos e resultados relativos às aplica¸cões multilineares que necessi-taremos para introduzir polinômios. Para um estudo detalhado de aplica¸cões multilineares em espa¸cos de Banach sugerimos a referência [23].

Defini¸c˜ao 1.2.1. Sejam X e Y espa¸cos de Banach sobre K_{. Para cada} _m _∈N_,

denota-remos porL(m_{X, Y}_{) o espa¸co das aplica¸c˜oes} _m-lineares _A_:_Xm _→_Y_{, e denotaremos por}

L(Xm_{, Y}_{) o subespa¸co das aplica¸c˜oes cont´ınuas de} _L(m_{X, Y}_{). Para cada} _A _∈_L(m_{X, Y}₎

definimos

kAk= supnkA(x1, . . . , xm)k : xj ∈X, max

1≤j≤mkxjk ≤1

o

(21)

Por conveniência definimos L(0X, Y) = L(0X, Y) como Y, isto é, como o5 espa¸co das fun¸cões constantes definidas de X em Y. Quando m = 1, escreveremos L(1X, Y) = L(X, Y) e L(1X, Y) = L(X, Y). Quando Y = K_{, escreveremos} _L(m_X,K_{) =} _L(m_{X) e} L(m_X,_K_{) =} _L₍m_{X). Finalmente, quando} _m _{= 1 e} _Y ₌ _K_{, escreveremos} _{L(X) =} _X′ _e

L(X) =X∗.

Proposi¸cão 1.2.2. Para A∈L(mX, Y) as seguintes condi¸cões são equivalentes: (a) A é cont´ınua.

(b) A ´e cont´ınua na origem. (c) kAk<∞.

Demonstra¸c˜ao. Veja [23, Proposition 1.2].

Proposi¸c˜ao 1.2.3. L(mX, Y) ´e um espa¸co de Banach com a norma definida anterior-mente.

Defini¸cão 1.2.4. Uma aplica¸cão multilinear A: Xm _−→_Y _é _simétrica _se

A(x1, . . . , xm) =A(xσ(1), . . . , xσ(m))

para todos (x1, . . . , xm)∈Xm eσ∈Sm, ondeSm denota o conjunto das permuta¸c˜oes dos

m primeiros n´umeros naturais.

Exemplo 1.2.5. Sejam X eY espa¸cos vetoriais com dimensão de X maior ou igual a 2, ϕ1, ϕ2 funcionais lineares não nulos em X e 0 6=y∈Y. A aplica¸cão bilinear

A: X×X −→Y , A(x1, x2) = ϕ1(x1)ϕ2(x2)y, não é simétrica, a menos queϕ1 e ϕ2 sejam linearmente dependentes.

Os conjuntos das aplica¸cões multilineares simétricas e das aplica¸cões multilineares simétricas cont´ınuas A: Xm −→Y serão denotados por Ls(mX;Y) e Ls(mX;Y), respec-tivamente. Tais conjuntosLs(mX;Y) eLs(mX;Y) são subespa¸cos vetoriais deL(mX;Y) eL(m_X;_Y_{), respectivamente.}

Proposi¸c˜ao 1.2.6. Para cada A∈L(m_X;_Y_{), defina} _As_: _Xm _−→_Y _por

As(x1, . . . , xm) :=

1 m!

X

σ∈Sm

A(xσ(1), . . . , xσ(m)).

Ent˜ao as seguintes propriedades s˜ao satisfeitas: (a) As _∈_Ls₍m_X;_Y_).

(b) As ₌_A _{se, e somente se,} _A_∈_Ls₍m_X;_Y_).

(c) (As)s =As.

(d) O operador s: L(m_X;_Y₎_−→_Ls₍m_X;_Y_{), definido por} _{s(A) =}_As_{, ´e linear.}

(22)

Teorema 1.2.7 (Fórmula de Polariza¸cão). Seja A ∈ Ls(mX;Y). Então para todos x0, . . . , xm ∈X tem-se a fórmula

A(x1, . . . , xm) =

1 m!2m

X

εj=±1

ε1· · ·εmA(x0+ε1x1+· · ·+εmxm)m,

que será denominada Fórmula de Polariza¸cão. Demonstra¸cão. Veja [23, Theorem 1.10].

1.3 Polinˆ

omios e aplica¸

c˜

oes holomorfas

A seguir apresentaremos defini¸cões e resultados sobre polinômios e aplica¸cões holo-morfas em espa¸cos de Banach.

Defini¸c˜ao 1.3.1. Sejam X e Y espa¸cos de Banach sobre K _e _m _∈ N_{. Uma aplica¸c˜ao}

P: X −→Y é umpolinômio m-homogêneooupolinômio homogêneo de grau m, se existir uma aplica¸cão A ∈ L(mX;Y) tal que P(x) =Axm para todo ponto x ∈ X. Neste caso dizemos que P é o polinômio m-homogêneo associado à aplica¸cão m-linearA.

Não é dif´ıcil mostrar que o conjunto dos polinômiosm-homogêneosP: X −→Y forma um espa¸co vetorial sobre K_{com as opera¸cões usuais de fun¸cões. Denotaremos tal espa¸co}

porP(m_X;_Y_).

Exemplo 1.3.2. A fun¸cãoP: K_−→K_{, definida por}_P_{(x) =}_axm_,_a_∈K_{, é um polinômio}

m-homogˆeneo. Basta tomar A ∈ L(mK_{) dada por} _{A(x1, . . . , x}_m_{) =} _ax1_{. . . x}_m_{, e assim}

temos P(x) = Axm_{. Estes são os ´}_{unicos polinômios} _{m-homogêneos de} _K _em _K_{. Veja}

([27], Exemplo 1.3.2).

Proposi¸c˜ao 1.3.3. SejamX e Y espa¸cos de Banach sobreK_{. Para cada}_A_∈_Ls₍m_X;_Y_),

considere a aplica¸c˜ao

b

A: X −→Y , A(x) :=b Axm.

Então a correspondênciaA7−→Abé um isomorfismo entre os espa¸cos vetoriaisLs(mX;Y) e P(m_X;_Y_).

A proposi¸c˜ao anterior nos mostra que para todo polinˆomioP ∈P(m_X;_Y_{), existe uma}

´

unica aplica¸c˜ao multilinear sim´etrica A∈Ls(mX;Y) tal que Axm ₌_P_(x)

para todox∈X. Neste caso denotaremos P∨:=A.

O subespa¸co de P(m_X;_Y_{) formado pelos polinômios} _{m-homogêneos cont´ınuos será}

(23)

Proposi¸cão 1.3.4. Para cada P ∈P(m_X;_Y₎ _{as seguintes condi¸cões são equivalentes:}

(a) P ´e cont´ınuo.

(b) P é limitado em toda bola com raio finito. (c) P é limitado em alguma bola aberta. Demonstra¸cão. Veja [23, Proposi¸cão 2.4].

O próximo resultado prova que o espa¸co dos polinômios m-homogêneos cont´ınuos é um espa¸co normado se munido com a norma

kPk= sup{kP(x)k:x∈X e kxk ≤1}.

Proposi¸cão 1.3.5. Sejam X e Y espa¸cos de Banach. Então (P(m_X;_Y_);_{k · k}₎ _{é um}

espa¸co de Banach.

Demonstra¸c˜ao. Veja [23, Corollary 2.3].

