Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
MINICURSO DE
GEOMETRIA TÁXI
Sulamita Maria Comini César
Orientadora: Dra. Eliane Scheid Gazire
Belo Horizonte
2010
2 SUMÁRIO 1. Objetivo 3 2. Introdução 3 3. A Geometria Táxi 4 4. Atividades 7 4.1 A distância Táxi 7
4.2 Cálculo do número de caminhos táxi 9 4.3 A circunferência Táxi 10 4.4 A mediatriz na Geometria Táxi 12 4.5 Triângulos na Geometria Táxi 13 4.6 Os quadrados na Geometria Táxi 14 4.7 Atividade Multidisciplinar 15
3 1. OBJETIVO
O objetivo deste Minicurso é introduzir Geometria Táxi, fazendo um paralelo com a Geometria Euclidiana para, em seguida, aplicar as duas Geometrias em situações cotidianas. Em um primeiro momento, será feita uma abordagem conceitual da Geometria Táxi, mostrando que ela é um desdobramento da Geometria Euclidiana, com a mudança apenas da métrica. Em seguida, serão estudadas algumas questões geométricas que culminarão em algumas aplicações práticas. Durante todo o trabalho, serão apresentadas perspectivas de aplicação da Geometria-Táxi em sala de aula.
2. INTRODUÇÃO
Ao longo de nossa prática pedagógica em sala de aula, observamos que a geometria é um conteúdo pouco trabalhado e, quando isso ocorre, a perspectiva é a da Geometria Euclidiana. Para os alunos, em geral, fica a ideia de que existe apenas uma Geometria. Isto é o que Davis Hersh(1985) chamam de “mito de Euclides”.
É a crença de que os livros de Euclides têm verdades sobre o universo, claras e indubitáveis. Partindo de verdades evidentes, por si próprias e procedendo por demonstrações rigorosas, Euclides chega a conhecimento certo, objetivo e eterno. Mesmo agora parece que a maior parte das pessoas com instrução acredita no mito de Euclides. Até o meio ou fim do século dezenove, o mito reinava sem desafios. Todos acreditavam nele...(
DAVIS E HERSH, 1985, P.366).
O estudo de uma nova geometria contribuiria inclusive para se apreciar melhor a geometria Euclidiana. Seria ideal, entretanto, que essa nova geometria atendesse a três critérios, segundo Krause(1975).
“a geometria não-euclidiana escolhida deveria (1) estar próxima da geometria euclidiana na estrutura axiomática, (2) ter aplicações significativas e (3) ser compreendida por qualquer pessoa que tenha uma
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pequena base na geometria euclidiana” (KRAUSE, P V , “TO THE TEACHER”)1
As Geometrias de Lobatchewski-Bolyai e a de Riemann não atendem aos três critérios propostos por Krause. Elas se mostram inacessíveis para alunos que não tenham estudo aprofundado da Geometria Euclidiana, não se limitando apenas a esse conhecimento.
A Geometria Táxi é a Geometria do pedestre que caminha pelas ruas de uma cidade. A distância entre dois pontos não é dada mais pelo comprimento da linha reta que liga esses pontos e sim pela distância percorrida por um pedestre no trajeto feito por ele para ir de um ponto a outro, andando pelas ruas. Um aprofundamento no estudo da Geometria-Táxi nos mostra que ela atende aos três critérios propostos por Krause.
Além disso, acreditamos que qualquer conteúdo novo que possa ser inserido na prática pedagógica de sala de aula deve tentar criar nos alunos uma atitude investigativa. Acreditamos que a Geometria Táxi poderá cumprir bem esse papel.
3. A GEOMETRIA TÁXI
A Geometria Táxi, também chamada de Geometria do Taxista, Geometria de Manhattan, entre outros nomes, tem como base a Geometria Euclidiana, mudando apenas a métrica. Essa geometria foi introduzida por Hermann Minkowski (1864 – 1909), um matemático russo, que foi professor de Einstein. Nessa geometria, cada ponto do plano corresponde ao cruzamento de duas retas perpendiculares – as ruas de uma cidade ideal2.
Vamos imaginar uma cidade onde não há ruas e avenidas e o trânsito é livre em todos os sentidos.
