Reconstrução de imagens de tomografia por impedância
elétrica usando elementos finitos, fuzzy c-médias e
programação evolucionária
Leonardo R. Ribeiro¹, Mêuser J. S. Valença¹ e Wellington P. dos Santos² ¹ Escola Politécnica de Pernambuco – Universidade de Pernambuco
Rua Benfica, Madalena, 50720-001, Recife, PE.
E-mail: leorfr@gmail.com, meuser@ecomp.poli.br
² Departamento de Engenharia Biomédica – Universidade Federal de PernambucoAv. Prof. Moraes Rego, 1235 – Cidade Universitária, 50670-901, Recife, PE.
E-mail: wellington.santos@ieee.org
Abstract. This article presents a quantitative comparison among four group-ing algorithms – K-SOM, K-means, K-means optimized with evolutionary pro-gramming and Fuzzy C-means – all applied to reconstructed electrical imped-ance tomographic images generated from EIDORS (Electrical Impedimped-ance and Diffuse Optical Tomography Reconstruction Software). EIDORS is an extensi-ble software base for EIT (Electrical Impedance Tomography) researchers. It solves the main equation of EIT, the Laplace’s equation, resulting in recon-structed smooth images with no definition of boundaries. Grouping algorithms are used to quantize the resulting reconstructed images from EIDORS in order to get better defined EIT images boundaries. To compare the grouping algo-rithms we used the Omran combined index that unites three of the main criteria used to validate the best grouping process.
Keywords: Grouping Algorithms, K-SOM, K-means, Fuzzy C-means, Electri-cal Impedance Tomography, Omran Index.
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Introdução
A Tomografia por Impedância Elétrica (TIE) é uma técnica não-invasiva de imagem para diagnóstico que consiste na obtenção da imagem no interior da seção de um cor-po a partir do mapeamento computacional das condutividades e permissividades em seu interior. Ela é baseada na injeção de corrente elétrica alternada de baixa frequên-cia [1] e da medição dos potenfrequên-ciais de fronteira resultantes. O cálculo dos potenfrequên-ciais nos eletrodos a partir da injeção de corrente é caracterizado como o problema direto da TIE [2]. Já a estimativa da distribuição de condutividades no interior do corpo a partir dos potenciais medidos caracteriza o problema inverso da TIE [3].
O simulador EIDORS (Electrical Impedance and Diffuse Optical Tomography Reconstruction Software) [4], plataforma com código aberto construída em Matlab e Octave, simula os problemas direto e inverso e os resolve, apresentando, por fim, uma imagem que representa a distribuição de condutividades do interior de uma região.
As imagens de TIE reconstruídas pelo EIDORS, entretanto, ainda apresentam característica nebulosa, sem definição das bordas. Em resumo, as imagens de TIE reconstruídas pelo EIDORS exibem baixa resolução se comparadas a outras técnicas de tomografia utilizadas. A TIE, contudo, possui vantagens que tornam viável sua aplicação clínica e pesquisas na área, como, por exemplo, baixo custo e ausência de radiação ionizante.
No intuito de melhorar a definição das bordas e realçar a região de interesse das imagens reconstruídas pelo EIDORS, algoritmos de aprendizagem não-supervisionada baseados em métodos de agrupamento são utilizados. Dentre eles, citam-se os mapas auto-organizáveis de Kohonen (K-SOM) [5], Mapas de K-médias e Mapas de K-médias otimizado por programação evolucionária [6].
Neste trabalho é apresentada uma análise comparativa entre os algoritmos de agrupamento K-SOM, Mapas de K-Médias e Mapas de K-médias otimizado por pro-gramação evolucionária, com o algoritmo de agrupamento Mapas Fuzzy C-médias, todos aplicados na classificação e quantização de imagens de TIE reconstruídas pelo simulador EIDORS. As imagens classificadas e quantizadas foram geradas na ferra-menta AnImed [7] [6]. A análise comparativa foi realizada de forma quantitativa, tomando-se como base o índice combinado de Omran [7] [8], uma medida de valida-ção de agrupamento que une os três critérios de validavalida-ção de agrupamento: a minimi-zação do erro de distorção de quantiminimi-zação, a separação dos grupos resultantes e a coesão de pontos em torno do centróide do grupo.
O objetivo do uso dos Mapas Fuzzy C-Médias é classificar os pixels das ima-gens reconstruídas pelo EIDORS considerando que eles podem pertencer a dois ou mais grupos dependendo do seu grau de pertinência. Diferentemente do K-SOM, Mapas de K-médias e Mapas de K-Médias otimizado onde o pixel é classificado em apenas um grupo.
