ESTABILIDADE DE SISTEMAS FUZZY TAKAGI-SUGENO COM ATRASOS VARIANTES NO TEMPO

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ESTABILIDADE DE SISTEMAS FUZZY TAKAGI-SUGENO COM ATRASOS VARIANTES NO TEMPO

LUISFELIPE DACRUZFIGUEREDO∗, JOÃOYOSHIYUKIISHIHARA∗, GEOVANYARAÚJOBORGES∗, ADOLFO

BAUCHSPIESS∗

∗_{Laboratório de Robótica e Automação (LARA)}

Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade de Brasília

Emails: figueredo@lara.unb.br, ishihara@ene.unb.br, gaborges@ene.unb.br, adolfobs@unb.br

Abstract— This paper presents new stability criteria for Takagi-Sugeno fuzzy systems with time-varying delays. The results are an improvement over previous ones due to the development of a new Lyapunov-Krasovskii function (LKF). The analysis incorporates recent advances such as convex optimization technique and piecewise analysis method with new delay-dependent and delay-interval-depedent LKFs terms. The analysis is enriched with numerical examples that illustrate the effectiveness of our criteria which outperform state-of-the-art criteria in the literature.

Keywords— T–S fuzzy systems, Delayed systems, Piecewise analysis method.

Resumo— Este artigo apresenta novos critérios de estabilidade para sistemas fuzzy Takagi-Sugeno com atrasos variantes no tempo. Devido ao desenvolvimento de uma nova função de Lyapunov-Krasovskii (LKF), obtemos critérios superiores em com-paração com métodos anteriores. A abordagem incorpora avanços recentes referentes à análise de sistemas com atrasos, como a técnica de otimização convexa e o método de análise por partes do atraso, com a introdução de novos termos dependentes do atraso e dependentes do subintervalo de atraso. A análise é enriquecida com exemplos numéricos que ilustram a eficácia dos critérios propostos para a obtenção de resultados menos conservadores em comparação com os métodos estado-da-arte da literatura. Palavras-chave— Sistemas fuzzy T–S, Sistemas com atrasos no tempo, Análise por partes do atraso.

1 Introdução

Nos últimos anos, houve um crescente interesse em pesquisas e aplicações de sistemas fuzzy do tipo Takagi-Sugeno (T–S) devido ao fato destes combina-rem a flexibilidade da teoria referente à lógica fuzzy com a teoria de sistemas lineares e não-lineares em uma abordagem unificada (Liu et al., 2010). Em es-pecial, a estabilidade destes sistemas é um tópico de grande interesse na área de controle, tendo sido ana-lisada por distintos critérios baseados em desigualda-des matriciais lineares (Liu et al., 2010). Não obs-tante, a maioria dos critérios de análise são desen-volvidos considerando sistemas fuzzy T–S sem atra-sos. Na prática, atrasos no tempo ocorrem em diver-sas situações, como por exemplo em sistemas quími-cos, biológiquími-cos, econômiquími-cos, na estabilização de aero-naves, em sistemas de controle em rede etc (Park and Ko, 2007). Sabe-se entretanto que atrasos no tempo degradam o sistema e podem até causar instabilidade e, portanto, a análise de sistemas com atrasos tornou-se foco de grande atenção junto à comunidade de con-trole (Figueredo et al., 2011).

No contexto de sistemas fuzzy T–S, dentre os principais resultados existentes referentes à análise de estabilidade de sistemas com atrasos destacam-se (Liu et al., 2010; Tian et al., 2009) por apresentarem resul-tados menos conservadores em comparação com ou-tros resultados da literatura. Não obstante, mesmo es-tes trabalhos, considerados estado-da-arte da literatura de sistemas fuzzy T–S, não levam em consideração re-centes avanços na teoria de estabilidade para sistemas lineares com atrasos variantes no tempo. Na última década, este problema foi abordado por diversos

cri-térios dependentes do atraso. Particularmente, a apli-cação da desigualdade de Jensen ao invés da delimi-tação de termos cruzados mostrou-se um método bem estabelecido que produz resultados satisfatórios. Esta análise contudo foi aprimorada com a adição de téc-nicas de otimização convexa em (Park and Ko, 2007). Desde então, outras contribuições foram obtidas uti-lizando técnicas similares com funções de Lyapunov-Krasovskii (LKF) distintas, e.g., (Shao, 2009). Mais recentemente, novas funções de Lyapunov inspiradas no trabalho de (Gouaisbaut and Peaucelle, 2006) en-riqueceram a análise de estabilidade desta classe de sistemas, estendendo o método de análise por partes do atraso para sistemas com atrasos variantes, e.g., (Fridman et al., 2009; Figueredo et al., 2010).