1 Tradução da autora do trabalho 2
Chamamos de cidade ideal à cidade que tem as ruas verticais e horizontais, equidistantes. Essa simplificação é necessária para que o nosso modelo seja de fácil entendimento, considerando que a nossa proposta é de introdução da Geometia Táxi. Nas aplicações do mundo real, a malha táxi pode ser aproveitada desde que se acrescentem pesos a cada quarteirão, que individualizem suas características como declividade, sinais de trânsito, curvas, etc.
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Nessa cidade há a casa de Adriana, o colégio onde ela estuda e a escola onde ela faz balé. Não havendo qualquer impedimento, quando Adriana vai de sua casa para o colégio ela poderá seguir o caminho direto3 AC, ente sua casa e a escola.
A distância percorrida por ela será de 37 u.c. Esse valor é obtidos aplicando-se o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo de catetos 6 e 1.
Nas mesmas condições, a distância percorrida por Adriana para ir de casa à aula de balé será de 13 u.c..
Agora vamos imaginar a cidade de Adriana como um lugar onde há ruas paralelas, distanciadas igualmente. Chamaremos essa cidade de cidade ideal. Na
cidade ideal, Adriana não poderá ir diretamente de casa ao colégio caminhando
pelo segmento de reta AC já que imagina-se que há construções nesse espaço. Ela agora terá que seguir o caminho pelas ruas verticais e horizontais. Para ir de sua casa ao colégio ela percorrerá 7u.c..
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Definimos como caminho direto aquele caminho que tem o menor comprimento.
A C A C 1 6 B A C 6 1
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A métrica da Geometria Euclidiana já não se aplica a essa situação. A menor distância entre dois pontos já não é dada pela medida do segmento de reta que liga esses pontos mas pela medida da “viagem” pelas ruas da cidade, seguindo o
caminho direto.
No referencial cartesiano acima marcamos os pontos M(1,1), N(6,5) e P(6,1). Se consideramos a distância euclidiana teremos:
dE(MP) = 5
dE(NP) = 4
dE(MN) = 41
Vamos considerar agora a métrica da Geometria Táxi. Teremos, então: dT(MP) = 5
dT(NP) = 4
dT(MN) = 9
Podemos observar que há situações onde a distância táxi e a distância euclidiana coincidem.
7 4. ATIVIDADES
Apresentaremos a seguir 6 atividades que compõe esse minicurso. A nossa sugestão é que elas sejam desenvolvidas em grupos de no máximo 5 pessoas. São atividades orientadas, com discussões nos grupos e, no final, uma socialização do trabalho de cada grupo.
Pretendemos, com essas atividades, provocar nos alunos uma atitude investigativa, considerando que ele vivenciará situações diferentes da sua prática cotidiana. Dessa maneira ele terá que levantar hipóteses, discuti-las, generaliza-las, buscando chegar às soluções das questões propostas através da aprendizagem de um novo conceito.
4.1 A distância Táxi
Essa atividade tem por objetivo trabalhar a distância Táxi e compará-la com a distância Euclidiana. Esse primeiro contato do aluno com a Geometria Táxi precisa ser feito de forma a não desestimulá-lo logo no início. O uso do papel milimetrado torna esse objetivo viável considerando que é um material de uso comum. O professor, nessa atividade, deve trabalhar de forma intuitiva de modo que o aluno vá, passo a passo conhecendo a Geometria Táxi.
No nosso entendimento esse primeiro contato será visto quase como uma brincadeira: trabalhar com o papel quadriculado e “descobrir” uma nova maneira de calcular a distância entre dois pontos. Imaginamos, também, que o aluno não terá dificuldade com essa nova métrica. Segundo Abreu, Barroso e Miranda (2005, p.2) ela é a viagem de um táxi numa cidade, cujas ruas estendem-se vertical e horizontalmente em um quadra ou malha urbana, que convenientemente pode ser associada ao plano euclidiano.
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1) Em uma malha quadriculada marque os pontos A(-4,0); B(0,5); C(3,2); D(3,8); E( 6,5); F(3,-3); G(3,5).
2) Calcule as distâncias táxi e as distâncias euclidiana entre: a) A e C
b) C e F c) B e D d) B e E e) B e C
Há alguma situação onde dE e dT são iguais? Quais são elas?
