Métodos numéricos para leis de conservação

(1)

M´

etodos Num´

ericos para Leis de Conserva¸

c˜

ao

1

D´

ebora de Jesus Bezerra

Prof. Dr. Jos´

e Alberto Cuminato

Orientador

Disserta¸cão apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computa¸cão da Universidade de São Paulo - ICMC/USP, como parte dos requisitos

para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Ciˆencias – ´

Area de Ciências de Computa¸cão e Matemática Computacional.

USP - S˜ao Carlos

Outubro de 2003

(2)

(3)

Agradecimentos

`

A Deus pela bên¸cão de ter vencido mais está etapa na minha vida.

Aos meu pais, Francisco e Marlene e às minhas irmãs Damaris e Loeide pelo apoio em todos os momentos da minha vida, pelo incentivo, compreensão e amor.

Aos meus tios Antônio e Ely e ao meu primo Antônio Junior pelo apoio, amor e incentivo dado desde de a minha gradua¸cão.

Ao meu Amor Alexandre e sua fam´ılia pelo apoio dado durante todo este ano. `

A FAPESP pelo apoio financeiro dado para o desenvolvimento deste projeto.

Ao meu orientador, professor José Alberto Cuminato pela excelente orienta¸cão durante todo o per´ıodo deste projeto, pela paciência e pelo incentivo.

Aos professores de Gradua¸c˜ao da Universidade Estadual de Ponta Grossa que sempre me incentivaram a continuar meus estudos.

Aos meus amigos, o meu orientador de inicia¸cão cient´ıfica professor Moisés e sua esposa Elisângela.

Aos meus amigos do LCAD, Hevilla, Kemelli, Luciane, Helton, Fabricio, Gilcelene, Dayene, Jo˜ao Paulo e Cassio pela amizade, companheirismo e pelos momentos agrad´aveis que pas-samos juntos.

(4)

Resumo

O objetivo deste projeto é o estudo de técnicas numéricas robustas para aproxima¸cão da solu¸cão de leis de conserva¸cão hiperbólicas escalares unidimensionais e bidimensionais e de sistemas de leis de conserva¸cão hiperbólicas. Para alcan¸car tal objetivo, estudamos esquemas conservativos com propriedades especiais, tais como, esquemas upwind, TVD, Godunov, limitante de fluxo e limitante de inclina¸cão.

(5)

Abstract

The aim of this work is the study of robust numerical techniques for approximating the solution of scalar and systems of hyperbolic conservation laws. To achieve this, we studied conservative schemes with special properties, such as, schemes upwind, TVD, Godunov, flux limiters and slope limiters.

(6)

Sum´

ario

Introdu¸

c˜

ao

1

1 Leis de Conserva¸c˜ao Hiperb´olicas 3

1.1 Introdu¸cão às Leis de Conserva¸cão . . . 3

1.2 Forma Integral das Leis de Conserva¸c˜ao . . . 4

1.3 Teoria das Leis de Conserva¸c˜ao Escalares . . . 5

1.3.1 Forma¸c˜ao de Choque . . . 5

1.3.2 O Problema de Riemann . . . 8

1.3.3 Solu¸c˜oes Fracas . . . 10

1.3.4 Condi¸c˜ao de Rankine-Hugoniot . . . 15

1.3.5 Condi¸c˜ao de Entropia . . . 20

1.3.6 Solu¸cão Anal´ıtica para Leis de Conserva¸cão Escalares Unidimensionais 27 2 Esquemas Numéricos para Leis de Conserva¸cão 33 2.1 Esquemas Conservativos . . . 37

2.1.1 Esquemas de Godunov . . . 39

2.1.2 Esquemas de Alta Precis˜ao . . . 42

2.1.3 M´etodos Limitantes de Fluxo . . . 46

2.1.4 M´etodos Limitantes de Inclina¸c˜ao . . . 55

2.2 Aplica¸cões de Métodos Numéricos para Leis de Conserva¸cão Escalares . . . . 63

3 Leis de Conserva¸c˜ao Escalares Bidimensionais 73 3.1 Esquemas de Alta Precis˜ao Bidimensionais . . . 76

(7)

4 Sistemas de Leis de Conserva¸c˜ao 81

4.1 Breve Introdu¸cão à Teoria de Sistemas de Leis de Conserva¸cão . . . 81

4.2 Problemas de Riemann . . . 89

4.3 Esquemas Num´ericos para Sistemas de Leis de Conserva¸c˜ao . . . 94

4.3.1 Esquemas Conservativos . . . 96

4.3.2 Esquemas de Alta Precis˜ao para Sistemas Lineares de Leis de Con-serva¸c˜ao . . . 118

4.4 Aplica¸cão de Métodos Numéricos para Sistemas de Leis de Conserva¸cão . . . 122

5 Conclus˜ao 129

(8)

Introdu¸

c˜

ao

Equa¸cões diferenciais parciais hiperbólicas surgem em várias áreas, tais como, dinâmica dos gases, acústica, elastodinâmica, ótica, geof´ısica e biomecânica, onde movimentos de ondas ou transporte advectivo são importantes. Métodos numéricos para leis de conserva¸cão são parte importante do arsenal dispon´ıvel para a solu¸cão de tais equa¸cões diferenciais hiperbólicas. Estes métodos têm provado ser extremamente úteis para modelar tais fenômenos. Histori-camente, muitas das idéias fundamentais eram primeiramente desenvolvidas para o caso especial de gases compress´ıveis (as equa¸cões de Euler), para aplica¸cões em aerodinâmica, as-trof´ısica, e áreas onde surgem choques. O estudo de equa¸cões mais simples como a equa¸cão da adveçcão, a equa¸cão de Burgers teve um papel importante no desenvolvimento de técnicas numéricas para as equa¸cões de Euler. As equa¸cões de Euler por serem não lineares permitem a forma¸cão de choques que conduzem a muitos dos problemas computacionais que motivaram o desenvolvimento dos métodos numéricos.

