NOTAS DE AULA. Matemática 1 Cap. 2

Matemática 1

Cap. 2

Índice

2 Matrizes e Determinantes ...2-1 2.1 Matrizes ...2-1

2.1.1 Tipos Especiais de Matrizes ...2-2 2.1.2 Operações com matrizes...2-4 2.1.3 Alguns exercícios sobre matrizes: ...2-9 2.1.4 Matrizes Elementares ...2-10 2.1.5 Definição de Matriz como Função ...2-12 2.2 Determinantes e Matriz Inversa...2-12

2.2.1 Determinantes...2-12 2.2.2 Matriz Inversa...2-14 2.2.3 Alguns exercícios sobre determinantes e matriz inversa...2-17 Referências Bibliográficas...2-18

2 Matrizes e Determinantes

2.1 Matrizes

Noção de matriz

Uma matriz é uma tabela retangular de elementos dispostos em linhas e colunas.

Representação

Uma matriz com m linhas e n colunas será indicada por:

[ ]

ij _{m n} mn m m n n n m a a a a a a a a a a A _× = _× ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = L M M M L L 2 1 2 22 21 1 12 11 , onde 1≤ i ≤ m, 1≤ j ≤ n.

Se não existirem dúvidas quanto à quantidade de linhas e colunas de uma matriz, podemos indicá-la apenas por letras latinas maiúsculas A, B, C, D, ... , omitindo os índices m e

n.

O símbolo M_m×n

( )

ℜ indicará o conjunto de todas as matrizes de ordem m× de n

elementos reais.

Exemplos

1. Se ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 3 0 5 2 1 2 0 1 1

A , então temos que: a₁₁=−1 , a₁₂=1, 0a₁₃= , a₂₁=2,

1 22= a ,a₂₃=−2, 5a₃₁= , 0a₃₂ = ,a₃₃ =3. 2. Se _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ π − = 2 7 0 5 2 9 3

B , então temos que: b₁₁=3, b₁₂=−9,b₁₃=2, b₁₄ =5,

0 21= b ,b₂₂ =7, b₂₃ = 2, b₂₄=π. 3. Se ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 18 7 3 4 2 / 1 3 / 2

C , então temos que:

3 2 11= c , 2 1 12=− c ,c₂₁=4, b₂₂ =−3, 0 21= b ,c₃₁=−7, 18c₃₂ = .

4. Suponha que temos alguns dados como peso, altura e idade referentes a um grupo de quatro pessoas, como na tabela seguinte:

Altura (m) Peso (Kg) Idade (anos)

Pessoa 1 1,75 62 40

Pessoa 2 1,64 53 27

Pessoa 3 1,83 75 31

Podemos representar estas informações na matriz seguinte: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 18 50 50 , 1 31 75 83 , 1 27 53 64 , 1 40 62 75 , 1

D , onde cada linha representa um indivíduo e as colunas

representam, as grandezas altura, peso e idade, respectivamente.

Definição

Duas matrizes n m ij n m a A _× =[ ] _× e s r ij s r b

B _× =[ ] _× são iguais, se e somente se:

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∀ = = = j i b a s n r m ij ij ,

2.1.1 Tipos Especiais de Matrizes

Matriz Quadrada

É aquela onde o número de linhas é igual ao número de colunas, isto é, m = n.

Exemplos

5. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 3 0 2 7 1 5 0 1 0 A , B=

[ ]

8 e _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 7 3 4 9 C .

Matriz Nula

É aquela em que todos os elementos são iguais a zero, isto é, a_ij =0 para todo i e j.

Exemplos

6. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A e _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 0 B

Matriz Linha

É aquela onde m = 1.

Exemplos

7. A=

[

9 0 −3 2

]

e B=

[ ]

1 3

Matriz Coluna

É aquela onde n = 1.

Exemplos

8. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 2 9 7 A e _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 2 3 B

Matriz Diagonal

É uma matriz quadrada (m = n) onde a_ij =0, para i≠ . j

Exemplos

9. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 2 0 0 0 4 0 0 0 1 A e ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 4 0 0 0 0 9 B

Matriz Identidade

É uma matriz diagonal onde ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ≠ = j i para a e j i para a ij ij 1 0

Muitas vezes a matriz identidade de ordem n é indicada por I_n×n ou apenas I . _n

Exemplos

10. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A , _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 1 B e ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 C

Matriz Triangular Superior

É uma matriz quadrada onde a_ij =0 para i > j.