3) Calcule as distâncias táxi entre os pontos B e G, G e D, G e C. O que podemos dizer delas?
4) Luciana e Roberto moram em uma cidade ideal. Em uma malha
quadriculada vamos representar as casas de Luciana (L) e de Roberto (R), a escola de Música (M), o supermercado(S) e o clube da cidade ( C).
L (-3,1 ) Casa de Luciana R ( 0,4 ) Casa de Roberto C ( 1,2 ) Clube da cidade M ( 4,1) Escola de Música S ( 5,3 ) Supermercado Calcule as seguintes distâncias táxi:
a) Entre a casa de Luciana e a de Roberto. b) Entre a casa de Luciana e a escola de música c) Entre o clube da cidade e o supermercado d) Entre a escola de música e o clube da cidade
9 4.2 Cálculo do número de caminhos táxi
O objetivo dessa atividade é calcular a quantidade de caminhos que podemos trilhar entre dois pontos, considerando a menor distância Táxi.
Esse cálculo, inicialmente, deverá ser feito de forma intuitiva, contando mesmo os caminhos que existem entre dois pontos. Para isso a distância entre os pontos deve ser muito pequena para que a contagem não se torne muito difícil e demorada, causando desânimo aos alunos. Fica evidente que, a partir do momento que consideramos pontos que sejam mais distantes, essa forma de “calcular” a distância ficará quase impossível. Nesse momento poderemos apresentar aos alunos a fórmula do cálculo da quantidade de caminhos.
Para alunos do Ensino Médio que já conheçam Análise Combinatória poderemos apresentar a fórmula seguinte:
!
)
(
!
!
p
n
p
n
C
N
np
Sendo:N número total de caminhos
n soma da distância horizontal com a distância vertical p menor das duas distâncias
Já para alunos que ainda não conhecem a Análise Combinatória poderemos usar a fórmula abaixo. Ela também requer que o aluno conheça o conceito de fatorial, que poderá ser apresentado já com uma aplicação.
!
!
!
)
(
h
v
h
v
N
Sendo:v distância vertical entre os dois pontos h distância horizontal entre os dois pontos
Ao elaborarmos essa atividade imaginamos que os alunos poderão ter alguma dificuldade no cálculo enquanto a fórmula não for apresentada. Acreditamos que um trabalho inicial mais demorado com a contagem manual poderá facilitar o
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uso da fórmula já que ela virá como um elemento salvador do trabalho braçal. Desse modo o primeiro exercício da atividade deverá ser explorado exaustivamente para, em seguida, tentarmos que o próprio aluno descubra a fórmula para o cálculo da distância. É necessário que o professor apresente o conceito de fatorial.
1) Desenhe um referencial cartesiano e, nesse referencial cartesiano marque os pontos A(1,1) e B(2,2). Quantos caminhos diferentes existem para irmos de A a B, sempre percorrendo a menor distância táxi?
2) Agora os pontos são A (1,1) e C (3,3).
3) Tente, agora, com os pontos A (1,1) e D (3,2).
4) Calcule a quantidade de caminhos que há entre a casa de Luciana e a de Roberto. (atividade anterior)
4.3 A circunferência Táxi
Os objetivos dessa atividade são:
a) Construir uma circunferência Táxi.
b) Calcular o valor de para a Geometria Táxi.
Essa atividade poderá causar algum conflito nos alunos. Afinal, chegar à conclusão que um “quadrado” é uma circunferência não é tão fácil de aceitar.
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1) Lembre-se que a circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano, equidistantes de um ponto fixo (centro). Escolha ( 0,0) como centro, um raio r = 4 e marque, inicialmente, em uma malha quadriculada, os 4 pontos de uma circunferência táxi, interceptos com os eixos coordenados. Para visualizar melhor essa circunferência, marque mais 4 de seus pontos, um em cada quadrante. Da mesma forma, marque mais 4 outros pontos, e mais quantos pontos você quiser. Ligando esses pontos, que figura obteremos?
2) Desenhe 4 raios, um em cada quadrante, nessa “circunferência”. Qual é a medida do comprimento (perímetro) dessa “circunferência”?