Neste trabalho apresentamos algumas propriedades matemáticas para uma classe de Equa¸cões Diferenciais Parciais (EDP’s) hiperbólicas, as leis de conserva¸cão. Os aspectos selecionados de tais equa¸cões são essenciais para a análise das equa¸cões que governam o escoamento de fluidos e para a implementa¸cão de métodos numéricos. As técnicas de dis-cretiza¸cão estudadas são fortemente baseadas nas propriedades f´ısicas e matemáticas das EDP’s. Pretendemos estudar uma classe de métodos numéricos para sistemas de equa¸cões hiperbólicas. Esses métodos são baseados na discretiza¸cão das equa¸cões por diferen¸cas finitas e são uma extensão dos métodos de Godunov, derivados inicialmente para equa¸cões escalares e depois para sistemas de equa¸cões.

(9)

(10)

Cap´ıtulo 1

Leis de Conserva¸

c˜

ao Hiperb´

olicas

Neste cap´ıtulo apresentaremos propriedades matemáticas básicas da solu¸cão de leis de con-serva¸cão hiperbólicas, essenciais para o desenvolvimento e aplica¸cão dos métodos numéricos. Apresentaremos também conceitos fundamentais das leis de conserva¸cão escalares que serão generalizadas para sistemas de leis de conserva¸cão.

1.1 Introdu¸

c˜

ao `

as Leis de Conserva¸

c˜

ao

A classe das leis de conserva¸cão é uma classe muito importante das equa¸cões diferenciais parciais, pois como o próprio nome indica, ela inclui aquelas equa¸cões que modelam as leis de conserva¸cão da f´ısica (massa, momentum, energia, etc). A dificuldade em trabalharmos com leis de conserva¸cão é que geralmente elas não são lineares, e esse fato afeta fortemente o procedimento numérico da solu¸cão.

Consideremos a solu¸cão numérica da equa¸cão diferencial parcial da forma

vt+F(v)x = 0 (1.1)

ou na forma vetorial

∂v

∂t + ∂

∂xF(v) =0 (1.2)

onde v é um vetor de K componentes da variável conservativa e F é a fun¸cão de fluxo de

RK em RK.

Defini¸cão 1.1.1 O sistema (1.2) é hiperbólico no ponto (ti, xi) se a matriz Jacobiana

A(v) =

∂F

∂v

(11)

tem autovalores reaisλi(v)e um conjunto de autovetores linearmente independentesK(i)(v),

i= 1, ..., m, que assumimos estar ordenados como

λ1(v)< λ2(v)< ... < λm(v),

K(1)(v),K(2)(v), ...,K(m)(v). Devemos notar que os autovalores e autovetores dependem de v.

Se não mencionamos o contrário, estamos assumindo que F′′_{(v) é positiva definida, isto}

é, que F é uma fun¸cão convexa. Uma equa¸cão da forma (1.2) é dita estar na forma conservativae é chamada uma lei de conserva¸cão.

1.2 Forma Integral das Leis de Conserva¸

c˜

ao

As leis de conserva¸cão podem ser expressas na forma diferencial ou integral. Existem duas boas razões para considerar a forma integral das leis de conserva¸cão:

• a deriva¸cão de equa¸cões modelos é baseada em princ´ıpios de conserva¸cão f´ısicos expres-sos mais naturalmente como rela¸cões integrais em volumes de controle;

• a formula¸cão integral exige menor regularidade da solu¸cão, expandindo a classe de solu¸cões poss´ıveis podendo incluir solu¸cões descont´ınuas.

Integrando a equa¸cão (1.2) em rela¸cão àxet em [a, b] e [t1, t2] respectivamente, obtemos

Z b

a

Z t2

t1

∂v

∂t + (F(v))x

dtdx = 0,

Z b

a

v(x, t2)dx−

Z b

a

v(x, t1)dx = −

Z t2

t1

F(v(b, t))dt₋

Z t2

t1

F(v(a, t))dt

. (1.3)

Referimo-nos à equa¸cão (1.3) como a forma integral da lei de conserva¸cão (1.2). A interpreta¸cão f´ısica da equa¸cão (1.3) é que a varia¸cão da quantidade de material no intervalo [a, b] entre os tempos t1 e t2 é devida ao fluxo desse material sobre as fronteiras x = a e

x=b durante o intervalo de tempo [t1, t2].