Proposi¸c˜ao 1.3.6. Sejam X e Y espa¸cos de Banach e P ∈ P(m_X;_Y_{). Ent˜ao:}

(a) kPk= sup{kP(x)k:x∈X e kxk= 1}.

(b) kPk= inf{M ≥0 :kP(x)k ≤Mkxkm, para todo x∈X}. (c) kP(x)k ≤ kPk · kxkm _{para todo} _x_∈_X.

Proposi¸c˜ao 1.3.7. Sejam X e Y espa¸cos de Banach e m ∈ N_{. A correspondˆencia}

P 7−→P∨ induz um isomorfismo topol´ogico entre os espa¸cos normadosP(mX;Y)eLs(mX;Y). Al´em disso,

kP∨ k ≤ kPk ≤ m

m

m!k ∨ P k, para todoP ∈ P(m_X;_Y_).

Os seguintes exemplos foram tomados de [27].

Exemplo 1.3.8. Sejam X e Y espa¸cos de Banach, ϕ ∈ X∗, u ∈ L(X;Y) e m ∈ N_.

Considere a aplica¸c˜ao

P: X −→Y , P(x) = (ϕ(x))m−1u(x). Temos queP ∈ P(mX;Y).

Exemplo 1.3.9. Sejam X eY espa¸cos de Banach. A aplica¸c˜ao dada por Qm: X −→(P(mX))∗, Qm(x)(P) =P(x),

(24)

Exemplo 1.3.10. Sejam X e Y espa¸cos de Banach, ϕ ∈ X∗ e b ∈Y. A aplica¸c˜ao dada por

ϕm_⊗_b_: _X _−→_Y, _(ϕm_⊗_{b)(x) = (ϕ(x))}m

b, é um polinômio m-homogêneo cont´ınuo com kϕm_⊗_b_k₌_k_ϕ_km_k_b_k_.

Exemplo 1.3.11. Sejam m ∈ N_, _X _e _Y _{espa¸cos de Banach,} _Q _{∈ P}₍m_{X) e} _b _∈ _Y_.

Considere a aplica¸c˜ao

Q⊗b: X −→Y , Q⊗b(x) =Q(x)b.

Temos queQ⊗b é um polinômio m-homogêneo cont´ınuo e kQ⊗bk=kQk · kbk.

Defini¸cão 1.3.12. Sejam X e Y espa¸cos de Banach. Uma fun¸cão P : X −→ Y se diz polinômio do grau no máximo m se existem polinômios m-homogêneos Pj ∈ P(jX, Y)

com j = 0, ..., m tais que

P =P0+P1 +...+Pm.

Denotamos por P(X, Y) o espa¸co vetorial dos polinˆomios e porP(X, Y) o subespa¸co dos elementos cont´ınuos de P(X, Y). Quando Y = K _escrevemos _P_(X,K_{) =} _P_(X) _e P(X,K_{) =} _P_(X).

Para cada P ∈P(X, Y) se define a norma

kPk= sup

x∈BX

kP(x)k.

Tal norma tornaP(X, Y) um espa¸co normado. Além disto, temos os seguintes resultados. Proposi¸cão 1.3.13. Dado P ∈P(X, Y) as seguintes condi¸cões são equivalentes:

(a) P ´e cont´ınuo.

(b) P é limitado em toda bola de raio finito. (c) P é limitado em alguma bola de raio finito. Demonstra¸cão. Veja [23, Proposition 2.9].

Proposi¸cão 1.3.14. (a) P(X, Y) é soma direta algébrica dos subespa¸cos P(m_{X, Y}_),

com m ∈N_0.

(b) P(X, Y) ´e soma direta alg´ebrica dos subespa¸cos P(m_{X, Y}_{), com} _m_∈_N

0. Demonstra¸c˜ao. Veja [23, Exercise 2.N].

Lema 1.3.15. Sejam Pm ∈ P(mX, Y) e B ⊂ X limitado. Ent˜ao Pm ´e uniformemente

(25)

Demonstra¸c˜ao. Como Pm ∈ P(mX, Y), pela Proposi¸c˜ao 1.3.7, existe A ∈ Ls(mX;Y)

´

unica tal que para todo x ∈ X, P(x) = Axm. Seja β > 0 tal que kxk < β para todo x∈B. Dado ε > 0, tome 0< δ < ε/(1 +mkAkβm−1_{). Para cada} _{x, y} _∈_B _{temos que se}

kx−yk< δ ent˜ao

kPm(x)−Pm(y)k = kAxm−1(x−y) + m_X−1

j=2

Axm−j(x−y)yj−1+A(x−y)ym−1k

≤

m

X

j=1

kAkkx−ykβm−1

= kx−ykmβm−1kAk< ε. Portanto, Pm ´e uniformemente cont´ınuo em B.

Proposi¸cão 1.3.16. Sejam P ∈ P(X, Y) e B ⊂X limitado. Então P é uniformemente cont´ınuo em A.

Demonstra¸c˜ao. Pela Proposi¸c˜ao 1.3.14, existem Pj ∈ P(jX, Y) para j = 0,1, ..., m tais

que

P =P0+P1 +...+Pm.

Pelo Lema 1.3.15, cada Pj ´e uniformemente cont´ınuo em A. Logo P ´e uniformemente

cont´ınuo emA.

Teorema 1.3.17. Uma fun¸cão P :X −→Y é um polinômio cont´ınuo se, e somente se, Ψ◦P :X −→K_{é um polinômio cont´ınuo para todo} _Ψ_∈_Y∗_.

Teorema 1.3.18. (Bogdanowicz) Seja p∈ P(c0). Se xn w

−→x ent˜ao p(xn)→p(x).

Defini¸cão 1.3.19. SejamX, Y espa¸cos de Banach complexos eU um subconjunto aberto deX. Uma aplica¸cão f :U −→Y é chamada holomorfa ou anal´ıtica em U se para cada a∈U existem uma bolaB(a, r)⊆U e uma sequência de polinômiosPm ∈ P(mX, Y) tais

que

f(x) = ∞

X

m=0

Pm(x−a)

uniformemente parax∈B(a, r). Tal sequência de polinômios é unicamente determinada porf ea. DenotaremosPm =Pfm(a) para todo m∈N0.

Proposi¸cão 1.3.20. Todo polinômio P ∈ P(X, Y) é uma aplica¸cão holomorfa. Demonstra¸cão. Veja [23, Exemplo 5.3].

Defini¸cão 1.3.21. Uma fun¸cão γ : [a, b] → C _{se diz um} _contorno _{se é de classe} _C1_.