Neste contexto, este trabalho apresenta uma im-portante contribuição para a análise de sistemas fuzzy T–S com atrasos variantes no tempo. Atra-vés do desenvolvimento de uma nova função candi-data de Lyapunov-Krasovskii e da aplicação de técni-cas estado-da-arte de análise de sistemas lineares com atrasos, derivamos novas condições que asseguram a estabilidade assintótica de sistemas fuzzy T–S com atrasos no tempo. Além disso, introduzimos novos termos na LKF dependentes do atraso e dependentes do subintervalo de atraso que nos permitem explorar de maneira mais eficaz a informação referente aos li-mites da derivada do atraso. Também, é interessante ressaltar que apesar da análise focar sistemas fuzzy T–S, os critérios desenvolvidos podem ser aplicados para sistemas lineares sujeitos a atrasos no tempo. Por fim, apresentamos exemplos numéricos que ilustram a eficácia dos critérios propostos para a obtenção de re-sultados menos conservadores em comparação com os

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resultados de métodos estado-da-arte da literatura.

2 Descrição do sistema

Neste trabalho, iremos considerar sistemas não-lineares sujeitos à atrasos variantes no tempo represen-tados por um modelo fuzzy Takagi-Sugeno composto por um conjunto de implicações fuzzy que caracteri-zam relações locais no espaço de estados. As dinâ-micas locais de cada implicação fuzzy são descritas por modelos lineares sujeitos à atrasos no tempo. Para cada i= 1, 2, . . . , r, sendo r o número de regras

SE-ENTÃO existentes, a i-ésima regra do modelo fuzzy T–S resultante é representada por

Regra i : SEθ1(t) éµ1i e . . . e θp(t) éµip, ENTÃO ( ˙ x(t) = Aix(t) + Adix(t − d(t)), t > 0 x(t) =ϕ(t), t∈[−τmax,0], i=1, 2, . . . , r (1) em queµi_j, i= 1, 2, ..., r, j = 1, 2, ..., p representa o

conjunto fuzzy; x(t)∈Rrx_{é o vetor de estado da planta,} ϕ(t) é uma função que define as condições iniciais do

estado, Aie Adisão matrizes conhecidas, reais e

cons-tantes com dimensões apropriadas eθ1(t), θ2(t), . . . ,

θp(t) são as variáveis de premissas. A função contínua

d(t) denota o atraso variante no tempo que satisfaz

τmin≤ d(t) ≤τmax, (2)

em que 0≤τmin≤τmaxsão escalares constantes. Presume-se que o atraso variante ou é de variação rápida (sem restrições sobre o comportamento de sua derivada), ou diferenciável com os seguintes limites:

dmin≤ ˙d(t) ≤ dmax, (3)

em que dmin<dmaxsão escalares constantes.

Analisando os sistemas fuzzy locais (1) através de uma interpolação suave e convexa, o modelo fuzzy Takagi-Sugeno resultante com atrasos variantes no tempo é definido por

             ˙ x(t)=∑ r i=1 wi(θ(t))[Aix(t) + Adix(t − d(t))] ∑r i=1 wi(θ(t)) , =∑r i=1 ρi(θ(t))[Aix(t) + Adix(t − d(t))], =Ax(t) + Adx(t − d(t)), x(t)=ϕ(t), t∈[−τmax,0], (4) em queθ= [θ1,θ2, . . . ,θp]; wi(θ(t))≥0, i = 1, 2, . . . , r

é a função de pertinência do sistema com res-peito à regra i, e a ponderação normalizada é dada por ρi(θ(t)) = wi

∑r

i=1wi(θ(t))

com ρi(θ(t)) ≥ 0 e ∑r

i=1ρi(θ(t)) = 1. Por fim, A =∑ri=1 ρi(θ(t))Ai e

Ad=∑ri=1 ρi(θ(t))Adi.

3 Análise de Estabilidade

Nesta seção, apresentaremos condições que se satis-feitas estipulam um limite máximo para o atraso va-riante τmax, para o qual o sistema fuzzy T–S sujeito

a atrasos no tempo apresentado em (4) mantém-se estável. Não obstante, antes de estabelecermos o novo critério dependente-do-atraso e dependente-da-derivada-do-atraso utilizando o método de Lyapunov-Krasovskii, iremos primeiramente considerar o inter-valo de variação desde atraso[τmin,τmax]. Este

inter-valo será dividido em dois segmentos igualmente es-paçados[τ1,τ2) e [τ2,τ3], em queτ1=τmin,τ3=τmaxe

τ2=

τmax+τmin

2 . Desda maneira, o sistema fuzzy T–S sujeito à atrasos variantes no tempo, descrito em (4), pode ser reescrito da seguinte maneira:

( ˙ x(t) = Ax(t)+χ_[τ₁,τ2](d(t))Adx(t−d(t)) + 1−χ_[τ₁,τ2](d(t)) Adx(t−d(t)), t>0 (5) em que χ_[τ 1,τ2]:R→{0, 1} é a função indicadora de [τ1,τ2], i.e. χ[τ₁,τ₂](d(t))=1, se d(t)∈[τ2−τ1) e

χ[τ1,τ2](d(t))=0, caso contrário. O principal intuito

desta análise, conhecida como análise por partes do atraso, é estabelecer diferentes condições referentes à análise de estabilidade, na forma de desigualdades ma-triciais lineares, para cada subintervalo.

