Legendre e Números Primos: A Busca de Uma Fórmula Mágica

Legendre e Números

Primos: A Busca de Uma

Fórmula “Mágica”

Esse trabalho é fruto da minha tese

Adrien-Marie

Legendre (1752-1833) e seus trabalhos em Teoria

dos Números

, desenvolvida em 2007-2009 no

Programa de Pós-Graduação em Educação da

Universidade Federal do Rio Grande do Norte sob a

orientação de John Andrew Fossa, e teve por objetivo

inventariar, sistematizar e avaliar as obras em Teoria

dos Números do matemático francês Adrien-Marie

Legendre com certa ênfase no seu livro

Teoria dos

Números

, edição francesa de 1830, bem como

realizar um estudo histórico da vida desse

matemático. Para tanto, foi investigado o papel

desempenhado por essas obras e sua influência no

desenvolvimento da Teoria dos Números no contexto

de sua época.

Uma leitura da vida de Adrien-Marie Legendre foi realizada por meio de suas relações pessoais e de suas produções científicas e colocou em evidência certos elementos históricos do desenvolvimento de um povo, das ciências e suas possíveis consequências que nortearam a própria evolução da sociedade francesa dos séculos XVIII-XIX, articulada à cronologia de quatro momentos políticos mais importantes da sociedade francesa: o Antigo Regime (1752-1789), a Revolução Francesa (1789-1799), o Primeiro Império de Napoleão (1803-1814) e a Restauração (1814-1833). Também revelou características marcantes da personalidade de Legendre no meio matemático contemporaneo, como as infindáveis querelas com Gauss a respeito de prioridades de descobertas científicas.

Um estudo sistemático da obra Teoria dos Números (1830) num contexto histórico-social e a análise de certos conteúdos da obra comparados a alguns textos de outros autores nos permitiram compreender a evolução dinâmica dos caminhos percorridos pelo autor, quanto à semântica, à organização das demonstrações, à estrutura lógico-dedutiva que permearam suas descobertas matemáticas em Teoria dos Números, a exemplo da sua famosa lei de reciprocidade quadrática.

O impacto causado por suas obras em Teoria dos Números na comunidade matemática francesa da época e as contribuições do autor à ciência antes e depois da publicação da obra revelou que Teoria dos Números, obra à qual o autor consagrou mais da metade de sua vida no intuito de aperfeiçoá-la, tornou notória a honra que lhe é devida como o primeiro tratado de uma Aritmética superior que tanto inspirou a outros matemáticos para o avanço dessa ciência no século XX.

Mostramos que desde seu primeiro artigo “Estudos Sobre a Análise Indeterminada” (1785), Legendre descobriu importantes proposições e restabeleceu uma ligação entre a Análise Indeterminada (Análise de Diofanto) e a Ciência dos Números (Aritmética Superior, hoje Teoria dos Números). De sua autoria, encontramos as proposições: “todo número primo da forma 8n − 1 é da forma p2 _{+ q}2 _{+ 2r}2_{” e “todo número}

natural é a soma de quatro quadrados”, sobretudo, a sua famosa lei de reciprocidade quadrática que estabelece uma relação particular entre dois números primos ímpares, 4n +1, 4n +3. Em todas as suas obras, Legendre reproduziu demonstrações de trabalhos de outros matemáticos, a exemplo dos Teoremas de Fermat, números figurados, a infinidade dos números primos de Euclides, os estudos de Euler e Lagrange sobre equações e formas quadráticas, a lei de ciclotomia de Gauss, os estudos de Sophie Germain sobre números primos.

Quem foi Adrien-Marie Legendre?