Este artigo está organizado da seguinte forma: (2) Materiais e Métodos. Essa se-ção apresenta conceitos e os materiais e métodos utilizados para a obtense-ção dos resul-tados; (3) Resultados. Essa sessão apresenta os resultados obtidos; (4) Conclusão. Apresenta a análise dos resultados e conclui o trabalho; (5) Referências.
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Materiais e Métodos
2.1 Tomografia por Impedância Elétrica
Tomografia por Impedância Elétrica é uma técnica não invasiva de imagem para di-agnóstico onde uma corrente elétrica alternada, de baixa freqüência, é aplicada, de acordo com um padrão de excitação elétrica, através dos eletrodos dispostos em torno da superfície da seção do corpo. O potencial resultante é então medido nos eletrodos.
A partir dessas medições, um algoritmo de reconstrução é aplicado de forma a estimar a distribuição de condutividades da seção do corpo em estudo. A representação com-putacional dessa distribuição estimada é a imagem reconstruída da TIE.
A formulação matemática da TIE corresponde à uma equação diferencial parcial (EDP) que rege o potencial e às condições de contorno. As condições de contorno dependem da forma do processo de estímulo e resposta [9]. Nesse trabalho, utilizam-se como estímulo a injeção de correntes alternadas e como resposta a medição do potencial nos eletrodos. A derivação da EDP a seguir se faz a partir das equações de Maxwell, que governam as interações da eletricidade e magnetismo em um problema físico.
( ) ( )
A equação (1) é uma equação diferencial parcial (EDP) elíptica de segunda or-dem conhecida como equação de difusão com coeficientes variáveis que rege a distri-buição do potencial no meio condutivo Ω sendo σ a condutividade elétrica em seu interior. Ela é também conhecida como Equação de Laplace que rege o potencial no interior da seção nos casos que a freqüência da corrente de excitação é inferior a 30MHz [10].
O problema direto da TIE consiste na determinação da distribuição de poten-ciais, , dado o padrão de corrente injetada e a distribuição de condutividades, σ. Já o problema inverso da TIE consiste na obtenção da distribuição de condutividades, σ, dado os potenciais medidos na fronteira e o padrão de corrente injetada.
Atualmente, os métodos mais utilizados para solução do problema direto são o MDF (Método das Diferenças Finitas) e o MEF (Método dos Elementos Finitos) [10] [11]. O primeiro discretiza a região de interesse e aproxima a equação de Laplace em cada ponto da grade. Já o MEF divide a região de interesse em uma grade de figuras geométricas conhecidas como elementos finitos e aproxima a Equação de Laplace em cada elemento de forma que a solução de todos os elementos reunidos é a solução da malha completa. Merece destaque também MEC (Método dos Elementos de Contor-no) como alternativa ao MEF [12].
No que se refere a solução do problema inverso da TIE, os métodos utilizados para a sua solução podem ser classificados em não-iterativos (lineares) e iterativos (não lineares). Nos métodos lineares assume-se que a distribuição do potencial elétri-co é uma função linear da distribuição de impedâncias. Destacam-se algoritmos elétri-como backprojection [13], aproximação de Calderón [15] e os métodos de momentos [14]. Os algoritmos iterativos, ou não-lineares, consideram a não-linearidade do problema levando a resultados mais precisos, contudo com um custo computacional mais eleva-do. A estratégia adotada é a solução da Equação de Laplace no domínio em estudo para obtenção dos potenciais e fronteira a partir de uma distribuição inicial de impe-dâncias (conhecimento a priori). Os potenciais de fronteira calculados são então com-parados com os potenciais de fronteira medidos. A diferença é utilizada para ajustar a distribuição de impedâncias de forma que, a cada iteração, os potenciais calculados se
aproximem dos potenciais medidos. Destacam-se, entre os métodos iterativos, alguns baseados no método de Newton-Raphson como o método de Gauss-Newton, o Modi-fied Newton-Raphson (MNR) [17] e o Newton’s One Step Error Reconstructor (NOSER) [16]. Citam-se também o método de Otimização Topológica
[18] e métodos baseados no filtro de Kalman [19].