Exemplos

11. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 0 0 2 7 0 0 9 1 A , _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 0 9 1 B , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 2 1 0 0 0 6 0 0 3 0 3 1 C

Matriz Triangular Inferior

Exemplos

12. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ π = 1 7 0 2 9 0 0 4 A , _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 3 0 1 B e ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 0 0 2 0 9 3 4 0 0 5 6 0 0 0 1 C

2.1.2 Operações com matrizes

Adição

Dadas duas matrizes

n m ij n m a A _× =[ ] _× e n m ij n m b B _× =[ ] _× , então: n m n m n m ij ij ij ij b a b a B A+ =[ ] _× +[ ] _× =[ + ] _×

Exemplos

13. Se ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 7 1 2 2 9 1 0 4 A e ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 1 2 6 0 3 1 8 1 2 B , então ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = + 0 9 5 2 5 10 7 1 6 B A

14. Suponha que as tabelas que seguem trazem as produções de soja, feijão e milho (em milhares de toneladas) de dois anos consecutivos de três regiões de um país:

Produção agrícola do primeiro ano

Soja Feijão Milho

Região 1 2000 150 700

Região 2 1000 450 120

Região 3 500 300 900

Produção agrícola do segundo ano

Soja Feijão Milho

Região 1 2500 200 400

Região 2 500 250 300

Região 3 1500 200 100

Se representarmos estas produções pelas matrizes:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 900 300 500 120 450 1000 700 150 2000 A e ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 100 200 1500 300 250 500 400 200 2500

B , respectivamente, então a matriz

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + 1000 500 2000 420 700 1500 1100 350 4500 B

A representa a produção total nestes dois anos

Propriedades da Adição de Matrizes

i) Associatividade: A+

(

B+C

) (

= A+B

)

+C, ∀A,B,C∈M_m×n

( )

ℜ

ii) Comutatividade: A+B=B+A, ∀A,B∈M_m×n

( )

ℜ

iii) Elemento Neutro: A+0=A, onde 0 denota a matriz nula m× , n ∀A∈M_m×n

( )

ℜ

iv) Oposto: Dada A∈M_m×n

( )

ℜ , existe a matriz

( )

−A ∈M_m×n

( )

ℜ , tal que A+

( )

−A =0

Multiplicação de matriz por escalar

Dada uma matriz A_m×n =[a_ij]_m×n e um escalar α∈ℜ, então:

n m n m ij ij a a A=α⋅ _× = α⋅ _× ⋅ α [ ] [ ]

Exemplos

15. Se ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 4 7 1 2 6 9 1 0 3 A e α=2, então ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⋅ = ⋅ α 8 14 2 4 12 18 2 0 6 2 A A 16. Se _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 2 5 2 1 4 3 B e α=−3, então _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = ⋅ − = ⋅ α 6 15 6 3 12 9 3 B B

17. Suponha que a tabela que segue traz a produção de arroz e milho (em milhares de toneladas) de dois Estados de um país em um determinado ano:

Arroz Milho

Estado X 400 600

Estado Y 700 800

Se representarmos estas produções pela matriz: _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 800 700 600 400 A e no ano seguinte

estes Estados dobraram suas produções, então a matriz _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⋅ 1600 1400 1200 800 2 A representa esta nova safra.

Propriedades da Multiplicação de Matriz por escalar

i)

(

α⋅β

)

⋅A=α⋅

(

β⋅A

)

, ∀A∈M_m×n

( )

ℜ,∀α,β∈ℜ ii)

(

α+β

)

⋅A=α⋅A+β⋅A,∀A∈M_m×n

( )

ℜ,∀α,β∈ℜ iii) α⋅

(

A+B

)

=α⋅A+α⋅B,∀A,B∈M_m×n

( )

ℜ,∀α∈ℜ iv) 1⋅A= A, ∀A∈M_m×n

( )

ℜ

Multiplicação de matrizes

Dadas duas matrizes

n m ij n m a A _× =[ ] _× e p n jk p n b B _× =[ ] _× , então: p m ik c C B A⋅ = =[ ] _× , onde

∑

= ⋅ = ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ = n j jk ij nk in k i k i k i ik a b a b a b a b a b c 1 3 3 2 2 1 1 ...

