IDENTIFICAÇÃO AUTOMÁTICA DAS FOICES CEREBRAIS BASEADA NA
EQUAÇÃO DE DIFUSÃO NÃO-LINEAR
Rubens C. Pereira
1, Celia A. Z. Barcelos
2, Edna L. Flôres
1,
Gilberto A. Carrijo
1e Antônio C. P. Veiga
11
Faculdade de Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Uberlândia, Av. João Naves de Ávila, 2160, CEP: 38.400-902, Uberlândia, Minas Gerais, Brasil.
2 Faculdade de Matemática, Universidade Federal de Uberlândia, Av. João Naves de Ávila, 2160, CEP: 38.400-902, Uberlândia, Minas Gerais, Brasil.
Resumo – Os traumas craniencefálicos (TCE) em
pacientes têm crescido a cada dia devido aos acidentes, os quais são avaliados por meios da identificação e análise da curva encontrada ao longo da linha média do cérebro (LMC). Este artigo apresenta uma proposta para a detecção automática da LMC em imagens digitais de tomografia computadorizada baseada apenas nas foices cerebrais superior e inferior. Estas foices são localizadas através das saliências posicionadas sobre os contornos internos do cérebro. Equações diferenciais parciais não-lineares e limiarização em multiníveis são utilizadas para obter as saliências côncavas e convexas pertencentes ao contorno do cérebro. Estas saliências indicam os pontos de referência para identificar as foices cerebrais. A imagem resultado mostra as bordas afinadas, as saliências, as foices cerebral superior e inferior e a LMC aproximada traçada sobre a imagem cerebral original.
Palavras-Chave – bordas afinadas, equação de difusão
não-linear, foices cerebrais.
THE AUTOMATIC IDENTIFICATION OF
THE CEREBRAL SICKLES BASED ON
NONLINEAR DIFFUSION EQUATION
Abstract - Cephalic traumas (CT) in patients arising
from general everyday accidents are evaluated by means of identification and analysis of the curve found along the median cerebral line (MCL). This article presents a proposal for the automatic detection of the MCL in computerized tomographic digital images based on just the upper and lower cerebral sickles. These sickles are located through the saliences positioned over the cerebral internal contours. The nonlinear partial differential equation and a multi-level threshold process are used to obtain the concave and convex saliences belonging to cerebral contour. These saliences indicate the reference points in order to identify the cerebral sickles. The obtained image results show the thin edges, the saliences, the upper and lower cerebral sickles and the approximated MCL traced over the original cerebral image.
1
Nota de rodapé na página inicial será utilizada apenas pelo professor avaliador para indicar o andamento do processo de revisão. Não suprima esta nota de rodapé quando editar seu artigo.
Keywords - cerebral sickles, nonlinear diffusion
equation, thin edges.
I. INTRODUÇÃO
Os traumas craniencefálicos (TCE) decorrentes de acidentes automobilísticos envolvendo pedestres, motoristas e passageiros de automóveis e motociclistas geralmente provocam lesões irreparáveis ao cérebro dos indivíduos envolvidos neste tipo de acidente. O paciente traumatizado recebe inicialmente uma avaliação clínica, o seu nível de consciência é medido pelo uso da escala de coma de
Glasgow (ECGla) e são realizados exames por imagens como
tomografia computadorizada (TC) e ressonância magnética (RM) com o objetivo de encontrar informações que possam identificar da forma mais precisa a verdadeira natureza das lesões cerebrais.
A linha média do cérebro (LMC) é um dos primeiros itens a ser considerado quando se observa as imagens cerebrais e a sua rápida e eficiente detecção pode auxiliar nos procedimentos médicos evitando uma piora no quadro do paciente, cuja lesão pode tornar-se irreversível. A LMC é uma linha imaginária que divide o cérebro em duas porções relativamente iguais. Para obtê-la, é necessário localizar determinadas estruturas internas de referência como as foices cerebrais inferior e superior e as bordas e contornos do cérebro e crânio. Esta linha é fundamental para o cálculo do tamanho do desvio da linha média do cérebro bem como é importante para o médico neurologista classificar o tipo de TCE (leve, moderado, grave) e então indicar o tratamento mais adequado.