2.2 Elementos Finitos e EIDORS
O EIDORS, Electrical Impedance and Diffuse Optical Tomography Reconstruction Software, é uma ferramenta para reconstrução de imagens de Tomografia por Impe-dância Elétrica e Tomografia de Óptica Difusa (ainda não implementada pelo projeto EIDORS), cujo objetivo é oferecer um software de reconstrução de imagem que seja distribuído e também modificável livremente. O EIDORS permite que sejam constru-ídas referências com a finalidade de se realizarem comparações com novos sistemas e métodos, bem como permitir que novas ideias sejam construídas e devidamente testa-das. O fato de ser um código livremente modificável, o EIDORS possibilita que ou-tros pesquisadores possam criticar e expandir os algoritmos originais, bem como suas implementações. A versão original do EIDORS (versão1) está baseada no software da tese de Vaukhonen [20]. A versão1 do EIDORS consiste em um pacote do MATLAB para a geração de malhas bidimensionais, solução do problema direto e exibição das imagens [21].
O simulador EIDORS é utilizado para resolver dois diferentes problemas ine-rentes à técnica de TIE. O primeiro deles é o problema direto, que está associado à solução da equação elíptica de difusão, equação (1). Ao se resolver o problema direto lança-se mão do Método dos Elementos Finitos (MEF) que busca linearizar as equa-ções atribuindo-se valores a coeficientes desconhecidos e, depois, resolve-se um sis-tema de equações lineares a fim de se atualizarem os coeficientes [21]. O EIDORS faz uso de um pacote do MATLAB para gerar malhas bidimensionais, resolver o proble-ma direto, através do Método dos Elementos Finitos, e exibir as iproble-magens. O segundo problema de TIE tratado pelo EIDORS reside no cálculo do problema inverso, consi-derado um problema mal posto, dado que os potenciais no interior da estrutura de interesse dependem fortemente das impedâncias, além de erros de quantização, intro-duzidos pelo Método dos Elementos Finitos, bem como aqueles associados às medi-ções [22]. O problema inverso é resolvido de modo iterativo, por meio da minimiza-ção de uma funminimiza-ção objetivo encontrando por fim uma melhor soluminimiza-ção para a distribui-ção de resistividades do domínio em questão [23]. O EIDORS usa um solucionador não linear regularizado a fim de encontrar a única e estável solução para o problema inverso [22]. Como exemplo utiliza-se, para a reconstrução das imagens, o método iterativo de Gauss-Newton.
2.3 Mapas Auto-Organizáveis de Kohonen
As redes de Kohonen tem inspiração neurofísiológica sendo baseadas em observações do funcionamento cerebral, onde o aprendizado não supervisionado é predominante. Os mapas auto-organizáveis de Kohonen são analogias a forma lógica de organização das informações no cérebro [24] e sua principal utilização é agrupar as entradas que são semelhantes entre si formando classes ou agrupamentos denominados clusters [25]. Os mapas auto-organizáveis de Kohonen, em geral, podem ser unidimensionais ou bidimensionais e tem por base um aprendizado competitivo de forma que se faz necessário uma função objetivo para definir um neurônio vencedor.
Uma das métricas mais utilizadas é a distância euclidiana entre as entradas e o conjunto de pesos dos neurônios definida por:
√∑( )
( )
onde são os exemplos de entrada da rede e são os pesos do neurônios que
co-nectam a entrada à saída .
Definido o neurônio vencedor, seus pesos são ajustados de acordo com a forma de processo competitivo. Existem duas formas de processos competitivos: “o vence-dor leva tudo” (winner take all) ou o “vencevence-dor leva parte” (winner take quota). No processo competitivo o “vencedor leva tudo”, apenas os pesos do neurônio vencedor são ajustados. O novo peso é dado pela expressão:
( ) ( )
onde α é a taxa de aprendizado da rede e é o novo peso do neurônio vencedor.
No processo competitivo “o vencedor leva parte”, os pesos dos neurônios vizi-nhos ao neurônio vencedor também são ajustados. A vizinhança do neurônio vence-dor é estabelecida pela função de vizinhança das quais destaca-se a função gaussiana, obtida por:
( ) *
( )+ ( )
onde ( ) representa o valor da vizinhaça topológica entre o neurônio vizinho e o neurônio vencedor, representa o número de iterações, σ a largura da região de
vizinhança e representa a distância entre o neurônio vencedor e o neurônio vizinho excitado cujos pesos serão atualizados.
De forma a se obter uma organização do mapa topológico da rede e uma espe-cialização maior dos neurônios, ou seja, uma convergência do algoritmo, é necessário que a região de vizinhança decaia com o número de iterações. Dessa forma, a largura da função de vizinhança, σ, deve decrescer com o número de iterações a partir da seguinte expressão:
( ) ( ) [ ] ( )
onde ( ) é o valor inicial da largura da função e é uma constante de tempo que faz com que a largura da função decaia com o aumento do número de iterações.