Exemplos

18. Se _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 22 21 12 11 a a a a A e _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 23 22 21 13 12 11 b b b b b b B , então _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 23 22 21 13 12 11 c c c c c c C , onde:

∑

= ⋅ = ⋅ + ⋅ = 2 1 2 2 1 1 j jk ij k i k i ik a b a b a b c , isto é: 21 12 11 11 11 a b a b c = ⋅ + ⋅ 22 12 12 11 12 a b a b c = ⋅ + ⋅ 23 12 13 11 13 a b a b c = ⋅ + ⋅ 21 22 11 21 21 a b a b c = ⋅ + ⋅ 22 22 12 21 22 a b a b c = ⋅ + ⋅ 23 22 13 21 23 a b a b c = ⋅ + ⋅ 19. Se _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 1 1 2 1 3 1 A e ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = 6 0 2 1 1 1 2 5 1 3 0 4 B , então _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 24 23 22 21 14 13 12 11 c c c c c c c c C , onde:

( )

4 3

( ) ( ) ( )

5 1 1 12 1 11= ⋅ − + ⋅ + − ⋅ − = c

( )

0 3

( ) ( ) ( )

2 1 2 8 1 12 = ⋅ + ⋅ − + − ⋅ = c

( )

3 3

( ) ( ) ( )

1 1 0 0 1 13= ⋅ + ⋅ − + − ⋅ = c

( )

1 3

( ) ( ) ( )

1 1 6 4 1 14 = ⋅ − + ⋅ + − ⋅ =− c

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 4 1 5 1 1 2 21= − ⋅ − + − ⋅ + ⋅ − = c

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 0 1 2 1 2 4 22= − ⋅ + − ⋅ − + ⋅ = c

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3 1 1 1 0 5 23= − ⋅ + − ⋅ − + ⋅ =− c

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 1 1 1 1 6 7 24= − ⋅ − + − ⋅ + ⋅ = c Logo _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 7 5 4 2 4 0 8 12 C

20. Imagine que uma empresa possui duas confeitarias chamadas de A e B, que fabricam três tipos de bolos chamados de 1, 2 e 3.

As vendas de bolos destas confeitarias, por semana, estão apresentadas na tabela que segue:

Confeitaria Bolo tipo 1 Bolo tipo 2 Bolo tipo 3 A 50 unidades 30 unidades 25 unidades B 20 unidades 20 unidades 40 unidades

Bolo Farinha Açúcar Leite Manteiga Ovos Tipo 1 500 g 200 g 500 ml 150 g 4

Tipo 2 400 g 100 g 300 ml 250 g 5 Tipo 3 450 g 150 g 600 ml 0 g 6

Que quantidade destes materiais cada confeitaria deverá receber semanalmente para atender às demandas?

Se a primeira tabela for representada pela matriz _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 40 20 20 25 30 50 X e a segunda

tabela pela matriz

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 6 0 600 150 450 5 250 300 100 400 4 150 500 200 500

Y , a resposta será dada pela matriz

Y X Z = ⋅ :

Confeitaria Farinha Açúcar Leite Manteiga Ovos A c₁₁ c₁₂ c₁₃ c₁₄ c₁₅ B c₂₁ c₂₂ c₂₃ c₂₄ c₂₅ 48250 450 25 400 30 500 50 11= ⋅ + ⋅ + ⋅ = c 16750 150 25 100 30 200 50 12 = ⋅ + ⋅ + ⋅ = c 49000 600 25 300 30 500 50 13= ⋅ + ⋅ + ⋅ = c 15000 0 25 250 30 150 50 14 = ⋅ + ⋅ + ⋅ = c 500 6 25 5 30 4 50 15 = ⋅ + ⋅ + ⋅ = c 36000 450 40 400 20 500 20 21= ⋅ + ⋅ + ⋅ = c 12000 150 40 100 20 200 20 22= ⋅ + ⋅ + ⋅ = c 40000 600 40 300 20 500 20 23= ⋅ + ⋅ + ⋅ = c 8000 0 40 250 20 150 20 24= ⋅ + ⋅ + ⋅ = c 420 6 40 5 20 4 20 25= ⋅ + ⋅ + ⋅ = c Logo a resposta é:

Confeitaria Farinha Açúcar Leite Manteiga Ovos

A 48250 16750 49000 15000 500

B 36000 12000 40000 8000 420

Propriedades da Multiplicação de Matrizes

(Desde que sejam possíveis as operações) i) A⋅I =I⋅A=A, sendo I a matriz identidade ii) A⋅

(

B+C

)

= A⋅B+A⋅C e

(

A+B

)

⋅C= A⋅C+B⋅C

iii) A⋅

(

B⋅C

) (

= A⋅B

)

⋅C

iv) 0⋅A=0 e A⋅0=0

Observe que em geral A⋅B≠B⋅A, podendo inclusive um dos membros estar definido e o outro não.

Transposição de matrizes

Dada uma matriz A_m×n =[a_ij]_m×n∈M_m×n

( )

ℜ , denomina-se transposta de A, a matriz:

m n ij T

b

A =[ ] _× , cujas linhas são as colunas de A, isto é: b_ij =a_ji.

Exemplos

21. Se ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 4 7 1 2 6 9 1 0 3 A , então ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 4 2 1 7 6 0 1 9 3 T A 22. Se ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 5 2 4 0 1 3 B , então _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 5 4 1 2 0 3 T B

Propriedades da Transposição de Matrizes

i)

(

A+B

)

T =AT +BT

ii)

(

α⋅A

)

T =α⋅AT , onde α∈ℜ iii)

( )

AT T = A

iv)

(

A⋅B

)

T =BT ⋅AT

Definições

Seja A uma matriz quadrada, então: a) A é dita simétrica, se e somente se, AT = . A

Exemplo

23. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 5 7 1 7 2 0 1 0 3 A ⇒ AT = A ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 5 7 1 7 2 0 1 0 3

b) A é dita anti-simétrica, se e somente se, AT =−A.

Exemplo

24. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 0 5 3 5 0 1 3 1 0 A ⇒ AT =−A ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 0 5 3 5 0 1 3 1 0

2.1.3 Alguns exercícios sobre matrizes:

25. Para cada α∈ℜ, considere a matriz _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ α α α − α = α cos sen sen cos T a) Mostre que T_α⋅T_β =T_α+β = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ β β β − β ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ α α α − α = ⋅ _β α cos sen sen cos cos sen sen cos T T = _⎥= ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ β ⋅ α + β ⋅ α − α ⋅ β + β ⋅ α β ⋅ α − α ⋅ β − β ⋅ α − β ⋅ α cos cos sen sen cos sen cos sen cos sen cos sen sen sen cos cos

(

)

(

)

(

)

(

)

⎥= α+β ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ β + α β + α β + α − β + α = T cos sen sen cos b) Ache T_−α

( )

( )

( )

( )

TT T_{−α ⎥}= _α ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ α α − α α = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ α − α − α − − α − = cos sen sen cos cos sen sen cos

26. Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica. Sejam duas matrizes simétricas A e B. Logo AT = e A BT = . B

(

A+B

)

T =AT +BT =A+B.

27. Mostre que a soma de duas matrizes anti-simétricas é uma matriz anti-simétrica. Sejam duas matrizes anti-simétricas A e B. Logo AT =−A e BT =−B.

(

A+B

)

T =AT +BT =−A+

( ) (

−B =− A+B

)

.

28. Mostre que se A é uma matriz quadrada, então A+AT é uma matriz simétrica.

(

T

)

T T

( )

T T T T A A A A A A A A+ = + = + = +

29. Verifique que o produto de duas matrizes simétricas nem sempre é uma matriz simétrica.

Sejam duas matrizes simétricas A e B. Logo AT = e A BT = . B

(

A⋅B

)

T =BT ⋅AT =B⋅A.

30. Se A⋅B=0, então podemos afirmar queA=0 ou B=0? Não! Encontre alguns contra-exemplos.

31. Suponha que A≠0 e A⋅B=A⋅C, então podemos afirmar que B=C ?

Não!

