Introdução à probabilidade e à estatística II

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Introdu¸c˜

ao `

a probabilidade e `

a estat´ıstica II

Testes de hipóteses para a média populacional (caso normal com variância conhecida)

Prof. Alexandre G Patriota Sala: 298A

Email: [email protected] Site: www.ime.usp.br/∼patriota

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Testes de hip´

oteses para a m´

edia populacional

Seja X a vari´avel aleat´oria de interesse e Eθ(X ) = µ sua esperan¸ca.

Em algumas situa¸c˜oes estamos interessados em testar se µ ´e igual, maior, menor ou diferente de uma constante fixada M.

Note que os testes de propor¸cão para o modelo Bernoulli é um teste de média populacional.

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Testes de hip´

oteses para a M´

edia populacional

O primeiro caso de testes de hipóteses para a média populacional que estudaremos será quando X tem distribui¸cão normal.

Neste caso podemos fazer testes para µ considerando:

I variˆancia conhecida

I variˆancia desconhecida

Suponha que M é um valor conhecido (por exemplo 10). As hipóteses de interesse serão:

(1) H0 : µ ≤ M H1 : µ > M , (2) H0 : µ ≥ M H1 : µ < M e (3) H0: µ = M H1: µ 6= M ,

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Testes para a m´

edia (1) µ ≤ M Versus µ > M

Seja X ∼ N(µ, σ2) e X1, . . . , Xn uma amostra aleat´oria de X .

Consideramos agora o teste:

H0: µ ≤ M,

H1: µ > M.

Como ¯X ´e um estimador para µ, o utilizaremos para criar a regi˜ao crit´ıca RC .

Definimos a regi˜ao de rejei¸c˜ao por

RC = { ¯X ; ¯X > xc},

em que xc é um número real não aleatório. Será chamado de

ponto cr´ıtico.

O ponto cr´ıtico xc ser´a encontrado fixando a probabilidade m´axima

de cometer o erro tipo I. Ou seja, para cada αmax fixado, teremos

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Revis˜

ao das distribui¸c˜

oes amostrais

Se X1, X2, . . . , Xné uma amostra aleatória de X ∼ N(µ, σ2), então

sabemos que: I Se σ2 _´_{e conhecido, ent˜}_{ao θ = µ e} √ n( ¯X − µ) σ ∼ N(0, 1) I Se σ2 ´e desconhecido, ent˜ao θ = (µ, σ2) e √ n( ¯X − µ) ˜ SX ∼ t(n − 1), em que ˜ S_X2 = 1 n − 1 n X i =1 (Xi − ¯X )2.

(6)

Encontrando o valor de x

c

quando σ

2

´

e conhecido

Basicamente fixamos αmax e calculamos o valor de xc.

Por defini¸c˜ao, temos αmax = sup θ∈Θ0 π(θ) = sup θ∈Θ0 Pθ( ¯X > xc) em que Θ0= {µ : µ ≤ M}.

Para σ2 _{conhecido temos que}

π(θ) = Pθ Z >√n(xc− µ) σ com Z ∼ N(0, 1).

Observe que π(θ) cresce junto com µ. Quanto maior for o valor de µ, maior será o valor de π(θ). Portanto, π(M) será o valor máximo restrito ao conjunto Θ0.

(7)

Encontrando o valor de x

c

quando σ

2

´

e conhecido

Assim, a probabilidade m´axima de cometer o Erro Tipo I ´e:

αmax = PM Z >√n(xc− M) σ = P Z > zα

ou seja, para um αmax fixado, podemos calcular o ponto cr´ıtico:

xc = M + zαpσ2/n.

Portanto, a regi˜ao cr´ıtica para testar as hip´oteses H0 : µ ≤ M

contra H1: µ > M ser´a RC = ¯ X : ¯X > M + zα q σ2_/n

Se ¯x ∈ RC , ent˜ao rejeitaremos a hip´otese H0 com α100% de

significˆancia.

Se ¯x 6∈ RC , então não rejeitaremos a hipótese H0 com α100% de

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Importante

Na conclus˜ao do teste de hip´otese deve-se escrever:

I Se ¯x ∈ RC , então dizemos que há evidências para rejeitar H0,

a α100% de significˆancia.

I Se ¯x 6∈ RC , então dizemos que não há evidências para rejeitar H0, a α100% de significância.

Adotando o n´ıvel de significância α é equivalente a dizer que estamos dispostos a cometer, em média, o Erro Tipo I α100% dos experimentos.

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Exemplos de testes de hip´

oteses do tipo (1) para a m´

edia

populacional

Queremos verificar se, em média, o tempo de vida (em quilômetros) útil de pneus de uma determinada marca é estritamente maior do que 45 mil quilômetros.

Assumindo que X é o tempo de vida útil de pneus dessa marca e que tem média µ e desvio-padrão de 4 mil quilometros.

Neste caso queremos testar

H0 : µ ≤ 45 contra H1: µ > 45

Crie a regi˜ao cr´ıtica e fa¸ca o teste considerando ¯x = 47 e n = 20 para dois casos: α = 0.05 e α = 0.01.