(26)

Defini¸c˜ao 1.3.22. Sejam X espa¸co de Banach, γ : [a, b] → C _{um contorno e suponha}

F : [γ]→X cont´ınua. Definimos

Z

γ

F(ξ)dξ =

Z b

a

F(γ(t))γ′(t)dt,

onde a integral no segundo membro da igualdade acima denota a integral de Bochner. Proposi¸cão 1.3.23 (Fórmula Integral de Cauchy). Seja U um subconjunto aberto de X e sejaf :U −→Y holomorfa. Sejam a∈U, t∈X e r >0 tais que a+ξt∈U para todo ξ∈B(0, r). Então para cada m ∈N₀ _temos

Pm f(a)(t) =

1 2πi

Z

|ξ|=r

(27)

CAP´

ITULO 2

EQUAC

¸ ˜

AO DE DAUGAVET PARA

FUNC

¸ ˜

OES N ˜

AO LINEARES

Como sabemos, aEqua¸cão de Daugavet deve seu nome ao matemático I. K. Daugavet [11], que provou a validade dessa equa¸cão para operadores compactos no espa¸co das fun¸cões cont´ınuas definidas no intervalo [0,1]. Durante muitos anos tem-se estudado essa equa¸cão principalmente para fun¸cões lineares, não obstante nos últimos anos se estuda fortemente essa equa¸cão para fun¸cões não lineares. Neste cap´ıtulo apresentaremos duas se¸cões, a primeira sobre a Equa¸cão de Daugavet para fun¸cões limitadas e a segunda sobre a Equa¸cão de Daugavet para fun¸cões uniformemente cont´ınuas. Ressaltamos que neste cap´ıtulo Id representará a identidade na bola unitária fechada de um espa¸co fixado. As demonstra¸cões deste cap´ıtulo foram tomadas de [9].

2.1 Equa¸

c˜

ao de Daugavet para fun¸

c˜

oes limitadas

Em 2007 Y. S. Choi et al. [9] generalizaram as defini¸cões da equa¸cão de Daugavet e da equa¸cão alternativa de Daugavet para fun¸cões limitadas em um espa¸co de Banach X da seguinte maneira: se ℓ∞(BX, X) é o espa¸co de Banach de todas fun¸cões limitadas de

BX para X, munido com a norma do supremo, dizemos que uma fun¸c˜ao Φ∈ℓ∞(BX, X)

satisfaz aequa¸c˜ao de Daugavet se

kId+ Φk= 1 +kΦk, (DE)

e dizemos que Φ satisfaz a equa¸c˜ao alternativa de Daugavet se

max{kId+wΦk:w∈T_}_{= 1 +}_k_Φ_k_. _(ADE)

O lema a seguir nos permite verificar que se Φ∈ ℓ∞(BX, X) satisfaz (DE) ent˜ao αΦ

satisfaz (DE) para todoα≥0.

(28)

Lema 2.1.1. Se dois vetores u e v em um espa¸co normado satisfazem a equa¸c˜ao

ku+vk=kuk+kvk, ent˜aokαu+βvk=αkuk+βkvk para todos α, β ≥0.

Demonstra¸c˜ao. Podemos supor α ≥ β ≥ 0 sem perda de generalidade. Basta ver que

kαu+βvk ≥αkuk+βkvk. De fato,

kαu+βvk = kα(u+v)−(α−β)vk ≥ αku+vk −(α−β)kvk

= α(kuk+kvk)−(α−β)kvk

= αkuk+βkvk. Portanto, kαu+βvk=αkuk+βkvk.

Sejam X um espa¸co de Banach e Z um subespa¸co de ℓ∞(BX). Denotamos por ZX o

espa¸co de todas as fun¸c˜oes Φ :BX −→Xtais quex∗◦Φ∈ Zpara todox∗ ∈X∗. Seϕ∈ Z

ex0 ∈X, então é fácil ver que um elemento de ZX éϕ⊗x0, onde [ϕ⊗x0](x) =ϕ(x)x0 para todox∈BX.

O teorema a seguir é um dos mais importantes deste cap´ıtulo e estabelece equivalências para que uma fun¸cão de ZX com imagem relativamente fracamente compacta satisfa¸ca (DE).

Teorema 2.1.2. Sejam X um espa¸co de Banach e Z um subespa¸co de ℓ∞(BX). Ent˜ao

s˜ao equivalentes:

(i) Para cada ϕ ∈ Z e cada x0 ∈X, ϕ⊗x0 satisfaz (DE).

(ii) Para cada ϕ∈ SZ, cada x0 ∈SX e cada 0< ε < 1, existem w∈T e y∈ BX tais

que

Rewϕ(y)>1−ε e kx0+wyk>2−ε.

(iii) Cada Φ∈ ZX _{com imagem relativamente fracamente compacta satisfaz (DE).}

Para demonstrar este teorema precisaremos de duas defini¸c˜oes, um lema e um resultado de I. Namioka [25].

Defini¸c˜ao 2.1.3. Seja K um subconjunto fechado e limitado de um espa¸co de Banach X. Um elemento y0 de K ´e dito um ponto dentado de K se y0 ∈/ co(K \B(y0, ε)) para todoε >0.

(29)

Defini¸c˜ao 2.1.5. Seja K um subconjunto fechado e limitado de um espa¸co de Banach X. Uma fatia de K ´e um conjunto da forma

S(K, y∗_{, δ) =} _{_y_∈_K _{: Re (y}∗_(y))_≥_{sup Re (y}∗_(K))₋_δ_}_, ondey∗ ´e um elemento n˜ao nulo de X∗ e δ >0.

O lema apresentado a seguir parece ser conhecido por diversos autores. Optamos por apresentar a sua demostra¸cão aqui pois não a encontramos em detalhes em nenhuma referência.

Lema 2.1.6. Seja K um subconjunto fechado e limitado de um espa¸co de Banach X. Se y0 ´e um ponto dentado de K, ent˜ao para todo ε >0 existe uma fatia

S(K, y∗, δ) = {y∈K :Re(y∗(y))≥supRe(y∗(K))−δ}

de K com diˆametro menor que ε contendo y0.

Demonstra¸cão. Seja ε > 0 dado. Já que y0 é um ponto dentado de K, temos que y0 ∈/ co(K \ B(y0, ε/2)). Como {y0} e co{(K \ B(y0, ε/2)) são convexos disjuntos, {y0}

é compacto e co(K \ B(y0, ε/2)) é fechado, segue da Segunda Forma Geométrica do Teorema de Hahn-Banach que existemy∗ ∈X∗ e números reais a eb tais que

Rey∗(x)< a < b <Rey∗(y0)

para todox∈co(K\B(y0, ε/2)). Tome δ= sup Re (y∗(K))−b. Como y0 ∈K, segue que 0< δ <∞. Mostremos que a fatia

S(K, y∗, δ) ={y∈K : Re (y∗(y))≥sup Re (y∗(K))−δ}

tem diâmetro menor queε e contém y0. Observe que se y∈S(K, y∗, δ) então Rey∗(y)≥sup Re (y∗(K))−δ=b >Rey∗(x)

para todo x ∈ co(K \B(y0, ε/2)). Em particular, se y ∈ S(K, y∗, δ) ent˜ao y /∈ K \

B(y0, ε/2). Assim, S(K, y∗, δ)⊆B(y0, ε/2), ou seja, S(K, y∗, δ) tem diˆametro menor que ε. Al´em disso,

Rey∗(y0)> b= sup Re (y∗(K))−δ, donde segue que y0 ∈S(K, y∗, δ).

Proposi¸cão 2.1.7. Todo subconjunto fracamente compacto convexo de um espa¸co de Banach é a envoltória convexa fechada de seus pontos dentados.

Demonstra¸c˜ao do Teorema 2.1.2i) ⇒ii). Sejam ϕ∈SZ, x0 ∈SX e 0< ε < 1.