C A B

A⋅ = ⋅ ⇒A⋅B−A⋅C=0⇒A⋅

(

B−C

)

=0. Sabemos que A≠0, e que podemos ter A⋅

(

B−C

)

=0 sem que B−C =0, Logo B não é necessariamente igual a C.

32. Considerando o exercício anterior, se existir uma matriz Y tal que Y⋅A=I, podemos afirmar que B=C ? Sim ! C A B A⋅ = ⋅ ⇒Y⋅

(

A⋅B

)

=Y⋅

(

A⋅C

)

⇒

(

Y⋅A

)

⋅B=

(

Y⋅A

)

⋅C⇒

( )

I ⋅B=

( )

I ⋅C⇒B=C

33. Podemos dizer que a seguinte igualdade

(

A+B

)

2 =A2+2⋅A⋅B+B2é verdadeira? Não!

(

) (

)

2 2 B A B B A A B B A B B A A A B A B A+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ +

34. Podemos dizer que a seguinte igualdade

(

A−B

)

2 =A2−2⋅A⋅B+B2é verdadeira? Não!

(

) (

)

2 2 B A B B A A B B A B B A A A B A B A− ⋅ − = ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ = − ⋅ − ⋅ +

2.1.4 Matrizes Elementares

Definição

Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz, às seguintes operações:

i) a troca da ordem de duas linhas da matriz;

ii) a multiplicação uma linha da matriz por uma constante diferente de zero;

iii) a substituição uma linha da matriz por sua soma com outra linha multiplicada por uma constante diferente de zero.

Definição

Uma matriz elementar é uma matriz obtida por meio de operações elementares nas linhas de uma matriz identidade.

Exemplos

35. Considere a matriz identidade

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 I . Então as matrizes ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5 0 0 0 0 1 1 E , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 E , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 E , são matrizes

elementares obtidas de I, pela aplicação de uma única operação elementar em suas linhas. Se

i

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⇒ ⋅ → ₂ 2 5 L L 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5 0 0 0 0 1 E = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⇒ ↔ ₃ 1 L L 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 E = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⇒ − → _{4 2} 4 L 2L L 3 1 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 E = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −

Teorema

Seja E a matriz elementar obtida fazendo-se uma operação elementar nas linhas de I . _n

Se a mesma operação elementar for feita em uma linha de uma matriz A de ordem n× , então r

o resultado será igual a E⋅ . A

Exemplo

36. Considere as matrizes elementares E₁, E₂eE , obtidas conforme segue: ₃

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⇒ ⋅ → ₁ 1 3 L L 1 1 0 0 0 1 0 0 0 3 E = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⇒ ↔ ₃ 2 L L ₂ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 E = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⇒ − → _{3 2} 3 L 4L L 3 1 4 0 0 1 0 0 0 1 E = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −

Considere agora a matriz

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 5 3 2 0 2 4 1 3 0 2 1 A . Verifique que: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 1 5 3 2 0 2 4 1 3 0 2 1 ⇒ ⋅ → ₁ 1 3 L L ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 1 5 3 2 0 2 4 1 9 0 6 3 = ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 1 5 3 2 0 2 4 1 3 0 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 1 5 3 2 0 2 4 1 3 0 2 1 ⇒ ↔ ₃ 2 L L ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −1 4 2 0 1 5 3 2 3 0 2 1 = ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 1 5 3 2 0 2 4 1 3 0 2 1

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 1 5 3 2 0 2 4 1 3 0 2 1 ⇒ − → _{3 2} 3 L 4L L ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 1 3 13 6 0 2 4 1 3 0 2 1 = ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −4 1 0 0 1 0 0 0 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 1 5 3 2 0 2 4 1 3 0 2 1

2.1.5 Definição de Matriz como Função

Uma matriz do tipo m × n sobre um corpo F é uma aplicação do conjunto X={ (i, j) ∈

N × N: 1≤ i ≤ m, 1≤ j ≤ n } em F. (N é o conjunto dos números naturais). Se m = n a matriz é dita matriz quadrada.