A identificação da LMC ou do plano sagital médio é geralmente realizado usando duas estratégias. A primeira consiste em obter uma linha que melhor separa os dois hemisférios do cérebro a partir dos pontos de referência definidos no sistema de coordenadas estereotático de Talairach [1]. Neste enfoque, os trabalhos apresentados em [2] e [3] detectam o plano médio sagital usando pelo menos 4 pontos marcos do atlas de Talaraich como, por exemplo, as comissuras anterior e posterior, os pontos anterior e posterior do corpo caloso. Esses métodos apresentam tempos de processamento superior a 2 min para processar as imagens cerebrais, além de tratarem imagens com rotação, assimetrias patológicas e a cabeça inteira. O trabalho apresentado em [4] também localiza o plano médio sagital baseado nas referências de Talairach, utilizando os histogramas para a seleção automática de limiares e análise de cena para obter os pontos de referência. Esse o algoritmo possui alto custo computacional para processar todas as imagens do paciente,
além do quê não trabalha muito bem com imagens cerebrais com patologias.
O segundo enfoque utiliza a simetria interna das estruturas cerebrais e é explorado nos trabalhos apresentados em [5–8]. O plano médio sagital ideal é localizado utilizando um enfoque baseado em bordas e correlação cruzada com o objetivo de decompor um plano que melhor se ajusta aos eixos de simetria de cada fatia, seguido por uma estimativa robusta dos parâmetros do plano. Os problemas detectados nesses métodos ocorreram nas imagens cerebrais com rotações, com as interferências das estruturas internas do cérebro, o alto grau de assimetria interna, além do elevado tempo de processamento devido à correlação cruzada.
Esse trabalho apresenta uma maneira simples de obter a LMC utilizando apenas dois pontos de referência no cérebro: as foices cerebrais superior e inferior. Embora os trabalhos relacionados utilizem um grande número de pontos marcos, o propósito desse trabalho é localizar apenas as duas foices cerebrais que estão localizadas sobre as saliências posicionadas nos contornos internos do cérebro: as saliências côncavas e convexas. O algoritmo para a identificação da LMC é completamente automático e o processo de segmentação é realizado pela suavização não-linear via equações diferenciais parciais e a limiarização em multiníveis. As bordas afinadas são obtidas usando a direção onde as bordas possuem maior força e as saliências côncava e convexa são obtidas sobre as bordas afinadas. As foices são identificadas através das saliências e a LMC é traçada com base nessas foices.
As seguintes seções apresentam o método proposto em detalhes, os detalhes da implementação, os resultados experimentais e as conclusões.
II. O MÉTODO PROPOSTO
O método desenvolvido explora o uso das equações diferenciais parciais com o propósito de localizar as foices cerebrais superior e inferior e os contornos internos do cérebro para, posteriormente, obter a LMC. As imagens cerebrais oriundas de TC geralmente contêm ruído e uma filtragem por suavização não-linear é utilizada para alcançar dois objetivos: a) eliminar a maioria do ruído significativo, e b) criação de um mapa de bordas contendo as bordas mais relevantes do cérebro. Para produzir um mapa de bordas mais significativo, uma limiarização em multiníveis é aplicada de forma automática, com o objetivo de reduzir a perda de importantes pixels de borda. Em seguida, a imagem limiarizada é processada de modo que produza bordas com largura de 1 pixel, para se localizar os contornos internos do cérebro e as foices superior e inferior. A LMC é traçada por um segmento de reta unindo estas duas foices.
As seguintes seções apresentam a suavização não-linear e o afinamento de bordas usando limiarização em multiníveis visando identificar as foices cerebrais.