No intuito de evitar que a rede “perca” o conhecimento adquirido e que se con-sigam ajustes cada vez mais finos, é necessário que a taxa de aprendizagem também decaia com o número de iterações. Para tal, utiliza-se a seguinte expressão:
( ) ( ) [ ] ( )
onde é a constante de tempo que faz com que a taxa de aprendizagem decaia com o aumento do número de iterações.
Com base no exposto, tem-se que o ajuste dos pesos de todos os neurônios den-tro da região de vizinhança é dada por:
( ) ( )
2.4 Mapas de K-médias
O algoritmo de Mapas de K-médias é classificado como um método de agrupamento particionado onde o número de clusters ou grupos, , é considerado fixo [47].
A ideia do algoritmo é fornecer uma classificação de informações de acordo com os próprios dados. Essa classificação é baseada em análises e comparações entre os valores numéricos dos dados. Dessa maneira, o algoritmo fornece automaticamente uma classificação sem necessidade de uma supervisão humana sendo considerado como um algoritmo de mineração de dados não supervisionado.
Considere um conjunto de dados representados por pontos no . O objetivo é agrupar esses dados em grupos ou clusters. Primeiramente define-se em quantos grupos o conjunto de dados serão agrupados. A partir daí, selecionam-se pontos
aleatórios ou do conjunto de dados. A esses pontos atribui-se o nome de centróides. Calcula-se a distância euclidiana dos centróides para cada ponto do conjunto de da-dos. Os dados são agrupados de acordo com sua distância em relação aos centróides. As distâncias entre um ponto e os centróides são comparadas. O ponto será agrupa-do pelo centróide ao qual sua distância é menor. Faz-se esse cálculo comparativo para todos os pontos do conjunto de dados. Após o primeiro agrupamento, tem-se gru-pos. Para cada grupo calcula-se um novo centróide através da média de todos os pon-tos do agrupamento. As distâncias são novamente calculadas. O algoritmo se repete até que se atinja o critério de parada definido como o número de iterações ou a con-vergência, ou seja, quando não há variação no cálculo dos centróides.
2.5 Mapas de K-médias otimizado por programação evolucionária
O algoritmo de Mapas de K-médias otimizado por programação evolucionária [6] é uma hibridização de duas técnicas de Computação Inteligente: O algoritmo de otimi-zação de programação evolucionária e o algoritmo de agrupamento de Mapas de K-médias.
A programação evolucionária é utilizada para, a partir da geração aleatória dos vetores candidatos a centróides, otimizar a geração dos centróides do algoritmo K-médias a partir de uma função objetivo a ser minimizada, da seleção e da mutação A função objetivo utilizada nesse trabalho foi o índice combinado de Omram [27], que será explanado na seção 2.5. Existem quatro tipos principais de algoritmos de pro-gramação evolucionária cuja diferença encontra-se na distribuição de probabilidade de mutação. São eles: o algoritmo CEP (Classical Evolutionary Programming), o algoritmo FEP (Fast Evolutionary Programming), o algoritmo LEP (Lévy-Type Evo-lutionary Programming) e o algoritmo SPMEP (Single-Point Mutation EvoEvo-lutionary Programming). Nesse trabalho, o algoritmo de programação evolucionária utilizado para compor a técnica híbrida foi o CEP.
Após a geração dos centróides por programação evolucionária, o algoritmo de agrupamento K-médias é aplicado. Os pontos são agrupados aos centróides aos quais eles possuem menor distância euclidiana.
2.6 Mapas Fuzzy C-médias
A Lógica Nebulosa trata valores intermediários entre 0 e 1 ao invés de puramente verdadeiros ou falsos. O algoritmo de Mapas Fuzzy C-médias [31] [30] é baseado em Lógica Nebulosa e Mapas de K-médias. É um método de agrupamento onde os dados podem pertencer a dois ou mais agrupamentos dependendo do seu grau de pertinência em cada agrupamento. O Mapa Fuzzy C-Médias é uma rede neuro-fuzzy não supervi-sionada bastante utilizada em aplicações de classificação de imagens de Ressonância
Magnética Nuclear e na detecção de regiões ativadas em Ressonância Magnética Nu-clear funcional [7].
O algoritmo usa como entrada um conjunto de dados * + , o número de
classes, , a tabela de pertinência inicial, μ, cujos elementos, ( ), representam a
função de pertinência de à classe , e um expoente de nebulosidade [28]. O ex-poente de nebulosidade é um inteiro maior que 1.
