Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas (EPGE/FGV)
Macroeconomia I / 2016
Professor: Rubens Penha Cysne
Lista de Exercícios 4 - Gerações Superpostas
Obs: Na ausência de de…nição de alguma variável, utilize aquela vista em sala de aula.
1. (Ausência de Pareto Otimalidade em Equilíbrio Geral Com-petitivo)
a) No contexto de uma economia com número in…nito enumerável de famílias e bens, dê um exemplo de equilíbrio competitivo que não seja Pareto ótimo.
b) No seu exemplo, você seria capaz de sugerir uma realocação de dotações e um equilíbrio competitivo (associado a tal realocação) de tal forma que tal equilíbrio fosse Pareto ótimo?
2. (Inversão de Limites): Considere as somas:
1 X m=1 1 X n=1 xm;n = a 1 X n=1 1 X m=1 xm;n = b
para uma determinada série dupla xm;n; sendo a e b números reais:
Pode-se garantir que a = b? Sugestão:Considere a série xm;n = 8 < : 1 , se m=n 1; se n=m+1 0; nos demais casos
3. O que o exercício acima lhe ensina sobre derivação de integrais, como em dkd R01f (k(t); _k(t)dt?
4. Com base no exercício 1 acima, discuta a seguinte a…rmação em Weil (2008), Journal of Economic Perspectives, Vol. 22, No. 4, "Overlap-ping Generations: The First Jubilee" no contexto de sua explicação da não validade do primeiro teorema de bem estar no modelo de gerações superpostas: "se o valor dos recursos disponível para uma economia é in…nito, gastar mais em bens (PhPipichi >
P h P ipie h i); xhi
deno-tando o consumo (c) ou dotação (e) que o indivíduo h apresenta do bem i, não é necessariamente sinônimo de gastar mais do que está disponível (Phch
i >
P
he h
i para algum bem i)."
Sugestão: Observe sua resposta no exercício 1 acima. Em seguida, leia Weil (2008) da página 122 à página 125 (em particular a nota de pé de página 7). Alternativamente, para entender porque o primeiro teorema de bem estar não pode ser usado neste caso, leia a discussão que se segue à Proposição 9.2 na seção 9.1 em Acemoglu.
5. (Modelo GS Canônico) No contexto do modelo básico de gerações superpostas, suponha que a função utilidade seja logarítimica e a função de produção Cobb-Douglas.
a) Mostre que, ao estilo do modelo de Solow, a poupança passa a ser uma fração …xa da renda salarial.
b) Mostre que, neste modelo, a elevação da paciência intertemporal e a redução do crescimento populacional elevam a relação “capital/mão de obra” de equilíbrio de steady state.
6-(Seguridade Social com Capitalização Total) Considere no mod-elo de gerações superpostas um sistema de seguridade social por capitaliza-ção, com valor …xo dado pela sequência d(t)1t=0.
a) Explicite o problema de maximização do consumidor.
b) Explique porque, na ausência de qualquer restrição quanto à poupança voluntária s(t), o conjunto de equilíbrios competitivo não se altera.
c) Como sua resposta seria afetada caso houvesse a imposição s(t) 0? 7) (Seguridade Social sem Capitalização): Considere no modelo de gerações superpostas visto em sala de aula um sistema de seguridade social sem capitalização, onde para cada t o governo coleta d(t) dos jovens da geração t e transfere, em termos per capita, (1+n)d(t) para os velhos nascidos na geração t-1, sendo n a taxa de crescimento demográ…co.
a) Explicite o problema de maximização do consumidor e comente as suas diferenças em relação ao problema do exercício anterior.
b) Explique porque em geral se diz que tal sistema de seguridade reduz a formação de capital.
c) Explique de que forma este sistema de seguridade pode ser usado para levar a economia a uma solução mais e…ciente no sentido de Pareto quando o equilíbrio inicial é dinamicamente ine…ciente (com superacumulação de capital).
