2 As transformadas z e de Fourier

(1)

2.1 Introdu¸

c˜

ao

No Cap´ıtulo 1, estudamos sistemas lineares invariantes no tempo, usando tanto respostas ao impulso quanto equa¸cões de diferen¸cas para caracterizá-los. Neste cap´ıtulo, estudamos outra forma extremamente útil de caracterizar sistemas no tempo discreto. Ela está ligada ao fato de que quando uma fun¸cão exponencial é aplicada na entrada de um sistema linear invariante no tempo, sua sa´ıda é uma fun¸cão exponencial do mesmo tipo, mas com amplitude modificada. Pode-se deduzir isso considerando-se que, pela equa¸cão (1.50), um sistema linear invariante no tempo discreto com resposta ao impulso h(n) excitado por uma exponencial x(n) = zn _{produz em sua sa´ıda um sinal y(n) tal que}

y(n) = ∞ X k=−∞ x(n − k)h(k) = ∞ X k=−∞ zn−kh(k) = zn ∞ X k=−∞ h(k)z−k, (2.1)

isto é, o sinal na sa´ıda é também a exponencial zn_{, porém multiplicada pelo valor} complexo H(z) = ∞ X k=−∞ h(k)z−k_. _(2.2)

Neste cap´ıtulo, caracterizamos sistemas lineares invariantes no tempo usando a quantidade H(z) da equa¸cão (2.2), conhecida comumente como a transformada z da sequência no tempo discreto h(n). Como veremos mais tarde neste cap´ıtulo, com o aux´ılio da transformada z as convolu¸cões lineares podem ser transformadas num simples produto de expressões algébricas. A importância disso para os sistemas no tempo discreto é comparável à da transformada de Laplace para os sistemas no tempo cont´ınuo.

O caso em que zn _{é uma senoide complexa com frequência ω, isto é, z = e}jω_, é de especial importância. Nesse caso, a equa¸cão (2.2) se torna

H(ejω) = ∞

X

k=−∞

h(k)e−jωk, (2.3)

a qual pode ser representada na forma polar como H(ejω

) = |H(ejω

)|ejΘ(ω)_, produzindo, pela equa¸c˜ao (2.1), um sinal de sa´ıda y(n) tal que

(2)

y(n) = H(ejω)ejωn _{= |H(e}jω_)|ejΘ(ω)ejωn _{= |H(e}jω_)|ejωn+jΘ(ω). (2.4) Essa rela¸c˜ao implica que o efeito de um sistema linear caracterizado por H(ejω₎ sobre uma senoide complexa ´e o de multiplicar sua amplitude por |H(ejω

)| e somar Θ(ω) `a sua fase. Por esse motivo, as descri¸c˜_{oes de |H(e}jω

)| e Θ(ω) como fun¸cões de ω são amplamente usadas para caracterizar sistemas lineares invariantes no tempo, e são conhecidas como suas respostas de módulo e fase, respectivamente. A fun¸cão complexa H(ejω_{) na equa¸c˜}_{ao (2.4) é também} conhecida como a transformada de Fourier da sequência no tempo discreto h(n). A importância da transformada de Fourier para os sistemas no tempo discreto é tão grande quanto para os sistemas no tempo cont´ınuo.

Neste cap´ıtulo, estudamos as transformadas z e de Fourier para sinais no tempo discreto. Come¸camos por definir a transformada z, discutindo aspectos relacionados à sua convergência. Então, apresentamos a transformada z inversa, bem como várias propriedades da transformada z. Em seguida, mostramos como transformar convolu¸cões no tempo discreto num produto de expressões algébricas e introduzimos o conceito de fun¸cão de transferência. Apresentamos, então, um algoritmo para determinar, dada a fun¸cão de transferência de um sistema no tempo discreto, se o sistema é estável ou não, e prosseguimos discutindo como a resposta em frequência de um sistema se relaciona com sua fun¸cão de trans-ferência. Nesse ponto, damos uma defini¸cão formal da transformada de Fourier de sinais no tempo discreto, apontando suas rela¸cões com a transformada de Fourier de sinais no tempo cont´ınuo. Também é apresentada uma expressão para a transformada de Fourier inversa. As principais propriedades da transformada de Fourier são, então, mostradas como casos particulares das propriedades da transformada z. Em seguida, discutimos brevemente a representa¸cão de Fourier para sequências periódicas. Numa se¸cão à parte, apresentamos as principais pro-priedades dos sinais aleatórios no dom´ınio da transformada. Fechamos o cap´ıtulo apresentando algumas fun¸cões do Matlab relacionadas com as transformadas z e de Fourier, e que auxiliam na análise de fun¸cões de transferência de sistemas no tempo discreto.

2.2 Defini¸

c˜

ao da transformada z

A transformada z de uma sequˆencia x(n) ´e definida como X(z) = Z{x(n)} =

∞

X

n=−∞

(3)

onde z é uma variável complexa. Note que X(z) só é definida para as regiões do plano complexo em que o somatório à direita converge.

Muito frequentemente, os sinais com que trabalhamos come¸cam apenas em n = 0, isto ´e, s˜ao n˜_{ao-nulos apenas para n ≥ 0. Por causa disso, alguns livros-texto} definem a transformada z como

XU(z) = ∞

X

n=0

x(n)z−n, (2.6)

que é conhecida comumente como a transformada z unilateral, enquanto que a equa¸cão (2.5), por sua vez, é chamada de transformada z bilateral. Claramente, se o sinal x(n) é não-nulo para n < 0, então suas transformadas z unilateral e bilateral resultam diferentes. Neste texto, trabalhamos somente com a transfor-mada z bilateral, que então é chamada, sem risco de ambiguidade, apenas de transformada z.

Como já mencionado, a transformada z de uma sequência só existe para as regiões do plano complexo em que o somatório na equa¸cão (2.5) converge. O Exemplo 2.1 esclarece esse ponto.

E X E M P L O 2.1

Calcule a transformada z da sequˆencia x(n) = Ku(n).

S O L U C¸ ˜A O

Por defini¸c˜ao, a transformada z de Ku(n) ´e X(z) = K ∞ X n=0 z−n = K ∞ X n=0 z−1n . (2.7)

Portanto, X(z) é a soma de uma série de potências que converge somente se |z−1_{| < 1. Nesse caso, X(z) pode ser expresso como}

X(z) = K

1 − z−1 = Kz

z − 1, |z| > 1. (2.8)

Note que para |z| < 1, o n-ésimo termo do somatório, z−n_{, tende ao infinito se} n → ∞ e, portanto, X(z) não é definida. Para z = 1, o somatório também tende ao infinito. Para z = −1, o somatório oscila entre 1 e 0. Em nenhum desses casos

a transformada z converge. _△

´

E importante notar que a transformada z de uma sequência é uma série de Laurent na variável complexa z (Churchill, 1975). Portanto, as propriedades da série de Laurent se aplicam diretamente à transformada z. Como regra geral,

(4)

podemos aplicar um resultado da teoria das séries afirmando que, dada uma série na variável complexa z,

S(z) = ∞

X

i=0

fi(z), (2.9)

tal que |fi(z)| < ∞, i = 0, 1, . . ., e dada a quantidade α(z) = lim

n→∞|fn(z)| 1/n

, (2.10)

então a série converge absolutamente se α(z) < 1, e diverge se α(z) > 1 (Kreyszig, 1979). Note que para α(z) = 1, o teste nada diz sobre a convergência da série, que então tem que ser investigada por outros meios. Pode-se justificar esse resultado notando-se que se α(z) < 1, os termos da série estão sob uma exponencial an para algum a < 1 e, portanto, sua soma converge se n → ∞. Claramente, pode-se notar que se |fi(z)| = ∞ para algum i, então a série não é convergente. A convergência requer, ainda, que lim_n→∞_|fn(z)| = 0.

Esse resultado pode ser estendido para o caso de s´eries bilaterais na forma S(z) =

∞

X

i=−∞

fi(z), (2.11)

se expressarmos S(z) como a soma de duas s´eries, S1(z) e S2(z), tais que S1(z) = ∞ X i=0 fi(z) e S2(z) = −1 X i=−∞ fi(z). (2.12)

Nesse caso, S(z) converge se as duas s´eries S1(z) e S2(z) convergem. Portanto, temos de calcular as duas quantidades

α1(z) = lim n→∞|fn(z)| 1/n e α2(z) = lim n→−∞|fn(z)| 1/n . (2.13)

Naturalmente, S(z) converge absolutamente se α1(z) < 1 e α2(z) > 1. A condi¸cão α1(z) < 1 é equivalente a dizer que para n → ∞, os termos da série estão sob an para algum a < 1. A condi¸cão α2(z) > 1 equivale a se dizer que para n → −∞, os termos da série estão sob bn_{para algum b > 1. Deve-se notar que para garantir} a convergência, também devemos ter |fi(z)| < ∞, ∀i.

Aplicando esses resultados acerca da convergência à defini¸cão da transformada z dada na equa¸cão (2.5), podemos concluir que a transformada z converge se α1 = lim n→∞ x(n)z−n 1/n =z−1 lim n→∞|x(n)| 1/n < 1 (2.14) α2 = lim n→−∞ x(n)z−n 1/n = z−1 lim n→−∞|x(n)| 1/n > 1. (2.15)

(5)

0000000000000

1111111111111

r2 r1 Im_{z} Re_{z}

Figura 2.1 Regi˜ao geral de convergˆencia da transformada z.

Definindo r1 = lim n→∞|x(n)| 1/n (2.16) r2 = lim n→−∞|x(n)| 1/n , (2.17)

então as inequa¸cões (2.14) e (2.15) são equivalentes a

r1 < |z| < r2, (2.18)

isto é, a transformada z de uma sequência existe numa região anular do plano complexo, definida pela inequa¸cão (2.18) e ilustrada na Figura 2.1. É importante notar que, para algumas sequências, r1 = 0 ou r2 → ∞. Nesses casos, a região de convergência pode vir a incluir, ainda, z = 0 ou |z| = ∞, respectivamente.

Agora, examinamos mais de perto a convergˆencia das transformadas z de quatro importantes classes de sequˆencias.