A partir desta abordagem, propomos um novo cri-tério de estabilidade baseado na seguinte função can-didata de Lyapunov-Krasovskii: V(t) =

∑

6_i₌₁Vi(t), (6) em que V1(t)=χ[τ1,τ2](d(t))x T_(t) d(t)−τ1 τ2−τ1 P1+τ2 −d(t) τ2−τ1 P2 x(t) +1−χ[τ1,τ2](d(t)) xT(t) d(t)−τ2 τ3−τ2 P3+τ3 −d(t) τ3−τ2 P1 x(t), V2(t)= Zt t−τ1 xT(s)Q1x(s)ds + Zt−τ1 t−d(t)x T_(s)Q 2x(s)ds, V3(t)= Zt−τ1 t−τ2 x(s) x(s−τ2+τ1) T N11 N12 N₁₂T N22 x(s) x(s−τ2+τ1) ds, V4(t)=τ1 Z0 −τ1 Zt t+βx˙ T_(s)Z 1x˙(s)dsdβ V5(t)= Z−τ1 −τ2 Zt t+βx˙ T_(s)Z 2x˙(s)dsdβ+ Z−τ2 −τ3 Zt t+βx˙ T_(s)Z 3x˙(s)dsdβ, V6(t)=χ[τ1,τ2](d(t)) Z−d(t) −τ2 Zt t+βx˙ T_(s)(R 1−R3) ˙x(s)dsdβ +1−χ[τ1,τ2](d(t)) Z−τ2 −d(t) Zt t+βx˙ T_(s)(R 3−R1) ˙x(s)dsdβ + Z0 −d(t) Zt t+βx˙ T_{(s) (R} 1+R2) ˙x(s)dsdβ + Z−d(t) −τ3 Zt t+βx˙ T_{(s) (R} 3+R4) ˙x(s)dsdβ. Observe que se as seguintes condições

P1= P3+P2 2 ,P2>0, P3>0, Q1≥0, Q2≥0, (R1+R2)>0, (R3+R4) >0, (Z2+R1−R3) >0, (Z3+R3−R1) >0, Zi>0, i=1, 2, 3, e N= N11 N12 N₁₂T N22 ≥0, (7)

forem satisfeitas, então a função de Lyapunov V(t)

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(Z2+R1−R3)>0 e (Z3+R3−R1)>0, na segunda linha de (7), asseguram a positividade conjunta dos termos V5(t) e V6(t) paraχ=1 eχ=0, respectivamente. Ade-mais, de forma análoga a (Figueredo et al., 2011), em V6(t), explicitamos a redução dos limites rela-cionados à restrição de positividade dos termos Rk,

k={1, 2, 3, 4}, que podem até assumir valores

negati-vos, caso seja conveniente (no máximo duas das qua-tro matrizes R_kpoderiam assumir valores negativos).

Além disso, pode-se observar que a função candi-data de Lyapunov V(t) é contínua em t, visto que

limd(t)→τ2V1(t) = x T_(t)P 1x(t), limd(t)→τ2V7(t) = R0 −τ2 Rt t+βx˙T(s)(R1+R2) ˙x(s)dsdβ +R−τ2 −τ3 Rt t+βx˙T(s)(R3+R4) ˙x(s)dsdβ. (8)

Desta maneira, assumindo a função descrita em (6) como função candidata de Lyapunov, introduzimos condições referentes à estabilidade assintótica de sis-temas fuzzy T–S sujeitos à atrasos variantes no tempo (4), na forma do seguinte teorema.

Teorema 1 Dados os seguintes escalaresτmin, τmax, dmin e dmax tal que 0 <τmin≤τmax e dmin<dmax, o

sistema fuzzy T–S apresentado em (4) com atraso vari-ante e desconhecido satisfazendo (2)-(3) é assintotica-mente estável se existirem as matrizes Pi, i∈ {1, 2, 3},

Q1, Q2, Zi, i∈ {1, 2, 3}, Rj, j= {1, 2, 3, 4} e N com

dimensões apropriadas, satisfazendo (7), e

Z1+U1|d˙(t)→dmax>0, Z1+U1|d˙(t)→dmin>0, (9)

e se existirem as matrizes de ponderação livre F1∈ R6rx×3rx_{e F}

2∈ R6rx×3rxtais que as seguintes afirma-ções sejam válidas para i= 1, 2, . . . , r:

Ωi 11|d˙(t)→dmin<0; Ω i 11|d˙(t)→dmax<0; Ωi 12|d˙(t)→dmin<0; Ω i 12|d˙(t)→dmax<0; Ωi 21|d˙(t)→dmin<0; Ω i 21|d˙(t)→dmax<0; Ωi 22|d˙(t)→dmin<0; Ω i 22|d˙(t)→dmax<0, (10) em que 5 Ωi 1k= " Ψ(1)_| d(t)→τk+ F1G i 1+ F1Gi1 T (τ2−τ1)F1Γk ∗ −(τ2−τ1)Λ1k # , Ωi 2k= " Ψ(2)_| d(t)→τ(k+1)+F2G i 2+ F2Gi2 T (τ3−τ2)F2Γk ∗ −(τ3−τ2)Λ2k # , (11) com k∈ {1, 2}, e Ud= 1− ˙d(t)R2+ ˙d(t)R4, U2= 1 τ3−τ2 (Z3+R3+R4), U1= 1 τ1 (R1+Ud) , U3= 1 τ2−τ1 (Z2+R1+Ud), Λ11= Z2+R1+R4, Λ12= Z2+R1+Ud, Λ21= Z3+R3+R4, Λ22= Z3+R3+Ud, Gi1=  00 −I 0I 0 −I 0 00 I 0 Ai Adi −I 0 0 0  , Gi2=  00 −I 0 0 0 II 0 0 −I 0 Ai Adi −I 0 0 0  , Γ1= 0 I 0T, Γ2= I 0 0T, Ψ(1)₌          Ψ11 0 d_τ(t)−₂−ττ11P1+ τ2−d(t) τ2−τ1P2 Z1+U1 0 0 ∗ Ψ22 0 0 0 0 ∗ ∗ Ψ(1)33(d(t))+Ψ33 0 0 0 ∗ ∗ ∗ Ψ44 N12 0 ∗ ∗ ∗ ∗ Ψ55−U2 U2−N12 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −U2−N22          , Ψ(2)₌          Ψ11 0 d_τ(t)−₃−ττ22P3+ τ3−d(t) τ3−τ2P1 Z1+U1 0 0 ∗ Ψ22 0 0 0 0 ∗ ∗ Ψ(2)₃₃(d(t))+Ψ33 0 0 0 ∗ ∗ ∗ Ψ44−U3 N12+U3 0 ∗ ∗ ∗ ∗ Ψ55−U3 −N12 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −N22          , com Ψ11= ˙ d(t) τ2−τ1 (P1−P2) + Q1− Z1−U1, Ψ22= − 1− ˙d(t) Q2, Ψ33=τ22Z1+ (τ2−τ1)Z2+ (τ3−τ2)Z3+τ2R1+ (τ3−τ2)R3, Ψ(1) 33(d(t))=(τ3−d(t))R4+τ2 (d(t)−τ1) τ2−τ1 R2+τ1 (τ2−d(t)) τ2−τ1 R2, Ψ(2) 33(d(t))=(τ3−d(t))R4+τ3 (d(t)−τ2) τ3−τ2 R2+τ2 (τ3−d(t)) τ3−τ2 R2, Ψ44= −Q1+Q2+ N11− Z1−U1, Ψ55= N22−N11. (12)

Prova: Ver apêndice. ₂

É também de grande interesse, considerarmos dois casos especiais do resultado obtido. O caso em que o limite inferior do intervalo que delimita a deri-vada do atraso variante é desconhecido, e o caso no qual não são impostas restrições sobre a derivada do atraso. Considerando inicialmente o primeiro caso e satisfazendo as restrições adicionais

P3>P2 e R2>R4, (13) podemos inferir diretamente o seguinte corolário a partir do Teorema 1.

Corolário 1 Dados os seguintes escalaresτmin,τmaxe dmaxtal que 0 <τmin≤τmaxe dmax>0, o sistema fuzzy

T–S apresentado em (4) com atraso variante e des-conhecido satisfazendo (2) e ˙d(t)≤dmaxé

assintotica-mente estável se existirem as matrizes Pi, i∈ {1, 2, 3},

Q1, Q2, Zi, i∈ {1, 2, 3}, Rj, j= {1, 2, 3, 4} e N com

dimensões apropriadas, satisfazendo (7), (13) e Z1+U1|d˙(t)→dmax>0, (14)

e se existirem as matrizes de ponderação livre F1∈ R6rx×3rx_{e F}

2∈ R6rx×3rx tais que as seguintes afirma-ções sejam válidas para i= 1, 2, . . . , r:

Ωi

11|_d(t)→d˙ _max<0; Ωi₁₂|_d(t)→d˙ _max<0;

Ωi

21|_d(t)→d˙ _max<0; Ωi₂₂|_d(t)→d˙ _max<0. em queΩi₁₁,Ωi₁₂, Ωi₂₁ eΩi₂₂ são definidas em (11)

com notação dada em (12).

Devemos agora considerar o segundo caso, i.e., atrasos de variação rápida. Neste caso, não são impos-tas restrições sobre a derivada do atraso. Desta forma, como não possuímos nenhuma informação sobre seus limites, adicionando as restrições

P1=P2=P3, Q2=0, e R2=R4, (15) podemos eliminar os termos na derivada da função candidata de Lyapunov que dependam de ˙d(t). Desta

maneira, podemos deduzir o seguinte corolário a partir do Teorema 1.