Adrien-Marie Legendre nasceu em Paris em 18 de

setembro de 1752 e faleceu nessa mesma cidade em 9 de janeiro de 1833. Ele é da mesma geração de grandes matemáticos como Lagrange (1736-1813), Laplace (1749-1827), Monge (1746-1818), Gauss (1777-1855) e é mundialmente conhecido por ser autor da obra Elementos

de Geometria (1794), livro que na época foi adotado nas

escolas secundárias da França, no século XIX foi adotado nos cursos de Matemática das universidades americanas e nas Academias Militares no Brasil durante o Império. Legendre recebeu homenagens póstumas dos matemáticos Beaumont, e Poisson, que inclusive discursou em seu funeral, e o seu nome se encontra perpetuado na face Trocadéro da Torre Eiffel que contém uma lista de 72 ilustres cientistas e dá nome a uma passagem e a uma rua do 17º bairro da cidade de Paris.

Quais foram os legados de

Legendre?

Muitos foram os legados de Legendre em vários ramos das ciências: ele realizou estudos sobre funções elípticas, mecânica celeste, estatística e em particular, em Teoria dos Números. Legendre foi quem criou o nome Teoria dos Números para identificar a ciência que estuda os números inteiros, cuja terminologia apareceu pela primeira vez na sua obra de 1798. Ao longo de suas obras em Teoria dos Números, encontramos algumas nomenclaturas e notações de sua autoria. Por exemplo, a notação M(A) que atualmente é designada para denominar o conjunto dos múltiplos de um número inteiro A, foi criada por Legendre e apareceu pela primeira vez na segunda edição do Ensaio sobre a Teoria dos Números de 1808.

É de sua autoria, o termo reciprocidade para expresssar a lei que estabelece uma relação entre dois números primos ímpares, que foi anunciada pela primeira vez no trabalho de 1785.

Os símbolos , que expressam o resíduo quadrático de um número c aparecem em todas as suas demonstrações da lei de reciprocidade quadrática. ! " # $ % & c N 2!1 c N

Enfatizaremos nesse trabalho:



a busca de Legendre para encontrar fórmulas

geradoras de números primos distribuídos em

categorias que foram amplamente utilizadas nas

demonstrações de alguns teoremas dele, inclusive na

sua lei de reciprocidade;

algumas conjecturas sobre a distribuição de

números primos em progressões aritméticas infinitas

do tipo... − 2A + B, − A + B, B, A + B, 2A + B,...

cujo termo geral é A

x

+ B, com A e B primos entre

si;

 e por fim, as estimativas de Legendre e de Gauss

com fundamentos na propriedade de logaritmos para

determinar quantos números primos existem de 1 a

N

 1. Legendre, Fermat, Mersenne, Euler, Gauss,

números primos, fórmulas algébricas

 Historicamente, a busca de uma fórmula capaz de gerar

números primos é antiga, se tornou uma espécie de paixão entre os matemáticos e perdura há vários séculos.

 Fermat conjecturou que + 1 era uma fórmula que

expressava um número primo. Segundo Sautoy (2005), numa carta enviada a Mersenne em 1640, Fermat relatou que certos números primos poderiam ser expressos como soma de dois quadrados. Mersenne, que era monge e matemático amador, ao invés de somar 1 a uma potência de dois optou por subtrair 1 e também conjeturou que 2n _{− 1 era primo}

para n = 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 67, 127, 257.

Foi um espanto geral entre os matemáticos contemporâneos de Fermat e Mersenne quando esse último conseguiu realizar o feito extraordinário de determinar o número 2257 _{− 1, que possui 77}

algarismos!

n

2



A História da Matemática ainda registra

que Euler era um apaixonado pela Teoria

dos Números e isso pode ser verificado em

suas obras e nas correspondências trocadas

com o alemão Goldbach, outro matemático

amador que vivia em Moscou e era

secretário ad hoc da Academia de Ciências

de São Petersburgo. (DIEUDONNÉ, 1978.)

É de sua autoria a questão em aberto: “todo

número par pode ser expresso como soma

de dois números primos”.