(12)

Considere por exemplo, a equa¸c˜ao de Burgers

vt+vvx = 0. (1.4)

Sev é uma solu¸cão, esta equa¸cão pode ser escrita na forma conservativa (1.2) onde F(v) =

1 2v

2_{, ou seja,}

vt+

1 2v

2

x

= 0. (1.5)

Algumas vezes é necessário reescrever uma lei de conserva¸cão na forma não conservativa. Podemos sempre efetuar a diferencia¸cão em rela¸cão àxpara reescrever a equa¸cão (1.2) como

vt+F′(v)vx =0 (1.6)

onde F′₍_v_{) é a derivada de Fréchet de} _F _{em rela¸cão à} _v _{e é dada pela matriz} _K _×_K _das

derivadas parciais de F. A equa¸cão (1.6) é conhecida como a forma não conservativa da equa¸cão (1.2).

1.3 Teoria das Leis de Conserva¸

c˜

ao Escalares

Iniciamos a discussão sobre as solu¸cões para leis de conserva¸cão considerando a equa¸cão escalar

vt+

∂

∂xF(v) = 0 (1.7)

onde assumimos queF′′ _{´e positiva.}

1.3.1 Forma¸

c˜

ao de Choque

Reescrevemos a equa¸c˜ao (1.7) na forma n˜ao conservativa

vt+F′(v)vx = 0. (1.8)

Podemos definir curva caracter´ıstica de uma equa¸cão na forma da equa¸cão (1.7) (ou (1.8)) como sendo a curva x = x(t) no plano x₋t ao longo da qual a Equa¸cão Diferen-cial ParDiferen-cial (EDP) se torna uma Equa¸cão DiferenDiferen-cial Ordinária (EDO). Ou seja, a curva caracter´ıstica é a solu¸cão da equa¸cão diferencial

d

dtx(t) =F

(13)

Se considerarmos uma solu¸cão da equa¸cão diferencial parcial (1.8), v =v(x, t), então ao longo da curva caracter´ıstica (uma curvax=x(t) na qual (1.9) é satisfeita) temos

d

dtv(x(t), t) = vx(x(t), t) d

dtx(t) +vt(x(t), t) (1.10) = vx(x(t), t)F′(v(x(t), t)) +vt(x(t), t)

= 0

Com isso, provamos o seguinte resultado.

Proposi¸cão 1.3.1 Sobre qualquer curva caracter´ıstica definida pela equa¸cão (1.9), a solu¸cão da equa¸cão diferencial parcial (1.8) (ou (1.7)) é constante.

Observa¸c˜ao 1.3.1 Notamos que no caso linear onde consideramos a equa¸c˜ao vt+avx = 0,

coma constante a equa¸c˜ao (1.9) se reduz a d

dtx(t) =a. (1.11) Assim as curvas caracter´ısticas para a equa¸cão vt+avx = 0, são x(t) =at+x0 onde x0 é a

condi¸c˜ao inicial da EDO (1.11) para t = 0.

x t

x₀

_{Ponto inicial}

Curva Caracteristica x=x +at0

Figura 1.1: Caracter´ısticas associadas com a solu¸c˜ao da lei de conserva¸c˜ao escalar vt+avx = 0

quandoa >0.

Quando o problema de valor inicial hiperb´olico for linear da forma

vt+avx = 0, x∈R, t >0 (1.12)

(14)

sua solu¸cão será v(x, t) = v0(x−at). A interpreta¸cão desta solu¸cão é que dado uma

con-figura¸c˜ao inicialv0(x), a EDP simplesmente desloca essa configura¸c˜ao com velocidadea para

a direita se a >0 e para a esquerda se a <0. Um problema de valor inicial hiperbólico da forma acima contém algumas das propriedades básicas do fenômeno de propaga¸cão de onda.

Para leis de conserva¸cão escalares não lineares obtemos o seguinte resultado análogo.

Proposi¸cão 1.3.2 Se v é uma solu¸cão para o problema de valor inicial definido pela lei de conserva¸cão (1.7) para x_∈R, t >0 (ou (1.8)) com condi¸cão inicialv(x,0) =v0(x), x∈R,

ent˜ao v deve satisfazer

v(x, t) =v0(x−F′(v(x, t), t)), x∈R, t >0. (1.14)

Para provar o resultado acima é suficiente diferenciar a solu¸cão (1.14) em rela¸cão at e x e mostrar que vt+F′(v)vx = 0.

O fato de que a solu¸cão é constante sobre qualquer caracter´ıstica nos ajudará a entender uma solu¸cão da equa¸cão (1.7). Notamos que comové constante sobre qualquer caracter´ıstica estas devem ser linhas retas, x(t) = F′_(v

0)t+constante, onde v0 ´e o valor constante da

condi¸cão inicial v0(x0) e x0 é a interse¸cão da caracter´ıstica com o eixo x. Para o caso

linear, as caracter´ısticas associadas com a equa¸cão vt+avx = 0 são também linhas retas.

A diferen¸ca é que no caso linear a inclina¸cão de todas as caracter´ısticas é constante, 1_a. No caso não linear, as inclina¸cões das caracter´ısticas geralmente serão diferentes, _F′₍1_v₀₎.

Por exemplo, considere a Equa¸c˜ao de Burgers em [0,1],

vt+ (

1 2v

2₎

x = 0

com a condi¸c˜ao inicialv0(x) = sin 2πx,x∈[0,1]. Nesse caso, temosF(v) = 1₂v2 eF′(v) =v.