A. Suavização da imagem
A suavização é obtida usando filtragem não-linear via equações diferenciais parciais. O modelo aplicado foi o proposto por Barcelos e Boaventura [9]. A equação do filtro de suavização considera a imagem de entrada para
processamento como I(x,y) e produz uma imagem suavizada no instante t, u(x,y,t) como uma solução da seguinte equação:
) )( 1 ( | | | | |) (| g u I u u div u u g ut − − − ∇ ∇ ∇ ∇ = (1) com: 0 | ), , ( ) 0 , , ( ∂Ω× = ∂ ∂ = R+ n u e y x I y x u (2) onde 2 | | 1 1 |) (| u k u g g ∇ + = ∇
= , sendo k uma constante. I(x,y) é a
imagem para ser processada, u(x,y,t) é a sua versão suavizada na escala t. A função g(s)>0 é uma função não-incremental, satisfazendo g(0)=1 e g(s)→0 quando s→∞.
O termo |∇u|div(∇u/|∇u|) = ∆u – ∇2u(∇u,∇u) / |∇u|2
realiza a difusão de u na direção ortogonal ao seu gradiente
∇u e não faz a difusão em qualquer outra direção. A meta é
permitir uma suavização na imagem u de modo que ela seja realizada em ambos os lados da borda com o mínimo de suavização na própria borda.
O termo g(|∇u|) é utilizado para a detecção de bordas e
controla a velocidade da difusão: se ∇u tem um valor
pequeno no ponto x, ele será considerado um ponto interior e a difusão será mais forte; por outro lado, se ∇u tem um valor
grande no ponto x, então este ponto x será considerado um ponto de borda e a difusão será lenta desde que g(s) sempre assume pequenos valores para grandes valores de s.
O balanço entre o termo de força e o termo de difusão é feito por (1-g), o qual trabalho como um seletor moderador do processo de difusão.
Após a aplicação da filtragem via equações diferenciais parciais, é realizado um processamento em duas etapas no mapa de bordas (g): a limiarização em multiníveis e o afinamento das bordas, os quais são apresentados nas próximas seções.
B. O processo de limiarização em multiníveis
A aplicação de um único limiar na imagem inteira exclui várias bordas importantes, resultando em uma imagem inadequada para os propósitos desejados. O uso de vales em histogramas para a determinação de um limiar global também não produz resultados satisfatórios.
O método proposto consiste no uso do mapa de bordas a partir do estágio anterior e executa uma limiarização de modo a reduzir a perda de bordas importantes localizadas nos contornos do cérebro. Essa etapa é realizada de forma automática e o mapa de bordas é dividido em pequenas regiões sendo que, para cada região, os histogramas ordenados são utilizados em ordem decrescente de acordo com a contagem dos pixels em cada nível de cinza. Esses histogramas ordenados são avaliados e o limiar é obtido quando existe uma mudança brusca nos níveis de cinza. O valor do limiar é utilizado na limiarização da respectiva região.
A principal característica é a detecção das mudanças bruscas nos valores dos níveis de cinza dos histogramas ordenados indicando a interrupção no processo de avaliação dos histogramas. Dessa forma, não há aumento da complexidade computacional, pois cada pixel é visitado apenas uma vez, além de se utilizar um instrumento simples
como o histograma de uma imagem. O resultado final é o mapa de borda completamente limiarizado.
Para cada região do mapa de bordas, um histograma (Hi) é
obtido e ordenado em ordem decrescente da quantidade de pixels dos níveis de cinza. Hi é examinado até que a primeira
lacuna (gap) seja encontrada entre os valores dos níveis de cinza, cuja diferença seja maior ou igual a ß, e o valor do limiar desta região é marcado como Li = Hi(k), onde k é a
posição da lacuna no histograma.
O mapa de bordas limiarizado (gt) torna possível obter as
bordas do cérebro, as estruturas internas e o crânio com a execução dos próximos passos: a) bordas finas com largura de 1 pixel; b) recuperação dos pixels de borda perdidos baseada em gt e nas menores distâncias entre o fim das
bordas; e finalmente c) remoção das bordas pequenas que não são úteis na identificação da LMC. As seções seguintes apresentam em detalhes cada um destes passos.
C. Afinamento das bordas do cérebro, do crânio e das estruturas internas
Para obter automaticamente as bordas finas do cérebro, do crânio e das estruturas internas do cérebro, a imagem é examinada e é feita a marcação dos pixels que pertencem às bordas com maior força. Ao final deste passo, as bordas encontradas são denominadas “bordas verdadeiras” com largura de 1 pixel, pois foram obtidas a partir do mapa de bordas limiarizado (gt).