O agrupamento dos dados em tornos dos grupos consiste em minimizar a função objetivo definida por [28] [29]:
∑ ∑ ( )
‖ ‖ ( )
onde é o vetor de pesos do i-ésimo neurônio. Os neurônios possuem a expressão de saída :
( ) (∑ (‖ ‖ ‖ ‖) ( ) ) ( )
Os pesos são ajustados a partir da definição do neurônio vencedor. Consideran-do como venceConsideran-dor o k-ésimo neurônio, tem-se:
( ) ⋁ ( ) ( )
Assim: ( )( ) ( ) ( )
onde α é a taxa de aprendizado da rede e pode ser reduzida a cada iteração de for-ma semelhante aos for-mapas auto-organizáveis de Kohonen. O operador V é o operador “ou” da Lógica Fuzzy [32].
2.7 AnImed
A ferramenta computacional AnImed [7] foi desenvolvida para implementar os méto-dos de classificação e reconstrução de volumes. Esse programa foi criado utilizando a linguagem de programação orientada a objeto Object Pascal no ambiente de desen-volvimento Delphi 5. Sua primeira versão data de 2002 tendo na sua mais nova ver-são, a 8.0 de 2012, a inclusão do algoritmo de agrupamento K-médias otimizado por programação evolucionária [6] e K-médias otimizada por PSO (Particle Swarm Opti-mization). A nova versão foi desenvolvida no ambiente Lazarus.
2.8 Índice combinado de Omram
Os índices de validade de agrupamento correspondem a funções matemáticas e esta-tísticas para avaliar quantitativamente um algoritmo de agrupamento. Pode-se definir três critérios para avaliar o melhor processo de agrupamento: a minimização do erro de distorção de quantização, a clara separação entre os grupos resultantes, ou seja, quanto maior for a menor distância entre centroides, e a coesão de pontos em torno do centróide do grupo, ou seja, quanto menor for a maior distância dos pontos ao centróide do grupo [33].
No caso de imagens, o objetivo dos algoritmos de agrupamento é agrupar os pixels da imagem em classes de forma a classificar ou segmentar a imagem. Um agrupamento ótimo corresponde à maximização da separação e da coesão bem como a minimização do erro de quantização. O índice combinado de Omran avalia o pro-cesso de agrupamento de imagens levando em consideração os três critérios anterior-mente citados. Considere a aplicação desse índice para imagens. A medida do erro de distorção de quantização já adaptado para o contexto de segmentação de imagens, , pode ser calculada a partir da função:
∑ ∑ ‖ ( ) ‖ ( )
( )
onde ‖ ( ) ‖ é a distância do pixel ( ) da imagem, ou seja, do valor do pixel da imagem em cada banda, e o centróide do -ésimo grupo em cada banda . Essa distância pode ser a distância euclidiana. O número de grupos é representado por com centróides * + enquanto é o número de elemento de
agrupados no -ésimo grupo.
A coesão mede o quanto os dados, ou pixels, estão mais próximos ao centróide. Dessa forma, o objetivo é minimizar a máxima distância dos pixels ao centróide. A máxima distância é dada por:
( ) ( )
∑ ‖ ( ) ‖
( ) ( )
A separação é um critério que maximiza a menor distância entre os centróides. A distância mínima entre centróides é dada por;
{‖ ‖} ( )
A combinação das equações 13, 14 e 16 define o índice combinado de Omram, :
( ) ( ) ( ( )) ( ) (17)
onde é um vetor candidato a solução, é o conjunto de centróides associados ao respectivo candidato e é maior valor de distância entre os centróides que
equiva-le ao maior valor assumido por um pixel da imagem. No segundo termo da equação tem-se que máximixar é equivalente a minimizar a diferença entre maior
distân-cia entre centroides e a distândistân-cia mínima entre dois centróides. Os coeficientes , e são pesos que ponderam cada medida quantitativa da qualidade do agrupamento.
2.9 Implementação
Nesse trabalho foram utilizadas 03 imagens teste com três bandas elaboradas no simulador EIDORS. As imagens a serem reconstruídas foram criadas em uma malha de elementos finitos simulando 32 eletrodos na borda. A partir da resolução do pro-blema direto da TIE e da aplicação da resolução do propro-blema inverso, foram obtidas imagens com três bandas reconstruídas pelo EIDORS. As imagens receberam a se-guintes denominações: “tumor”, losango e losango com “tumor” [6].
A ferramenta computacional AnImed, foi utilizada para os testes de geração de agrupamentos e classificações. Para cada imagem do conjunto de imagens teste foram geradas novas imagens classificadas pixel a pixel pelos algoritmos dos Mapas Auto-Organizáveis de Kohonen, Mapas de K-médias, Mapas de K-médias otimizado por CEP e Mapas Fuzzy C-médias. A imagens foram classificadas em 4 classes em todos os algoritmos. Esse número de classes foi escolhido para apresentação dos resultados visto que foi verificado que, com menos classes, regiões visivelmente diferentes nas
imagens reconstruídas eram agrupadas em uma mesma classe. Observou-se também que com mais classes, as imagens classificadas se assemelharam as imagens recons-truídas, ou seja, quanto maior o número de classes, mais a imagem classificada se aproximou da imagem original a ser classificada.