Corolário 2 Dados escalaresτmin,τmax tal que 0 <

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Tabela 1: Atraso máximo paraτmin=0 (Ex. 1)

Método dmax: 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 desc1

Li et al. (2004) 1, 008 0, 816 0, 604 0, 336 – Liu (2008) 1, 066 0, 925 0, 804 0, 731 0, 723 Lien (2006) 1, 205 1, 077 0, 959 0, 847 0, 784 Lien et al. (2007) 1, 205 1, 077 0, 959 0, 847 0, 784 Tian et al. (2009) 1, 268 1, 207 1, 157 1, 142 1, 142 Corolários 1 e 2 1, 370 1, 287 1, 244 1, 235 1, 235

com atraso variante e desconhecido satisfazendo (2) é assintoticamente estável se existirem as matrizes Pi,

i∈{1, 2, 3}, Q1, Q2, Zi, i∈ {1, 2, 3}, Rj, j= {1, 2, 3, 4}

e N com dimensões apropriadas, satisfazendo (7) e (15) e se existirem as matrizes de ponderação livre F1∈ R6rx×3rxe F2∈ R6rx×3rxtais que as seguintes afir-mações sejam válidas para i= 1, 2, . . . , r:

Ωi 11<0; Ω i 12<0; Ω i 21<0; Ω i 22<0. em queΩi₁₁,Ωi₁₂,Ωi₂₁eΩi₂₂são definidas em (11) com

notação dada em (12).

Observação 1 Por conta do termo U1, os resultados apresentados nesta seção são restritos para aplicações com limite inferior do atraso estritamente superior a zero. Contudo, podemos estender estes resultados para o caso em queτmin=0 considerando U1=0. Observação 2 O Corolário 2 quando aplicado em

sis-temas com atraso mínimo nulo, ou desconhecido, re-cai em um caso especial, no qual não se possui ne-nhuma informação sobre o atraso, com resultados semelhantes aos apresentados em (Figueredo et al., 2010) e (Fridman et al., 2009).

4 Exemplos Numéricos

Nesta seção, apresentamos exemplos numéricos que visam ilustrar a eficácia dos critérios apresentados. É importante enfatizar que os resultados obtidos são menos conservadores que os resultados estado-da-arte da literatura não somente para sistemas fuzzy Takagi-Sugeno com atrasos no tempo mas também para a aná-lise de sistemas lineares sujeitos à atrasos no tempo.

Exemplo 1 Considere o sistema fuzzy T–S (4),

apre-sentado em (Tian et al., 2009), ˙ x(t) =

∑

2_i=1ρi(Aix(t) + Adix(t − d(t))), com A1= −2 0 0 −0, 9 , Ad1= −1 0 −1 −1 , A2= −1, 5 1 0 −0, 75 , Ad2= −1 0 1 −0, 85 , ρ1=(1 + exp(−x1(t)))−1 e ρ2=(1 −ρ1).

Neste exemplo, consideramos que o atraso mí-nimo é nulo, ou desconhecido, (τmin=0) e que o limite

inferior que delimita a derivada do atraso é desconhe-cido. Os resultados obtidos são comparados com os resultados dos principais métodos da literatura na Ta-bela 1. É notável que os resultados obtidos com nosso

1_{No caso em que d}

maxé desconhecido, utilizamos o Corolário 2.

Tabela 2: Valor máximo deτmax paraτmin=0 e dmin

desconhecido e distintos valores de dmax(Ex. 2)

Método dmax: 0, 001 0, 1 0, 5 desc1

Guan and Chen (2004) 1, 25 − − −

Chen et al. (2007) 3, 15 − − −

Liu et al. (2010) 3, 30 2, 65 1, 50 0, 79

Corolários 1 e 2 4, 056 3, 220 1, 917 1, 695 Tabela 3: Valor máx. deτmaxparaτmin=0, 5 (Ex. 3)

dmin=−0,5, dmindesconhecido, Método

(dmax=0,3) (dmax=0,5)(dmax=0,3) dmax=−1

Shao (2009) – – 2, 247 1, 219

Orihuela et al. (2010) – – 2, 353 1, 360

Fridman et al. (2009) 2, 476 1, 536 2, 427 1, 430

Figueredo et al. (2010) 2, 480 1, 596 2, 454 1, 430

Teorema 1 2, 498 1, 600 2, 454 1, 430

método são menos conservadores que os resultados estado-da-arte da literatura. O incremento no valor máximo do atraso variante é de cerca de 8% em com-paração com (Tian et al., 2009).

Exemplo 2 Considere o sistema fuzzy T–S,

apresen-tado em (Liu et al., 2010), e descrito por (4) com

A1= −2, 1 0, 1 −0, 2 −0, 9 , Ad1= −1, 1 0, 1 −0, 8 −0, 9 , A2= −1, 9 0 −0, 2 −1, 1 , Ad2= −0, 9 0 −1, 1 −1, 2 , ρ1=(1 + exp(−2x1(t)))−1 e ρ2=(1 −ρ1).