Os estudos sobre os números primos

levaram Euler a demonstrar que o

número de Fermat para n = 5 era

composto e em 1772 ele obteve uma lista

de números primos por meio da integral

de x

_{+ x + 41 entre 0 e 39. (SAUTOY,}

2005). Esse fato é citado por Legendre em

sua obra Ensaio sobre a Teoria dos Números

de 1798, onde nos diz:

[...] existem algumas fórmulas importantes pela

quantidade de números primos que elas contêm:

tal é a fórmula x

_{+ x + 41, onde Euler em seus}

Mémoires de Berlim, 1772, pág. 36, no diz que

se fizermos sucessivamente x = 0, 1, 2, 3, etc.,

obtemos a sequência 41, 43, 47, 53, 61, 71, etc.,

onde os quarenta primeiros termos são números

primos. Podemos citar dentro do mesmo gênero a

fórmula x

_{+ x + 17, onde os dezessete primeiros}

termos são números primos; a fórmula 2x

_{+ 29,}

onde os 29 primeiros termos são primos e uma

grande quantidade de outras fórmulas.

 Embora estivesse consciente de que era muito difícil

obter fórmulas geradoras de números primos, Legendre apresentou em sua obra de 1798, uma demonstração similar da Proposição 20 do Livro IX dos Elementos de Euclides que trata da infinidade deles e inclusive faz uma referência à outra demonstração de Euler, que obteve o mesmo resultado por meio da série harmônica :

 XXI. Se não podemos encontrar a fórmula algébrica que

contenha unicamente os números primos , pela mais forte razão que não podemos encontrar uma que contenha todos esses números expressa numa lei geral. Essa lei parece muito difícil de encontrar, e não há nenhuma esperança que consigamos. Isso não impede que possamos descobrir e demonstrar um grande número de propriedades sobre os números primos, as quais resplandecerão um grande dia sobre natureza desses números. Agora nós podemos demonstrar rigorosamente que a quantidade de números primos é infinita.



Pois se a sequência de números primos (I) 1, 2, 3, 5, 7,

11, etc., fosse finita, e que p fosse o último ou maior de

todos, seria preciso que um número N fosse divisível

por qualquer um dos números primos 2, 3, 5,...,p.

Mas se representamos P pelo produto de todos estes

números (I), é claro que dividindo P + 1 por qualquer

um dos números primos até p, o resto será 1. Portanto a

hipótese de que P é o maior dos números primos não

tem fundamento; assim a quantidade dos números

primos é infinita. Essa proposição pode ser mostrada de

uma maneira direta e muito elegante, utilizando a

sequência recíproca dos números primos

que é uma soma infinita (Introd. à Análise infin., página

235). (LEGENDRE, 1798, p. 10-1, tradução nossa)

... 7 1 5 1 3 1 2 1 1 1_{+ + + + +}



A demonstração de Euler



Trata-se de uma demonstração indireta:

Apresentaremos a ideia com linguagem

moderna: suponhamos que exista uma

quantidade finita de números primos: 1,

2, 3, 5, ..., p. Então para cada p > 1 a série

geométrica infinita de razão 1/p



e primeiro termo = 1 é dada por

=



Multiplicando membro a membro cada

somatória para os números primos 2, 3,

5, ..., p, obtemos:

!



O primeiro termo é a soma dos inversos dos

números naturais sendo que cada membro é

contado 1 só vez e assim obteremos que a série

harmônica



O que não pode acontecer, pois a série

harmônica é divergente!



Esta demonstração de Euler é genial não ?

p

n

!

"

"

!

"

!

"

!

=

#

1

1

...

5

1

1

3

1

1

2

1

1

1



No artigo seguinte Legendre apresenta uma lista de

números primos que está dividida em duas

categorias, classificação que será amplamente

utilizada nas demonstrações de vários resultados

envolvendo números primos, inclusive na que se

refere à lei de reciprocidade:



Todos os números ímpares se representam pela

fórmula 2x + 1, a qual segundo x é par ou ímpar,

contém as duas formas 4x + 1 e 4x – 1 ou 4x + 3.

Desses resultados são obtidas duas grandes divisões

de números primos, uma compreendendo os

números primos 4 x + 1, a saber, 1, 5, 13, 17, 29, 37,

41, 53, 61, 73, etc., outra contemplando os números

primos 4x – 1 ou 4 x + 3, a saber 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43,

47, 59, etc.