Após a geração das imagens classificadas, elas foram quantizadas para melhor visualização e padronização. Os agrupamentos das imagens resultantes foram avalia-dos e comparaavalia-dos utilizando o índice combinado de Omran. No caso do algoritmo de Mapas K-médias otimizado por CEP, o índice combinado de Omran também foi utili-zado como função objetivo a ser minimizada pelo algoritmo de Programação Evolu-cionária. Os pesos e utilizados para o cálculo do índice combinado de Om-ran foram iguais a 1/3 de forma a não privilegiar nenhum aspecto da medida quantita-tiva da qualidade do agrupamento.
A tabela 1 explicita os parâmetros utilizados de cada algoritmo e a tabela 2 apsenta os valores dos parâmetros utilizados em cada algoritmo para a geração dos re-sultados:
Tabela 1. Parâmetros utilizados para cada algoritmo de agrupamento Parâmetros K-SOM K-médias K-médias (CEP) Fuzzy C-médias
Classes Número de clusters
Número de clusters
Número de
clusters Número de clusters
q - - - Expoente de nebu-losidade α Taxa de aprendizado Taxa de apren-dizado - Taxa de aprendiza-do Iterações / Repetições Quantidade de iterações do algoritmo Quantidade de iterações do algoritmo Quantidade de repetições do algoritmo Quantidade de iterações do algo-ritmo
Limite - - Erro limite -
Pais - - Vetores solução iniciais - Gerações - - Vetores solução gerados a partir dos vetores iniciais -
Tabela 2. Valores dos parâmetros utilizados para cada algoritmo de agrupamento Algoritmo Classes q α Iterações /
Repetições Limite Pais Gerações
K-SOM 4 - 0,1 50 - - - K-SOM 4 - 0,1 100 - - - K-médias 4 - 0,1 50 - - - K-médias 4 - 0,1 100 - - - K-médias (CEP) 4 - - 10 0,01 5 50 K-médias (CEP) 4 - - 10 0,01 5 100 K-médias (CEP) 4 - - 10 0,01 10 50 K-médias (CEP) 4 - - 10 0,01 10 100 Fuzzy C-Médias 4 2 0,1 50 - - - Fuzzy C-Médias 4 2 0,1 100 - - - Fuzzy C-Médias 4 4 0,1 50 - - - Fuzzy C-Médias 4 4 0,1 100 - - -
3
Resultados
Adiante são apresentados os resultados obtidos para a classificação e o agrupamento das imagens teste utilizando como métrica comparativa o índice combinado de Om-ran.
3.1 Imagem teste: “Tumor”
Fig. 1. Resultados - Imagens “Tumor”. (a) "Tumor” – modelo direto; (b) “Tumor” – imagem reconstruída pelo EIDORS; (c) “Tumor” – imagem classificada por KSOM e quantizada. ; (d) “Tumor” – imagem classificada por Fuzzy C-médias e quanti-zada. ; (e) “Tumor” – imagem classificada por K-médias otimizado por CEP e quantizada. ; (f) “Tumor” – imagem classificada por K-médias e quantizada. ;
Tabela 3. Resultados da imagem teste “tumor” Algoritmo Classes q α Iter.
/Rep. Limite Pais Gerações
Índice de Om-ran K-SOM 4 - 0,1 50 - - - 24,6406019198829 K-SOM 4 - 0,1 100 - - - 24,6406019198829 K-médias 4 - 0,1 50 - - - 28,0169079885215 K-médias 4 - 0,1 100 - - - 28,0169079885215 K-médias (CEP) 4 - - 10 0,01 5 50 28,0168944697403 K-médias (CEP) 4 - - 10 0,01 5 100 28,0168944697403
K-médias (CEP) 4 - - 10 0,01 10 50 28,0168944697403 K-médias (CEP) 4 - - 10 0,01 10 100 28,0168944697403 Fuzzy C-Médias 4 2 0,1 50 - - - 31,6808386672501 Fuzzy C-Médias 4 2 0,1 100 - - - 31,6808386672501 Fuzzy C-Médias 4 4 0,1 50 - - - 35,7466152543624 Fuzzy C-Médias 4 4 0,1 100 - - - 35,7466152543624
A partir dos resultados, observa-se que, de acordo com o índice combinado de Omram, , o melhor algoritmo de agrupamento para a imagem teste “Tumor” é o KSOM. Algoritmos de agrupamento e classificação que apresentaram mesmo ou índices próximos com diferenças a partir da quarta casa decimal, apresentam imagens quantizadas semelhantes como no caso das imagem (e) e (f) da Figura 1. O algoritmo de agrupamento Fuzzy C-médias apresentou o maior . A imagem (d) da Figura 1 apresenta a imagem quantizada resultante desse teste.