Assumindoτmin=0, dmindesconhecido e

consi-derando vários valores distintos de dmax, apresentamos

na Tabela 2 os valores máximos deτmax para os quais o sistema fuzzy T–S apresentado mantém-se estável. Nota-se que os resultados obtidos com os Corolários 1 e 2 são superiores, no sentido de obter valores menos conservadores paraτmax, aos resultados apresentados em trabalhos anteriores. O incremento no valor má-ximo deτmax quando dmax=0, 5 é de 28% em

compa-ração com (Liu et al., 2010). Para atrasos de variação rápida (dmax desconhecido), o incremento ultrapassa

115%.

Exemplo 3 (Sistema linear atrasado) Considere o

seguinte sistema linear com atraso no tempo que pode ser descrito por (4) com apenas uma regra (ρ=1):

˙ x(t) = 0 1 −1 −2 x(t) + 0 0 −1 1 x(t−d(t)).

Considerando quatro cenários distintos para dmin

e dmax, os valores deτmaxparaτmin=0 são listados na

Tabela 3. Observa-se que também para o caso de sis-temas lineares com atrasos, os resultados obtidos são menos conservadores do que os resultados advindos de métodos estado-da-arte da literatura.

5 Conclusões

A principal contribuição deste trabalho refere-se ao es-tabelecimento de novos critérios de estabilidade para sistemas fuzzy T–S com atrasos variantes no tempo.

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Condições de estabilidade são propostas para os ca-sos em que a derivada do atraso é delimitada por um intervalo conhecido, quando o limite inferior é desco-nhecido, e quando não são impostas restrições sobre esta derivada. O conservadorismo resultante da aná-lise é consideravelmente reduzido através da aplicação de técnicas estado-da-arte de análise de sistemas com atrasos no tempo em conjunto com a introdução de no-vos termos dependentes do atraso e do subintervalo de atraso. Apesar do foco deste trabalho dizer respeito à análise para sistemas fuzzy T–S com atrasos no tempo, os critérios resultantes quando aplicados à sistemas li-neares com atrasos no tempo também produzem resul-tados menos conservadores do que os métodos estado-da-arte da literatura. Por fim, a análise é enriquecida com três exemplos numéricos que ilustram a eficácia dos critérios propostos.

APÊNDICE Prova do Teorema 1

Primeiramente, devemos considerar o caso em que d(t) <τ2. Tomando a derivada da função candidata de Lyapunov (6) comχ= 1 tem-se

˙ V1(t)|d(t)<τ2= ˙d(t)x T (t)P_τ1−P2 2−τ1 x(t)+2 ˙xT(t) d(t)−τ1 τ2−τ1 P1+τ2 −d(t) τ2−τ1 P2 x(t), ˙ V2(t) = xT(t)Q1x(t) + xT(t−τ1)(−Q1+ Q2)x(t−τ1) − 1 − ˙d(t)xT(t−d(t))Q2x(t−d(t)), ˙ V3(t)= x(t−τ1) x(t−τ2) T N11N12 NT 12N22 x(t−τ1) x(t−τ2) − x(t−τ2) x(t−τ3) T N11N12 NT 12N22 x(t−τ2) x(t−τ3) , ˙ V4(t)=τ12x˙T(t)Z1x˙(t) −τ1 Zt t−τ1 ˙ xT(s)Z1x˙(s)ds, ˙ V5(t)= ˙xT(t)[(τ2−τ1)Z2+ (τ3−τ2)Z3] ˙x(t) − Zt−τ1 t−τ2 ˙ xT(s)Z2x˙(s)ds − Zt−τ2 t−τ3 ˙ xT(s)Z3x˙(s)ds, ˙ V6(t)|d(t)<τ2= ˙x T_(t)[(_τ 2−d(t))(R1−R3)+d(t)(R1+R2)+(τ3−d(t))(R3 +R4)] ˙x(t) − Zt t−d(t)x˙ T (s) R1+ 1− ˙d(t) R2+ ˙d(t)R4 ˙ x(s)ds − Zt−d(t) t−τ2 ˙ xT(s)(R1−R3)˙x(s)ds− Zt−d(t) t−τ3 ˙ xT(s)(R3+R4)˙x(s)ds. (16)