Logo, a curva caracter´ıstica relacionada com o ponto x0 ´e dada por

x(t) =F′(v0)t+constante= (sin 2πx0)t+x0.

Na Figura 1.2 mostramos o gr´afico da condi¸c˜ao inicialv0(x) = sin 2πx(curva pontilhada)

e das retas caracter´ısticas, onde o eixo vertical representa ambos v0 e t, possibilitando a

apresenta¸c˜ao dos gr´aficos de v0 e das caracter´ısticas ao mesmo tempo. Note que para cada

ponto x0 ∈ [0,1] a inclina¸c˜ao da caracter´ıstica ´e _v₀₍1_x₀₎ = _{sin 2}1_πx₀. Notemos ainda que as

(15)

Figura 1.2: Gráfico da condi¸cão inicialv0(x) = sin 2πxe das curvas caracter´ısticas com inclina¸cão 1

v0(x)

vertical x = 0 ´e a caracter´ıstica associada com x0 = 1₂ e todas as curvas caracter´ısticas se

interceptam ao longo desta linha em vista da simetria na condi¸c˜ao inicial.

O significado da interse¸cão das caracter´ısticas é que nesse ponto a solu¸cão terá mais de um valor. Denotaremos o tempo para o qual as caracter´ısticas se interceptam por t =Tb e

chamaremos o ponto de interse¸c˜ao deponto de ruptura.

1.3.2 O Problema de Riemann

Na se¸cão anterior utilizamos argumentos geométricos para construir a solu¸cão anal´ıtica do problema de valor inicial (1.12) em termos do dado inicialv0(x).

Nesta se¸c˜ao estudaremos um PVI especial chamado Problema de Riemann que consiste da equa¸c˜ao

vt+avx = 0 (1.15)

junto com a condi¸c˜ao inicial

v(x,0) =v0(x) =

 



vL se x <0

vR se x >0,

(1.16)

ondevL e vR s˜ao valores constantes como mostrado na Figura 1.3.

Note que a condi¸cão inicial tem uma descontinuidade em x= 0. O caso trivial acontece quando vL = vR. Da discussão da solu¸cão de (1.12) esperamos que tenha ficado claro que

(16)

x=0 x v

vR L

v0(x)

Figura 1.3: Ilustra¸c˜ao da condi¸c˜ao inicial para o problema de Riemann.

x−at>0 x−at<0

Caracteristica x−at=0

x t

v

L

R

Figura 1.4: Solu¸c˜ao do problema de Riemann no plano x−tcom a >0.

quais a solu¸c˜ao assume o valor vR (ver Figura 1.3). A solu¸c˜ao do problema de Riemann

(1.15)-(1.16) ´e simplesmente

v(x, t) =v0(x−at) =

 



vL se x−at≤0,

vR se x−at >0.

(1.17)

Esta solu¸c˜ao pode ser representada no plano x₋t, como mostra a Figura 1.4.

Por qualquer pontox0 no eixo xpassa uma reta caracter´ıstica. Comoa´e constante essas

(17)

1.3.3 Solu¸

c˜

oes Fracas

Observe que a fun¸cão (1.17) não pode ser uma solu¸cão de (1.15) em todo o planox₋t, por não ser diferenciável ao longo da retax=at. A uma fun¸cão da forma de (1.17) que satisfaz a equa¸cão diferencial em parte do dom´ınio chamamos desolu¸cão fraca de (1.15). E a uma fun¸cão que satisfaz (1.15) em todo dom´ınio chamamos desolu¸cão clássica. A seguir damos uma breve interpreta¸cão do significado de uma solu¸cão fraca.

Consideremos o problema de valor inicial (1.7) comx_∈R, t >0 e condi¸c˜ao inicial

v(x,0) = v0(x), x∈R. (1.18)

Definimos o conjunto das fun¸c˜oes testes, C1

0, como

C₀1 =φ _∈C1 :_{(x, t)_∈R×[0,_∞) :φ(x, t)₆= 0_{} ⊂}[a, b]_×[0, T] para algum a, b e T . Assim, sabemos que φ é continuamente diferenciável e anula-se fora de algum retângulo no plano x-t. Dizemos que φ tem suporte compacto em _R_×[0,_∞). Ao suporte de φ, denota-se supp(φ), e é o conjunto no qual φ não se anula identicamente.

Multiplicando a equa¸c˜ao diferencial parcial (1.7) por φ _∈ C1

0 e integrando em rela¸c˜ao `a

xde _−∞a _∞ e em rela¸c˜ao `a t de 0 a _∞, obtemos

Z ∞

0

Z ∞

−∞

[vt+F(v)x]φ(x, t)dxdt= 0. (1.19)

Comoφ _∈C1

0 e tem suporte compacto, podemos escrever

Z T

0

Z b

a

[vt+F(v)x]φ(x, t)dxdt = 0,

Z b

a

Z T

0

vtφ(x, t)dtdx+

Z T

0

Z b

a

F(v)xφ(x, t)dxdt = 0.