Neste artigo, o termo “força de borda” representa a direção da borda que possui o maior número de pixels com a mesma intensidade. As bordas verdadeiras auxiliam na localização das foices superior e inferior, as quais são referências para a detecção automática da LMC. Elas são obtidas pela avaliação e contagem da quantidade de pixels de borda com maior força em todas as oito direções d1,d2,...,d8
[10]. A direção que apresentar a maior quantidade de pixels de borda é a direção da força da borda e o pixel correspondente é marcado como um pixel de borda verdadeiro. Neste processo, quando duas direções têm a mesma quantidade de pixels, ambas as direções serão consideradas como direções de borda.
Seja gtf os pixels do primeiro plano (foreground) que estão
sendo avaliados no mapa de bordas limiarizado, para decidir qual a direção a borda deverá seguir. O maior valor do somatório dos pixels do primeiro plano em todas as oito direções Sgtf(dn),n=1,...,8 é selecionado e o pixel vizinho na
direção escolhida é um pixel da borda verdadeira. A imagem final contém apenas as bordas afinadas, isto é, as bordas verdadeiras que serão utilizadas para localizar as foices cerebrais superior e inferior. A próxima seção apresenta o processo de reconstrução de bordas.
D. Reconstrução automática das bordas afinadas com base no mapa de bordas
A LMC é detectada a partir das foices cerebrais e, portanto, todas as bordas cerebrais importantes deveriam ser obtidas. A reconstrução das bordas é necessária, pois a limiarização em multiníveis possui algumas limitações, eliminando pixels de borda importante. Desta forma, a reconstrução das bordas afinadas decide se um pixel é parte da borda ou não através da avaliação da vizinhança dos pixels e considerando o mapa de bordas para esta tomada de
decisão. A avaliação da vizinhança é feita em todas as 8 direções e ela é limitada por v, a largura da vizinhança.
Caso ainda existam situações em que os segmentos de borda não estejam conectados entre si, uma reconstrução artificial é executada. Nessa etapa, localiza-se e traça-se o menor segmento de reta a partir de dois pontos extremos que pertençam a duas bordas que estejam o mais próximo possível.
Ao final dos procedimentos de reconstrução de bordas, as bordas pequenas são eliminadas (menores do que m pixels contíguos), pois elas não contribuem em nada para os estágios seguintes.
E. Traçado da linha media do cérebro a partir das foices cerebrais
Os estágios anteriores produziram uma imagem com os pixels de borda com largura de 1 pixel. A linha média do cérebro é obtida pela localização dos pontos de referência a partir das foices cerebrais superior e inferior.
A foice cerebral superior é obtida pela análise da parte superior do contorno interno do cérebro. Primeiramente, localiza-se as duas saliências côncavas mais elevadas a partir do contorno interno e depois a saliência convexa menos elevada entre as duas saliências. Desta forma, a posição aproximada da foice cerebral superior é definida. A foice cerebral inferior é obtida por um raciocínio inverso, considerando a parte inferior do contorno interno do cérebro. Um segmento de reta que une as duas foices cerebrais define a LMC.
Os detalhes da implementação computacional são apresentados na próxima seção.
III. DETALHES DA IMPLEMENTAÇÃO
A técnica de suavização utilizada neste artigo apresentou resultados interessantes, pois eliminou ruídos indesejáveis e produziu um mapa de bordas, destacando as bordas mais relevantes da imagem. As imagens examinadas são representadas por matrizes dos valores de intensidade N x M. Seja uij denotando o valor da intensidade de uma imagem u
no pixel (xi,yj) com i = 1, 2,..., N e j = 1, 2,..., M. As equações
de evolução produz imagens no instante tn = n ? t com n = 1,
2,... . Nós indicamos u(xi,yj,tn) por uijn.