Agora sabendo que, para este caso,τ1≤ d(t) ≤

τ2, expandimos as integrais dos termos ˙V5(t) e ˙ V6(t)|d(t)<τ2 em (16). Então, ao definirmos γ1d:= 1 d(t)−τ1 Zt−τ1 t−d(t)x˙(s)ds e γd2:= 1 τ2−d(t) Zt−d(t) t−τ2 ˙ x(s)ds,

podemos aplicar a desigualdade de Jensen (Lema 1 em (Figueredo et al., 2011)) em ˙V4(t)- ˙V6(t)|d(t)<τ2. De

ma-neira que obtemos ˙ V4(t) ≤τ12x˙T(t)Z1x˙(t) − [x(t)−x(t−τ1)]TZ1[x(t)−x(t−τ1)], (17) ˙ V5(t)+ ˙V6(t)|d(t)<τ2≤ ˙x T_(t)[(_τ 2−τ1)Z2+(τ3−τ2)Z3+τ2R1+(τ3−τ2)R3 +(τ3−τ2)R4+(τ2−d(t))R4+τ2 d(t)−τ1 τ2−τ1 R2+τ1τ2 −d(t) τ2−τ1 R2 ˙ x(t) −[x(t)−x(t−τ1)]TU1[x(t)−x(t−τ1)]−[x(t−τ2)−x(t−τ3)]TU2[x(t−τ2) −x(t−τ3)]−γ1dT((d(t)−τ1)Λ12)γ1d−γd2T((τ2−d(t))Λ11)γd2. (18)

Então, a partir de (16), (17) e (18) com alguma manipulações podemos concluir que

˙ V(t)|d(t)<τ2≤ζ T 1(t) Ω|d(t)<τ2 ζ1(t), (19) em que Ω|d(t)<τ2= Ψ(1) ₀ ∗ Λ(1) , Λ(1)= − (d(t)−τ1)Λ12 0 0 (τ2−d(t))Λ11 ,

eΨ(1),Λ11eΛ12são definidas em (12).Ademais, de-finimosζ₁T(t):=ζT x γ1dT γd2T ∈ R8rx_,_{em que} ζT x(t):= xT(t) xT_{(t−d(t)) ˙x}T_{(t) x}T_(t−_τ 1) xT(t−τ2) xT(t−τ3) . (20) Então, introduzimos eG1=Ge11 Ge12 ∈R3rx× 8rx e eF1= F₁T 0T∈R8rx×3rx_{em que F} 1é uma matriz de ponderação livre 6rx× 3rxe e G11=   0 I 0 0 −I 0 0 0 −I 0 0 0 I 0 A Ad −I 0 0 0 0  , eG12=  (d(t)−0τ1)I(τ2−d(t))I0 0 0  ,

tal que eG1ζ1(t) = 0. Desta maneira podemos aplicar o lema de Finsler (Lema 2 em (Figueredo et al., 2011)). Como resultado, observamos que o termo a direita de (19) será definido negativo apenas se

Ω1=Ω|d(t)<τ2+ eF1Ge1+ eG T

1Fe1T<0. (21)

Todavia, devemos considerar os termosΩ11eΩ12 que são consequência direta deΩ1quando d(t) →τ1 e d(t) →τ2, respectivamente. Note que

ζT 1(t)Ω1ζ1(t)=τ2 −d(t) τ2−τ1 ζ T 11(t)Ω11ζ11(t)+ d(t)−τ1 τ2−τ1 ζ T 12(t)Ω12ζ12(t), em queζ₁₁T(t):=ζT x γd2T ,ζ₁₂T(t):=ζT x γ1dT com ζxdefinido em (20). Portanto,ζT 1(t)Ω1ζ1(t) é convexa em d(t) e é definida negativa se os vértices (Ω11eΩ12) forem. Além disso, a partir de (3), observa-se que a seguinte expressão é válida

Ω11= dmax− ˙d(t) dmax−dminΩ11 |d˙(t)→dmin+ ˙ d(t)−dmin dmax−dminΩ11 |d˙(t)→dmax, Ω12=dmax− ˙d(t) dmax−dminΩ 12|d˙(t)→dmin+ ˙ d(t)−dmin dmax−dminΩ 12|d˙(t)→dmax.

Desta forma, conclui-se queΩ11 eΩ12 são con-vexas em ˙d(t) ∈ [dmin,dmax].

Consideremos agora o caso em queτ2<d(t) ≤

τ3. Provaremos que resultados análogos podem ser obtidos usando os mesmos argumentos utilizados an-teriormente. Tomando a derivada da função candidata de Lyapunov (6) comχ= 0 tem-se

˙ V1(t)|d(t)>τ2= ˙d(t)x T_(t)P3−P1 τ3−τ2 x(t)+2 ˙xT_(t) d(t)−τ2 τ3−τ2 P3+τ3 −d(t) τ3−τ2 P1 x(t), ˙ V6(t)|d(t)>τ2= ˙x T_(t)[(d(t)−_τ 2)(R3−R1)+d(t)(R1+R2)+(τ3−d(t)) ×(R3+R4)] ˙x(t) − Zt t−d(t)x˙ T_{(s) R} 1+ 1− ˙d(t) R2+ ˙d(t)R4 ˙ x(s)ds − Zt−τ2 t−d(t)x˙ T_(s)(R 3−R1) ˙x(s)ds− Zt−d(t) t−τ3 ˙ xT(s)(R3+R4) ˙x(s)ds. (22)