Fig. 2. Resultados - Imagens Losango. (a) Losango – modelo direto; (b) Losango – imagem reconstruída pelo EIDORS; (c) Losango – imagem classificada por KSOM e quantizada. ; (d) Losango – imagem classificada por Fuzzy C-médias e quantiza-da. (e) Losango – imagem classificada por K-médias otimizado por CEP e quantizada. ; (f) Losango – imagem classificada por K-médias e quantizada. .
Tabela 4. Resultados imagem teste Losango Algoritmo Classes q α Iter. /
Rep. Limite Pais Gerações Índice de Omran
K-SOM 4 - 0,1 50 - - - 26,1712951257200 K-SOM 4 - 0,1 100 - - - 26,1712951257200 K-médias 4 - 0,1 50 - - - 26,1712951257200 K-médias 4 - 0,1 100 - - - 26,1712951257200 K-médias (CEP) 4 - - 10 0,01 5 50 26,1713623736444 K-médias (CEP) 4 - - 10 0,01 5 100 26,1713623736444 K-médias (CEP) 4 - - 10 0,01 10 50 26,1713623736444 K-médias (CEP) 4 - - 10 0,01 10 100 26,1713623736444 Fuzzy C-Médias 4 2 0,1 50 - - - 27,9757991157171 Fuzzy C-Médias 4 2 0,1 100 - - - 27,9757991157171 Fuzzy C-Médias 4 4 0,1 50 - - - 36,0640997996174 Fuzzy C-Médias 4 4 0,1 100 - - - 36,0640998023245
A partir dos resultados, observa-se que, de acordo com o índice combinado de Omram, , os algoritmos K-médias e K-SOM apresentaram convergência para o mesmo índice. Algoritmos de agrupamento que apresentaram mesmo ou índices próximos apresentaram imagens quantizadas semelhantes como no caso das imagens (c), (e) e (f) da Figura 2. O algoritmo de agrupamento Fuzzy C-médias apresentou o maior . A imagem (d) da Figura 2 apresenta a imagem quantizada resultante desse teste.
3.3 Imagem teste: “Tumor” com Losango
Fig. 3. Resultados – Imagens “Tumor”com Losango. (a) “Tumor” com Losango – modelo direto; (b) “Tumor” com Losango - imagem reconstruída pelo EIDORS; (c) “Tumor” com Losango – imagem classificada por K-SOM e quantizada. ; (d) “Tumor” com Losango – imagem classificada por Fuzzy C-médias e quantizada. ; (e) “Tumor” com Losango – imagem classificada por K-médias otimiza-do por CEP e quantizada. ; (f) “Tumor” com Losango – imagem classificada por K-médias e quantizada .
Tabela 5. Resultados imagem teste “Tumor” com Losango Algoritmo Classes q α Iter./
Rep. Limite Pais Gerações Índice de Omran
K-SOM 4 - 0,1 50 - - - 23,6750634969013 K-SOM 4 - 0,1 100 - - - 23,6750634969013 K-médias 4 - 0,1 50 - - - 27,4711654148943 K-médias 4 - 0,1 100 - - - 27,4711654148943 K-médias (CEP) 4 - - 10 0,01 5 50 27,4713182004213
K-médias (CEP) 4 - - 10 0,01 5 100 27,4713182004213 K-médias (CEP) 4 - - 10 0,01 10 50 27,4713182004213 K-médias (CEP) 4 - - 10 0,01 10 100 27,4713182004213 Fuzzy C-Médias 4 2 0,1 50 - - - 31,6826160316555 Fuzzy C-Médias 4 2 0,1 100 - - - 31,6826160316555 Fuzzy C-Médias 4 4 0,1 50 - - - 35,7916972209175 Fuzzy C-Médias 4 4 0,1 100 - - - 35,7916972209175
A partir dos resultados, observa-se que, de acordo com o índice combinado de Omram, , o melhor algoritmo de agrupamento para a imagem teste “Tumor” + Lo-sango é o KSOM. Algoritmos de agrupamento e classificação que apresentaram mesmo ou índices próximos com diferenças a partir da quarta casa decimal apre-sentam imagens quantizadas semelhantes como no caso das imagens (e) e (f) da Figu-ra 3. O algoritmo de agrupamento Fuzzy C-médias apresentou o maior índice combi-nado de Omran. A imagem (d) da Figura 3. apresenta a imagem quantizada resultante desse teste.