• Sequências unilaterais direitas: São sequências x(n) nulas para n < n0, isto é, tais que X(z) = ∞ X n=n0 x(n)z−n. (2.19)

Nesse caso, a transformada z converge para |z| > r1, onde r1 ´e dado pela equa¸c˜_{ao (2.16). Como |x(n)z}−n_{| tem que ser finito, ent˜ao se n}

0 < 0 a regi˜ao de convergˆencia exclui, ainda, |z| = ∞.

(6)

• Sequências unilaterais esquerdas: São sequências x(n) nulas para n > n0, isto é, tais que

X(z) = n0 X

n=−∞

x(n)z−n. (2.20)

Nesse caso, a transformada z converge para |z| < r2, onde r2 ´e dado pela equa¸c˜_{ao (2.17). Como |x(n)z}−n_{| tem que ser finita, ent˜ao se n}

0 > 0 a regi˜ao de convergˆencia exclui, ainda, z = 0.

• Sequˆencias bilaterais: Nesse caso, X(z) =

∞

X

n=−∞

x(n)z−n, (2.21)

e a transformada z converge para r1 < |z| < r2, onde r1 e r2 são dados pelas equa¸cões (2.16) e (2.17). Claramente, se r1 > r2, então a transformada z não existe.

• Sequências de comprimento finito: São sequências x(n) nulas para n < n0 e n > n1, com n0 ≤ n1, isto é, tais que

X(z) = n1 X

n=n0

x(n)z−n_. _(2.22)

Em tais casos, a transformada z converge em qualquer lugar exceto nos pontos em que |x(n)z−n_{| = ∞. Isso implica que a regi˜ao de convergˆencia exclui o ponto} z = 0 se n1 > 0 e |z| = ∞ se n0 < 0.

E X E M P L O 2.2

Calcule as transformadas z das seguintes sequências, especificando suas regiões de convergência: (a) x(n) = k2n_u(n); (b) x(n) = u(−n + 1); (c) x(n) = −k2n u(−n − 1); (d) x(n) = 0,5n_{u(n) + 3}n u(−n); (e) x(n) = 4−n_{u(n) + 5}−n_{u(n + 1).}

S O L U C¸ ˜A O (a) X(z) = ∞ X n=0 k2n_z−n_.

(7)

Essa série converge se |2z−1_{| < 1, isto é, para |z| > 2. Nesse caso, X(z) é a} soma de uma série geométrica, e portanto

X(z) = k 1 − 2z−1 = kz z − 2, para 2 < |z| ≤ ∞. (2.23) (b) X(z) = 1 X n=−∞ z−n.

Essa série converge se |z−1_{| > 1, isto é, para |z| < 1. Além disso, para que} o termo z−1 _{seja finito, |z| 6= 0. Nesse caso, X(z) é a soma de uma série} geométrica tal que

X(z) = z −1 1 − z = 1 z − z2, para 0 < |z| < 1. (2.24) (c) X(z) = −1 X n=−∞ −k2nz−n.

Essa série converge se |z/2| < 1, isto é, para |z| < 2. Nesse caso, X(z) é a soma de uma série geométrica tal que

X(z) = −kz/2 1 − z/2 = kz z − 2, para 0 ≤ |z| < 2. (2.25) (d) X(z) = ∞ X n=0 0,5n_z−n₊ 0 X n=−∞ 3n_z−n_.

Essa série converge se |0,5z−1_{| < 1 e |3z}−1_{| > 1, isto é, para 0,5 < |z| < 3.} Nesse caso, X(z) é a soma de duas séries geométricas, e portanto

X(z) = 1 1 − 0,5z−1 + 1 1 − 1 3z = z z − 0,5 + 3 3 − z, para 0,5 < |z| < 3. (2.26) (e) X(z) = ∞ X n=0 4−nz−n+ ∞ X n=−1 5−nz−n. Essa s´erie converge se |1

4z−1| < 1 e | 1

5z−1| < 1, isto ´e, para |z| > 1

4. Al´em disso, o termo para n = −1, 15z−1

−1

= 5z, só é finito para |z| < ∞. Nesse caso, X(z) é a soma de duas séries geométricas, resultando em

X(z) = 1 1 − 1 4z−1 + 5z 1 − 1 5z−1 = 4z 4z − 1 + 25z2 5z − 1, para 1 4 < |z| < ∞. (2.27)

(8)

Nesse exemplo, embora as sequências dos itens (a) e (c) sejam distintas, as expressões para suas transformadas z são iguais, estando a diferen¸ca apenas em suas regiões de convergência. Isso aponta o importante fato de que, para se especificar completamente uma transformada z, sua região de convergência tem de ser fornecida. Na Se¸cão 2.3, quando estudarmos a transformada z inversa, esse aspecto será examinado com mais detalhe.

△ Em muitos casos, lidamos com sistemas causais estáveis. Como para um sistema causal a resposta ao impulso h(n) é zero para n < n0 com n0 ≥ 0, então, pela equa¸cão (1.60), temos que um sistema causal é também BIBO-estável se e somente se

∞

X

n=n0

|h(n)| < ∞. (2.28)

Aplicando o critério para convergência de séries visto anteriormente, temos que o sistema é estável se

lim

n→∞|h(n)| 1/n

= r < 1. (2.29)

Isso equivale a dizer que H(z), a transformada z de h(n), converge para |z| > r. Como para garantir a estabilidade devemos ter r < 1, então conclu´ımos que a região de convergência da transformada z da resposta ao impulso de um sistema causal estável inclui necessariamente a região exterior ao c´ırculo unitário e a circunferência unitária (de fato, no caso em que a resposta ao impulso é unilateral direita porém não causal, isto é, n0 < 0, essa região exclui |z| = ∞).

Um caso muito importante ocorre quando X(z) pode ser expressa como a raz˜ao de dois polinˆomios em z, na forma

X(z) = N (z)

D(z). (2.30)

Referimo-nos `as ra´ızes de N (z) como os zeros de X(z) e `as ra´ızes de D(z) como os polos de X(z). Mais especificamente, nesse caso X(z) pode ser expresso como X(z) = N (z) K Y k=1 (z − pk)mk , (2.31)

onde pké um polo de multiplicidade mk, e K é o número total de polos distintos. Como X(z) não é definida em seus polos, a região de convergência de X(z) não pode inclu´ı-los. Portanto, dada X(z) como na equa¸cão (2.31), há um modo fácil

(9)

de se determinar sua região de convergência, dependendo do tipo da sequência x(n):

• Sequências unilaterais direitas: A região de convergência de X(z) é |z| > r1. Como X(z) não converge em seus polos, então seus polos devem estar no interior da circunferência |z| = r1 (exceto polos em |z| = ∞), com r1 =

max

1≤k≤K{|pk|}. Isso ´e ilustrado na Figura 2.2a.

• Sequências unilaterais esquerdas: A região de convergência de X(z) é |z| < r2. Portanto seus polos devem estar no exterior da circunferência |z| = r2 (exceto polos em z = 0), com r2 = min

1≤k≤K{|pk|}. Isso é ilustrado na Figura 2.2b. • Sequências bilaterais: A região de convergência de X(z) é r1 < |z| < r2, e

portanto alguns de seus polos est˜_{ao no interior da circunferência |z| = r}1 e alguns, no exterior da circunferência |z| = r2. Nesse caso, a região de convergência precisa ser melhor especificada. Isso é ilustrado na Figura 2.2c.

0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111Im{z} Re_{z} 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 Im_{z} Re_{z} (a) (b) 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 Im_{z} Re_{z} (c)

Figura 2.2 Região de convergência de uma transformada z em rela¸cão a seus polos: (a) sequências unilaterais direitas; (b) sequências unilaterais esquerdas; (c) sequências bilaterais.

(10)

2.3 Transformada z inversa

Muito frequentemente, precisamos determinar qual sequˆencia corresponde a uma dada tranformada z. Pode-se obter uma f´ormula para a transformada z inversa a partir do teorema dos res´ıduos, que enunciamos a seguir.

T E O R E M A 2.1 (T E O R E M A D O S R E S´I D U O S)

Seja X(z) uma fun¸c˜ao complexa anal´ıtica dentro de um contorno fechado C e

no pr´oprio contorno, exceto num n´umero finito Ki de pontos singulares pk no

interior de C. Nesse caso, vale a seguinte igualdade:

I C X(z)dz = 2πj Ki X k=1 res z=pk{X(z)}, (2.32)

com a integral calculada ao longo de C, no sentido anti-hor´ario.

Se pk ´e um polo de X(z) com multiplicidade mk, isto ´e, se X(z) pode ser

escrita como

X(z) = Pk(z) (z − pk)mk

, (2.33)

onde Pk(z) é anal´ıtica em z = pk, então o res´ıduo de X(z) com respeito a pk é

dado por res z=pk{X(z)} = 1 (mk− 1)! d(mk−1)[(z − p k)mkX(z)] dz(mk−1) z=pk . (2.34) ♦

Usando o Teorema, é poss´ıvel mostrar que, se C é um percurso fechado anti--horário envolvendo a origem do plano z, então

1 2πj I C zn−1dz = ( 0, _{para n 6= 0} 1, para n = 0, (2.35)

e assim podemos deduzir que a transformada z inversa de X(z) ´e dada por x(n) = 1

2πj

I

C

X(z)zn−1_dz, _(2.36)

onde C é um percurso fechado anti-horário na região de convergência de X(z).

P R O V A Como X(z) = ∞ X n=−∞ x(n)z−n, (2.37)

(11)

expressando x(n) usando a transformada z inversa como na equa¸cão (2.36) e trocando a ordem entre a integra¸cão e o somatório, temos que

1 2πj I C X(z)zm−1dz = 1 2πj I C ∞ X n=−∞ x(n)z−n+m−1dz = 1 2πj ∞ X n=−∞ x(n) I C z−n+m−1dz = x(m). (2.38)

No restante desta se¸cão, descrevemos técnicas para realiza¸cão do cálculo da transformada z inversa em diversos casos práticos.

