5 de Fevereiro de 2011

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ELECTRÓNICA E INSTRUMENTAÇÃO

2º Exame 2010/2011

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

Licenciatura em Engenharia e Arquitectura Naval

5 de Fevereiro de 2011

Instruções:

1. A prova tem a duração de 3h00 e avaliará os conhecimentos e destreza em EI.

2. A prova realiza-se sem consulta de elementos de estudo, a não ser do Formulário disponibilizado.

3. Os Problemas devem ser resolvidos em folhas separadas.

4. Os alunos podem utilizar calculadoras alfanuméricas, sem capacidade gráfica, ou de programação, ou de memorização de textos ou fórmulas.

5. Os resultados serão divulgados na Página e na vitrina da disciplina até 15 dias após a prova, realizando-se a revisão de provas na sala 3.11 do PEMIII, na semana seguinte à afixação de resultados.

6. Em tudo o que estas regras são omissas segue-se o estipulado no Regulamento de Avaliação de Conhecimento e Competências do IST.  

Problema 1: [5 val.]

x2

x1

θ

L

Carro do

guindaste

Contentor

movimento horizontal (x1), por um motor ligado a rodas de 0,50m de diâmetro. O binário do motor

pode-se considerar proporcional a uma variável de controlo u:

!

_!

= !"#$

%

"

"

&

!"

#

"

!

#$

.

A massa dos cabos de suspensão é desprezável e pode-se considerar que os cabos estão sempre em tensão e sem curvatura. Considere igualmente desprezáveis os atritos de rolamento do carro e de oscilação dos cabos nos pontos de suspensão.

a) [2.0] Estabeleça as equações diferenciais que permitem descrever a oscilação angular do cabo (θ), a posição do carro (x1) e a posição horizontal da carga (x2), quando é

transportada uma carga de massa m (onde se incluem as massas do sistema de suporte e do contentor), mantendo constante o comprimento dos cabos de suspensão da carga (L), em função da variável de controlo (u).

R:

Equação do motor:

_{5.10 .}

4

m

u

τ

=

Conversão do binário em força exercida sobre o carro:

F r

₁

=

.

τ

m

=

0,25.

τ

m

Equilíbrio de forças no carro (Fig.1):

!

! !!

!

_"

=

"

_"

+

"

_#

!

#$%

$

!

%

Equilíbrio de forças na carga (Fig.2):

!! !!

"

_!

= !#

_!

"

$%&#

!!

!" !!

'

_!

= #

_!

"#$%&

!!! !"(

Relações geométricas:

2 1 2

.

( )

.cos( )

x

x l sen

y

l

θ

θ

= +

= −

b) [1.0] Linearize as equações em torno das seguintes condições nominais:

!

!

_!

= "

" #

;

0

θ

=

.

R:

As equações não lineares são as de equilíbrio de forças, em que F2 multiplica

funções trignométricas de θ, e as relações geométricas. As equações

linearizadas, função das variáveis de desvio, são:

4

5.10 .

m

u

τ

′

=

′

1

0,25.

m

F

′

=

τ

′

!

! !!!

!

_!

= !

!

_!

+

!

!

!

!

!

!

!

! !!!

!

_!

= "

!

!

!

!

!

!

2 1

.

x

′

= +

x

′

l

θ

′

c) [2.0] Nas equações obtidas em a) considere a seguinte aproximação:

sen

( )

θ θ

=

e

cos( ) 1

θ

=

. Desenhe o diagrama de blocos considerando a entrada u e a saída θ e evidenciando as variáveis x1 e x2.

θ

F2

F1

M

Fig.1

–F2

m

Fig.2

NOTA: Se não resolveu as alíneas anteriores desenhe o diagrama de blocos para as seguintes equações [-0.5 val.]:

4

5.10 .

m

u

τ

′

=

′

τ

′

=

′

1

4.

m

F

! ! !!

!

_!

!

= !

!

_!

+ !!!! !

_!

!! !!

!

_!

!

= "!!!! !

_!

!

!

_!

= !

!

_!

+!! !

!

R:

Com a substituição indicada, as equação são as obtidas na alínea b). Aplicando

transformadas de Laplace, com condições iniciais nulas:

4

5.10 .

m

U

Τ =

1

0,25.

m

F

=

Τ

′

2 1 1

. .

. .

M s X

= +

F m g

Θ

2 2

. .

. .

m s X

= −

m g

Θ

2 1

.

X

= + Θ

X

l

Diagrama de blocos:

Problema 2: [5 val.]

Considere o filtro representado pela seguinte função de transferência:

!(!) =

!

!

+ 5! + 2500

!

!

_{+ 505! + 2500}

a) [2.5] Desenhe o diagrama de Bode do filtro.

U

_5.10

X1

X2

Θ

4

0,2

₅

m.g

1/M.s

2

l

–m.s

2

/F2

-50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 Ma g n itu d e ( d B ) 10-1 100 101 102 103 104 -90 -45 0 45 90 Ph a s e ( d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/sec)

b) [1.5] Se o sinal de entrada no filtro apresentar ruído induzido pela rede eléctrica nacional, indique qual a atenuação espectável do ruído na saída do filtro. (rede eléctrica -

sinusoidal com 50 Hz) R:

A frequência da rede eléctrica é 50Hz= 314.159265 rad/sec, pelo que do

gráfico se tira -5.73 dB.

c) [1.0] Mantendo a posição relativa dos pólos/zeros do sistema, indique a posição óptima destes para maximizar o efeito pretendido.

R:

!(!) =

!

!

+ 62.8319! + 98696.0438

!

!

_{+ 3173.0086! + 98696.0438}

Problema 3: [5 val.]