3) Lembrando que o comprimento da circunferência é dado pela fórmula C=2r, qual será o valor de na Geometria Táxi?
4) Roberto está procurando uma agência de correio. Ele foi informado que há uma agência de correio a 3 quarteirões de sua casa. Marque, na malha, os locais onde essa agência pode estar. Quantos são esses pontos?
5) Se Roberto morasse em uma região aberta, onde poderia estar a agência de correios? Faça uma figura. Seria mais fácil encontrar a agência de correios em qual situação, na proposta no item 3 ou a proposta no item 4? Justifique com argumentos matemáticos e com argumentos físicos
12 4.4 A mediatriz na Geometria Táxi
Nessa atividade será construída a mediatriz na Geometria Táxi. O conceito de mediatriz é o mesmo usado na Geometria Euclidiana: num plano dado, a mediatriz de um segmento é a reta perpendicular a esse segmento, passando pelo seu ponto médio.
Um dos objetivos dessa atividade é mostrar que existe uma região entre os pontos dados que a mediatriz Táxi e a mediatriz Euclidiana coincidem. Outro objetivo é mostrar que ela será uma reta horizontal ou uma reta vertical, dependendo das distâncias entre esses dois pontos.
Na “cidade ideal” mora um casal de namorados: Abelardo e Heloísa. Eles decidiram se casar e estão procurando um apartamento para morarem. A condição para a escolha do apartamento é que fique eqüidistante dos locais onde cada um deles trabalha. Localize, na malha quadriculada, os locais de trabalho de Abelardo e Heloísa.
A(3,3) ► local de trabalho de Abelardo H(10,4) ► local de trabalho de Heloísa
1) Calcule a distância entre A e H.
2) Marque, na malha quadriculada, os pontos que são equidistantes de A e H. Ligue esses pontos.
3) Considerando os limites da cidade como os limites da malha quadriculada, quantos são os possíveis locais para Abelardo e Heloísa morarem?
4) Em outra malha quadriculada marque os pontos A e H. Determine o lugar geométrico dos pontos do plano, equidistantes desses dois pontos dados, tendo como referência a geometria euclidiana. Como se chama esse lugar geométrico?
5) Como poderíamos chamar o lugar geométrico dos pontos obtidos no item 4, tendo como referência a geometria táxi?
13 4.5 Triângulos na Geometria Táxi
O objetivo dessa atividade é fazer um paralelo entre o caso de congruência LLL e a desigualdade triangular na Geometria Euclidiana e na Geometria Táxi.
1) Desenhe um triângulo euclidiano de lados 3,4 e 5. Como podemos classificar esse triângulo quanto aos lados e quanto aos ângulos.
2) Qualquer outro triângulo euclidiano de lados 3,4 e 5 será congruente ao primeiro triângulo desenhado? Justifique sua resposta.
3) Considere o triângulo de vértices A(2,1), B(3,3) e C(6,2). Calcule a medida de cada lado desse triângulo. Ligue os pontos A, B e C, seguindo a malha
quadriculada, para formar o triângulo ABC. Observe que cada lado do triângulo é um conjunto de segmentos de reta, coincidentes com as linhas da malha quadriculada. Há apenas uma maneira de se ligar esses pontos? O triângulo com esses vértices tem sempre a mesma forma? Justifique a sua resposta através de figuras.
4) Considere, agora, o triângulo de vértices M(2,1), N(5,1) e P(4,4).Calcule a medida dos lados desse triângulo. O triângulo MNP tem a mesma forma dos triângulos formados no item anterior? Seus lados têm a mesma medida? Eles são congruentes?
5) Na geometria táxi vale o caso de congruência LLL, isto é, dois triângulos que têm os lados respectivamente congruentes são congruentes?
6) Marque, em um referencial cartesiano, os pontos A(1,1), B(4,10) e C( 11,10). Ligue esses pontos, seguindo a malha quadriculada, para formar o triângulo ABC.
14 4.6 Os quadrados na Geometria Táxi
Assim como na atividade com triângulos, a atividades de construção do quadrado Táxi pode gerar muitas dúvidas. A figura “quadrado” é conhecida desde a primeira infância. O impacto com a “nova” forma do quadrado causará, com certeza, um grande impacto nos alunos. Da mesma forma que os triângulos.