8) (Gerações Superpostas com Altruismo Impuro): No chamado altruismo puro, os pais derivam utilidade da utilidade de seus herdeiros, com algum tipo de desconto . Neste caso, denotando por V(y(t)) o valor da util-idade total de um consumidor que deixa herança b(t), para um descendente que parte de uma renda igual a um salário w, temos:
V (y(t)) = max
c(t)+b(t) y(t) (u(c(t)) + V (b(t) + w)
Heuristicamente, como a utilidade do herdeiro por sua vez também dependerá da utilidade do próximo herdeiro e assim por diante, a utilidade total do consumidor inicial passa a depender da utilidade de todos os seus herdeiros. Formalmente, pode-se mostrar que o problema acima pode ser escrito sob a forma de maximizar: 1 X i=0 i u(c(t + i)
Este tipo de raciocínio é usado, em particular, para justi…car a otimização dinástica que se aplica ao modelo neoclássico.
Uma alternativa a este tipo de procedimento se dá quando o consumidor deriva utilidade diretamente da herança que deixa para seu descendente. Dá-se neste caso o nome de altruísmo impuro. Pode-Dá-se modelar tal economia assumindo que o consumo na infância é igual a zero (ou junto com os pais) e que a utilidade do consumidor i 2 [0; 1] é dada por:
log(ci(t)) + log(bi(t))
onde ci(t) representa o consumo na vida adulta e bi(t) a herança deixada
para o descendente. Suponha constante e com medida 1 a população total, depreciação igual à unidade e a parte de produção da economia dada sem progresso tecnológico e como no modelo de Solow (f (k(t)), onde k = K=L; com as mesmas expressões para o custo dos fatores). A restrição veri…cada pelo consumidor i é:
ci(t) + bi yi(t) = wi(t) + R(t)bi(t 1)
Suponha que a economia se inicia com determinada distribuição de ci e
bi:
a) Qual a expressão para k(t + 1) em função de f(k(t)) e ?
Sugestão: Inicie resolvendo o problema do consumidor para bi(t) e depois
integre no suporte da distribuição.
b) Mostre que a distribuição de heranças (ou riqueza) converge para a igualdade.
9) Calcule a utilidade esperada para um consumidor com juventude per-pétua (probabilidade de morte constante ao longo do tempo e igual a v e fator de desconto , assumindo que a utilidade residual no caso de morte é igual a zero.
10) Seja X a variável aleatória exponencial com parâmetro p designando "tempo até primeira ocorrência de determinado evento M" e G(x) := P [X x].
a) Mostre que G pode ser obtida a partir da equação diferencial: G0(x) = (1 G(x))p
e da condição de contorno G(0)=0.
b) Com base no item a, interprete o parâmetro p como a "probabilidade por unidade de tempo de ocorrer o evento M".
11- (Gerações Superpostas com Juventude Perpétua):
A abordagem aqui desenvolvida segue Blanchard (1985), "Debt, De…cits and Finite Horizons, JPE.
Numa economia a variável aleatória "tempo até a morte" tem distribuição exponencial com função densidade fx(t) = pe pt; p 2 (0; 1). Do ponto de
vista do agente otimizador, não existe incerteza sobre a evolução no tempo das demais variáveis da economia. A cada momento um novo "corte" pop-ulacional nasce. Como o corte é grande o su…ciente, p é também a taxa de decaimento populacional determinística deste corte. Ou seja, há incerteza individual, quanto ao tempo de vida, mas não incerteza agregada. Assuma, a título de normalização, que este novo corte tem um número de (novos) indivíduos sempre igual a p.
Nesta economia as companhias de seguro pagam pv para os indivíduos com ativos v, recebendo os ativos a quando o indivíduo morre (como os indivíduos morrem com taxa p no agregado e existem muitos indivíduos, cada companhia de seguro tem lucro zero).