 Em um outro artigo Legendre apresenta uma lista

de números primos divididos em duas categorias, classificação que será amplamente utilizada nas demonstrações de vários resultados envolvendo números primos, inclusive na que se refere à lei de reciprocidade:

“Todos os números ímpares se representam pela fórmula 2x + 1, a qual segundo x é par ou ímpar, contém as duas formas 4x + 1 e 4x – 1 ou 4x + 3. Desses resultados são obtidas duas grandes divisões de números primos, uma compreendendo os números primos 4 x + 1, a saber,

1, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, etc., outra contemplando os números primos 4x – 1 ou 4 x + 3, a saber

3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, etc. A forma geral 4x + 1 se subdivide em duas outras formas 8x + 1 e 8x – 3 ou 8x

+ 5; da mesma forma que 4x + 3 se subdivide em duas

outras 8x + 3 e 8x + 7 ou 8x – 1; de maneira que relativamente aos múltiplos de 8, os números primos se distribuem nessas quatro principais formas:



8x + 1 ... 1, 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137,

etc.

8x + 3 ... 3, 11, 19, 43, 59, 67, 83, 107,

etc.

8x + 5 ... 5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109,

etc.

8x + 7 ... 7, 23, 31, 47, 71, 103, 127, etc.

(LEGENDRE, 1798, p. 11-2, tradução

nossa)



Os estudos prosseguem e o autor subdivide a

categoria anterior, agora relacionada aos

múltiplos de 60:

[...]

Que são as dezesseis formas distintas, a saber,



60 x + 1, 60 x + 7, 60 x + 11, 60 x + 13

60 x − 1, 60 x − 7, 60 x −1 1, 60 x − 13

60 x + 17, 60 x + 19, 60 x + 23, 60 x + 29

60 x − 17, 60 x − 19, 60 x − 23, 60 x − 29,

onde cada uma delas contém uma infinidade de

números primos e conjuntamente englobam a

totalidade deles, exceto os números 2, 3, 5



Um método para encontrar quantos termos

existem numa sequência ou progressão

aritmética qualquer que não são divisíveis por

nenhum dos números primos da progressão foi

apresentado por Legendre nos seus trabalhos

de 1785, 1798, 1808, 1823 e 1830. Os estudos

têm por objetivo encontrar quantos números

primos há em n termos sucessivos de uma

progressão aritmética de razão constante do

tipo:

... − 2A + B, − A + B, B, A + B, 2A + B, ... onde

o termo geral é Ax + B, a razão A e B são

primos entre si e n é um número grande.



No final do artigo IV do trabalho Estudos sobre a

Análise Indeterminada (1785), Legendre declarou

que, nas demonstrações da lei de reciprocidade

ele utilizou uma propriedade sobre os números

primos onde conjeturou que, dada uma

progressão aritmética cujo primeiro termo e a

razão são primos entre si, existe uma infinidade

de números primos. Tal progressão é conhecida

como progressão de Bachet (matemático e

poeta francês que traduziu do latim para o

francês o livro Aritmética de Diofanto-maior

algebrista grego do séc. 3). Essa conjectura pode

ser interpretada como uma generalização do

teorema de Euclides sobre a existência de

infinitos números primos na sequência dos

números naturais 1, 2, 3, ...



Mediante a dificuldade em determinar em

poucas linhas tal propriedade, Legendre

esboçou uma demonstração por exemplificação

e usou o Crivo de Eratóstenes, argumentando:

Essa progressão é muito fácil de demonstrar. No

entanto, podemos assegurar que ela é verdadeira,

comparando a referida progressão com a progressão

1, 3, 5, 7, etc. Basta considerarmos uma grande

quantidade de termos de ambas as progressões e

compararmos os termos maiores que ocupam a

mesma posição. Após eliminarmos os múltiplos de

3, 5, 7, etc. até um número p podemos concluir que

na segunda sequência sobrará a mesma quantidade

de termos que na sequência inicial. [...] indico esse

meio de demonstração que seria muito longa de

detalhar, uma vez que esse trabalho já ultrapassou os

limites permitidos.