Exemplo

37. A aplicação A: X →ℜ onde X= { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3) }, definida por: A(1,1) = 1, A(1,2) = −1, A (1,3 ) = 3,

A (2,1) = −3, A (2,2) = 4, A (2,3) = 0

é uma matriz do tipo 2 × 3, isto é: A = _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 0 4 3 3 1 1

2.2 Determinantes e Matriz Inversa

2.2.1 Determinantes

Definições

Se _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 22 21 12 11 a a a a A ⇒detA=a₁₁⋅a₂₂−a₁₂⋅a₂₁ Se ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A ⇒ 31 22 13 32 21 13 31 23 12 33 21 12 32 23 11 33 22 11 det a a a a a a a a a a a a a a a a a a A ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

Definição

Dada uma permutação dos inteiros 1,2,...,n, existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele.

Permutação Número de inversões

( 1 2 3 ) 0 ( 1 3 2 ) 1 ( 2 1 3 ) 1 ( 2 3 1 ) 2 ( 3 1 2 ) 2 ( 3 2 1 ) 3

Definição

Seja A uma matriz quadrada n× . n

Então

( )

n nj j j j J a a a a A 1 ... det 3 2 1 2 3 1 ⋅ ⋅ − =

∑

ρ

Onde )J = J(j₁,j₂,j₃,,...., j_n é o número de inversões da permutação(j₁,j₂,j₃,,....,j_n) e ρ indica que a soma e estendida para todas as n! permutações.

Observações

i) o coeficiente

( )

−1 Jdá o sinal de cada parcela da somatória.

ii) em cada termo existe um e só um elemento de cada linha e um e só um elemento de cada coluna.

iii) Através de reordenações, mostra-se também que:

( )

J _{j j j j n}

n a a a a A 1 ... det _{1 2 3} 3 2 1 ⋅ ⋅ − =

∑

ρ

Propriedades dos determinantes

i) detA=detAT

ii) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por k∈ℜ, o determinante fica multiplicado por k.

iii) Uma vez permutadas duas linhas de uma matriz, o determinante da mesma troca de sinal. iv) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é igual a zero. v) O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha, os elementos

correspondentes de outra linha multiplicados por uma constante. vi) det

(

A⋅B

)

=detA⋅detB

Definição

Seja A uma matriz quadrada n× . Uma submatriz n A de A é uma matriz obtida de A _ij

eliminando a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A.

Exemplo

38. Se ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 4 3 2 3 0 4 1 2 1 A então _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 3 2 2 1 23 A , _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 3 0 1 2 31 A , etc.

Definição

Seja A uma matriz quadrada n× . O cofator ou complemento algébrico de um n

Exemplo

39. Se ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 4 3 2 3 0 4 1 2 1 A então:

( )

( )

9 4 3 3 0 det 1 det 11 1 ₁₁ 2 11 ⎥=− ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ − = − = ∆ + A ,

( )

( )

7 3 2 2 1 det 1 det 12 3 ₂₃ 5 23 ⎥=− ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ − = − = ∆ + A , etc.

Desenvolvimento de Laplace

Generalizando:

[ ]

_ij n j ij n n ij a a =

∑

⋅∆ = × 1

det para qualquer linha i.

Observação: O desenvolvimento pode também ser feito na variável j:

[ ]

ij n i ij n n ij a a =

∑

⋅∆ = × 1

det para qualquer coluna j.

Exemplo

40. Se ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 4 3 2 3 0 4 1 2 1

A então calcule det A.

Escolhendo, por exemplo a segunda linha (i=2)

= ∆ ⋅ + ∆ ⋅ + ∆ ⋅ = ∆ ⋅ =

∑

= 2 21 21 22 22 23 23 3 1 2 detA a _j a a a j j

( )

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ⋅ = + 4 3 1 2 det 1 4 2 1 +

( )

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − ⋅ + 4 2 1 1 det 1 0 2 2

( )

_⎥= ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⋅ + + 3 2 2 1 det 1 3 2 3

( )

6 3

( )

7 1 0 5 4⋅ + ⋅ − + ⋅ − =− =

2.2.2 Matriz Inversa

Seja A é uma matriz quadrada n × n. Chamamos de matriz inversa de A à uma matriz B, também n × n, que satisfaz a seguinte propriedade: A⋅B=B⋅A=I, em que I =I_n é a matriz identidade n × n. Se esta matriz B existir, A será chamada de matriz invertível.