2.3.1 C´alculo baseado no teorema dos res´ıduos

Sempre que X(z) é uma razão de polinômios, o teorema dos res´ıduos pode ser usado eficientemente para calcular a transformada z inversa. Nesse caso, a equa¸cão (2.36) se torna x(n) = 1 2πj I C X(z)zn−1dz = Ki X k=1 res z=pk X(z)zn−1 , (2.39) onde X(z)zn−1 = _K N (z) t Y k=1 (z − pk)mk . (2.40)

Note que nem todos os Kt polos pk (com suas respectivas multiplicidades mk) de X(z)zn−1 _{entram no somat´orio da equa¸c˜ao (2.39). Este deve conter apenas os K}

i polos (com suas respectivas multiplicidades) que são envolvidos pelo contorno C. Também é importante observar que o contorno C precisa estar contido na região de convergência de X(z). Além disso, para calcular x(n) para n ≤ 0, temos de considerar os res´ıduos dos polos de X(z)zn−1 _{na origem.}

E X E M P L O 2.3

Determine a transformada z inversa de

X(z) = z

2

(z − 0,2)(z + 0,8), (2.41)

considerando que se trata da transformada z da resposta ao impulso de um sistema causal.

(12)

S O L U C¸ ˜A O

Deve-se notar que para se especificar completamente uma transformada z, sua região de convergência precisa ser fornecida. Neste exemplo, como o sistema é causal, podemos afirmar que sua resposta ao impulso é unilateral direita. Por-tanto, como foi visto na Se¸cão 2.2, a região de convergência de sua transformada z é caracterizada por |z| > r1. Isso implica que seus polos estão no interior da circunferência |z| = r1 e, portanto, r1 = max1≤k≤K{|pk|} = 0,8.

Precisamos, então, calcular x(n) = 1 2πj I C X(z)zn−1dz = 1 2πj I C zn+1 (z − 0,2)(z + 0,8)dz, (2.42) onde C é qualquer contorno fechado na região de convergência de X(z), isto é, envolvendo os polos z = 0,2 e z = −0,8, assim como os polos que ocorrem em z = 0 para n ≤ −2.

Como queremos usar o teorema dos res´ıduos, há dois casos distintos a considerar. Para n ≥ −1, há dois polos no interior de C: z = 0,2 e z = −0,8; já para para n ≤ −2, há três polos no interior de C: z = 0,2, z = −0,8 e z = 0. Portanto, temos que:

• Para n ≥ −1, a equa¸cão (2.39) leva a x(n) = res z=0,2 zn+1 (z − 0,2)(z + 0,8) + res z=−0,8 zn+1 (z − 0,2)(z + 0,8) = res z=0,2 _P 1(z) z − 0,2 + res z=−0,8 _P 2(z) z + 0,8 , (2.43) onde P1(z) = zn+1 z + 0,8 e P2(z) = zn+1 z − 0,2. (2.44) Pela equa¸cão (2.34), res z=0,2 zn+1 (z − 0,2)(z + 0,8) = P1(0, 2) = (0,2)n+1 (2.45) res z=−0,8 _zn+1 (z − 0,2)(z + 0,8) = P2(−0, 8) = −(−0,8)n+1 (2.46) e, então, x(n) = (0,2)n+1_{− (−0,8)}n+1_{, para n ≥ −1.} (2.47)

(13)

• Para n ≤ −2, tamb´em temos um polo com multiplicidade (−n − 1) em z = 0. Portanto, temos que adicionar o res´ıduo em z = 0 aos dois res´ıduos da equa¸c˜ao (2.47), de modo que

x(n) = (0,2)n+1 − (−0,8)n+1 _{+ res} z=0 _zn+1 (z − 0,2)(z + 0,8) = (0,2)n+1_{− (−0,8)}n+1 + res z=0 P3(z)zn+1 , (2.48) onde P3(z) = 1 (z − 0,2)(z + 0,8). (2.49)

Pela equa¸c˜ao (2.34), como o polo z = 0 tem multiplicidade mk = (−n − 1), temos que res z=0 P3(z)zn+1 = 1 (−n − 2)! d(−n−2)_P 3(z) dz(−n−2) z=0 = 1 (−n − 2)! d(−n−2) dz(−n−2) 1 (z − 0,2)(z + 0,8) z=0 = (−1)−n−2 (z − 0,2)−n−1 − (−1)−n−2 (z + 0,8)−n−1 z=0 = (−1)−n−2 (−0,2)n+1 − (0,8)n+1 = −(0,2)n+1 + (−0,8)n+1. (2.50)

Substituindo esse resultado na equa¸cão (2.48), temos que x(n) = (0,2)n+1 − (−0,8)n+1 − (0,2)n+1 + (−0,8)n+1 _{= 0,} para n ≤ −2. (2.51) Das equa¸cões (2.47) e (2.51), temos então que

x(n) =

(0,2)n+1

− (−0,8)n+1

u(n + 1). (2.52)

△ Pelo que vimos no exemplo anterior, o cálculo de res´ıduos para o caso dos múltiplos polos em z = 0 envolve o cálculo de derivadas de ordem n, que podem, com frequência, tornar-se bastante complicadas. Felizmente, esses casos podem ser facilmente resolvidos por meio de um truque simples, o qual descrevemos a seguir. Quando a integral em X(z) = 1 2πj I C X(z)zn−1_dz _(2.53)

(14)

envolve o cálculo de res´ıduos de polos múltiplos em z = 0, fazemos a mudan¸ca de variável z = 1/v. Se os polos de X(z) se localizam em z = pk, então os polos de X(1/v) se localizam em v = 1/pk. Além disso, se X(z) converge para r1 < |z| < r2, então X(1/v) converge para 1/r2 < |v| < 1/r1. A integral na equa¸cão (2.36), então, se torna

x(n) = 1 2πj I C X(z)zn−1_{dz = −} 1 2πj I C′ X 1 v v−n−1dv. (2.54)

Note que, se o contorno C é percorrido no sentido anti-horário em z, então o contorno C′ _{é percorrido no sentido hor´}_{ario em v. Substituindo o percurso C}′ por um percurso C′′ _{idêntico, porém no sentido anti-hor´}_{ario, o sinal da integral} se inverte, e a equa¸cão (2.54) se torna

x(n) = 1 2πj I C X(z)zn−1_{dz =} 1 2πj I C′′ X ₁ v v−n−1_dv. _(2.55)

Se X(z)zn−1 _{tem polos m´}_{ultiplos na origem, então X(1/v)v}−n−1 _{tem polos} m´_{ultiplos em |z| = ∞, os quais agora estão fora do contorno fechado C}′′_. Portanto, o cálculo da integral do lado direito da equa¸cão (2.55) evita o cálculo de derivadas de ordem n. Esse fato é ilustrado pelo Exemplo 2.4, que recalcula a transformada z inversa do Exemplo 2.3.

E X E M P L O 2.4

Calcule a transformada z inversa de X(z) do Exemplo 2.3 para n ≤ −2 usando o teorema dos res´ıduos com a mudan¸ca de vari´aveis da equa¸c˜ao (2.55).

S O L U C¸ ˜A O

Fazendo-se a mudan¸ca de vari´aveis z = 1/v, a equa¸c˜ao (2.42) se torna x(n) = 1 2πj I C zn+1 (z − 0,2)(z + 0,8)dz = 1 2πj I C′′ v−n−1 (1 − 0,2v)(1 + 0,8v)dv. (2.56)

A região de convergência do integrando à direita é |v| < 1/0,8 e, portanto, para n ≤ −2 não há polos no interior do contorno fechado C′′_{. Então, pela} equa¸cão (2.39), conclu´ımos que

x(n) = 0, para n ≤ −2, (2.57)

que, naturamente, ´e o mesmo resultado do Exemplo 2.3, por´em obtido de modo

(15)

2.3.2 Cálculo baseado na expansão em fra¸cões parciais

Usando o teorema dos res´ıduos, pode-se mostrar que a transformada z inversa de

X(z) = 1

(z − z0)k

, (2.58)

se sua regi˜_{ao de convergência é |z| > |z}0|, é a sequência unilateral direita

x(n) = (n − 1)! (n − k)!(k − 1)!z n−k 0 u(n − k) = ! n − 1 k − 1 " zn−k₀ _{u(n − k).} (2.59)

Se a região de convergência da transformada z na equa¸c˜_{ao (2.58) é |z| < |z}0|, sua transformada z inversa é a sequência unilateral esquerda

x(n) = − (n − 1)! (n − k)!(k − 1)!z n−k 0 u(−n + k − 1) = − ! n − 1 k − 1 " z₀n−k_{u(−n + k − 1).} (2.60) Usando essas duas rela¸cões, o cálculo da transformada z inversa de qualquer fun¸cão X(z) que possa ser expressa como uma razão de polinômios se torna direto, a partir do momento em que se obtenha a expansão de X(z) em fra¸cões parciais.

Se X(z) = N (z)/D(z) tem K polos distintos pk, para k = 1, 2, . . . , K, cada um com multiplicidade mk, então a expansão em fra¸cões parciais de X(z) se faz como a seguir (Kreyszig, 1979):

X(z) = M−L X l=0 glzl + K X k=1 mk X i=1 cki (z − pk)i , (2.61)

onde M e L s˜ao os graus do numerador e do denominador de X(z), respectiva-mente.

Os coeficientes gl, para l = 0, 1, . . . , M − L, podem ser obtidos pelo quociente entre os polinˆomios N (z) e D(z), da seguinte forma:

X(z) = N (z) D(z) = M−L X l=0 glzl+ C(z) D(z), (2.62)

onde o grau de C(z) ´e menor que o grau de D(z). Claramente, se M < L, ent˜ao gl = 0, ∀l.

(16)

Os coeficientes cki s˜ao cki = 1 (mk − i)! d(mk−i)[(z − p k)mkX(z)] dz(mk−i) z=pk . (2.63)

No caso de um polo simples, ck1 ´e dado por

ck1 = (z − pk)X(z)|_z=p_k. (2.64)

Como a transformada z é linear e a transformada z inversa de cada um dos termos cki/(z − pk)i pode ser calculada através da equa¸cão (2.59) ou da equa¸cão (2.60) (conforme o polo esteja dentro ou fora da região de convergência de X(z)), então a transformada z inversa segue diretamente da equa¸cão (2.61).

E X E M P L O 2.5

Resolva o Exemplo 2.3 usando a expans˜ao em fra¸c˜oes parciais de X(z).