 No intuito de encontrar quantos números primos há

em n termos sucessivos de uma progressão aritmética de razão constante do tipo ... − 2A + B, − A + B, B, A + B, 2A + B, ... cujo termo geral é Ax + B, A e B primos entre si e n é um número grande,

Legendre em Ensaio sobre a Teoria dos Números (1798) ao considerar A + B como o primeiro termo da sequência, demonstrou que os

n termos remanescentes dessa progressão, não serão divisíveis por .

Posto isto ele deduziu que se , , ,... for uma sequência aleatória de números primos não divisores de A, a fórmula n ...

representará a quantidade de termos da sequência A + B, 2A + B, 3A + B, ... , nA + B que não são divisíveis por nenhum dos números primos elencados.

! " # $ % & ' ( 1 1 ! ! ! µ ! " # $ % & ' ( 1 1 ! " # $ % & ' ( 1 1 _!! " # $$ % & ' µ 1 1

 Considerando a sequência natural dos números

primos 3, 5, 7 ..., , onde é o maior deles contido em (excluídos os divisores de A), usando a fórmula anterior n , ...

Legendre determina o produto n , ... e conclui que

se A + B for maior do que , essa expressão é a fórmula ideal para estimar a quantidade de números primos na progressão

A + B, 2A + B, 3A + B, ... , nA + B

e se isso não ocorrer, diz ele, “será necessário acrescentar à fórmula a quantidade de números primos menores do que

pertencentes à sequência acima.”

! " # $ % & ' ( 1 1 _! " # $ % & ' ( 1 1 ) (nA+B ! ! ! " # $ $ $ % & ' '₅4 ₇6··· ( 1₍ -3 2 ) (_nA+B !! " # $$ % & ' µ 1 1 ! ! ) (_nA+B

 Legendre aplica a fórmula no caso: encontrar quantos

números primos existem nos 1 000 primeiros termos da sequência 49, 109, 19, 229, 289, ..., cujo termo geral é 60x − 11. Determinando

que é aproximadamente 244, tem-se que 241 é o maior primo contido nessa raiz quadrada. Os números 3 e 5 são excluídos, por serem divisores de 60 e assim utilizando-se os primos de 7 a 241 na fórmula anterior, é obtida a expressão 1000×

~ 377, e, acrescentando os dois números primos 109 e 229 da sequência que são menores do que 241, o autor conclui que existem aproximadamente 380 números primos na sequência proposta menores do que 1000 (Legendre, 1798, artigos XXV a XXVII).

59989 ! " # $ % & ' ' ' ' 241 240 13 12 11 10 7 6 L



Números primos e logaritmos:

Ainda no trabalho de 1798, Legendre optou pelas

potências de 10 para criar outra fórmula sobre a

quantidade de números primos em uma

progressão aritmética, com fundamentos na

propriedade de logaritmos decimais que

transformam multiplicações em adições,

argumentando que:

“Se existem b números primos na progressão natural

1, 2, 3, 4, 5 , ... , a = potência de 10, é extraordinário

observar que segundo os variados valores de a temos

aproximadamente as seguintes relações:

a = 101_{, 10}2_{, 10}3_{, 10}4_{, ...}

 = , , , , ...

Donde parece que em geral podemos concluir que b = , onde la é o logaritmo decimal de a

comumente apresentados em tabelas. Essa fórmula muito simples pode ser vista como uma aproximação suficiente, pelo menos quando a não é maior do que 1 000 000. Assim se quisermos saber quantos números existem de 1 a 400 000, encontraremos que esse número é

ou aproximadamente 35.700. Além disso, verdadeiramente a fórmula que fornece o valor de b quando a é muito grande é dada por

b = ,

onde A e B são constantes e log a o logaritmo hiperbólico. A determinação exata desses coeficientes é um problema curioso e digno do exercício da sagacidade dos analistas_.” (LEGENDRE, 1798, p. 18-9, tradução nossa.)

a

b

₂

1

1

4

1

₆

₈

1

la

a

2

 Numa transição entre as obras de Euler e Legendre

se encontra Disquisitiones Arithmeticae, de Gauss que foi escrito em 1796, publicado em 1801 e traduzido do latim para o francês em 1807 como

Recherches Arithmétiques por Poullet-Delisle, um

ex-aluno de Laplace.