A derivada no tempo ut em (i, j, tn) é aproximada por
diferenças avançadas t u u n ij n ij ∆ − +1 . O termo de difusão 2 2 2 2 2 | | | | y x xx y xy y x yy x u u u u u u u u u u u div u + + − = ∇ ∇ ∇ (3)
na Eq. (1) é aproximado usando diferenças centrais:
h u u y x ux i j i j i j 2 , ) , ( ≈ +1, − −1, h u u y x uy i j ij ij 2 , ) , ( ≈ , +1− ,−1 2 , 1 , , 1 2 , ) , ( h u u u y x uxx i j ≈ i+ j− ij+ i− j 2 1 , , 1 , 2 , ) , ( h u u u y x uyy i j i j ij i j − + − + ≈
[
1, 1 1, 1 1, 1 1, 1]
2 4 1 ) , ( i j ≈ i+ j+ − i+ j− − i− j+ + i− j− xy u u u u h y x ucom i = 1, ..., N e j = 1, ..., M. Se indicar ) )( 1 ( | | | | ) ( g u I u u div u g u L − − − ∇ ∇ ∇ = λ (5)
pode-se escrever a Eq. (1) na forma ut=L(u). Portanto,
usando o método de Euler:
) ( 1 n ij n ij n ij u tL u u + = +∆ (6) onde uij0= I(xi ,yi).
Nos experimentos apresentados, foi definido ?=1, n=800 (a quantidade de iterações), k=0.002 e ? t =0.01.
A Figura 1.a mostra a imagem original de um cérebro lesionado e a Figura 1.b ilustra o mapa de bordas resultante (g). Observa-se que na Figure 1.b o mapa de bordas representa as bordas existentes da imagem original, evitando a perda de importantes bordas, as quais são necessárias para o processo de identificação e localização da LMC.
Após a produção do mapa de bordas, a imagem é dividida em p regiões para a limiarização em multiníveis. Neste trabalho, o domínio da imagem foi dividido em 6 regiões (P1 até P6), conforme mostrado na Figura 1.b. Outras partições de domínio de imagem foram testadas, mas nenhum resultado melhor foi encontrado.
(a) (b) (c) Fig. 1. Tomografia de um cérebro lesionado. (a) Imagem original;
(b) Mapa de bordas (g) dividido em 6 partes e (c) Imagem limiarizada baseada em múltiplos limiares.
O processo de limiarização em multiníveis consiste em obter valores de limiares adequados Li para cada região,
conforme apresentado na Seção II.B. A Tabela I mostra alguns valores de parte do histograma ordenado extraído a partir da região P1 da Figura 1.b. O valor Li selecionado é a
35th posição da tabela (Li=217), pois a diferença entre o nível
de cinza 217 e 7 é maior do que a diferença padrão (ß=20) e é o menor valor entre os itens das linhas 35 e 34.
A Figura 1.c ilustra a imagem resultante a partir do conjunto de limiares aplicados ao mapa de bordas. Os valores de limiares utilizados foram 217, 224, 207, 216, 243 e 236 para as regiões P1 a P6, respectivamente.
TABELA I
Os valores de uma porção do histograma ordenado em ordem decrescente da contagem dos pixels da região P1
da Figura 1.b.
Posição Nível de cinza Contagem dos
pixels 0: 255 6467 1: 254 3750 2: 253 956 ... ... ... 32: 227 28 33: 214 26 34: 222 25 35: 217 24 36: 7 24 37: 228 24 38: 226 23 ... ... ...
O próximo passo é obter as bordas afinadas com largura de 1 pixel, de acordo com a Seção II.C.
Possíveis pixels de borda perdidos nos processos anteriores são recuperados com o auxílio do mapa de bordas, onde uma vizinhança de 10 pixels é analisada para produzir um contorno contínuo. Entretanto, pode haver algumas descontinuidades e, nestes casos, os pixels das extremidades das bordas são conectados na direção de duas curvas cujas extremidades têm a menor distância. Este procedimento é a “reconstrução artificial”. As bordas formadas por menos que 50 pixels contíguos (m) são consideradas bordas espúrias e eliminadas da imagem.
Para a localização da foice superior são utilizadas as regiões P1 e P2, onde as duas saliências côncavas estão posicionadas o mais próximo do topo da imagem. Entre essas duas saliências, será considerada a saliência convexa representando o ponto central da foice superior. Caso exista mais de uma saliência convexa, será escolhida aquela mais distante do topo da imagem. A Figura 2 mostra as duas saliências côncavas e uma saliência convexa que representa a posição aproximada da foice superior na imagem cerebral analisada.