S O L U C¸ ˜A O Formamos X(z) = z 2 (z − 0,2)(z + 0,8) = g0+ c1 z − 0,2 + c2 z + 0,8, (2.65) onde g0 = lim |z|→∞X(z) = 1, (2.66)

e, usando a equa¸c˜ao (2.34), encontramos c1 = z2 z + 0,8 z=0,2 = (0,2)2 (2.67) c2 = z2 z − 0,2 z=−0,8 = −(0,8)2, (2.68) de forma que X(z) = 1 + (0,2) 2 z − 0,2 − (0,8)2 z + 0,8. (2.69)

(17)

Como X(z) é a transformada z da resposta ao impulso de um sistema causal, então temos que os termos dessa equa¸cão correspondem a uma série de potências unilateral direita. Logo, as transformadas z inversas das três parcelas são:

Z−1{1} = δ(n) (2.70) Z−1 _(0,2)2 z − 0,2 = Z−1 _(0,2)2_z−1 1 − 0,2z−1 = Z−1 ( 0,2 ∞ X n=1 (0,2z−1)n ) = 0,2(0,2)n_{u(n − 1)} = (0,2)n+1_{u(n − 1)} (2.71) Z−1 −(0,8)2 z + 0,8 = Z−1 −(0,8)2_z−1 1 + 0,8z−1 = Z−1 ( 0,8 ∞ X n=1 (−0,8z−1)n ) = 0,8(−0,8)nu(n − 1) = −(−0,8)n+1u(n − 1). (2.72)

Somando os três termos anteriores (equa¸cões (2.70)–(2.72)), temos que a transformada z inversa de X(z) é

x(n) = δ(n) + (0,2)n+1_{u(n − 1) − (−0,8)}n+1_{u(n − 1)} = (0,2)n+1

u(n) − (−0,8)n+1_u(n). _(2.73)

△

E X E M P L O 2.6

Calcule a transformada z inversa unilateral direita de

X(z) = 1

z2 _{− 3z + 3}. (2.74)

S O L U C¸ ˜A O

Fazendo a expans˜ao de X(z) em fra¸c˜oes parciais, temos que

X(z) = 1 (z −√3ejπ/6_{)(z −}√_3e−jπ/6₎ = A z −√3ejπ/6 + B z −√3e−jπ/6, (2.75)

(18)

onde A = 1 z −√3e−jπ/6 z=√3ejπ/6 = √ 1 3ejπ/6₋√_3e−jπ/6 = 1 2j√3 senπ₆ = 1 j√3, (2.76) B = 1 z −√3ejπ/6 z=√3e−jπ/6 = √ 1 3e−jπ/6₋√_3ejπ/6 = 1 −2j√3 sen π 6 = − 1 j√3; (2.77) logo, X(z) = 1 j√3 1 z −√3ejπ/6 − 1 z −√3e−jπ/6 . (2.78)

Pela equa¸cão (2.59), temos que x(n) = 1 j√3 h (√3ejπ/6)n−1_{− (}√3e−jπ/6)n−1i_{u(n − 1)} = 1 j√3 h (√3)n−1ej(n−1)π/6_{− (}√3)n−1e−j(n−1)π/6i_{u(n − 1)} = 1 j√3( √ 3)n−12j senh_{(n − 1)}π 6 i u(n − 1) = 2(√3)n−2senh_{(n − 1)}π 6 i u(n − 1). (2.79) △ 2.3.3 Cálculo baseado na divisão polinomial

Dada X(z) = N (z)/D(z), podemos efetuar a divisão longa do polinômio N (z) pelo polinômio D(z) e obter os valores de x(n) em n = k como os coeficientes de z−k_{. Deve-se notar que isso só é poss´ıvel no caso de sequências unilaterais.} Se a sequência é direita, então os polinômios devem ser fun¸cões de z. Se a sequência é esquerda, os polinômios devem ser fun¸cões de z−1_{. Isso fica claro} com os Exemplos 2.7 e 2.8.

E X E M P L O 2.7

Resolva o Exemplo 2.3 usando divis˜ao polinomial.

S O L U C¸ ˜A O

Como X(z) é a transformada z de uma sequência unilateral direita (resposta ao impulso causal), podemos expressá-la como uma razão de polinômios em z, isto é, X(z) = z 2 (z − 0,2)(z + 0,8) = z2 z2_{+ 0,6z − 0,16}. (2.80)

(19)

Então, a divisão se efetua como z2 z2+ 0,6z− 0,16 −z2 − 0,6z + 0,16 1_{− 0,6z}−1+ 0,52z−2− 0,408z−3+· · · − 0,6z + 0,16 0,6z + 0,36− 0,096z−1 0,52− 0,096z−1 − 0,52 − 0,312z−1_{+ 0,0832z}−2 − 0,408z−1_{+ 0,0832z}−2 . . . e, portanto, X(z) = 1 + (−0,6)z−1 + (0,52)z−2_{+ (−0,408)z}−3 _{+ · · · .} (2.81) Isso é o mesmo que dizer que

x(n) =

(

0, para n < 0

1, −0,6, 0,52, −0,408, . . . para n = 0, 1, 2, . . . . (2.82) A principal dificuldade com esse método é encontrar uma expressão em forma fechada para x(n). No caso que acabamos de ver, podemos verificar que, de fato, a sequência obtida corresponde à equa¸cão (2.52). _△

E X E M P L O 2.8

Encontre a transformada z inversa de X(z) no Exemplo 2.3 usando divisão polinomial, supondo que a sequência x(n) é unilateral esquerda.

S O L U C¸ ˜A O

Como X(z) é a transformada z de uma sequência unilateral esquerda, podemos expressá-la como

X(z) = z

2

(z − 0,2)(z + 0,8) =

1

(20)

Então, a divisão se efetua como 1 −0,16z−2_{+ 0,6z}−1_{+ 1} −1 + 3,75z + 6,25z2 −6,25z2− 23,4375z3− 126,953 125z4− · · · 3,75z + 6,25z2 −3,75z + 14,0625z2_{+ 23,4375z}3 20,3125z2+ 23,4375z3 .. . e fornece X(z) = −6,25z2 − 23,4375z3 − 126,953 125z4 − · · · , (2.84) implicando que x(n) = ( . . . , −126,953 125, −23,4375, −6,25, para n = . . . , −4, −3, −2 0, _{para n > −2.} (2.85) △ 2.3.4 Cálculo baseado na expansão em série

Quando a transformada z não é expressa por uma razão de polinômios, podemos tentar efetuar sua inversão usando uma expansão em série em torno de z−1 _{= 0} ou z = 0, dependendo de se a região de convergência inclui |z| = ∞ ou z = 0. Para sequências unilaterais direitas, realizamos a expansão de X(z) usando a variável z−1 _{em torno de z}−1 _{= 0. A expansão em série de Taylor de F (x) em} torno de x = 0 é dada por

F (x) = F (0) + x dF dx x=0 + x 2 2! d2_F dx2 x=0 + x 3 3! d3_F dx3 x=0 + · · · = ∞ X n=0 xn n! dn_F dxn x=0 . (2.86)

Se fazemos x = z−1_{, então essa expansão tem a forma da transformada z de} uma sequência unilateral direita.

E X E M P L O 2.9

Encontre a transformada z inversa de X(z) = ln

₁

1 − z−1

. (2.87)

(21)

S O L U C¸ ˜A O

Expandindo X(z) como na equa¸c˜ao (2.86), usando z−1 _{como a vari´}_{avel, temos} que X(z) = ∞ X n=1 z−n n . (2.88)

Pode-se constatar que esta s´erie converge para |z| > 1, uma vez que, pela equa¸c˜ao (2.14), lim n→∞ z−n n 1/n = z−1 _lim n→∞ 1 n 1/n = z−1_. _(2.89)

Portanto, a transformada z inversa de X(z) ´e, por inspe¸c˜ao, x(n) = 1

nu(n − 1). (2.90)

△

E X E M P L O 2.10

(a) Calcule a transformada z inversa unilateral direita correspondente `a fun¸c˜ao descrita a seguir: H(z) = arctg z−1 (2.91) sabendo que dk_{arctg x} dxk (0) = ( 0, k = 2l (−1)(k−1)/2_{(k − 1)!, k = 2l + 1,} (2.92) com l ≥ 0.

(b) A sequência resultante pode representar a resposta ao impulso de um sistema estável? Por quê?

S O L U C¸ ˜A O

(a) Dadas a série definida na equa¸cão (2.86) e a equa¸cão (2.92), a série para a fun¸cão arctg pode ser expressa como

arctg x = x − x 3 3 + x5 5 + · · · + (−1)l_x(2l+1) 2l + 1 + · · · (2.93) e, ent˜ao, arctg z−1 = z−1₋ z −3 3 + z−5 5 + · · · + (−1)l_z−(2l+1) 2l + 1 · · · . (2.94)

(22)

Como resultado, a sequˆencia temporal correspondente ´e dada por h(n) =    0, n = 2l (−1)(n−1)/2 n , n = 2l + 1, (2.95) com l ≥ 0.

(b) Para que uma sequência h(n) represente a resposta ao impulso de um sistema estável, ela deve ser absolutamente somável. Inicialmente, observamos que

∞ X n=1 1 n = ∞ X l=1 1 2l − 1 + 1 2l < 2 ∞ X l=1 1 2l − 1. (2.96) Mas como P∞

n=11/n ´e ilimitada, ent˜ao

P∞

n=0|h(n)| =

P∞

l=1[1/(2l − 1)] também é ilimitada, e portanto o sistema não é estável.

Se tivéssemos lan¸cado mão do teste da condi¸cão suficiente lim

n→∞|h(n)| 1/n

< 1, (2.97)

ter´ıamos encontrado, pela equa¸c˜ao (2.95): lim n→∞|h(n)| 1/n = lim n→∞ (−1)(n−1)/2 n 1/n = lim n→∞ 1 n 1/n = 1, (2.98)

o que nada nos permitiria concluir.

△

2.4 Propriedades da transformada z

Nesta se¸c˜ao, enunciamos algumas das propriedades mais importantes da trans-formada z.