 Contrariamente a esses eminentes matemáticos, em

1792, Gauss aos quinze anos já percebera que os conhecimentos matemáticos até então desenvolvidos não eram suficientes para sanar o problema, vez que “Se séculos de pesquisas não permitiram encontrar uma fórmula mágica capaz de fornecer uma lista de números primos durante todo esse tempo foi por quê é necessário adotar uma nova estratégia”. _{(SAUTOY, 205, p. 77, tradução nossa)}

 A estratégia inicial de Gauss foi a mesma de

Legendre em 1785 e anos depois, Gauss estabeleceu uma outra relação entre logaritmo e probabilidade. Desde a tenra idade Gauss descobriu que poderia contar números primos de uma sequência numérica com a ajuda de logaritmos na base e.



Como hábil calculista, construiu aos dezoito

anos uma tabela que permitia descobrir que

entre os números 1 a N, aproximadamente

é primo.

Ele então estimou que a quantidade real dos

números primos de 1 a N, denotada por (N) é

aproximadamente . Gauss não pretendia

que esse sistema oferecesse uma fórmula exata

para encontrar números primos até N, mas ela

ainda constitui uma boa aproximação para essa

finalidade. Com esses cálculos, Gauss rompeu

com o empirismo de Euler (e Legendre) e

valorizou o poder de uma demonstração em

Teoria dos Números. Para alguns matemáticos,

se ele tivesse difundido todas as suas

descobertas teria avançado em mais de meio

século o desenvolvimento dessa ciência.

(SAUTOY, 2005, p. 86, tradução nossa)

N log1 ) N log( N

!



Comparando-se as estimativas de Gauss e Legendre

para determinar quantos números primos existem de

1 a 10

_{, para n = 1, 2, 3, as fórmulas de ambos}

matemáticos fornecem estimas bem próximas. Pela

fórmula de Legendre , onde la = log a é o

logaritmo decimal e sendo a menor do que 1 000 000,

as proporções para se encontrar quantos números

existem de 1 a 10, de 1 a 100, de 1 a 1 000, são,

respectivamente, = 0,5; = 0, 25; = 0, 167.



O que significa que existem em torno de 5, 25, 167

números primos menores do que 10

_{; n = 1, 2, 3. Já a}

estimativa de Gauss pela fórmula , onde

log(N) é o logaritmo natural ou neperiano, essas

quantidades são, respectivamente 4, 25, 168. Na

tabela construída por Legendre, excluído o 1 como

número

primo,

essas

quantidades

são,

respectivamente 4, 25, 168.

 No entanto, de 1 a 100 000, Legendre estimou que

há aproximadamente 9 715 números primos menores do que 100 000 (LEGENDRE, 1798, p. 12-20), enquanto que pela fórmula de Gauss esse número é aproximadamente 9 592. E de 1 a 400 000,

pela fórmula de Legendre existem

aproximadamente 35 700 números primos e pela de Gauss esse número é aproximadamente 32 000. As duas primeiras estimativas diferem de 123, e em relação às duas últimas a diferença é de 3 700. Pela observação acima, a proporção de números primos aumenta de 2,3 mais rapidamente do que 1 pela fórmula de Gauss, à medida que n é um número muito grande.

 Portanto esses argumentos são suficientes para

deduzir que a escolha do logaritmo neperiano torna a fórmula de Gauss muito mais eficaz do que a escolha de Legendre que é fundamentada no logaritmo decimal.

 Quase uma década depois da publicação de Teoria

dos Números (1830), a conjectura de Legendre para

enumerar números primos, finalmente, foi demonstrada pelo alemão Peter Gustav Lejeune-Dirichlet, um ex-aluno de Gauss e contemporâneo de Abel e Jacobi, que completou seus estudos em Paris. A demonstração é parte integrante do trabalho Estudos sobre diversas aplicações da Análise

Infinita à Teoria dos Números, que foi lido na

Academia de Berlim em 1837, traduzido do alemão para o francês por Terquem e publicado no Jornal de

Matemática Pura e Aplicada de Liouville em 1839.