Integrando por partes a equa¸c˜ao acima obtemos,

0 =

Z b

a

[vφ(x, t)]t_t=₌₀T ₋

Z T

0

vφt(x, t)dt

dx + Z T 0

[F(v)φ(x, t)]x_x=₌b_a₋

Z b

a

F(v)φx(x, t)dx

dt,

0 =

Z b

a

v(x, T)φ(x, T)dx₋

Z b

a

v(x,0)φ(x,0)dx₋

Z b

a

Z T

0

vφtdtdx

+

Z T

0

F(v)φ(b, t)dt₋

Z T

0

F(v)φ(a, t)dt₋

Z T

0

Z b

a

(18)

Comoφ(x, T) =φ(a, t) =φ(b, t) = 0, podemos escrever (1.19)-(1.20) como

Z ∞

0

Z ∞

−∞

[vφt+F(v)φx]dxdt+

Z ∞

−∞

v0φ0dx= 0, (1.21)

ondev0 =v(x,0) é a condi¸cão inicial e φ0 é uma nota¸cão para φ(x,0).

Note que o suporte de φ está contido em [a, b]_×[0, T] eφ é definida em R×[0,_∞) logo, φ(x,0) não precisa ser zero.

Assim, o que apresentamos acima é a demonstra¸cão da seguinte proposi¸cão.

Proposi¸cão 1.3.3 Sevé uma solu¸cão clássica para o problema de valor inicial (1.7),(1.18), então v satisfaz (1.21) para todo φ_∈C1

0.

Invertendo os cálculos realizados acima, partindo de (1.21), até obtermos a equa¸cão (1.19) e então usando o fato de queφ _∈C1

0 é arbitrária, mostramos quev deve satisfazer a equa¸cão

diferencial parcial (1.7), demonstrando assim, o seguinte resultado.

Proposi¸cão 1.3.4 Sevé continuamente diferenciável em rela¸cão axete satisfaz a equa¸cão (1.21) para todo φ _∈ C1

0, então v é uma solu¸cão clássica do problema de valor inicial

(1.7),(1.18).

Devemos estar cientes de que podem existir solu¸cões para a equa¸cão (1.21) que não são solu¸cões clássicas para o problema de valor inicial (1.7),(1.18) (fun¸cões que satisfazem a equa¸cão (1.21) podem não ser diferenciáveis). Por essa razão fazemos a seguinte defini¸cão.

Defini¸c˜ao 1.3.1 Se v satisfaz a equa¸c˜ao (1.21) para todoφ_∈ C1

0, v ´e dito ser uma solu¸c˜ao

fraca para o problema de valor inicial (1.7),(1.18).

A seguir apresentamos alguns exemplos onde verificamos que uma determinada fun¸cão é uma solu¸cão fraca de um problema de valor inicial.

1. Vamos mostrar que

v(x, t) =

 



1 se x_≤ t₂ 0 se x > ₂t

(1.22)

é uma solu¸cão fraca para equa¸cão de Burgers

vt+

1 2v

2

x

(19)

com condi¸c˜ao inicial

v0(x) =

 



1 se x_≤0 0 se x >0.

(1.24)

De fato, sejam φ _∈C1

0 e a, be T tais que supp(φ)⊂[a, b]×[0, T]. Ent˜ao

Z ∞

0

Z ∞

−∞

[ vφt+F(v)φx]dxdt+

Z ∞

−∞

v0φ0dx

=

Z ∞

0

Z ∞

−∞

[vφt+

v2

2 φx]dxdt+

Z ∞

−∞

v0φ0dx

=

Z T

0

Z b

a

[vφt+

v2

2φx]dxdt+

Z b

a

v0φ0dx

= Z T 0 Z t 2 a

[vφt+

v2

2 φx]dxdt+

Z T

0

Z b

t

2

[vφt+

v2

2φx]dxdt

+

Z 0

a

v0(x)φ(x,0)dx+

Z b

0

v0(x)φ(x,0)dx

= Z T 0 Z t 2 a

[φt+

1

2φx]dxdt+

Z 0 a φ(x,0)dx = Z t 2 a Z T 0

φtdtdx+

1 2 Z T 0 Z t 2 a

φxdxdt+

Z 0 a φ(x,0)dx = Z 0 a Z T 0

φtdtdx+

Z T

2

0

Z T

2x

φtdtdx+

1 2 Z T 0 Z t 2 a

φxdxdt+

Z 0 a φ(x,0)dx = Z 0 a

[φ(x, T)₋φ(x,0)]dx+

Z T

2

0

[φ(x, T)₋φ(x,2x)]dx

+ 1

2

Z T

0

[φ(t

2, t)−φ(a, t)]dt+

Z 0

a

φ(x,0)dx (1.25)

= ₋

Z T

2

0

φ(x,2x)dx+1 2

Z T

0

φ(t 2, t)dt = ₋1

2

Z T

0

φ(y

2, y)dy+ 1 2

Z T

0

φ(t

2, t)dt= 0. (1.26) (1.27)

(Na passagem de (1.25) para (1.26), usamos o fato que φ(x, T) = φ(a, t) = 0 para eliminar o primeiro, terceiro e sexto termos, cancelamos o segundo com o sétimo, e fizemos y = 2x no quarto termo.) Assim, a fun¸cão v dada por (1.22) é uma solu¸cão fraca para o problema de valor inicial (1.23)-(1.24).