2.4.1 Linearidade

Dadas duas sequências x1(n) e x2(n) e duas constantes arbitrárias k1 e k2 tais que x(n) = k1x1(n) + k2x2(n), então

X(z) = k1X1(z) + k2X2(z), (2.99)

com região de convergência dada, no m´ınimo, pela interse¸cão das regiões de convergência de X1(z) e X2(z).

(23)

P R O V A X(z) = ∞ X n=−∞ (k1x1(n) + k2x2(n))z−n = k1 ∞ X n=−∞ x1(n)z−n + k2 ∞ X n=−∞ x2(n)z−n = k1X1(z) + k2X2(z). (2.100) 2.4.2 Revers˜ao no tempo x(−n) ←→ X(z−1_), _(2.101)

e se a região de convergência de X(z) é r1 < |z| < r2, então a região de convergência de Z{x(−n)} é 1/r2 < |z| < 1/r1. P R O V A Z{x(−n)} = ∞ X n=−∞ x(−n)z−n ₌ ∞ X m=−∞ x(m)zm = ∞ X m=−∞ x(m)(z−1)−m = X(z−1), (2.102)

implicando que a região de convergência de Z{x(−n)} é r1 < |z−1| < r2, o que é equivalente a 1/r2 < |z| < 1/r1.

2.4.3 Teorema do deslocamento no tempo

x(n + l) ←→ zl_X(z), _(2.103)

onde l é um inteiro. A região de convergência de Z{x(n +l)} é a mesma de X(z), exceto pela poss´ıvel inclusão ou exclusão de z = 0 e/ou |z| = ∞.

P R O V A

Por defini¸c˜ao, Z{x(n + l)} =

∞

X

n=−∞

(24)

Fazendo a mudan¸ca de vari´avel m = n + l, temos que Z{x(n + l)} = ∞ X m=−∞ x(m)z−(m−l) = zl ∞ X m=−∞ x(m)z−m = zlX(z), (2.105) notando que a multiplica¸c˜ao por zl _{pode incluir ou excluir polos em z = 0 e} |z| = ∞.

2.4.4 Multiplica¸c˜ao por uma exponencial

α−n_{x(n) ←→ X(αz),} (2.106)

e se a região de convergência de X(z) é r1 < |z| < r2, então a região de convergência de Z{α−n_{x(n)} é r} 1/|α| < |z| < r2/|α|. P R O V A Z{α−nx(n)} = ∞ X n=−∞ α−nx(n)z−n = ∞ X n=−∞ x(n)(αz)−n = X(αz); (2.107) o somatório converge para r1 < |αz| < r2, o que é equivalente a r1/|α| < |z| < r2/|α|.

2.4.5 Diferencia¸c˜ao complexa nx(n) ←→ −zdX(z)

dz , (2.108)

e a região de convergência de Z{nx(n)} é a mesma de X(z), isto é, r1 < |z| < r2.

P R O V A Z{nx(n)} = ∞ X n=−∞ nx(n)z−n = z ∞ X n=−∞ nx(n)z−n−1 = −z ∞ X n=−∞ x(n) _−nz−n−1 = −z ∞ X n=−∞ x(n)dz −n dz = −zdX(z) dz . (2.109)

(25)

Pelas equa¸cões (2.16) e (2.17), temos que se a região de convergência de X(z) é r1 < |z| < r2, então r1 = lim n→∞|x(n)| 1/n (2.110) r2 = lim n→−∞|x(n)| 1/n . (2.111)

Portanto, se a regi˜_{ao de convergˆencia de Z{nx(n)} ´e dada por r}′

1 < |z| < r2′, então r₁′ = lim n→∞|nx(n)| 1/n = lim n→∞|n| 1/n _lim n→∞|x(n)| 1/n = lim n→∞|x(n)| 1/n = r1 (2.112) r₂′ = lim n→−∞|nx(n)| 1/n = lim n→−∞|n| 1/n _lim n→−∞|x(n)| 1/n = lim n→−∞|x(n)| 1/n = r2, (2.113) implicando que a região de convergência de Z{nx(n)} é a mesma de X(z).

2.4.6 Conjuga¸c˜ao complexa

x∗_{(n) ←→ X}∗(z∗). (2.114)

As regiões de convergência de X(z) e Z{x∗_{(n)} são iguais.}

P R O V A Z{x∗(n)} = ∞ X n=−∞ x∗(n)z−n = ∞ X n=−∞ h x(n) (z∗)−ni∗ = # _∞ X n=−∞ x(n) (z∗₎−n $∗ = X∗(z∗) , (2.115)

de onde segue trivialmente que a regi˜_{ao de convergˆencia de Z{x}∗_{(n)} ´e a mesma} de X(z).

(26)

2.4.7 Sequˆencias reais e imagin´arias Re{x(n)} ←→ 1 2[X(z) + X ∗_(z∗_)] _(2.116) Im{x(n)} ←→ 1 2j[X(z) − X ∗_(z∗_{)] ,} _(2.117)

onde Re{x(n)} e Im{x(n)} são as partes real e imaginária da sequência x(n), respectivamente. As regi˜_{oes de convergência de Z{Re{x(n)}} e Z{Im{x(n)}}} contêm a de X(z). P R O V A Z{Re{x(n)}} = Z 1 2[x(n) + x ∗_(n)] = 1 2[X(z) + X ∗_(z∗_)] _(2.118) Z{Im{x(n)}} = Z 1 2j[x(n) − x ∗_(n)] = 1 2j[X(z) − X ∗_(z∗_{)] ,} _(2.119)

com as respectivas regiões de convergência seguindo trivialmente dessas ex-pressões: no m´ınimo iguais à de X(z) (por sua vez igual à de X∗_(z∗_)).

2.4.8 Teorema do valor inicial Se x(n) = 0 para n < 0, então x(0) = lim z→∞X(z). (2.120) P R O V A Se x(n) = 0 para n < 0, então lim z→∞X(z) = limz→∞ ∞ X n=0 x(n)z−n = ∞ X n=0 lim z→∞x(n)z −n _{= x(0).} _(2.121) 2.4.9 Teorema da convolu¸cão x1(n) ∗ x2(n) ←→ X1(z)X2(z). (2.122)

A regi˜_{ao de convergência de Z{x}1(n) ∗ x2(n)} é pelo menos a interse¸cão das regiões de convergência de X1(z) e X2(z). Isso porque se um polo de X1(z) é cancelado por um zero de X2(z) ou vice-versa, então a região de convergência de Z{x1(n) ∗ x2(n)} pode incorporar por¸cões do plano z que não fazem parte das regiões de convergência de X1(z) ou X2(z).

(27)

P R O V A Z{x1(n) ∗ x2(n)} = Z ( _∞ X l=−∞ x1(l)x2(n − l) ) = ∞ X n=−∞ # _∞ X l=−∞ x1(l)x2(n − l) $ z−n = ∞ X l=−∞ x1(l) ∞ X n=−∞ x2(n − l)z−n = # _∞ X l=−∞ x1(l)z−l $# _∞ X n=−∞ x2(n)z−n $ = X1(z)X2(z). (2.123)

2.4.10 Produto de duas sequências x1(n)x2(n) ←→ 1 2πj I C1 X1(v)X2 z v v−1dv = 1 2πj I C2 X1 z v X2(v)v−1dv, (2.124) onde C1é um contorno contido na interse¸cão das regiões de convergência de X1(v) e X2(z/v), e C2 é um contorno contido na interse¸cão das regiões de convergência de X1(z/v) e X2(v). Assume-se que ambos, C1 e C2, são percursos anti-horários. Se a região de convergência de X1(z) é r1 < |z| < r2 e a região de convergência de X2(z) é r1′ < |z| < r2′, então a região de convergência de Z{x1(n)x2(n)} é

r1r1′ < |z| < r2r2′. (2.125)

P R O V A

Expressando x2(n) como fun¸cão de sua transformada z, X2(z) (equa¸cão (2.36)), mudando a ordem entre a integra¸cão e o somatório e usando a defini¸cão da transformada z, temos que

Z{x1(n)x2(n)} = ∞ X n=−∞ x1(n)x2(n)z−n = ∞ X n=−∞ x1(n) 1 2πj I C2 X2(v)v(n−1)dv z−n = 1 2πj I C2 ∞ X n=−∞ x1(n)z−nv(n−1)X2(v)dv

(28)

= 1 2πj I C2 # _∞ X n=−∞ x1(n) v z n $ X2(v)v−1dv = 1 2πj I C2 X1 z v X2(v)v−1dv. (2.126)

Se a região de convergência de X1(z) é r1 < |z| < r2, então a região de convergência de X1(z/v) é

r1 < |z|

|v| < r2, (2.127)

o que ´e equivalente a |z|

r2 < |v| < |z|

r1

. (2.128)

Além disso, se a região de convergência de X2(v) é r1′ < |v| < r′2, então o contorno C2 tem que se situar dentro da interse¸cão das duas regiões de convergência, isto é, C2 tem que estar contido na região

max |z| r2 , r′ 1 < |v| < min |z| r1 , r′ 2 . (2.129)

Portanto, precisamos ter min |z| r1 , r₂′ > max |z| r2 , r₁′ , (2.130)

o que ´e verdade se r1r1′ < |z| < r2r′2.

A equa¸cão (2.124) também é conhecida como teorema da convolu¸cão com-plexa (Antoniou, 1993; Oppenheim & Schafer, 1975). Embora à primeira vista ela não tenha a forma de uma convolu¸cão, se expressamos z = ρ1ejθ1 e v = ρ2ejθ2 na forma polar, então ela pode ser reescrita como

Z{x1(n)x2(n)}|z=ρ1ejθ1 = 1 2π Z π −π X1 _ρ 1 ρ2 ej(θ1−θ2) X2 ρ2ejθ2 dθ2, (2.131) que tem a forma de uma convolu¸c˜ao em θ1.

2.4.11 Teorema de Parseval ∞ X n=−∞ x1(n)x∗2(n) = 1 2πj I C X1(v)X2∗ ₁ v∗ v−1dv, (2.132)

(29)

onde x∗ _{denota o complexo conjugado de x e C é um contorno contido na} interse¸cão das regiões de convergência de X1(v) e X2∗(1/v∗).