 A primeira tentativa da demonstração da conjectura

foi frustrada, quando Dirichlet buscou argumentos nas grandezas discretas da Aritmética. Devido à complexidade do assunto, o objetivo somente foi atingido quando o referido autor recorreu às grandezas contínuas da Teoria Analítica dos Números, como aponta a introdução do trabalho:

 Não existe uma demonstração rigorosa do teorema que

acabei de anunciar. Mediante a grande quantidade de aplicações é necessário uma demonstração. Que eu o saiba, Legendre foi o único analista a tentar demonstrá-la. Apesar das dificuldades, esse teorema teve para ele todo um interesse particular uma vez que lhe serviu como lema em seus trabalhos posteriores. A demonstração desse ilustre matemático dependia da solução dessa questão. [...] Mas a solução dada por ele é apenas fundamentada sobre uma indução. Procurando provar a exatidão dessa solução de uma forma simples, encontrei dificuldades que me foram impossíveis de superar. Após abandonar essa via, consegui chegar a uma demonstração rigorosa do teorema. Ela não é somente aritmética, sobretudo fundamentada em grandezas contínuas. A novidade dos princípios sobre qual ela se apoiou é que antes de considerarmos o caso geral, devemos considerar o caso particular cuja razão da progressão aritmética é um número primo ímpar.



Dieudonné (1978, p. 187) coloca que, o trabalho

de Lejeune-Dirichlet marcou o verdadeiro início

da Teoria Analítica dos Números, uma vez que,

além da demonstração da conjectura de

Legendre, ele contém métodos de resolução para

vários problemas da Teoria dos Números,

destacando-se, dentre eles, o estabelecimento de

uma fórmula capaz de fornecer a quantidade de

classes de formas quadráticas (a, b, c) que

dependem do discriminante D = b

_{– 4ac, cujo}

caso particular foi conjeturado por Jacobi em

1832.

 A Teoria dos Números desenvolvida no século XVIII foi fortemente

influenciada pelas obras de Euler e Lagrange. No século XIX a ciência foi marcada por outras obras a exemplo de Disquisitiones (1801) de Gauss e em especial pelos trabalhos de Adrien-Marie Legendre que sistematizaram as teorias do século anterior e forneceram ao século XX métodos inovadores e problemas interessantes por meio da Análise Indeterminada ou Análise de Diofanto.

 Enfatizamos nesse trabalho a busca de Legendre por mais de 45 cinco anos para

encontrar uma fórmula geradora de números bem como para determinar quantos números primos existem numa progressão aritmética, questões essas que no fim do século XIX foram apontadas por Lucas (1891) como questões que não possuíam uma solução satisfatória, a saber:

1. Dado um número primo p, encontrar outro número primo que seja maior do

que p.

2. Encontrar uma função que forneça números primos.

3. Encontrar um número primo sucessor de um determinado número primo.

4. Encontrar a quantidade de números primos menores do que um determinado

número.

5. Calcular diretamente um número primo a partir de uma sequência numérica.

 O matemático Legendre bem como Fermat, Mersenne,

Goldbach, Euler, Gauss, Riemann tentaram responder a alguma dessas questões e envidaram esforços utilizando os mais variados conhecimentos com fundamentos não somente no ponto de vista estático da Aritmética, mas também na divergência dinâmica de uma teoria dividida em vários ramos de estudos em função dos métodos utilizados e das questões tratadas (SAUTOY, 2005; GOLDSTEIN, 2004).

 Nesse sentido divisamos que Legendre ao utilizar a Análise

Indeterminada, ultrapassou os limitados artifícios da Aritmética na abordagem de uma série de problemas clássicos. Suas demonstrações de outros importantes resultados que foram consideradas como incompletas e até mesmo deixaram a desejar, por estarem fundamentadas no que ele chamava de “forma indutiva”. Na verdade, tais demonstrações eram por apreensão por meio de exemplos numéricos, que até certo ponto se adequava à teoria exposta, porém, sem o devido rigor matemático que o método de indução finita impõe. Embora as suas consequências fossem verdades matemáticas, Legendre tinha a concepção de que existiam teoremas que não precisavam ser rigorosamente demonstrados.