(20)

Figura 1.5: Curvas caracter´ısticas associadas com o problema de valor inicial (1.23)-(1.24).

longo das caracter´ısticas em x > 0. Logo, existe uma descontinuidade ao longo da curva x= t

2.

Figura 1.6: Curvas caracter´ısticas associadas com a solu¸c˜ao do problema de valor inicial (1.23)-(1.24).

Observa¸cão 1.3.3 A linha de descontinuidade de uma solu¸cão fraca é chamada de

Choque se as caracter´ısticas em ambos os lados da descontinuidade influenciar na descontinuidade da curva na dire¸cão de crescimento de t, como é o caso na Figura 1.6. Se fizermos aL=F′(vL)eaR=F′(vR) ondevL e vR são os valores dev nos lados

esquerdo e direito da descontinuidade, ent˜ao uma descontinuidade ser´a um choque se

aL> s > aR (1.28)

onde s é a velocidade de propaga¸cão da descontinuidade, que será definida em (1.38). Vemos que no caso do exemplo 1 temos aL = 1, aR = 0 e s = 1₂, então a inequa¸cão

(21)

2. Podemos mostrar, seguindo o mesmo procedimento do exemplo anterior que

v(x, t) =

 



0 se x_≤ t

2

1 se x > t

2

(1.29)

é uma solu¸cão fraca para a equa¸cão de Burgers (1.23) com condi¸cão inicial

v0(x) =

 



0 se x_≤0

1 se x >0. (1.30)

Observa¸cão 1.3.4 Como no Exemplo 1, vemos que a velocidade de propaga¸cão da descontinuidade na solu¸cão (1.29) é s = 1₂ e que como aL = 0 e aR = 1 para este

´

ultimo caso, a inequa¸cão (1.28) não é satisfeita, logo a descontinuidade na solu¸cão (1.29) não é um choque.

Figura 1.7: Curvas caracter´ısticas associadas com o problema (1.23),(1.30) do Exemplo 2.

3. Novamente seguindo o procedimento do primeiro exemplo pode-se mostrar que

v(x, t) =

    

   

0 se x <0

x

t se 0≤x≤t

1 se x > t

(1.31)

é também uma solu¸cão fraca para a equa¸cão de Burgers com condi¸cão inicial (1.30).

Assim, podemos concluir que solu¸cões fracas para problemas de valor inicial podem não ser únicas.

(22)

Figura 1.8: Curvas caracter´ısticas associadas com o problema de valor inicial (1.23),(1.30).

Figura 1.7. Notamos que, nesse caso, como as caracter´ısticas em cada lado da curva x= ₂t estão “saindo” da descontinuidade esta descontinuidade não é um choque; é uma rarefa¸cão. A solu¸cão do Exemplo 3 corresponde à ocupa¸cão da região sem caracter´ısticas com umleque

de curvas caracter´ısticas como mostra a Figura 1.9.

Figura 1.9: Curvas caracter´ısticas associadas com o problema (1.23),(1.30) do Exemplo 3.

Notamos que é poss´ıvel “preencher”o espa¸co sem caracter´ısticas no m´ınimo de duas maneiras diferentes (Figura 1.7 e Figura 1.9) que são compat´ıveis com a formula¸cão fraca do problema. Mais tarde, teremos que decidir qual dessas solu¸cões é a desejada. Veremos que solu¸cões que ocupam a região sem caracter´ısticas com um leque serão as que possuem significado f´ısico.

1.3.4 Condi¸

c˜

ao de Rankine-Hugoniot

Proposi¸c˜ao 1.3.5 Seja C uma curva suave no plano x₋t (_R_×_R+_{), parametrizada por}

(23)

um salto de descontinuidade. SejaP = (x0, t0), t0 >0, um ponto em C, s= dx_dtC(t0), e vL e

vR os valores de v a esquerda e a direita de P, respectivamente. Ent˜ao

(vL−vR)

dxC

dt =F(vL)−F(vR). (1.32)

Demonstra¸cão: SejaB uma bola centrada em P que não contém o ponto (xC(0),0). Seja

B1 eB2 as partes deB em cada lado da curva C. Ver Figura 1.10.

Figura 1.10:

Como v é uma solu¸cão fraca para o problema (1.7),(1.18), v deve satisfazer a equa¸cão (1.21) para todo φ_∈C1

0. Para uma fun¸c˜ao φ com suporte em B, temos

0 =

Z ∞

0

Z ∞

−∞

(vφt+F(v)φx)dxdt (1.33)

=

Z Z

B1

(vφt+F(v)φx)dxdt+

Z Z

B2

(vφt+F(v)φx)dxdt, (1.34)

onde o termo t= 0 da equa¸c˜ao (1.21) n˜ao foi inclu´ıdo porque φ0 = 0 em B. O fato de v ser

uma solu¸cão fraca e clássica emB1 e B2 implica quev é uma solu¸cão clássica no interior de

ambosB1 e B2 (isto ´e, v satisfaz vt+F(v)x = 0 no interior de B1 eB2). Assim, a equa¸c˜ao

(1.34) pode ser reescrita como

0 =

Z Z

B1

[(vφ)t+ (F(v)φ)x]dxdt+

Z Z

B2

[(vφ)t+ (F(v)φ)x]dxdt. (1.35)