Considere o sistema descrito pelo diagrama de blocos da figura:

a) [1.0] Determine a função de transferência

Y s R s

( ) / ( )

R: 3 2

( )

1

( )

5

(

6)

Y s

s

R s

s

s

K

s K

+

=

+

+

−

+

b) [2.0] Coloque o denominador na forma

a s

₀ n

+

a s

₁ n−1

+ +

...

a s a

_n−1

+

_ne, utilizando o critério de Routh, indique para que intervalo de valores de

K

o sistema é estável

-40 -30 -20 -10 0 Ma g n itu d e ( d B ) 100 101 102 103 104 105 -90 -45 0 45 90 Ph a s e ( d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/sec)

K

1

(

1)(

6)

s

s s

s

+

−

+

Y

(

s

)

+

_{E (s )}

−

R

(

s

)

(NOTA: se não resolveu a alínea anterior considere como polinómio característico: 3 2

2

s

+

5

s

+

(

K

−

2)

s

+

2

K

). R: 3

_:

s

1

K

−

6

2

_:

s

5

K

1

_:

s

4

30

5

K

−

0

_:

s

K

4

30

0

7.5

5

0

K

K

K

−

⎫

> ⎪ >

_⎬

⎪

>

_⎭

3

_:

s

2

K

−

2

2

_:

s

5

2K

1

_:

s

10

5

K

−

0

_:

s

2K

10

0

10

5

0

K

K

K

−

⎫

> ⎪ >

_⎬

⎪

>

_⎭

c) [2.0] Calcule o erro em regime estacionário,

e

( )

!

, do sistema da figura, para uma entrada em rampa de amplitude 3 e para K=10.

3 2

1

( )

( ) 1

5

4

10

s

E s

R s

s

s

s

+

⎛

⎞

=

_⎜

−

_⎟

+

+ +

⎝

⎠

0

( ) lim

( )

ss _s

e

s E s

→

∞ =

= ∞

Problema 4: [5 val.]

Para controlar a distância de segurança num estacionamento é usado um sensor de infravermelhos com as seguintes características:

Tensão de alimentação 6 a 18 V dc

Gama de utilização 0 a 80 cm

Distância a medir 20 a 60 cm

Tensão de saída para a medida 2,4 a 1,2 V dc

Linearidade 1% FS

É utilizado um conversor A/D de 10 bits com entrada em tensão de 0/5 V dc e ruído de 3 LSB. a) [1.0] Apresente a relação entre a tensão de saída Vs e a distância medida, d. Indique

qual a sensibilidade e resolução do sensor. R:

3

3

+

−

= d

V

S sensibilidade =

−

3

= 3 [V/m] resolução = 1/3 = 0,33 [m/V]

b) [2.0] Determine a expressão do condicionamento de sinal a implementar entre o sensor e o CAD para que toda a gama deste seja utilizada. Desenhe uma implementação electrónica do mesmo. d V_s 0,2 0,6 2,4 1,2 [distância a medir] [s aída d o s en sor ] [V] [m]d V_s 0,2 0,6 2,4 1,2 [distância a medir] [s aída d o s en sor ] [V] [m]

R:

10

17

,

4

+

−

=

S CAD

V

V

ou seja, amplificação de -4,17 e offset de +10V.

O mesmo podia ser realizado através de:

ou

c) [1.0] Determine a resolução da cadeia de medida com e sem condicionamento de sinal.

V_CAD 1,2 2,4 5 0 [saída do sensor] [en tr ad a d o CA D] [V] [V] _Vs V_CAD 1,2 2,4 5 0 [saída do sensor] [en tr ad a d o CA D] [V] [V] _Vs

00039

,

0

5

,

12

2

5

1

₁₀

=

×

=

⇒

=

d

n

δ

δ

m

que não é mais do que o quociente entre a gama da medida (0,4m) e a gama do CAD (1024 palavras binárias).

Sem condicionamento de sinal:

3

3

+

−

=

=

V

d

V

_{CAD S}

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−

+

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−

−

=

5

3

3

2

int

0

5

0

2

int

10

V

10

d

n

CAD

0016

,

0

3

2

5

1

₁₀

=

−

×

=

⇒

=

d

n

δ

δ

m ou seja

isto é, se 5V correspondem a 1024 palavras binárias, 1,2V corresponderão a 245 (valor inteiro obtido por truncatura). Então, do quociente entre a gama da medida (0,4m) e a gama do lado do CAD (245 palavras binárias), obteremos a resolução de 0,0016m

d) [1.0] Determine a precisão da cadeia de medida com condicionamento de sinal.

R:

0092

,

0

00039

,

0

3

8

,

0

01

,

0

×

+

×

=

=

Δd

m com cond icion amen to de sina l 1,2 V 2,4 V 20 cm 60 cm 5 V 0 V sem condicionamento de sinal CAD 210_{= 1024} Palavra binária 0 Palavra binária 1023 245 palavras com cond icion amen to de sina l 1,2 V 2,4 V 20 cm 60 cm 5 V 0 V sem condicionamento de sinal CAD 210_{= 1024} Palavra binária 0 Palavra binária 1023 245 palavras

FORMULÁRIO

( )

( )

2 1 1 2 2 2 2 0 0 0

tan

4

3

2%

,

5%

,

1

,

,

1

1 2

,

,

2

1

lim ( ),

lim

( ),

lim

( )

d n s s r n n d d n p p d r n r p _s v _s a _s

T

T

T

T

M

e

M

K

G s

K

sG s

K

s G s

ζπ ζ

ω

π

ζω

ζω

ζω

ω

π

ω

ω

ζ

ω

ω ω

ζ

ζ

ζ

− − − → → →

⎛

⎞

−

_⎜

_⎟

⎝

⎠

=

=

=

=

−

=

=

=

−

=

−

=

=

=