é a taxa de preferência intertemporal. Denote por c(s,t), y(s,t), v(s,t), v(s,t) e h(s,t), respectivamente, o consumo, a renda do trabalho, os ativos e o valor descontado do trabalho, na data t, dos indivíduos nascidos na data s. Os indivíduos nascidos na data s maximizam, na data t, o valor esperado da utilidade descontada do consumo:
max Ut= Et
Z 1 t
log(c(s; t) exp( (b t))db (1)
A restrição orçamentária do invidivíduo vivo nascido na data s se escreve sob a forma:
dv(s; z)
dt = (r(z) + p)v(s; z) + y(s; z) c(s; z) (2) onde r(z) é a taxa de juros. De…na:
R(t; z) = exp( Z t
z
(rb + p)db)
A restrição de Ponzi do problema é dada por: lim
z!1R(t; z)v(z) = 0
A riqueza, do indivíduo nascido em s, derivada da renda do trabalho se escreve como:
h(s; t) := Z 1
t
y(s; z)R(t; z)dz (3)
a) Mostre que a população total nesta economia, em qualquer tempo t > 0; tem tamanho constante e igual à unidade.
b) Mostre, formalmente, que o problema 1 nesta economia pode alterna-tivamente ser escrito como:
max Ut =
Z 1 t
log(c(s; z) exp(( + p)(z t))dz (4) Sugestão: De…na a variável aleatória X tal que:
X(t) = c(s; z);se T > z t 0; seT z t
onde T é o tempo esperado até a morte para os indivíduos nascidos em s e que se encontram no tempo t.
c) Mostre como obter a equação que determina o consumo da geração s no momento t:
c(s; t) = ( + p)(v(s; t) + h(s; t)) (5) 12 - (Agregação e Equilíbrio Geral no Modelo de Juventude Per-pétua)
De…na as variáveis agregadas C(t), Y(t), V(t) e H(t), cada uma delas correspondendo à agregação da variáves de…nida anteriormente com a re-spectiva letra minúscula. A agregação segue sempre o mesmo procedimento para qualquer destas variáveis minúsculas. Genericamente, representado o valor agregado da variável g (que pode ser c, y, v ou h) por G, tem-se, para todas as gerações s não posteriores a t:
G(t) = Z t
1
g(s; t)pe p(t s)ds (6)
Temos então, a partir de (5), já que nem p nem dependem da idade do indivíduo:
C(t) = ( + p)(V (t) + H(t)) (7)
Hipótese sobre Renda do Trabalho:Para caracterizar a queda da capaci-dade de trabalho com o passar do tempo, para aqueles nascidos em qualquer geração s t, faça:
y(s; t) = aY (t)exp( (t s) (8)
a) Mostre que (6) (usado para G=Y) e (8) implicam
a = ( + p)=p (9)
b) Mostre, a partir de (3) e (8), como escrever h(s; t) em função de Y(t). Ou seja, como escrever a riqueza oriunda do trabalho, no ponto t, da geração s, em função da renda agregada da geração t. Mostre que se obtém:
h(s; t) = a( Z 1
t
Y (z) exp( (z t)R(t; z)dz))e (t s) (10) c) Use (9) e (6) para mostrar que a riqueza humana agregada é igual ao valor descontado, à taxa r, da renda do trabalho das pessoas vivas a cada ponto do tempo, ou seja:
H(t) = Z 1 t Y (z)exp( Z z t ( + p + r( )d ))dz (11) Sugestão: Substitua (10) em (6) e integre inicialmente em s t.
d) Use (6) para obter V(t). Diferencie V(t) em relação a t e use (2) para obter:
dV (t)
dt = r(t)V (t) + Y (t) C(t) (12) e) Use (7), (12) e (11) para obter:
dC
dt = (r + )C (p + )(p + )V dV
dt = rV + Y C
f) Suponha que o lado da produção se dá pela função de produção com re-tornos de escala onde a produção líquida com L=1 a cada período se expressa por:
F (K) = F (K; 1) K
representando a taxa de depreciação. Suponha agora que = 0: Obtenha as equações …nais: dC dt = (F 0(K) )C p(p + )K dK dt = F (K) C
Faça o diagrama de fases C,K. O modelo com = 0 comporta superacu-mulação? E quando > 0?