Ent˜aoϕ⊗x0 satisfaz (DE), ou seja, kId+ϕ⊗x0k= 1 +kϕ⊗x0k= 2. Pela defini¸c˜ao da norma, existey ∈BX tal que

(30)

Segue que 2−ε/2 < kyk+|ϕ(y)| ≤ 1 +|ϕ(y)|, que implica 1−ε/2 < |ϕ(y)|. Note que ϕ(y)6= 0 pois 0< ε <1. Definamos w=|ϕ(y)|/ϕ(y). Assimw∈T _e

Rewϕ(y) = |ϕ(y)|>1−ε/2>1−ε. Al´em disso,

kx0+wyk = kwx0+yk

=

ϕ(y)

|ϕ(y)|x0+y

≥ ky+ϕ(y)x0k −

ϕ(y)

|ϕ(y)|x0−ϕ(y)x0

> 2−ε/2− kϕ(y)x0− |ϕ(y)|ϕ(y)x0k |ϕ(y)|

= 2−ε/2− ||ϕ(y)| −1|

> 2−ε/2−ε/2 = 2−ε.

ii) ⇒ iii). Podemos supor que kΦk = 1. Caso contrário, se kΦk = 0, o resultado segue diretamente, e se 0 6= kΦk 6= 1 então Φ/kΦk tem norma um e sabemos que se Φ/kΦk satisfaz (DE) então Φ também satisfaz (DE) pelo Lema 2.1.1. Como Φ(BX)

w

é fracamente compacto, é poss´ıvel mostrar fazendo uso do Teorema de Eberlein-Smulian (Teorema 1.1.24) que T_Φ(B_X₎w _{é fracamente compacto. Logo, pelo Teorema 1.1.17,}

coT_Φ(B_X₎w _{´e fracamente compacto. Assim, pelo Teorema 1.1.18 e pelo Teorema de}

Mazur (Teorema 1.1.25), co(T_Φ(B_X_{)) =} _co(T_Φ(B_X₎₎w ₌ _coT_Φ(B_X₎w _{´e fracamente}

compacto. SejaK =co(T_Φ(B_X_{)). Pela Proposi¸c˜ao 2.1.7,}

K =co({pontos dentados de K}).

Dado 0< ε < 1, suponhamos que para todo ponto dentadoydeKtiv´essemoskyk ≤1−ε. Ent˜ao, do fato deT_Φ(B_X₎_⊆_K _{segue que, para cada}_x_∈_B_X _{e cada}_w∗ _∈T_,

kw∗Φ(x)k ≤1−ε ⇒ kΦ(x)k ≤1−ε.

Comox∈BX é qualquer, obtemos 1 =kΦk ≤1−ε,isto é,ε≤0, o que é uma contradi¸cão.

Portanto, existe y0 ponto dentado de K tal que ky0k > 1−ε. Pelo Lema 2.1.6, existe uma fatia

S(K, y∗, δ0) = {y∈K : Rey∗(y)≥sup Re (y∗(K))−δ0}

deKcom diˆametro menor queεcontendoy0. Agora, pela Proposi¸c˜ao 1.1.16,T_co(T_Φ(B_X₎₎_⊆

co(T_Φ(B_X_{)) =} _{K. Da´ı, segue que}

sup

y∈K

Rey∗(y) = sup

y∈K

(31)

De fato, dadoy∈K com y∗(y)6= 0, tome α = |y ∗_(y)_|

y∗_(y) ∈T. Ent˜ao

|y∗_(y)_|_{= Re}_y∗

|y∗_(y)_| y∗_(y) y

= Rey∗_(αy), ondeαy ∈K, j´a queα ∈T _e _y_∈_{K. Assim,}

{|y∗(y)|:y∈K} ⊆ {Rey∗(z) :z∈K}, donde segue (2.1). Defina β = sup

y∈K

|y∗(y)| >0, y∗₀ =y∗/β ∈ X∗ e δ =δ0/β > 0. Dessa forma,

S(K, y∗, δ0) =S(K, y∗₀, δ), onde

sup

y∈K

Rey₀∗(y) = sup

y∈K

|y∗₀(y)|= 1. Em particular,

y∈K, Rey0∗(y)>1−δ ⇒ ky−y0k< ε. Se tomarmosϕ:=y∗₀ ◦ Φ, ent˜ao ϕ∈ Z e

kϕk= sup

x∈BX

|y∗

0(Φ(x))|= sup

y∈K

|y∗

0(y)|= 1⇒ϕ ∈SZ.

Agora, usando (ii) com x0 =y0/ky0k e η= min{ε, δ}, existem w∈T _e _y_∈_B_X _{tais que}

Rewϕ(y)>1−η≥1−δ e kx0 +wyk>2−η≥2−ε.

Como Rey∗₀(wΦ(y)) = Rewy∗₀(Φ(y)) = Rewϕ(y)>1−δ e wΦ(y)∈K, segue que

kwΦ(y)−y0k< ε. Al´em disso,

ky0+wyk ≥

wy+

y0

ky0k

− y0− y0

ky0k

= wy+ y0

ky0k

− |ky0k −1|>2−ε−ε = 2−2ε.

Finalmente,

kId+ Φk ≥ ky+ Φ(y)k=kw(y+ Φ(y))k ≥ kwy+y0k − kwΦ(y)−y0k>2−2ε−ε= 2−3ε, e fazendoε→0, se tem que kId+ Φk ≥2. Portanto, kId+ Φk= 2 = 1 +kΦk.

iii) ⇒ i). Basta ver que dados ϕ ∈SZ e x0 ∈BX, tem-se (ϕ⊗x0)(BX) relativamente

fracamente compacto. Note que

(ϕ⊗x0)(BX) = {(ϕ⊗x0)(x) :x∈BX}

= {ϕ(x)x0 :x∈BX}

= x0{ϕ(x) :x∈BX}

(32)

Seja (zn)∞n=1 ⊆x0ϕ(BX), zn =x0ϕ(xn) com xn∈BX. Como Ké completo e (ϕ(xn))∞n=1 é uma sequência de escalares limitada, existe uma subsequência (ϕ(xnk))

∞

k=1 convergente. Logo, (znk)

∞

k=1 é convergente e, em particular, é fracamente convergente. Portanto, pelo Teorema Eberlein-Smulian (Teorema 1.1.24), (ϕ⊗x0)(BX) é relativamente fracamente

compacto. O caso geral segue do Lema 2.1.1.

Corol´ario 2.1.8. Sejam X um espa¸co de Banach e Z um subespa¸co de ℓ∞(BX). Ent˜ao

as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

(i) Para cada ϕ ∈ Z e cada x0 ∈X, ϕ⊗x0 satisfaz (ADE).

(ii) Para cada ϕ ∈ SZ, cada x0 ∈ SX e cada 0 < ε < 1, exitem w1, w2 ∈ T e y ∈ BX

tais que

Rew1ϕ(y)>1−ε e kx0+w2yk>2−ε.

(iii) Para cada ϕ ∈ SZ, cada x0 ∈ SX e cada 0 < ε <1, existem w ∈ T e y ∈ BX tais

que

|ϕ(y)|>1−ε e kx0+wyk>2−ε.

(iv) Cada Φ∈ ZX _{cuja imagem ´e relativamente fracamente compacta satisfaz (ADE).}

Demonstra¸cão. i) ⇒ ii). Sejam ϕ ∈ SZ, x0 ∈ SX e ε > 0. Então, por hipótese, ϕ⊗x0

satisfaz (ADE). Logo, existew0 ∈T_{tal que} kId+w0ϕ⊗x0k= max

w∈T kId+wϕ⊗x0k= 1 +kϕ⊗x0k.