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Exemplos de testes de hip´

oteses do tipo (1) para a m´

edia

populacional

A intensidade do sinal elétrico (Hz) de uma região do cérebro das pessoas tem média µ e variância 1.

Suponha que estamos interessados em verificar se pessoas que sofreram uma determinada cirurgia tem intensidades do sinal el´etrico m´edia estritamente maiores do que 8.

Neste caso queremos testar se

H0: µ ≤ 8 contra H1: µ > 8

Crie a regi˜ao cr´ıtica e fa¸ca o teste considerando ¯x = 8.4, σ2 = 1 e n = 20 para dois casos: α = 0.05 e α = 0.01.

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Testes para a m´

edia (2) µ ≥ M Versus µ < M

H0: µ ≥ M,

H1: µ < M.

RC = { ¯X ; ¯X < xc},

O ponto cr´ıtico xc ser´a encontrado da mesma forma que o ´ultimo

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Encontrando o valor de x

c

quando σ

2

´

e conhecido

Basicamente fixamos αmax e calculamos o valor de xc.

Por defini¸c˜ao, temos αmax = sup θ∈Θ0 π(θ) = sup θ∈Θ0 Pθ( ¯X < xc) em que Θ0= {µ : µ ≥ M}.

Para σ2 _{conhecido temos que}

π(θ) = Pθ Z <√n(xc− µ) σ com Z ∼ N(0, 1).

Observe que π(θ) decresce quando µ cresce. Quanto maior for o valor de µ, menor será o valor de π(θ). Portanto, π(M) será o valor máximo restrito ao conjunto Θ0.

(13)

Encontrando o valor de x

c

quando σ

2

´

e conhecido

Assim, a probabilidade m´axima de cometer o Erro Tipo I ´e: αmax = PM Z <√n(xc− M) σ = P(Z < −zα)

lembrando que P(Z > zα) = αmax.

ou seja, para um αmax fixado, podemos calcular o ponto cr´ıtico:

xc = M − zαpσ2/n.

Portanto, a regi˜ao cr´ıtica para testar as hip´oteses H0 : µ ≥ M

contra H1: µ < M ser´a RC = ¯ X : ¯X < M − zα q σ2_/n

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Exemplos de testes de hipoteses para o caso (2) para a

m´

edia populacional

Suponha que a intensidade do sinal elétrico em pessoas com epilepsia tem média igual ou maior do que 10 (Hz) e variância 3. Uma indústria farmacêutica alega que um determinado remédio diminui a intensidade do sinal elétrico em pacientes epiléticos. Neste caso queremos testar se a intensidade do sinal elétrico dos indiv´ıduos epiléticos que recebem a droga (defina a v.a. como Y ) tem média estritamente menor do que 10

H0 : µ ≥ 10 contra H1 : µ < 10.

Crie a regi˜ao cr´ıtica e fa¸ca o teste considerando ¯x = 9.3, σ2 = 3 e n = 20 para dois casos: α = 0.05 e α = 0.01.

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Testes para a m´

edia (3) µ = M Versus µ 6= M

H0: µ = M,

H1: µ 6= M.

RC = { ¯X ; ¯X < x1c ou ¯X > x2c},

Os pontos cr´ıticos x1c e x2c ser˜ao encontrados fixando a

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Encontrando os valores de x

1c

e x

2c

quando σ

2

´

e conhecido

Basicamente fixamos αmax e calculamos os valores de x1c e x2c.

Por defini¸c˜ao, temos

αmax = α = PM( ¯X < x1c ou ¯X > x2c)

pois Θ0 = {M}.

Para σ2 conhecido temos que α = PM Z <√n(x1c− M) σ + PM Z >√n(x2c − M) σ com Z ∼ N(0, 1).

Para encontrar os valores de x1c e x2c consideramos que

PM Z <√n(x1c− M) σ = PM Z >√n(x2c− M) σ

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Encontrando os valores de x

1c

e x

2c

quando σ

2

´

e conhecido

Assim, a probabilidade de cometer o Erro Tipo I ´e: α = 2PM Z <√n(x1c − M) σ Definimos P(Z > zα/2) = α/2.

ou seja, para um α fixado, podemos calcular os ponto cr´ıticos: x1c = M − zα/2pσ2/n e x2c = M + zα/2pσ2/n.

Portanto, a regi˜ao cr´ıtica para testar as hip´oteses H0 : µ = M

contra H1: µ 6= M ser´a RC = ¯ X : ¯X < M − zα/2 r σ2 n ou ¯X > M + zα/2 r σ2 n

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Exemplos de testes de hip´

oteses do tipo (3) para a m´

edia

populacional

Uma indústria fabrica termômetros de mercúrio para medir a temperatura de sistemas f´ısicos. Suspeita-se que os termômetros fabricados por esta indústria estão medindo a temperatura de forma errada.

Mede-se a temperatura de 25 sistemas usando o termˆometro em quest˜ao. A temperatura de todos os sistemas estavam previamente reguladas a 10 graus celsus.

Portanto queremos testar:

H0 : µ = 10 contra H1: µ 6= 10

Crie a regi˜ao cr´ıtica e fa¸ca o teste considerando ¯x = 10.2 e σ2 _{= 0.1 para dois casos: α = 0.01 e α = 0.005.}