P R O V A

Come¸camos observando que ∞ X n=−∞ x(n) = X(z)|z=1. (2.133) Portanto, ∞ X n=−∞ x1(n)x∗2(n) = Z{x1(n)x∗2(n)}|z=1. (2.134)

Usando a equa¸cão (2.124) e a propriedade da conjuga¸cão complexa dada na equa¸cão (2.114), temos que a equa¸cão (2.134) implica que

∞ X n=−∞ x1(n)x∗2(n) = 1 2πj I C X1(v)X2∗ ₁ v∗ v−1_dv. _(2.135)

2.4.12 Tabela de transformadas z b´asicas

A Tabela 2.1 contém algumas sequências comumente usadas e suas transformadas z correspondentes, juntamente com as regiões de convergência associadas. Embora ela só contenha as transformadas z de sequências unilaterais direitas, os resultados para sequências unilaterais esquerdas podem ser facilmente obtidos fazendo-se y(n) = x(−n) e aplicando-se a propriedade da reversão no tempo, dada na Se¸cão 2.4.2.

E X E M P L O 2.11

Calcule a convolu¸cão linear das sequências da Figura 2.3 usando a transformada z. Represente num gráfico a sequência resultante.

S O L U C¸ ˜A O

Pela Figura 2.3, podemos observar que as transformadas z das duas sequˆencias s˜ao X1(z) = z − 1 − 1 2z −1 _{e X} 2(z) = 1 + z−1 − 1 2z −2_. _(2.136)

(30)

Tabela 2.1 Transformadas z de sequências comumente usadas. x(n) X(z) Região de convergência δ(n) 1 z ∈ C u(n) z (z − 1) |z| > 1 (−a)n u(n) z (z + a) |z| > a nu(n) z (z − 1)2 |z| > 1 n2u(n) z(z + 1) (z − 1)3 |z| > 1 eanu(n) z (z − ea₎ |z| > |e a | n − 1 k − 1 ! ea(n−k)u(n − k) 1 (z − ea₎k |z| > |e a | cos(ωn)u(n) z[z − cos(ω)] z2_{− 2z cos(ω) + 1} |z| > 1 sen(ωn)u(n) z sen(ω) z2_{− 2z cos(ω) + 1} |z| > 1 1 nu(n − 1) ln z z − 1 |z| > 1 sen(ωn + θ)u(n) z 2_{sen(θ) + z sen(ω − θ)} z2_{− 2z cos(ω) + 1} |z| > 1 eancos(ωn)u(n) z 2_{− ze}a cos(ω) z2_{− 2ze}a_{cos(ω) + e}2a |z| > |e a | eansen(ωn)u(n) ze a sen(ω) z2_{− 2ze}a_{cos(ω) + e}2a |z| > |e a |

De acordo com a propriedade vista na Se¸cão 2.4.9, a transformada z da convolu¸cão é o produto das transformadas z, e então

Y (z) = X1(z)X2(z) = z − 1 − 1 2z −1 1 + z−1₋ 1 2z −2 = z + 1 − 1₂z−1 _{− 1 − z}−1 + 1 2z −2 ₋ 1 2z −1₋ 1 2z −2₊ 1 4z −3 = z − 2z−1 ₊ 1 4z −3_. _(2.137)

(31)

−2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 2 −2 −1 0 1 2 3 4 S eq u ˆe n ci a 1 n −2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 2 −1 0 1 2 3 4 5 S eq u ˆe n ci a 2 n (a) (b)

Figura 2.3 Sequˆencias a serem convolu´ıdas no Exemplo 2.11 usando a transformada z.

−2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 2 −1 0 1 2 3 4 5 S eq u ˆe n ci a 3 n

Figura 2.4 Sequˆencia resultante do Exemplo 2.11.

No dom´ınio do tempo, o resultado ´e

y(−1) = 1, y(0) = 0, y(1) = −2, y(2) = 0, y(3) = 1₄, y(4) = 0, . . . , (2.138)

representado na Figura 2.4. _△

E X E M P L O 2.12

Se X(z) ´e a transformada z da sequˆencia

x(0) = a0, x(1) = a1, x(2) = a2, . . . , x(i) = ai, . . . , (2.139) determine a transformada z da sequˆencia

(32)

y(−2) = a0, y(−3) = −a1b, y(−4) = −2a2b2, . . . , y(−i − 2) = −iaibi, . . . (2.140) como fun¸cão de X(z). S O L U Ç Ã O Temos que X(z) e Y (z) são X(z) = a0 + a1z−1 + a2z−2 + · · · + aiz−i+ · · · (2.141) Y (z) = a0z2 − a1bz3 − 2a2b2z4 − · · · − iaibizi+2 − · · · . (2.142) Come¸camos resolvendo esse problema usando a propriedade vista na Se¸cão 2.4.5 pela qual se x1(n) = nx(n), então

X1(z) = −z dX(z) dz = −z −a1z−2− 2a2z−3 − 3a3z−4− · · · − iaiz−i−1 − · · · = a1z−1+ 2a2z−2 + 3a3z−3 + · · · + iaiz−i + · · · . (2.143) O próximo passo é criar x2(n) = bnx1(n). Da propriedade vista na Se¸cão 2.4.4, X2(z) = X1

z

b

= a1bz−1+ 2a2b2z−2+ 3a3b3z−3+ · · · + iaibiz−i+ · · · . (2.144)

Ent˜ao, geramos X3(z) = z−2X2(z) como a seguir:

X3(z) = a1bz−3+ 2a2b2z−4 + 3a3b3z−5+ · · · + iaibiz−i−2 + · · · , (2.145) e fazemos X4(z) = X3(z−1), de forma que

X4(z) = a1bz3+ 2a2b2z4+ 3a3b3z5+ · · · + iaibizi+2+ · · · . (2.146) A transformada Y (z) da sequência desejada é, então,

Y (z) = a0z2 − a1bz3 − 2a2b2z4 − 3a3b3z5 − · · · − iaibizi+2− · · ·

(33)

Usando as equa¸c˜oes de (2.143) a (2.147), podemos expressar o resultado desejado como Y (z) = a0z2 − X4(z) = a0z2 − X3(z−1) = a0z2 − z2X2(z−1) = a0z2 − z2X1 _z−1 b = a0z2 − z2 −zdX(z)_dz z=(z−1_)/b = a0z2 + z b dX(z) dz z=(z−1_)/b . (2.148) △

2.5 Fun¸

c˜

oes de transferˆ

encia

Como vimos no Cap´ıtulo 1, um sistema linear no tempo discreto pode ser caracterizado por uma equa¸cão de diferen¸cas. Nesta se¸cão, mostramos como a transformada z pode ser usada para resolver equa¸cões de diferen¸cas e, portanto, caracterizar sistemas lineares.

A forma geral de uma equa¸cão de diferen¸cas associada a um sistema linear é dada pela equa¸cão (1.63), que reescrevemos aqui por conveniência:

N X i=0 aiy(n − i) − M X l=0 blx(n − l) = 0. (2.149)

Aplicando a transformada z em ambos os lados e usando a propriedade da linearidade, encontramos que

N X i=0 aiZ{y(n − i)} − M X l=0 blZ{x(n − l)} = 0. (2.150)

Aplicando o teorema do deslocamento no tempo, obtemos N X i=0 aiz−iY (z) − M X l=0 blz−lX(z) = 0. (2.151)

Portanto, para um sistema linear, dados a representa¸cão X(z) da entrada pela transformada z e os coeficientes de sua equa¸cão de diferen¸cas, podemos usar a equa¸cão (2.151) para encontrar Y (z), a transformada z da sa´ıda. Aplicando a

(34)

rela¸c˜ao da transformada z inversa dada na equa¸c˜ao (2.36), a sa´ıda y(n) pode ser calculada para todo n.1

Fazendo a0 = 1, sem perda de generalidade, podemos ent˜ao definir

H(z) = Y (z) X(z) = M X l=0 blz−l 1 + N X i=1 aiz−i (2.152)

como a fun¸c˜ao de transferˆencia do sistema relacionando a sa´ıda Y (z) com a entrada X(z).

Aplicando o teorema da convolu¸cão à equa¸cão (2.152), temos que

Y (z) = H(z)X(z) ←→ y(n) = h(n) ∗ x(n), (2.153)

isto é, a fun¸cão de transferência do sistema é a transformada z de sua resposta ao impulso. De fato, as equa¸cões (2.151) e (2.152) são as expressões no dom´ınio da transformada z equivalentes à soma de convolu¸cão quando o sistema é descrito por uma equa¸cão de diferen¸cas.

A equa¸cão (2.152) dá a fun¸cão de transferência para o caso geral de filtros recursivos (IIR). Para filtros não-recursivos (FIR), todos os termos ai = 0, para i = 1, 2, . . . , N , e a fun¸cão de transferência se simplifica para

H(z) = M

X

l=0

blz−l. (2.154)

Fun¸cões de transferência são amplamente utilizadas para caracterizar sistemas lineares no tempo discreto. Podemos descrever uma fun¸cão de transferência através de seus polos pi e zeros zl, produzindo a forma

H(z) = H0 M Y l=1 (1 − z−1zl) N Y i=1 (1 − z−1pi) = H0zN −M M Y l=1 (z − zl) N Y i=1 (z − pi) . (2.155)

Como foi discutido na Se¸cão 2.2, para um sistema causal estável a região de convergência da transformada z de sua resposta ao impulso tem que incluir a

1 _{Deve-se notar que, como a equa¸c˜}_{ao (2.151) usa transformadas z, que consistem em somat´}_orios

para −∞ < n < ∞, então o sistema tem que ser descrit´ıvel por uma equa¸cão de diferen¸cas para −∞< n < ∞_{. Esse ´}_{e o caso somente para sistemas inicialmente relaxados, isto ´}_{e, sistemas que n˜}_ao produzem sa´ıda se sua entrada for zero para −∞ < n < ∞. No nosso caso, isso não restringe a aplicabilidade da equa¸cão (2.151), porque só estamos interessados em sistemas lineares, os quais, como foi visto no Cap´ıtulo 1, têm que estar inicialmente relaxados.