Segue que kId +w0ϕ ⊗x0k = 1 + kw0ϕ ⊗x0k, isto ´e, w0ϕ ⊗x0 satisfaz (DE). Como w0ϕ ∈SZ, temos do teorema anterior que existem w∈T _e_y _∈_B_X _{tais que}

Reww0ϕ(y)>1−ε e kx0+wyk>2−ε. Tomandow1 =ww0 e w2 =w se tem o resultado desejado.

ii) ⇒ iii). Se ϕ ∈ SZ, x0 ∈ SX e 1 > ε > 0, por hip´otese existem w1, w2 ∈ T e y ∈ BX

tais que

Rew1ϕ(y)>1−ε e kx0+w2yk>2−ε. Defina w=w2 e note que|ϕ(y)|=|w1ϕ(y)|>Rew1ϕ(y)>1−ε.

iii) ⇒ iv). Note que se ϕ∈SZ, x0 ∈SX e 1 > ε >0, ent˜ao existem w∈Te y∈BX tais

que|ϕ(y)|>1−ε e kx0+wyk>2−ε. Definindow1 =|ϕ(y)|/ϕ(y) e w2 =w, temos Rew1ϕ(y) = Re|ϕ(y)|>1−ε e kx0+w2yk>2−ε.

Considere Φ ∈ ZX _{com imagem relativamente fracamente compacta e com} _k_Φ_k _{= 1.}

Siga a demonstra¸cão de ii) ⇒ iii) do teorema anterior até a defini¸cão de ϕ = y∗₀ ◦Φ ∈

SZ. Tomando x0 = y0/ky0k, pela observa¸c˜ao anterior e por iii) deste teorema, existem w1, w2 ∈Te y∈BX tais que

(33)

ondeδ ´e como na demonstra¸c˜ao ii) ⇒ iii) do teorema anterior. Assim Rey₀∗(w1Φ(y)) = Rew1(y₀∗◦Φ)(y) = Rew1ϕ(y)>1−δ,

e comow1Φ(y)∈T_Φ(B_X₎ _⊆ _co(T_Φ(B_X_{)) =} _{K, segue que} _k_w1Φ(y)₋_y0_k_{< ε. Da´ı,}

max

w∈TkId+wΦk ≥

Id+w1_w2Φ ≥

y+w1_w2Φ(y) =

y+_wx0₂ − _wx0₂ +w1_w₂Φ(y) ≥

y+_wx0₂ −

w1_w₂Φ(y)− _wx0₂

= kw2y+x0k −

w1Φ(y)− _ky0_y₀_k . Agora w1Φ(y)− y0

ky0k

=

w1Φ(y)−y0+y0 −

y0

ky0k

≤ kw1Φ(y)−y0k+

y0 −

y0

ky0k

= kw1Φ(y)−y0k+| ky0k −1|< ε+ε = 2ε.

Segue das duas desigualdades anteriores que max

w∈TkId+wΦk>2−ε−2ε= 2−3ε.

Portanto,

max

w∈TkId+wΦk= 2 = 1 +kΦk,

ou seja, Φ satisfaz (ADE).

iv) ⇒ i) Se ϕ ∈ Z e x0 ∈ X, ent˜ao ϕ⊗x0 ∈ ZX e (ϕ⊗x0)(BX) ´e relativamente

fracamente compacta. Logo,ϕ⊗x0 satisfaz (ADE).

2.2 Equac˜

ao de Daugavet para fun¸

c˜

oes uniformemente

cont´ınuas

Para um espa¸co de Banach X, escreveremos Π(X) para denotar o subconjunto de X×X∗ dado por

(34)

Dada uma fun¸cão limitada Φ :SX →X, suaimagem numéricaé definida como o conjunto

V(Φ) =x∗(Φ(x)) : (x, x∗)∈Π(X) , e seuraio num´erico ´e o valor

υ(Φ) = sup|λ|: λ∈V(Φ) .

Por fim, denotaremos por Cu(BX, X) o espa¸co de Banach das fun¸c˜oes uniformemente

cont´ınuas deBX em X munido com a norma do supremo.

Proposi¸c˜ao 2.2.1. Sejam X um espa¸co de Banach e Φ∈Cu(BX, X). Ent˜ao:

(i) Φ satisfaz (DE) se, e somente se, kΦk= supReV(Φ); (ii) Φ satisfaz (ADE) se, e somente se, kΦk=υ(Φ).

Demonstra¸c˜ao. i)(⇒) Suponha que Φ satisfa¸ca (DE). Como Φ ´e uniformemente cont´ınua, para todoε >0 dado, existe 0< δ < ε tal que

y, z ∈BX, ky−zk< δ ⇒ kΦ(y)−Φ(x)k< ε.

Como kId + Φk = 1 + kΦk, para 0 < ε < 1 existe y ∈ BX tal que ky + Φ(y)k >

1 +kΦk −δ2/4. Pelo Teorema de Hahn-Banach, existe y∗ ∈SX∗ tal que y∗(y+ Φ(y)) =

ky+ Φ(y)k. Assim

Rey∗(y) + Rey∗(Φ(y)) = Rey∗(y+ Φ(y))

= ky+ Φ(y)k>1 +kΦk − δ

2

4. (2.2)

ComokΦk ≥ kΦ(y)k ≥ |y∗(Φ(y))| ≥Rey∗(Φ(y)), segue de (2.2) que

Rey∗(y)>1− δ

2

4. (2.3)

Al´em disso, pelo fato de Rey∗(y)≤ |y∗(y)| ≤ ky∗kkyk ≤1, temos de (2.2) que

Rey∗(Φ(y))>kΦk −δ2/4>kΦk −ε. (2.4) Agora por (2.3) segue que|Rey∗(y)−1|< δ2/4. Vejamos que

{|y∗(x)|:x∈SX} ⊆ {|Rey∗(x)|:x∈SX}.

Em efeito, seja x ∈ SX. Se y∗(x) = 0 temos Rey∗(x) = y∗(x). Se y∗(x) 6= 0, defina

w= |y ∗_(x)_|

y∗_(x) , ent˜ao wx∈SX e |Rey

(35)

Pelo Teorema de Bishop-Phelps-Bollob´as (Teorema 1.1.26), existe (z, z∗)∈Π(X) tal que

ky−zk< δ e kRey∗−z∗k< δ < ε.

Sabemos que para todosa, b complexos, |Rea−Reb| ≤ |Re (a−b)|. Logo segue que

ky∗−z∗k = kRe (y∗ −z∗)k= sup{|(Rey∗−Rez∗)(x)|:x∈BX}

= sup{|Rey∗(x)−Rez∗(x)|:x∈BX}

≤ sup{|Rey∗(x)−z∗(x)|:x∈BX}

= kRey∗−z∗k< δ < ε.