8) No triângulo que você desenhou, verifica-se a desigualdade triangular euclidiana?
9) Crie dois triângulos táxi: no primeiro a desigualdade triangular não deve se verificar e, no segundo ela deverá se verificar. Dê as coordenadas dos vértices desses triângulos. Faça a figura.
1) Desenhe um quadrado táxi de vértices A(1,1), B(1,9), C(4,5) e D(9,1). Qual é a medida do lado desse quadrado?
2) Com os mesmos pontos do item anterior desenhe um outro quadrado táxi. Ao mudar a forma da figura a medida dos lados mudou? Justifique sua resposta.
3) Calcule o número de quadrados diferentes que podemos desenhar com os vértices nos quatro pontos do item 1.
4) Na geometria euclidiana, um quadrado cujo lado mede 8 u.c. tem a diagonal medindo 8 2 u.c..
15 4.7 Atividade Multidisciplinar
Após o estudo da reta, da mediatriz, do triângulo e do quadrado, uma atividade que aplique esses conteúdos a situações cotidianas proporcionará uma motivação maior para o estudo da Geometria Táxi.
5) Determine a medida de cada diagonal dos dois quadrados que você desenhou. Elas têm a mesma medida?
6) Crie um quadrado que tem uma diagonal medindo 8u.c.. Qual é a medida do lado desse quadrado? Esse problema tem solução única? Comprove sua resposta através de uma figura.
1) Uma empresa de construção deseja construir um prédio de apartamentos que atenda às seguintes condições : esse prédio deverá ficar a, no máximo, 6 quarteirões do supermercado S=(-3,0) e a, no máximo, 4 quarteirões do clube de tênis(2,2). Onde esse prédio poderá ser construído?
2) Houve um acidente na ponto A(-1,4). Há duas ambulâncias na região: uma no ponto M(2,1) e outra no ponto P(-3,-2). Se considerarmos apenas a menor distância, como critério de escolha da ambulância a ser chamada, qual das duas deverá ir ao local do acidente? Dê uma razão para a ambulância mais distante ser a melhor a ser chamada, considerando que ambas estão funcionando normalmente e têm os mesmos equipamentos.
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3) Uma companhia telefônica deseja instalar alguns telefones públicos de tal modo que toda pessoa que more a menos de 12 quarteirões do centro da cidade tenha que caminhar, no máximo, 4 quarteirões para encontrar um orelhão. Calcule o número mínimo de orelhões que devem ser instalados, para atender a essa condição. Dê a localização deles em uma malha quadriculada.
4) Uma companhia telefônica deseja instalar alguns telefones públicos de tal modo que toda pessoa que more a menos de 12 quarteirões do centro da cidade tenha que caminhar, no máximo, 4 quarteirões para encontrar um orelhão. Calcule o número mínimo de orelhões que devem ser instalados, para atender a essa condição. Dê a localização deles em uma malha quadriculada
17 5 Referências
ABREU, João Francisco de; BARROSO, Leônidas Conceição (Org.) Geografia,
modelos de análise espacial e GIS. Belo Horizonte: PUC-Minas, 2003. 231 p.
ABREU, João Francisco de; BARROSO, Leônidas Conceição (Org.) Geografia,
modelos de análise espacial e GIS. Belo Horizonte: PUC-Minas, 2003. 231 p.
DAVIS, Philip J.; HERSH, Reuben. A experiência matemática. Portugal: Gradiva, 1995. 401p.
DOLCE, Osvaldo, POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de matemática
elementar: volume 9: geometria plan.8.ed.São Paulo:Atual, 2005, 456p.
EVES, Howard Whitley. Introdução à história da matemática. [2. ed.] Campinas: Editora da UNICAMP, 1997. 843 p.
KRAUSE, Eugene F. Taxicab geometry, in Mathematics Teacher, Dezembro,1973.
MIRANDA, D. F. - Geometria Táxi, uma métrica para os espaços geográficos e urbanos uma análise exploratória. Dissertação de Mestrado em Tratamento da Informação Espacial, Belo Horizonte, PUC-MG, 1999