(35)

circunferência unitária. Na verdade, esse resultado é mais geral, uma vez que para

qualquersistema estável a região de convergência tem que incluir necessariamente a circunferência unitária. Podemos constatar isso observando que para z0 sobre a circunferência unitária (|z0| = 1), temos

|H(z0)| = ∞ X n=−∞ z−n₀ h(n) ≤ ∞ X n=−∞ |z₀−nh(n)| = ∞ X n=−∞ |h(n)| < ∞, (2.156) o que implica que H(z) converge sobre a circunferência unitária. Como no caso de um sistema causal a região de convergência da fun¸cão de transferência é definida por |z| > r1, então todos os polos de um sistema causal estável têm que estar no interior do c´ırculo unitário. Para um sistema não-causal com resposta ao impulso unilateral esquerda, como a região de convergência é definida por |z| < r2, então todos os seus polos têm que estar fora do c´ırculo unitário, com a poss´ıvel exce¸cão de um polo em z = 0.

Na próxima se¸cão, apresentamos um método numérico para avaliar a estabi-lidade de um sistema linear sem determinar explicitamente as posi¸cões de seus polos.

2.6 Estabilidade no dom´ınio z

Nesta se¸cão, apresentamos um método para determinar se as ra´ızes de um polinômio se situam no interior do c´ırculo unitário do plano complexo. Esse método pode ser usado para avaliar a estabilidade BIBO de um sistema causal no tempo discreto.2

Dado um polinˆomio de ordem N em z

D(z) = aN + aN −1z + · · · + a0zN (2.157)

com a0 > 0, a condi¸cão necessária e suficiente para que seus zeros (os polos da fun¸cão de transferência que se quer avaliar) estejam no interior do c´ırculo unitário do plano z é dada pelo seguinte algoritmo:

(i) Fa¸ca D0(z) = D(z).

(ii) Para k = 0, 1, . . . , (N − 2): (a) Forme o polinˆomio Di

k(z) tal que

D_ki(z) = zN +kDk(z−1). (2.158)

2 _H´_{a v´}_{arios m´}_{etodos para essa finalidade descritos na literatura (Jury, 1973). Optamos por apresentar}

este método em particular porque ele se baseia em divisão polinomial, que consideramos uma ferramenta muito importante na análise e no projeto de sistemas no tempo discreto.

(36)

(b) Calcule αk e Dk+1(z) tais que

Dk(z) = αkDki(z) + Dk+1(z), (2.159)

onde os termos em zj _{de D}

k+1(z), para j = 0, 1, . . . , k, são nulos. Em outras palavras, Dk+1(z) é o resto da divisão de Dk(z) por Dki(z), quando efetuada a partir dos termos de menor grau.

(iii) Todas as ra´ızes de D(z) estão no interior do c´ırculo unitário se as seguintes condi¸cões são atendidas:

• D(1) > 0;

• D(−1) > 0 para N par e D(−1) < 0 para N ´ımpar; • |αk| < 1, para k = 0, 1, . . . , (N − 2).

E X E M P L O 2.13

Teste a estabilidade do sistema causal cuja fun¸cão de transferência possui no denominador o polinômio D(z) = 8z4_{+ 4z}3 _{+ 2z}2 _{− z − 1.} S O L U Ç Ã O Se D(z) = 8z4_{+ 4z}3_{+ 2z}2 _{− z − 1, então temos:} • D(1) = 12 > 0 • N = 4 é par e D(−1) = 6 > 0 • Cálculo de α0, α1, e α2: D0(z) = D(z) = 8z4+ 4z3+ 2z2 − z − 1 (2.160) D₀i(z) = z4(8z−4 + 4z−3+ 2z−2 − z−1− 1) = 8 + 4z + 2z2− z3 − z4. (2.161) Como D0(z) = α0D0i(z) + D1(z): −1 − z + 2z2 + 4z3+ 8z4 8 + 4z + 2z2− z3 − z4 +1 + 1₂z + 1₄z2− ₈1z3− 1₈z4 −1₈ −1 2z + 9 4z 2₊ 31 8 z 3₊ 63 8 z 4 e portanto α0 = −1/8 e D1(z) = − 1 2z + 9 4z 2₊ 31 8 z 3 ₊ 63 8 z 4 _(2.162) D₁i(z) = z4+1 −1 2z −1 ₊ 9 4z −2₊ 31 8 z −3 ₊ 63 8 z −4 = −1 2z 4 ₊ 9 4z 3₊ 31 8 z 2 ₊ 63 8 z. (2.163)

(37)

Como D1(z) = α1D1i(z) + D2(z): −12z + 9 4z 2₊ 31 8 z 3₊ 63 8 z 4 63 8 z + 31 8 z 2₊ 9 4z 3 − 12z 4 +1 2z + 31 126z 2₊ 1 7z 3 − 632 z 4 −634 2,496z2+ 4,018z3+ 7,844z4 e portanto α1 = −4/63 e D2(z) = 2,496z2 + 4,018z3 + 7,844z4 (2.164) D₂i(z) = z4+2(2,496z−2 + 4,018z−3 + 7,844z−4) = 2,496z4 + 4,018z3 + 7,844z2. (2.165)

Como D2(z) = α2D2i(z) + D3(z), temos que α2 = 2,496/7,844 = 0,3182. Logo: |α0| = 1 8 < 1, |α1| = 4 63 < 1, |α2| = 0,3182 < 1 (2.166) e, consequentemente, o sistema ´e est´avel.

△

E X E M P L O 2.14

Dado o polinômio D(z) = z2_{+ az + b, determine as escolhas para a e b tais que} ele represente o denominador de um sistema no tempo discreto causal estável. Represente graficamente a × b, destacando a região de estabilidade.

000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 b a b= 1 b=−1 −a + b = −1 a+ b =−1

(38)

S O L U C¸ ˜A O

Uma vez que a ordem do polinˆomio ´e par:

D(1) > 0 ⇒ 1 + a + b > 0 ⇒ a + b > −1 (2.167) D(−1) > 0 ⇒ 1 − a + b > 0 ⇒ −a + b > −1. (2.168) Como N − 2 = 0, s´o existe α0. Ent˜ao:

D0(z) = z2 + az + b (2.169)

Di0(z) = z2(z−2+ az−1+ b) = 1 + az + bz2 (2.170) b + az + z2 _{1 + az + bz}2

−b − abz − b2_z2 _b (1 − b)az + (1 − b2_)z2

e, portanto, |α0| = |b| < 1. Assim, as condi¸c˜oes buscadas s˜ao a + b > −1 −a + b > −1 |b| < 1      , (2.171) ilustradas na Figura 2.5. △

A deriva¸cão completa do algoritmo aqui apresentado, bem como um método para determinar o número de ra´ızes de um polinômio D(z) situadas no interior do c´ırculo unitário, podem ser encontrados em Jury (1973).

2.7 Resposta na frequˆ

encia

Como foi mencionado na Se¸cão 2.1, quando uma exponencial zn _{é aplicada à} entrada de um sistema linear com resposta ao impulso h(n), sua sa´ıda é uma exponencial H(z)zn_{. Uma vez que, conforme visto anteriormente, garante-se que} a transformada z da resposta ao impulso dos sistemas estáveis sempre existe sobre a circunferência unitária, é natural tentar caracterizar esses sistemas na circunferência unitária. Números complexos sobre a circunferência unitária são da forma z = ejω_{, para 0 ≤ ω < 2π. Isso implica que a sequência exponencial} correspondente é uma senoide x(n) = ejωn_{. Portanto, podemos afirmar que se} aplicamos uma senoide x(n) = ejωn _`_{a entrada de um sistema linear, ent˜}_{ao sua} sa´ıda também é uma senoide com a mesma frequência, isto é,

y(n) = H ejω

(39)

Se H(ejω_{) ´e um n´}_{umero complexo com m´}_{odulo |H(e}jω_{)| e fase Θ(ω), ent˜}_{ao y(n)} pode ser expressa como

y(n) = H(ejω)ejωn = |H(ejω)|ejΘ(ω)ejωn = |H(ejω)|ejωn+jΘ(ω), (2.173) indicando que a sa´ıda de um sistema linear para uma entrada senoidal é uma senoide com a mesma frequência, mas com sua amplitude multiplicada por |H(ejω_{)| e sua fase acrescida de Θ(ω). Logo, quando caracterizamos um sistema} linear em termos de H(ejω_{), estamos, de fato, especificando o efeito que o sistema} linear tem sobre a amplitude e a fase do sinal de entrada, para cada frequência ω. Por esse motivo, H(ejω_{) é comumente conhecida como resposta na frequência} do sistema.

´

E importante enfatizar que H(ejω_{) é o valor da transformada z, H(z), sobre} a circunferência unitária. Isso implica que precisamos especificá-la apenas para uma volta da circunferência unitária, isto é, para 0 ≤ ω < 2π. De fato, como para k ∈Z

H(ej(ω+2πk)) = H(ej2πkejω) = H(ejω), (2.174)

então H(ejω_{) é periódica com per´ıodo 2π.}

Outra importante caracter´ıstica de um sistema linear no tempo discreto é seu atraso de grupo. Este é definido como o oposto da derivada da fase de sua resposta na frequência, isto é,

τ (ω) = −dΘ(ω)

dω . (2.175)

Quando a fase Θ(ω) é uma fun¸cão linear de ω, isto é,

Θ(ω) = βω, (2.176)

então, de acordo com a equa¸cão (2.173), a sa´ıda y(n) de um sistema linear para uma entrada senoidal x(n) = ejωn _é:

y(n) = |H(ejω)|ejωn+jβω = |H(ejω)|ejω(n+β). (2.177) A equa¸cão (2.177), juntamente com a equa¸cão (2.175), implica que a senoide de sa´ıda é atrasada de

−β = −dΘ(ω)

dω = τ (ω) (2.178)

amostras, qualquer que seja a frequência ω. Por causa desta propriedade, o atraso de grupo é geralmente usado como uma medida de quanto um sistema linear invariante no tempo atrasa senoides de diferentes frequências. O Exerc´ıcio 2.18 faz uma discussão aprofundada desse assunto.