Aplicando o Teorema de Green, escrevemos a equa¸c˜ao (1.35) como

0 =

Z Z

∂B1

φ[₋vdx+F(v)dt] +

Z Z

∂B2

φ[₋vdx+F(v)dt]. (1.36)

Se definimos

vL(t) = lim

(x,t)→C;(x,t)∈B1

v(x, t) vR(t) = lim

(x,t)→C;(x,t)∈B2

(24)

(lembrando que x =xC em C) e usando o fato que φ = 0 em∂B (a parte externa de B1 e

B2), podemos reescrever a equa¸c˜ao (1.36) como

0 =

Z Q2

Q1

φ[₋vLdx+F(vL)dt]−

Z Q2

Q1

φ[₋vRdx+F(vR)dt], (1.37)

onde o sinal de menos na frente da segunda integral ´e devido ao fato de a integral de linha ao redor de B2 em (1.36) ser na dire¸c˜ao oposta da primeira integral. Como dx = x′C(t)dt,

podemos escrever a equa¸c˜ao (1.37) da seguinte forma

0 =

Z Q2

Q1

φ[₋(vL−vR)

dxC

dt + (F(vL)−F(vR))]dt. Comoφ é uma fun¸cão arbitrária (em C1

0), obtemos

(vL−vR)

dxC

dt = (F(vL)−F(vR)) para cada ponto emC.

Chamamoss = dxC

dt develocidade de propaga¸c˜ao da descontinuidade. Se definimos

[.] como o salto em C (em geral, [f] =fL−fR), podemos escrever a equa¸c˜ao (1.32) como

s[v] = [F(v)]. (1.38)

A equa¸cão (1.32) ou (1.38) é chamada deCondi¸cão de Salto ouCondi¸cão de Rankine-Hugoniot. Notamos que a condi¸cão de salto (condi¸cão R-H) é uma condi¸cão que as solu¸cões fracas para um problema de valor inicial tal como (1.7),(1.18) devem satisfazer sobre um salto de descontinuidade. Esta condi¸cão não escolhe a solu¸cão fraca que queremos. As solu¸cões fracas que não são f´ısicas também satisfazem a condi¸cão de salto.

A seguir inclu´ımos dois exemplos que ilustram como a condi¸cão de salto para a equa¸cão de Burgers pode ser utilizada para obter informa¸cões da solu¸cão.

1. Considere a equa¸c˜ao de Burgers (1.23) com a condi¸c˜ao inicial

v0(x) =v(x,0) =

 



vL se x <0

vR se x≥0.

(1.39)

onde vL e vR s˜ao constantes. Usando a condi¸c˜ao de salto podemos determinar a

velocidade de propaga¸cão desta descontinuidade. De fato, sabemos que para a equa¸cão de Burgers F(v) = 1₂v2_{, assim a condi¸cão R-H é}

s(vL−vR) =

1 2(v

2

(25)

sobre o salto. Conseq¨uentemente, s = (vL+vR)

2 e portanto a velocidade de propaga¸c˜ao

da descontinuidade é a média da solu¸cão a esquerda e a direita da descontinuidade.

Observa¸c˜ao 1.3.6 Da proposi¸c˜ao 1.3.5 e do exemplo acima observamos que:

• A solu¸cão do Exemplo 1 da se¸cão anterior tem uma descontinuidade com veloci-dade de propaga¸cão dada por s = 1

2 e esta descontinuidade dever´a se propagar

sobre a curva x= ₂t, a qual é solu¸cão da equa¸cão diferencial dxC

dt =s= 1

2, xC(0) = 0. Note que s pode ser calculado pela f´ormulas = (vL+vR)

2 .

• A solu¸cão do Exemplo 1 da se¸cão anterior deve satisfazer a condi¸cão de salto sobre a curva x= ₂t:

s(vL−vR) =

1

2 =F(vL)−F(vR) = 1 21

2

− 1₂02 = 1 2

(que ´e o mesmo que s = (vL+vR)

2 ).

• No Exemplo 2 da se¸cão anterior o procedimento para obten¸cão da velocidade de propaga¸cão da descontinuidade é idêntico ao realizado para o Exemplo 1 (se¸cão 1.3.3).

• Como a solu¸cão do Exemplo 3 (se¸cão 1.3.3) é cont´ınua (não tem salto de de-scontinuidade) não é relevante considerar a condi¸cão de salto em rela¸cão à esta solu¸cão.

A seguir inclu´ımos um exemplo onde a condi¸cão de salto é instrumento para ajudar-nos a encontrar uma solu¸cão para um problema de valor inicial.

2. O problema de valor inicial para a equa¸c˜ao de Burgers (1.23) com condi¸c˜ao inicial

v0(x) =

    

   

1 se x <0 1₋x se 0_≤x_≤1 0 se x >1

(1.40)

(26)

Figura 1.11: Caracter´ısticas associadas com o problema de valor inicial definido pela equa¸cão de Burgers (1.23) com a condi¸cão inicial (1.40) (onde não permitimos que as caracter´ısticas se cruzem).