Ou seja, ky∗ −z∗k < δ < ε. Como ky−zk < δ, da continuidade uniforme segue que

kΦ(y)−Φ(z)k< ε e assim,

|Rez∗(Φ(z))−Rey∗(Φ(y))| = |Rez∗(Φ(z))−Rez∗(Φ(y)) + Rez∗(Φ(y))−Rey∗(Φ(y))| ≤ |Rez∗_(Φ(z)₋_Φ(y))_|₊_|_Re_z∗_(Φ(y))₋_Re_y∗_(Φ(y))_|

≤ |z∗(Φ(z)−Φ(y))|+|z∗(Φ(y))−y∗(Φ(y))|

≤ kΦ(z)−Φ(y)k+kz∗−y∗kkΦk< ε+εkΦk=ε(1 +kΦk). Logo, Rez∗_(Φ(z))₋_Re_y∗_(Φ(y))_>₋_{ε(1 +}_k_Φ_k_{) e de (2.4) segue que}

Rez∗(Φ(z))>Rey∗(Φ(y))−ε(1 +kΦk)>kΦk −ε−ε(1 +kΦk) =kΦk −ε(2 +kΦk). Portanto, sup ReV(Φ) =kΦk.

(⇐) Para cada ε >0, existe (z, z∗)∈Π(X) tal que Rez∗(Φ(z))>kΦk −ε. Ent˜ao

kId + Φk ≥ |z∗(z+ Φ(z))| ≥Rez∗(z+ Φ(z)) = Rez∗(z) + Rez∗(Φ(z)) = 1 +kΦk −ε. Fazendoε→0+, segue que kId + Φk ≥1 +kΦk. Logo, Φ satisfaz (DE).

Provaremos agora o itemii).

ii)(⇒) Se Φ satisfaz (ADE), ent˜ao existew∈T _{tal que}_{wΦ satisfaz (DE), logo pelo item}

(i),

kΦk=kwΦk= sup ReV(wΦ) = sup{Reλ:λ∈V(wΦ)} ≤sup{|λ|:λ∈V(wΦ)}

= sup{|λ|:λ∈V(Φ)}=v(Φ) ≤ kΦk. Portanto, kΦk=v(Φ).

(⇐) Seja (x, x∗)∈Π(X). Temos que

max{kId+wΦk:w∈T_{} ≥} _max_{k_x₊_wΦ(x)_k_:_w_∈T_} ≥ max{|x∗(x+wΦ(x))|:w∈T_}

(36)

Como max{|1 +wx∗(Φ(x))|:w∈T_{} ≤}_{1 +}_|_x∗_(Φ(x))_| _e _w0 ₌ |x

∗_(Φ(x))_|

x∗_(Φ(x)) ∈Tsatisfaz

|1 +w0x∗(Φ(x))|= 1 +|x∗(Φ(x))|, ent˜ao max{|1 +wx∗(Φ(x))|:w∈T_}_{= 1 +}_|_x∗_(Φ(x))_|_{. Logo,}

max{kId+wΦk:w∈T_{} ≥}_{1 + sup}_{|_x∗_(Φ(x))_|_{: (x, x}∗₎_∈_Π(X)_}_{= 1 +}_{v(Φ) = 1 +}_k_Φ_k_.

Portanto, Φ satisfaz (ADE).

Corol´ario 2.2.2. SejamX um espa¸co de Banach eΦ∈Cu(BX, X). SeΦsatisfaz (ADE),

ent˜ao

kΦk= sup{kΦ(y)k:y∈SX}.

Demonstra¸c˜ao. Observe que sup{kΦ(y)k:y ∈SX} ≤ kΦk. Assim, basta mostrar que

sup{kΦ(y)k:y∈SX} ≥v(Φ) =kΦk.

Se (x, x∗) ∈ Π(X), ent˜ao |x∗(Φ(x))| ≤ kx∗kkΦ(x)k = kΦ(x)k ≤ sup{kΦ(y)k : y ∈ SX}.

Logo,

v(Φ)≤sup{kΦ(y)k:y∈SX}

(37)

CAP´

ITULO 3

EQUAC

¸ ˜

AO DE DAUGAVET PARA

POLIN ˆ

OMIOS

A Equa¸cão de Daugavet para polinômios em espa¸cos de Banach é o tema central deste trabalho. Este cap´ıtulo está divido em duas se¸cões. A primeira se¸cão contém o resul-tado principal do cap´ıtulo. Nesta se¸cão se estuda a (DE) para polinômios em espa¸cos de fun¸cões cont´ınuas, principalmente em subespa¸cos Cb-rich, defini¸cão que apresentaremos

no come¸co da se¸cão. A segunda se¸cão é focada nas fun¸cões holomorfas em espa¸cos de fun¸cões cont´ınuas. Como os polinômios cont´ınuos são fun¸cões holomorfas os resultados para eles seguem como caso particular. Ressaltamos que neste cap´ıtuloIdrepresentará a identidade em um espa¸co fixado ou a restri¸cão da identidade na bola unitária fechada de tal espa¸co, dependendo do caso. Os resultados principais deste cap´ıtulo foram tomados de [9].

Defini¸cão 3.0.1. Sejam X e Y espa¸cos de Banach. Um polinômio P ∈ P(X, Y) é denominado fracamente compacto seP(BX) é relativamente fracamente compacto em Y,

ou seja, seP(BX) w

´e fracamente compacto em Y.

Observemos primeiramente polinˆomios em R _{e em} C_.

Exemplo 3.0.2. a) Os espa¸cos R _e C _{não têm a propriedade de que todo polinômio}

fracamente compacto satisfaz (DE). De fato, T = −Id : K _→ K _{´e polinˆomio}

1-homogˆeneo fracamente compacto e kId+Tk=k0k= 0 <1 +kTk.

b) Todo polinˆomio em C _{satisfaz (ADE). De fato, se} _P _{∈ P}₍C_,C₎ _com _k_P_k _{= 1,}

então P é holomorfa e, pelo Teorema do Módulo Máximo, existe y ∈ SC tal que |P(y)| = sup{|P(y)| : y ∈ BC} = 1. Agora, sejam w1 =

|P(y)|

P(y) e w2 =

|y|

y , ent˜ao w1, w2 ∈T,

(38)

Defina w:=w2w1. Ent˜ao w∈T _e

kId+wPk ≥ |(Id+wP)(y)|=|w2y+w1P(y)|= 2 = 1 +kwPk. Logo, P satisfaz (ADE).

c) O resultado do item anterior n˜ao vale paraR_{. De fato, defina}_P_{(t) = 1}₋_t2 _(t _∈R_).

Ent˜ao kPk=P(0) = 1 e

kId±Pk= max

t∈[−1,1]|t±(1−t

2₎_|_{= 5/4}_<_{2 = 1 +}_k_P_k_.

Logo, P é um polinômio fracamente compacto que não satisfaz (ADE).

Vejamos a seguir caracteriza¸c˜oes para quando um polinˆomio fracamente compacto satisfaz (DE) e (ADE), respectivamente.

Proposi¸cão 3.0.3. Seja X um espa¸co de Banach. As seguintes afirma¸cões são equiva-lentes:

(i) Para cada p∈ P(X) e para cada x0 ∈X, p⊗x0 satisfaz (DE).

(ii) Para cada p ∈ P(X) com kpk = 1, para cada x0 ∈ SX e cada 0 < ε < 1, existem

w∈T _e _y_∈_B_X _{tais que}

Rewp(y)>1−ε e kx0+wyk>2−ε. (iii) Todo polinˆomio fracamente compacto P ∈ P(X, X) satisfaz (DE).