Normalmente a matriz inversa de A é indicada por A−1, logo: A⋅A−1 =A−1⋅A=I

Exemplo

41. Ache a inversa da matriz _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 4 1 3 2 A ⇒ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 1 4 1 3 2 d c b a ⇒ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + 1 0 0 1 4 4 3 2 3 2 d b c a d b c a ⎩ ⎨ ⎧ = + = + 0 4 1 3 2 c a c a ⇒ 5 4 = a e 5 1 − = c e ⎩ ⎨ ⎧ = + = + 1 4 0 3 2 d b d b ⇒ 5 3 − = b e 5 2 = d

Logo ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − 5 2 5 1 5 3 5 4 1 A

Obs: O mesmo resultado seria obtido fazendo: _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 1 4 1 3 2 d c b a

Teorema

Se A é uma matriz invertível, então a sua inversa é única.

Demonstração

Vamos supor que a matriz A possui duas inversas A₁−1 e A₂−1. Logo temos que

A A I A A⋅ ₁−1= = ₁−1⋅ e A⋅A₂−1 =I =A₂−1⋅A. Assim A₁−1=A₁−1⋅I =A₁−1⋅

(

A⋅A₂−1

) (

= A₁−1⋅A

)

⋅A₂−1=I⋅A₂−1= A₂−1. Portanto A₁−1= A₂−1 e a inversa é única.

Observações

i) Se A e B são matrizes quadradas invertíveis, então A⋅ é também invertível e B

(

_⋅

)

−1₌ −1_⋅ −1

A B B

A .

ii) Uma matriz quadrada A admite inversa se e somente se detA≠0. iii) Se A é uma matriz quadrada e detA≠0, então

A A det 1 det −1= .

Demonstração de (iii)

Sabemos que det

(

A⋅B

)

=detA⋅detB. Se A−1⋅A= I, então temos que

(

A A

)

detA detA detI

det −1⋅ = −1⋅ = ⇒ A A det 1 det −1= . iv)

( )

A−1 −1= A. v)

( ) ( )

A−1 T = AT −1.

Teorema

Seja A uma matriz quadrada. Se uma seqüência de operações elementares nas suas

linhas reduz A a I, então a mesma seqüência de operações elementares transforma I em A−1.

Demonstração

Se A for linha equivalente a I, podemos conseguir essa redução multiplicando A à

esquerda por uma seqüência E₁,E₂,E₃,...,E_k de matrizes elementares. Portanto, temos

I A E E E E E_k⋅ _k−1.... ₃⋅ ₂⋅ ₁⋅ = . Denotando B=E_k⋅E_k−1....E₃⋅E₂⋅E₁, temos B⋅A=I. Assim, temos que A é invertível e B= A−1. Agora, aplicar a mesma sequência de operações elementares em I é equivalente a multiplicar I, à esquerda por E_k ⋅E_k−1....E₃⋅E₂⋅E₁. O

resultado é E_k⋅E_k−1....E₃⋅E₂⋅E₁⋅I = B⋅I = A−1⋅I = A−1. Desta forma, I é transformada

em A−1 pela mesma seqüência de operações elementares de linhas.

Logo, a partir deste teorema, podemos usar o seguinte algoritmo para encontrar a matriz inversa de A: ] [A_MI ⇒ . . elem op ] [I_MA−1

Exemplo

42. Ache a inversa da matriz

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 3 2 1 1 2 1 1 2 1 A ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 1 0 0 3 2 1 0 1 0 1 2 1 0 0 1 1 2 1 M M M ⇒ ↔ ₂ 1 L L ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 1 0 0 3 2 1 0 0 1 1 2 1 0 1 0 1 2 1 M M M 1 3 3 1 2 2 L L L L L L + → ⇒ + → ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 0 4 4 0 0 1 1 2 4 0 0 1 0 1 2 1 M M M ⇒ → ₂ 2 4 1 L L ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 0 4 4 0 0 4 1 4 1 2 1 1 0 0 1 0 1 2 1 M M M 2 3 3 2 1 1 4 2 L L L L L L − → ⇒ − → ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 1 0 1 2 0 0 0 4 1 4 1 2 1 1 0 0 2 1 2 1 0 0 1 M M M ⇒ → ₃ 3 2 1 L L ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 2 1 0 2 1 1 0 0 0 4 1 4 1 2 1 1 0 0 2 1 2 1 0 0 1 M M M ⇒ − → _{2 3} 2 2 1 L L L ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 2 1 0 2 1 1 0 0 4 1 4 1 2 1 0 1 0 0 2 1 2 1 0 0 1 M M M . Assim, ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = − 2 1 0 2 1 4 1 4 1 2 1 0 2 1 2 1 1 A .