(40)

−π/2 0 π/2 −π π |H (e j ω )| 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 ω (rad/amostra) −π −π/2 0 π/2 π Θ( ω ) (r a d ) π/2 0 −π/2 ω (rad/amostra) −π/4 π/4 (a) (b)

Figura 2.6 Resposta na frequência do filtro de média móvel: (a) resposta de módulo; (b) resposta de fase.

E X E M P L O 2.15

Encontre a resposta na frequˆencia e o atraso de grupo do filtro FIR caracterizado pela seguinte equa¸c˜ao de diferen¸cas:

y(n) = x(n) + x(n − 1)

2 . (2.179)

S O L U C¸ ˜A O

Tomando a transformada z de y(n), encontramos Y (z) = X(z) + z −1_X(z) 2 = 1 2(1 + z −1_)X(z), _(2.180)

e, então, a fun¸cão de transferência do sistema é H(z) = 1

2(1 + z

−1_). _(2.181)

Fazendo z = ejω_{, a resposta na frequˆencia do sistema se torna} H(ejω) = 1 2(1 + e −jω_{) =} 1 2e −jω 2 ej ω 2 + e−j ω 2= e−j ω 2 cosω 2. (2.182)

Como Θ(ω) = −ω/2, então, pelas equa¸cões (2.177) e (2.178), conclui-se que o sistema atrasa todas as senoides igualmente de meia amostra. Então, seu atraso de grupo é τ (ω) = 1/2 amostra.

As respostas de módulo e fase de H(ejω_{) s˜}_{ao representadas na Figura 2.6.} Note que o gráfico da resposta na frequência é apresentado para −π ≤ ω < π, em vez de 0 ≤ ω < 2π. Na prática, as duas faixas são equivalentes, já que ambas

(41)

E X E M P L O 2.16

Um sistema no tempo discreto com resposta ao impulso h(n) = 1₂n

u(n) é excitado com x(n) = sen(ω0n + θ). Encontre a sa´ıda y(n) usando a resposta na frequência do sistema. S O L U Ç Ã O Como x(n) = sen(ω0n + θ) = ej(ω0n+θ) − e−j(ω0n+θ) 2j , (2.183)

ent˜ao a sa´ıda y(n) = H{x(n)} ´e y(n) = H ej(ω0n+θ) − e−j(ω0n+θ) 2j = 1 2j h H{ej(ω0n+θ)_{} − H{e}−j(ω0n+θ)_} i = 1 2j h H(ejω0_)ej(ω0n+θ)_{− H(e}−jω0_)e−j(ω0n+θ) i = 1 2j h

|H(ejω0_)|ejΘ(ω0)_ej(ω0n+θ) _{− |H(e}−jω0_)|ejΘ(−ω0)_e−j(ω0n+θ) i

. (2.184)

Como h(n) é real, pela propriedade que será vista na Se¸cão 2.9.7, equa¸cão (2.228), tem-se H(ejω_{) = H}∗_(e−jω_{). Isso implica que}

|H(e−jω_{)| = |H(e}jω_)| _{e Θ(−ω) = −Θ(ω).} _(2.185)

Usando esse resultado, a equa¸c˜ao (2.184) se torna y(n) = 1

2j

h

|H(ejω0_)|ejΘ(ω0)_ej(ω0n+θ) _{− |H(e}jω0_)|e−jΘ(ω0)_e−j(ω0n+θ) i = |H(ejω0_)| _ej(ω0n+θ+Θ(ω0))− e−j(ω0n+θ+Θ(ω0)) 2j = |H(ejω0)| sen[ω 0n + θ + Θ(ω0)]. (2.186)

Uma vez que a fun¸cão de transferência do sistema é H(z) = ∞ X n=0 1 2 n z−n = 1 1 − 1 2z−1 , (2.187)

(42)

temos que H(ejω_{) =} 1 1 − 1₂e−jω = 1 q 5 4 − cos ω e−j arctg[sen ω/(2−cos ω)] _(2.188) e, ent˜ao, |H(ejω_{)| =} 1 q 5 4 − cos ω (2.189) Θ(ω) = − arctg sen ω 2 − cos ω . (2.190)

Substituindo esses valores de |H(ejω_{)| e Θ(ω) na equa¸c˜}_{ao (2.186), a sa´ıda y(n)} se torna y(n) = q 1 5 4 − cos ω0 sen ω0n + θ − arctg _{sen ω} 0 2 − cos ω0 . (2.191) △ Em geral, quando projetamos um sistema no tempo discreto, temos que satisfazer caracter´ısticas predeterminadas de módulo, |H(ejω_{)|, e fase, Θ(ω).} Deve-se notar que, ao processarmos um sinal definido no tempo cont´ınuo usando um sistema no tempo discreto, devemos converter a frequência analógica Ω na frequência ω, referente ao tempo discreto, que é restrita ao intervalo [−π, π). Isso pode ser feito notando-se que se uma senoide analógica xa(t) = ejΩt é amostrada como na equa¸cão (1.157) para gerar uma senoide ejωn_{, isto é, se Ω}

s = 2π/T é a frequência de amostragem, então

ejωn = x(n) = xa(nT ) = ejΩnT. (2.192)

Portanto, pode-se deduzir que a rela¸cão entre a frequência digital ω e a frequência analógica Ω é

ω = ΩT = 2πΩ Ωs

, (2.193)

indicando que o intervalo de frequência [−π, π) para a resposta na frequência relativa ao tempo discreto corresponde ao intervalo de frequência [−Ωs/2, Ωs/2) no dom´ınio analógico.

E X E M P L O 2.17

O filtro passa-baixas el´ıptico de sexta ordem no dom´ınio discreto cuja resposta na frequência é mostrada na Figura 2.7 é usado para processar um sinal analógico

(43)

ω (rad/amostra) −80 −40 −30 −70 −20 −60 −10 −50 0 π/2 0 π R es p o st a d e M ´o d u lo (d B ) ω (rad/amostra) −200 0 50 −150 100 −100 200 150 −50 π/2 0 π R es p o st a d e F a se (g ra u s) (a) (b) ω (rad/amostra) −0,2 −0,15 −0,1 −0,05 0 0,05 0,77π 0,75π 0,79π R es p o st a d e M ´o d u lo (d B ) ω (rad/amostra) −200 0 50 −150 100 −100 200 150 −50 0,77π 0,75π 0,79π R es p o st a d e F a se (g ra u s) (c) (d)

Figura 2.7 Resposta na frequência de um filtro el´ıptico de sexta ordem: (a) resposta de módulo; (b) resposta de fase; (c) resposta de módulo na faixa de passagem; (d) resposta de fase na faixa de passagem.

num esquema similar ao mostrado na Figura 1.14. Se a frequência de amostragem usada na conversão analógico-digital é 8000 Hz, determine a faixa de passagem do filtro analógico equivalente. Considere a faixa de passagem como a faixa de frequência em que a resposta de módulo está dentro de 0,1 dB de seu valor máximo.

S O L U C¸ ˜A O

Da Figura 2.7c, vemos que a largura de faixa digital em que a resposta de módulo do sistema está dentro de 0,1 dB de seu valor máximo é aproximadamente de ωp1 = 0,755π rad/amostra até ωp2 = 0,785π rad/amostra. Como a frequência de

amostragem ´e fs =

Ωs

(44)

então a faixa de passagem analógica é tal que Ωp1 = 0,755π Ωs 2π = 0,755π × 8000 = 6040π rad/s ⇒ fp1 = Ωp1 2π = 3020 Hz (2.195) Ωp2 = 0,785π Ωs 2π = 0,785π × 8000 = 6280π rad/s ⇒ fp2 = Ωp2 2π = 3140 Hz. (2.196) △ O conhecimento das posi¸cões dos polos e zeros de uma fun¸cão de transferência permite a determina¸cão direta das caracter´ısticas do sistema associado. Por exemplo, pode-se determinar a resposta na frequência H(ejω_{) usando-se um} método geométrico. Expressando H(z) como fun¸cão de seus polos e zeros como na equa¸cão (2.155), temos que H(ejω_{) se torna}

H(ejω) = H0ejω(N −M) M Y l=1 (ejω − zl) N Y i=1 (ejω _{− p} i) . (2.197)

As respostas de módulo e fase de H(ejω_{) são, então,}

|H(ejω)| = |H0| M Y l=1 |ejω − zl| N Y i=1 |ejω − pi| (2.198) Θ(ω) = ω(N − M ) + M X l=1 ∠(ejω − zl) − N X i=1 ∠(ejω − pi), (2.199)

onde ∠z denota o ângulo do número complexo z. Os termos da forma |ejω _{− c|} representam a distância entre o ponto ejω _{sobre a circunferência unitária e o} número complexo c. Os termos da forma ∠(ejω_{−c) representam o ângulo, medido} no sentido anti-horário, entre o eixo real e o segmento de reta ligando ejω _{a c.}

Por exemplo, para H(z) com polos e zeros dispostos conforme a Figura 2.8, temos que

|H(ejω0_{)| =} D3D4

D1D2D5D6

(2.200) Θ(ω0) = 2ω0+ θ3+ θ4 − θ1− θ2− θ5− θ6. (2.201)

(45)

e

jω0

Figura 2.8 Determina¸cão da resposta na frequência de H(z) a partir das posi¸cões de seus polos (×) e zeros (◦).

Veja no Experimento 2.3 da Se¸c˜ao 2.12 uma ilustra¸c˜ao de como um diagrama de polos e zeros pode ajudar no projeto de filtros no tempo discreto simples.

2.8 Transformada de Fourier

Na se¸cão anterior, caracterizamos sistemas lineares no tempo discreto usando a resposta na frequência, que descreve o comportamento de um sistema quando sua entrada é uma senoide complexa. Nesta se¸cão, apresentamos a transformada de Fourier de sinais no tempo discreto, que é uma generaliza¸cão do conceito de resposta na frequência. Ela equivale à decomposi¸cão de um sinal no tempo discreto como uma soma infinita de senoides complexas no tempo discreto.

No Cap´ıtulo 1, deduzindo o teorema da amostragem, formamos, a partir do sinal x(n) no tempo discreto, um sinal xi(t) no tempo cont´ınuo consistindo num trem de impulsos em t = nT com ´areas iguais a x(n), respectivamente (veja