Demonstra¸cão. No Teorema 2.1.2 fa¸ca Z = P(X). Então Z é subespa¸co de ℓ∞(BX)

mediante isometria. De fato, sejaψ :P(X)−→ℓ∞(BX) tal que ψ(p) ´e a restri¸c˜ao de p a

BX. Claramenteψé linear ekψ(p)k=kpk, donde segue queP(X) é isométrico à imagem

de ψ. Além disso, note que P(X, X) =ZX_{. De fato, se} _x∗ _∈ _X∗ _e _P _{∈ P}_{(X, X}_{) então} existemP0, ..., Pm polinômios tais que

x∗◦P =x∗◦P0 +...+x∗◦Pm,

ondex∗◦Pj :X →Ké um polinômio j-homogêneo cont´ınuo para cada j = 0, ..., m. Logo

x∗◦P ∈ Z, ou seja,P(X, X)⊆ ZX. Agora se Φ∈ ZX, por defini¸c˜ao, Φ :BX →X e para

todox∗ ∈ X∗ tem-se x∗ ◦Φ∈ Z = P(X). Assim, pelo Teorema 1.3.17, Φ ∈ P(X, X) e, portanto, ZX _{⊆ P}_{(X, X}_{). Desta forma, o Teorema 2.1.2 se reescreve como a Proposi¸c˜ao}

em quest˜ao.

A prova da seguinte proposi¸cão é totalmente análoga.

Proposi¸cão 3.0.4. Seja X um espa¸co de Banach. As seguintes afirma¸cões são equiva-lentes:

(39)

(ii) Para cada p ∈ P(X) com kpk = 1, para cada x0 ∈ SX e cada 0 < ε < 1, existem

w1, w2 ∈T _e _y_∈_B_X _{tais que}

Rew1p(y)>1−ε e kx0+w2yk>2−ε.

(iii) Para cada p ∈ P(X) com kpk = 1, para cada x0 ∈ SX e cada 0 < ε < 1, existem

w∈T _e _y_∈_B_X _{tais que}

|p(y)|>1−ε e kx0+wyk>2−ε.

(iv) Todo polinˆomio fracamente compacto P ∈ P(X, X) satisfaz (ADE).

3.1 Polinˆ

omios em espa¸

cos de fun¸

c˜

oes cont´ınuas

Come¸caremos apresentando a defini¸c˜ao de subespa¸cos Cb-rich de Cb(Ω, X), onde

Cb(Ω, X) é o espa¸co das fun¸cões cont´ınuas e limitadas de um espa¸co topológico Ω em

X.

Defini¸cão 3.1.1. Sejam Ω um espa¸co topológico de Hausdorff completamente regular e X um espa¸co de Banach. Dizemos que um subespa¸co fechado F de Cb(Ω, X) é Cb-rich

se para cada subconjunto aberto U de Ω, cada x ∈ X e cada ε > 0, existe uma fun¸cão cont´ınua ϕ : Ω → [0,1] de norma um com suporte contido em U tal que a distância de ϕ⊗x aF é menor que ε.

Exemplos de espa¸cos Cb-rich podem ser encontrados em [16] e [22] (p´ag. 91).

Podemos supor na defini¸cão que existe t0 ∈ U tal que ϕ(t0) = 1. De fato, dados 0< ε <1 e x ∈X, tome 0 < δ < min{1, ε/(kxk+ 1)} e considere ϕ tal que a distância deϕ⊗x a F seja menor que δ. Como kϕk = 1 e supp(ϕ)⊆ U, então existem t0 ∈ U e uma vizinhan¸ca aberta V de t0 tais que ϕ(t)>1−δ para cada t∈V. Assim, já que Ω é completamente regular,A:= Ω \V é fechado em Ω e t0 ∈/ A, existe uma fun¸cão cont´ınua η: Ω→[0,1] tal que η(t0) = 1 e η(A) ={0}. Se definimos Φ(t) = max{ϕ(t), η(t)} para t∈Ω, então Φ : Ω→[0,1] é cont´ınua, e além disto, temos:

a) suppΦ⊆U. b) Φ(t0) = 1.

c) kϕ−Φk ≤δ ≤ε.

d) dist(Φ⊗x,F)< δ(kxk+ 1)≤ε. Agora provaremos cada item.

a) Seja x ∈ {y ∈Ω : Φ(y)6= 0}, então Φ(x) >0. Caso Φ(x) = η(x), então x /∈ A, ou seja, x ∈V ⊆ suppϕ. E caso Φ(x) = ϕ(x), então ϕ(x)6= 0 e assim x∈ suppϕ. Ou seja,{y∈Ω : Φ(y)6= 0} ⊆suppϕ. Logo,

(40)

b) Como η(t0) = 1≥ϕ(t0), ent˜ao Φ(t0) = max{η(t0), ϕ(t0)}= 1. c) Agora note que

(Φ−ϕ)(t) = Φ(t)−ϕ(t) =

  

0 se ϕ(t)≥η(t), η(t)−ϕ(t) se ϕ(t)< η(t).

Se ϕ(t)< η(t), ent˜ao t /∈A, isto ´e,t ∈V. Assim ϕ(t)>1−δ, donde segue que η(t)−ϕ(t)< η(t)−1 +δ≤1−1 +δ =δ.

Desta forma, |Φ(t)−ϕ(t)|= Φ(t)−ϕ(t)< δ para todo t∈Ω. Portanto,

kΦ−ϕk= sup{|Φ(t)−ϕ(t)|:t∈Ω} ≤δ≤ε. d) Para cada t∈Ω, temos

k(Φ⊗x−ϕ⊗x)(t)k=kxk|Φ(t)−ϕ(t)| ≤ kxkkΦ−ϕk ≤ kxkδ.

Ent˜ao kΦ⊗x−ϕ⊗xk ≤ kxkδ. Assim,

dist(Φ⊗x,F) ≤ dist(Φ⊗x, ϕ⊗x) +dist(ϕ⊗x,F)<kxkδ+δ ≤ε. A seguir apresentaremos o teorema principal deste cap´ıtulo.

Teorema 3.1.2. Seja Ω um espa¸co topol´ogico de Hausdorff completamente regular sem pontos isolados, sejaX um espa¸co de Banach e sejaF um subespa¸coCb-richde Cb(Ω, X).

Ent˜ao todo polinˆomio fracamente compacto de F em si mesmo satisfaz (DE).

Demonstra¸cão. Seja p ∈ P(F) com kpk = 1 e fixe f0 ∈ SF. Como p é cont´ınuo, pela Proposi¸cão 1.3.16,pé uniformemente cont´ınuo em cada subconjunto limitado de F, logo dadoε >0, existe 0< δ <min{ε/10, 1/6}tal que

Rewp(h) =|p(h)|>1−ε/4. (3.2) Como kf0k = 1, fixemos τ ∈ Ω com kf0(τ)k >1−δ/4. Pela continuidade de f0, existe um aberto V tal que τ ∈V e

kf0(t)−f0(τ)k< δ/4 para todo t ∈V. (3.3) Agora como h∈ F ´e cont´ınua emτ, existe U aberto tal que τ ∈U ⊆V e kh(ξ)−h(τ)k

< δ/4 se ξ ∈ U ∩Ω. Logo, pela desigualdade triangular, segue que para todos s, t ∈ U tem-se

(41)

Seja (Uj)∞j=1 uma sequˆencia de abertos contidos emU, disjuntos dois a dois e n˜ao vazios. Fixemos sj ∈ Uj para cada j = 1,2, ... e denotemos xj := w−1f0(sj)−h(sj). Note que

kxjk ≤ 2. Seja εj = kxjk

δ

2j+2. Como F ´e Cb-rich, existem fun¸c˜oes ηj : Ω → [0,1] de norma um tais que

supp ηj ⊆Uj e dist(ηj⊗xj,F)< εj.