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Conclusão
As imagens de Tomografia por Impedância Elétrica reconstruídas pelo simulador EIDORS ainda possuem característica nebulosa sem definição das bordas e da região de interesse. Algoritmos de classificação e agrupamento são utilizados em imagens de TIE reconstruídas pelo simulador EIDORS para realçar e melhor definir as bordas da região de interesse [5] [6].
O objetivo do presente trabalho foi analisar comparativamente de forma quanti-tativa a aplicação de diferentes técnicas de classificação e agrupamento em imagens de TIE reconstruídas pelo simulador EIDORS. Para tal, os algoritmos de Mapas Auto-Organizáveis de Kohonen, Mapas de K-médias, Mapas de K-médias otimizado por CEP e Mapas Fuzzy C-médias foram aplicados em 03 imagens com três bandas gera-das pelo processo direto, através do Método dos Elementos Finitos, e posteriormente pelo processo inverso (imagem reconstruída), pelo método de Gauss-Newton, no EIDORS. A partir do resultado obtido, calculou-se o índice combinado de Omran, uma métrica de validação quantitativa de agrupamentos que une os três principais critérios de avaliação de agrupamentos: a separação dos grupos, a coesão dos pontos em um grupo e o erro de distorção de quantização.
Para cada uma das 03 imagens foram realizados e expostos nesse trabalho os 12 testes mais relevantes: 02 testes com K-SOM, 02 testes com K-médias, 04 testes para K-médias otimizado por CEP e 04 testes com Fuzzy C-médias. Foram apresentados 48 testes no total. Para cada teste, foi calculado o índice de Omran. Quanto menor o índice de Omran, maior a coesão e a separação e menor o erro de quantização.
De acordo com os resultados obtidos, conclui-se que a melhor técnica para quan-tização de imagens de TIE é o K-SOM. Em todos os testes realizados, as imagens quantizadas por K-SOM apresentaram menor índice de avaliação de agrupamento. Não foram observadas diferenças significativas no índice de avaliação de agrupamen-tos entre as técnicas K-médias e K-médias otimizado por CEP em relação às imagens de TIE reconstruídas pelo EIDORS. Os agrupamentos realizados com o algoritmo de Mapas Fuzzy C-médias apresentaram o maior índice de Omram em todos os testes.
Em experimentos realizados na pesquisa, porém não explicitados nesse trabalho, variou-se a quantidade de repetições, de pais e de gerações do algoritmo Mapas de K-médias otimizado por CEP, contudo não houve variação do índice de Omran. No caso do algoritmo de Mapas Fuzzy C-médias, variou-se o expoente de nebulosidade, a taxa de aprendizado e o número de iterações, entretanto, não houve variação positiva nos resultados, ou seja, minimização do índice de Omran. É possível que a característica do algoritmo Mapas Fuzzy C-médias, de poder classificar os pixels em dois ou mais agrupamentos dependendo do grau de pertinência do pixel, aliado as imagens recons-truídas de baixa resolução tenha sido responsável pelo alto índice de Omram obtido em relação às demais técnicas. Outra hipótese que se pode concluir é que a conver-gência desse algoritmo ocorre nas primeiras repetições, assim como os algoritmos K-SOM e Mapas de K-médias.
Não obstante, é importante destacar que as imagens utilizadas para a realização dos testes foram simples. Isso em virtude da não existência de um benchmarking de imagens de TIE geradas pelo simulador EIDORS pelo método direto e inverso. Todas as imagens expostas nesse trabalho foram geradas no intuito de realizar os experimen-tos desenvolvidos e explicitadas nesse trabalho.
Apesar das técnicas de classificação e agrupamento utilizadas nesse trabalho te-nham delimitado as bordas e realçado a região de interesse, nenhuma delas destacou a estrutura modelada na grade do MEF no modelo direto. Verifica-se que a característi-ca nebulosa da imagem reconstruída pelo EIDORS utilizando o MEF como método de resolução do problema direto e o método de Gauss-Newton para resolução do pro-blema inverso não possibilita a definição da estrutura. Isso pode ser verificado na imagem teste “Tumor” com losango, Figura 3, onde o losango “desaparece” na ima-gem reconstruída e na imaima-gem quantizada aparece como uma extensão da região cen-tral.
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