Fig. 2. As saliências côncavas e convexas que são as referências para identicar a foice cerebral superior.
O processo de obtenção da foice inferior é o mesmo, mas as regiões P5 e P6 são utilizadas e o modo de localizar as saliências é o inverso. Dessa forma, as duas saliências convexas são obtidas e, posteriormente, a saliência côncava.
Um problema pode ocorrer quando existe mais de um contorno contínuo na região superior ou inferior. Neste caso, é analisado aquele com o maior número de pixels conectados.
Uma vez que os pontos de referência superior e inferior são encontrados, um segmento de reta é traçado passando por estes dois pontos, resultando na LMC aproximada. A Figura 3 mostra a imagem cerebral original lesionada com a sobreposição da imagem com as bordas afinadas e a LMC traçada.
As próximas seções apresentam os resultados e as conclusões deste trabalho.
IV. RESULTADOS
Esta seção apresenta os resultados experimentais do método de identificação automática da foices cerebrais e da LMC. Foram utilizados 3 conjuntos de exames cerebrais reais produzidos por tomografia computadorizada, totalizando 34 imagens de 512 x 512 pixels. O tempo médio gasto para processar uma imagem foi de 1 min, o qual é inferior aos tempos apresentados em alguns artigos da Seção I.
As imagens resultantes mostraram as bordas afinadas, as saliências, as foices cerebrais superior e inferior e a LMC aproximada traçada sobre a imagem cerebral original. As Figuras 4.a até 4.e apresentaram os contornos internos do cérebro contínuos, as foices superior e inferior e a LMC aproximada identificadas satisfatoriamente.
Fig. 3. Imagem cerebral lesionada com a sobreposição da imagem com as bordas afinadas identificadas e a linha média traçada. Na seqüência, as Figuras 4.f até 4.j não apresentaram resultados muito satisfatórios, pois apenas uma das foices foi identificada na posição correta. Os problemas detectados nestas imagens foram as descontinuidades das bordas internas e outras bordas que não pertencem ao contorno do cérebro, mas que atrapalham a correta localização das foices. É importante observar que a LMC traçada está na posição correta, porém ela está incompleta.
Finalmente, os resultados apresentados nas Figuras 4.k a 4.l possuem os mesmos problemas mencionados acima, além de que nenhuma das duas foices cerebrais foi identificada corretamente. A LMC traçada não está na posição aproximada da LMC real, significando que estas situações necessitam de ajustes e melhorias.
V. CONCLUSÕES
Apesar dos trabalhos relacionados usarem um número maior de pontos de referência, este trabalho apresentou resultados relevantes na identificação da linha média do cérebro baseada apenas nas duas foices cerebrais.
O método proposto para identificar automaticamente a LMC possui algumas lacunas em situações onde existem descontinuidades dos pixels nos contornos que delimitam o cérebro e outras bordas de tamanho médio que perturbam o processo de detecção da LMC. Entretanto, os resultados finais estão próximos dos resultados apresentados em [2], [5– 7], dando evidência da boa capacidade do método.
Com a detecção a linha média do cérebro de forma automática, é possível usá-la em conjunto com outras estruturas cerebrais e calcular o tamanho do desvio da linha média em pacientes traumatizados. Esta medida é importante para o neurologista tomar decisões sobre o tratamento mais adequado nos casos de traumas craniencefálicos.
AGRADECIMENTOS
O trabalho realizado por Celia A. Z. Barcelos é parcialmente apoiado pela pesquisa no CNPq - 308798/2006-6 e 47440308798/2006-6/200308798/2006-6-7.
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[10] R. Gonzalez, R.E. Woods, Processamento de Imagens
Fig. 4. Resultados na identificação da LMC. (a)-(e) Resultados com as duas foices identificadas na posição correta; (f)-(l) Resultados com apenas uma das foices identificada corretamente; (m)-(n) Nenhuma das duas foices foi identificada na posição correta.