com ˙V2(t)- ˙V5(t) definidos em (16). Assim, si-milarmente à (18), aplicamos Jensen (Lema 1 em (Figueredo et al., 2011)) em ˙V5(t) e ˙V6(t)|d(t)>τ2: ˙ V5(t) + ˙V6(t)|d(t)<τ2≤ ˙x T_(t)[(_τ 2−τ1)Z2+ (τ3−τ2)Z3+τ2R1 +(τ3−τ2)R3+(τ3−d(t))R4+τ3 (d(t)−τ2) τ3−τ2 R2+τ2 (τ3−d(t)) τ3−τ2 R2 ˙ x(t) − [x(t)−x(t−τ1)]TU1[x(t)−x(t−τ1)]−[x(t−τ1)−x(t−τ2)]TU3[x(t−τ1) −x(t−τ2)]−γ2dT(d(t)−τ2)Λ22γ2d−γd3T(τ3−d(t))Λ21γd3, (23)

em queγ2deγd3são definidos por γ2d:= 1 d(t)−τ2 Zt−τ2 t−d(t)x˙(s)ds e γd3:= 1 τ3−d(t) Zt−d(t) t−τ3 ˙ x(s)ds, Denota-se ζ₂T(t):=ζT x γ2dT γd3T ∈ R8rx _em

que ζx é definido em (20). Desta maneira, com-binando ˙V2(t)- ˙V4(t) de (16) e (17), ˙V1(t)|d(t)>τ2 e

(6)

São João del-Rei - MG - Brasil ˙

V6(t)|d(t)>τ2 de (22) e (23) pode-se concluir que ˙ V(t)|d(t)>τ2≤ζ T 2(t) Ω|d(t)>τ2 ζ2(t), (24) em que Ω|d(t)>τ2= Ψ(2) ₀ ∗ Λ(2) , Λ(2)= − (d(t)−τ2)Λ22 0 0 (τ3−d(t))Λ21 , comΨ(2),Λ21eΛ22definidos em (12).

Então, analogamente ao primeiro caso, definimos

e

G2=Ge21 Ge22

tal que eG2ζ2(t) = 0, em que eG21 é definida de maneira similar à G2em (12), e eG22é de-finido de maneira análoga à eG12.

Aplicando o lema de Finsler no termo à direita de (24), observa-se queζ₂T(t) Ω|d(t)>τ2

ζ2(t) será defi-nido negativo se existir eF2=

F₂T 0T que satisfaça

Ω2=Ω|d(t)>τ2+ eF2Ge2+ eG T

2Fe2T<0. (25)

Assim, considerando os termosΩ21 eΩ22 origi-nados da matrizΩ2com d(t) →τ2e d(t) →τ3, res-pectivamente, pode-se concluir que

ζT 2(t)Ω2ζ2(t)=τ3 −d(t) τ3−τ2 ζ T 21(t)Ω21ζ21(t) + d(t)−τ2 τ3−τ2 ζ T 22(t)Ω22ζ22(t), comζ₂₁T(t):=ζT x γd3T ,ζ₂₂T(t):=ζT x γ2dT eζx de-finido em (20). Assim, através da convexidade do termoζ₂T(t)Ω2ζ2(t), observa-se que este será definido negativo seΩ21eΩ22forem.

Ademais, dado (3), as expressões

Ω21= dmax− ˙d(t) dmax−dminΩ21 |_d˙_(t)→dmin+ ˙ d(t)−dmin dmax−dminΩ21 |_d˙_(t)→dmax, Ω22= dmax− ˙d(t)

dmax−dminΩ22|d˙(t)→dmin+

˙

d(t)−dmin

dmax−dminΩ22|d˙(t)→dmax

são válidas. Portanto, Ω21 e Ω22 são convexas em ˙

d(t) ∈ [dmin,dmax].

Para completarmos a prova, desejamos analisar as condições que garantam que a derivada da função (6) será definida negativa. Para o caso em que d(t) 6=τ2, é fácil observar que

˙ V(t)|d(t)6=τ2≤χ[τ1,τ2](d(t)) ζ T 1(t)Ω1ζ1(t) + 1 −χ[τ1,τ2](d(t)) ζT 2(t)Ω2ζ2(t).

Para o segundo caso, em que d(t) =τ2, usando ar-gumentos semelhantes à (Fridman et al., 2009) e (Figueredo et al., 2010), concluí-se que

˙

V(t)|d(t)=τ2≤ max {ζ T

1(t)Ω1ζ1(t),ζ2T(t)Ω2ζ2(t)}.

Assim, pode-se concluir que se as matrizes Ω1k e Ω2k com k={1, 2} forem definidas negativas para

˙

d(t)→dmax e d˙(t)→dmin, então ˙V(t)<0. Além

disso, pode-se observar que (10) implica que ∑r

i=1ρi(θ(t))Ωi1k <0 e ∑

r

i=1ρi(θ(t))Ωi2k <0 com k={1, 2}, o que é equivalente àΩ1k <0 eΩ2k<0, respectivamente. Assim, se as condições estipuladas no Teorema 1 forem satisfeitas então o sistema fuzzy T–S será assintoticamente estável.

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