 No entanto, os seus estudos sobre os números

primos deixaram como legado a conjectura sobre a existência de números primos numa sequência aritmética que somente foi demonstrada por Lejeune-Dirichlet em 1837 utilizando o cálculo infinitesimal e a análise complexa, quatro anos depois da morte de Legendre. Tal conjectura também inspirou o matemático Riemann, que na juventude estudou todo o conteúdo do livro Teoria dos Números (1830) e tempos depois, em 1859, e criou a hipótese de Riemann, a saber: “os zeros da função zeta (função definida por por Euler (1748) por meio de séries cujos elementos são os inversos dos quadrados de números naturais) pode controlar a distribuição dos números primos em sequências aritméticas de números naturais”.Esse problema colocado por Riemann há mais de 150 anos, ainda focaliza o interesse dos maiores matemáticos. Um deles foi André Weil, que em 1940 demonstrou um caso particular da conjectura de Riemann utilizando argumentos da geometria (LACHAUD, 2005).

 Legendre também deixou como herança aos matemáticos do

XX como Tchebychev, Hadamard, Erdös, Selberg, muitas implicações na busca de uma fórmula mágica geradora de números primos (RIBENBOIM, 2001).

 O sonho de encontrar uma fórmula mágica para gerar

números primos permanece ainda hoje e permitiram grandes avanços à Teoria dos Números: na teoria combinatória dos números, os problemas em Teoria dos Números implicam nas idéias combinatórias em suas formulações ou em suas soluções onde os métodos algébricos ou analíticos são fundamentais nesse campo de estudos. A teoria calculatória dos números estuda em particular os algoritmos apropriados para a Teoria dos Números em que algoritmos deterministas e probabilistas para os testes de primalidade dos números e as decomposições em produtos primos de números com grande quantidade de algarismos têm importantes aplicações na criptografia. ”(COUTINHO, 1997; RIBENBOIM, 2001; SAUTOY, 2005).



E o sonho continua... Como no caso da

demonstração do famoso Teorema de

Fermat, muitos matemáticos até hoje

ainda procuram demonstrar a hipótese

de Riemann e a conjectura de Goldbach:

“todo número par pode ser expresso

 COUTINHO, S. C. Números Inteiros e Criptografia RSA. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. Instituto de Matemática e Aplicada. Série de Computação e Matemática, 1997, p. 53 – 55.

 GUEDES, Eric C. Bastos, Fórmulas para números primos. Rio de Janeiro: Eric Campos Bastos Guedes 89p. – Rio de Janeiro: edição do autor, 2008.



RAMOS, M. A. R. A Teoria dos Números de Adrien-Marie Legendre (1752-1833) (a ser publicado EDFURN)

 RIBENBOIM, Paulo. Números Primos: mistérios e recordes. Rio de Janeiro:

Sociedade Brasileira e Matemática, Instituto de Matemática e Aplicada, Coleção Matemática Universitária, 2001.

 SAUTOY, M. La symphonie des nombres premiers. Traduit de l’anglais par

Raymond Clarinard, France: Editions Héloise d’Ormesson, 2005, Traduction de The Music of the Primes. Traduzido no Brasil em 2005 como A Música dos

Números Primos.

 SILVA, M. A. R RAMOS. Adrien-Marie Legendre (1752-1833) e suas obras em

Teoria dos Números. Tese em Educação, Universidade Federal do Rio Grande

do Norte. Centro de Ciências Sociais Aplicadas. Programa de Pós-Graduação em Educação, Orientadores: Prof. Dr. John Andrew Fossa & Dra. Evelyne Barbin, Natal: RN, 2010, 256 p.

 WATANABE, Renate G.. Uma Fórmula para números primos. Revista do Professor de Matemática, N. 37, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1998, p. 19 – 21.