Assim existem zj ∈ F tais que

kηj ⊗xj−zjk< εj =kxjk

δ 2j+2 =

kηj⊗xjkδ

2j+2 . Ou seja, para cadaj ∈N_obtemos

supp ηj ⊆Uj e kηj ⊗xj−zjk<

δ

2j+2kηj ⊗xjk. (3.4) Vejamos que as fun¸c˜oes

ηj ⊗xj

kηj ⊗xjk

∞

j=1

formam uma sequência básica equivalente à base canônica dec0. Sejam (ej)∞j=1 a base canônica de c0,yj =

ηj⊗xj

kηj⊗xjk

e

An:= n

[

j=1

supp ηj.

Note que Ω =An∪ACn e que set /∈An ent˜aoηj(t) = 0 para todoj = 1, ..., n. Lembre que

os suportes dosηj’s s˜ao disjuntos dois a dois e que para cadaηj existet0 tal queη(j0) = 1.

Assim, para quaisquer escalaresλ1, ..., λn,

n X j=1 λj

ηj ⊗xj

kηj ⊗xjk

= supt∈Ω

n X j=1

λjηj(t)xj

kxjk

= sup

t∈An n X j=1

λjηj(t)xj

kxjk

= max{|λj|:j = 1, ..., n}

= n X j=1 λjej

c0 .

Segue da Proposi¸c˜ao 1.1.30 que as fun¸c˜oes

ηj ⊗xj

kηj ⊗xjk

∞

j=1

formam uma sequência básica equivalente à base canônica de c0. Vejamos agora que span{zj} é isomorfo a c0 e que

zj w

−→0. Sabemos que a sequˆencia yj :=

ηj ⊗xj

kηj ⊗xjk

com j ∈N _{é uma sequência básica}

em Cb(Ω, X). Considere os funcionais coeficientes {y∗j} da base {yj} de span{yj}. Por

defini¸c˜ao temos que

yj∗(yk) =

  

(42)

Como{yj}∞j=1´e base de Shauder despan{yj}, dadoy∈span{yj}, existem ´unicos escalares

(αj)∞j=1 tais que

y= ∞

X

j=1 αjyj.

Logo, y_j∗(y)=|αj| ≤ kyk e assimkyj∗k ≤1. Por (3.4),

∞ X j=1 yj −

zj

kηj ⊗xjk

ky∗jk ≤

∞

X

j=1 δ 2j+2 =

δ 4 ∞ X j=1 1 2j =

δ 4 <1.

Segue da Proposi¸c˜ao 1.1.31 que a sequˆencia

zj

kηj⊗xjk

∞

j=1

é uma sequência básica equivalente a (yj)∞j=1 e, portanto, ospan{zj} e ospan{yj}são isomorfos. Comospan{yj}

´e isomorfo a c0 e ej w

−→0, segue quespan{zj}isomorfo a c0 e zj w

−→0. Pelo Teorema deBogdanowicz (Teorema 1.3.18),|p(h+zj)−p(h)| →0 quando j →+∞. Ent˜ao existe

j0 ∈N _{tal que}

|p(h+zj0)−p(h)|< ε/4.

Assim, Rewp(h)−Rewp(h+zj0)< ε/4. Da´ı Rewp(h+zj0)>Rewp(h)−ε/4 e de (3.2) se tem que

Rewp(h+zj0)>1−ε/2. (3.5) Defina

A=h+zj0, B =h+ηj0 ⊗xj0, g =A/kAk.

Claramente B ∈Cb(Ω, X), A, g ∈ F, kgk= 1 e kA−Bk< δ/2. Temos tamb´em que

1 + 2δ >kAk>1−2δ. (3.6) De fato, comokf0(τ)k>1−δ/4 e sj0 ∈Uj0 ⊆U, de (3.3) temos que kf0(sj0)k>1−δ/2. Tome tj0 ∈Uj0 tal que ηj0(tj0) = 1. Ent˜ao,

kAk ≥ kBk − kA−Bk ≥ kB(tj0)k − kA−Bk

= kh(tj0) +ηj0(tj0)xj0k − kA−Bk = kh(tj0) +w

−1_f0(s

j0)−h(sj0)k − kA−Bk > kf0(sj0)k − kh(tj0)−h(sj0)k −δ/2

> (1−δ/2)−δ/2−δ/2 = 1− 3δ

2 >1−2δ. Por outro lado,

kAk ≤ kBk+kA−Bk<kBk+δ/2, onde se t /∈Uj0 ent˜ao

(43)

e se t∈Uj0 ent˜ao

kB(t)k = kh(t) +ηj0(t)xj0k

= h(t) + w−1f0(sj0)−h(sj0)

ηj0(t)

= h(t)−h(sj0) +h(sj0)−h(sj0)ηj0(t) +w −1_f

0(sj0)ηj0(t)

≤ kh(t)−h(sj0)k+kh(sj0)k|1−ηj0(t)|+|ηj0(t)|kf0(sj0)k < δ/2 + (1−ηj0(t)) +ηj0(t)

< 1 +δ/2. Logo, kBk= sup

t∈Ω

kB(t)k ≤1 +δ/2. Portanto, kAk ≤ kBk+δ/2≤1 +δ <1 + 2δ. Agora, pela Equa¸c˜ao (3.6),

kg−Ak=

A

kAk−A

= 1

kAk −1

A

=|1− kAk|<2δ.

Comog, A∈ F,kg−Ak<2δ e kAk,kgk ≤2, de (3.1) e (3.5) segue que ε

2 >|p(A)−p(g)| ≥Rewp(A)−Rewp(g)>1−ε/2−Rewp(g), ou seja,

Rewp(g)>1−ε. Al´em disso, como 1<1 + 2δ, ent˜ao 4δ

1 + 2δ < 4ε

10 e assim

kf0+wgk =

f0+w_kA_A_k =

f0+w(A+_kB_A_k−B) ≥

f0+w_kB_A_k −

w(A_k_A−_kB) >

f0(tj0) +w B(tj0)

kAk

− ₂_kδ_A_k

=

f0(tj0) +

w(h(tj0) +xj0)

kAk

− ₂_kδ_A_k

=

f0(tj0) +

w(h(tj0)−h(sj0)) +f0(sj0)

kAk

− ₂_kδ_A_k

≥

f0(sj0) +

f0(sj0)

kAk

− kf0(tj0)−f0(sj0)k −

kh(tj0)−h(sj0)k

kAk −

δ 2kAk

> kf0(sj0)k

1 + 1

kAk

− δ

2− δ

kAk −

δ 2kAk

> (1−δ/2)

1 + 1

kAk

− δ

2 − δ

kAk−

δ 2kAk

= 1

kAk(1−2δ) + 1−δ >

1−2δ

1 + 2δ + 1−δ >2− 4δ 1 + 2δ −δ > 2− 4δ

1 + 2δ −ε/10>2− 4ε 10−