Definição

Seja A uma matriz quadrada n× . Então a matriz dos cofatores de A é a matriz n

[ ]

n n ij A= ∆ _× .

Exemplo

43. Se _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 3 1 2 A então _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∆ ∆ ∆ ∆ = 2 1 3 1 22 21 12 11 A Pois

( )

1111 1 11= − = ∆ + ,

( ) ( )

11 2 3 3 12 = − − = ∆ + ,

( )

11 21 1 21 = − =− ∆ + ,

( )

12 22 2 22 = − = ∆ +

Definição

Seja A uma matriz quadrada n× . Chama-se matriz adjunta de A, a matriz n

( )

T A adjA= .

Exemplo

44. Se _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 3 1 2 A então _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 2 3 1 1 2 1 3 1 T adjA

Teorema

Seja A uma matriz quadrada n× , tal que n detA≠0. Então: A⋅adjA=

(

detA

)

⋅I_n. Deste teorema podemos concluir que:

(

A

)

In adjA A⋅ = det ⋅ ⇒ I_n A adjA A⋅ = det ⇒ A adjA A det 1 ₌ −

2.2.3 Alguns exercícios sobre determinantes e matriz inversa

45. Uma maneira de codificar uma mensagem é através da multiplicação matricial. Vamos associar as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo: A B C D E F G H I J K L M

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

N O P Q R S T U V W X Y Z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Suponhamos que a nossa mensagem seja “PUXA VIDA”. Podemos formar uma matriz 3×3 assim: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − A D I V A X U P

, que usando a correspondência numérica fica: M =

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 4 9 22 0 1 24 21 16

Agora seja C uma matriz qualquer 3×3 inversível, por exemplo:

C = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 1 0 2 2 1 2 0 1 1

Multiplicando nossa matriz da mensagem M por C, obtemos M ⋅C:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = ⋅ 7 13 3 22 1 45 18 37 22 C M

Transmitimos esta nova matriz M ⋅C. Quem recebe a mensagem, decodifica-a através da multiplicação pela inversa de C, isto é, fazendo

(

(

M ⋅C

)

⋅C−1

)

e posterior transcrição dos números para letras. C é chamada de matriz chave para o código.

Questão

Com base nessas informações, supondo que você tenha recebido a matriz

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⋅ 17 17 2 30 35 10 33 34 11 C M , traduza a mensagem.

46. Sendo A uma matriz quadrada n× e, verifique que n det

( )

αA =αn⋅detA. 47. Seja A uma matriz triangular superior. Calcule o determinante de A.

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = nn n n n a a a a a a a a a a A L M M M M M L L L 0 0 0 0 0 0 3 33 2 23 22 1 13 12 11

⇒ Aplicando Laplace sucessivamente⇒detA= a₁₁⋅∆₁₁

=

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ + nn n n a a a a a 0 0 0 det 1 3 2 22 1 1 11 M M M L L =

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ + nn n n a a a a a a 0 0 0 det 1 4 3 33 1 1 22 11 M M M L L =

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ ⋅ = + nn n n a a a a a a a 0 0 0 det 1 5 4 44 1 1 33 22 11 M M M L L =...=a₁₁⋅a₂₂⋅a₃₃...a_nn

Referências Bibliográficas

1. BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3.a Edição. São Paulo: Harper & Row do

Brasil, 1980.

2. CALLIOLI, Carlos A. et al. Álgebra Linear e Aplicações. 6.a Edição. São Paulo: Atual,

1990.

3. LIMA, Elon L., et al. A Matemática do Ensino Médio. 3.a Edição. Rio de Janeiro:

Coleção do Professor de Matemática – Sociedade Brasileira de Matemática, 2001. 4. POOLE, David. Álgebra Linear. São Paulo: Thomson Learning, 2006.