As caracter´ısticas sobre o segmento 0_≤x_≤1 s˜ao dadas por

t= 1 F′_(v

0)

x+C = 1 1₋x0

x+C

assim, se determinarmos C = x0

1−x0 de modo que para t= 0, x=x0, teremos

t= 1 1₋x0

x+ x0 1₋x0

, 0_≤x0 <1.

Essas retas e a reta x = 1, interceptam-se primeiramente em (x, t) = (1,1), isto é, o ponto de ruptura éTb = 1. Parat <1, a solu¸cão é cont´ınua, determinada pelas curvas

caracter´ısticas e condi¸c˜oes iniciais e pode ser escrita como

v(x, t) =

    

   

1 se x < t < 0 1₋x

1₋t se t ≤x≤1 0 se x >1

(1.41)

Note que a solu¸c˜ao para t_≤x_≤1 ´e obtida fazendo-se v(x, t) =v0(x0) = 1−x0 sobre

a caracter´ıstica

t= 1 1₋x0

x+ x0 1₋x0

(1.42)

(usando o fato que v ´e constante sobre uma curva caracter´ıstica). Para t_≥1, temos uma “condi¸c˜ao inicial”(ocorre para t= 1) dada por

v0(x) =v(x,1) =

 



(27)

Figura 1.12: Caracter´ısticas associadas com a solu¸cão (1.41)-(1.43)para o problema de valor inicial definido pela equa¸cão de Burgers (1.23) com a condi¸cão inicial (1.40).

Usando os resultados do Exemplo 1, desta se¸cão, sabemos que existirá uma solu¸cão na qual esta descontinuidade deverá se propagar sobre a curva caracter´ıstica definida por

dxC

dt =s= 1

2, xC(1) = 1, ou xc = (t+1)₂ . Assim, uma solu¸c˜ao parat ≥1 ´e

v(x, t) =

  

 

1 se x < (t+ 1) 2 0 se x_≥ (t+ 1)

2 .

(1.43)

e as curvas caracter´ısticas associadas com esta solu¸c˜ao s˜ao mostradas na Figura 1.12.

Mostramos claramente que solu¸cões fracas para problemas de valor inicial podem não ser únicas. Como veremos na próxima se¸cão, estamos interessados em solu¸cões fracas seme-lhantes àquelas dos Exemplos 1 e 3 (se¸cão 1.3.3). Queremos enfatizar que existem muitas solu¸cões do problema de valor inicial que podem parecer interessantes, mas, não são as mais apropriadas fisicamente. Quando obtemos estas solu¸cões (as quais, algumas vezes, podem parecer mais interessantes do que a solu¸cão correta) como parte de um problema complexo, pode ser dif´ıcil decidir se dever´ıamos rejeitá-las e pode ser mais dif´ıcil ainda determinar porque obtivemos a solu¸cão indesejada.

1.3.5 Condi¸

c˜

ao de Entropia

(28)

interse¸cão das caracter´ısticas. Além disso, vimos que solu¸cões fracas podem não ser únicas. Nosso objetivo é calcular numericamente as solu¸cões (incluindo as descontinuidades) para leis de conserva¸cão, mas antes devemos encontrar algum argumento que nos ajudará a decidir qual solu¸cão queremos (no caso de solu¸cões não únicas).

Uma maneira de escolher a solu¸cão fisicamente correta é decidir pela solu¸cão viscosa. Esta solu¸cão é definida como o limite quando ǫ _→ 0 das fun¸cões vǫ_{(x, t) onde} _vǫ_{(x, t) é}

solu¸cão da equa¸cão parabólica

vǫ_t+F(vǫ)x =ǫvxxǫ ,

com condi¸c˜ao inicial vǫ_(x,_{0) =} _vǫ

0(x). Existem várias razões para escolher a solu¸cão viscosa

como a correta. Uma delas é que as equa¸cões que estamos resolvendo modelam situa¸cões f´ısicas que incluem algum tipo de dissipa¸cão. Uma das caracter´ısticas mais importante da solu¸cão viscosa é o seguinte resultado.

Proposi¸cão 1.3.6 Se uma solu¸cão viscosa existe, ela é uma solu¸cão fraca.

Demonstra¸c˜ao: Consideramos a equa¸c˜ao viscosa

vǫ_t+F(vǫ)x =ǫvxxǫ .

Multiplicando a equa¸c˜ao acima por uma fun¸c˜ao teste pertencente a C2

0 (onde φ e φx s˜ao

nulas fora de algum retângulo fechado [a, b]_× [0, T]) e realizando a integra¸cão como em (1.19)-(1.20) (mais duas integra¸cões por partes no termo viscoso), obtemos

−

Z ∞

0

Z ∞

−∞

[vǫφt+F(vǫ)φx]dxdt−

Z ∞

−∞

vǫ₀φ0dx=ǫ

Z ∞

0

Z ∞

−∞

vǫφxxdxdt.

Fazendo ǫ _→ 0, então como por hipótese vǫ _→ _v _e _F_(vǫ₎ _→ _F_{(v), vemos que a solu¸cão}

viscosa v é uma solu¸cão fraca para a equa¸cão (1.7).

Outra maneira, é reformular o modelo f´ısico. Para situa¸cões f´ısicas estáveis, sabemos que, em geral, devemos ter uma solu¸cão única. Se o modelo matemático não tem uma solu¸cão ´

unica, alguma informa¸c˜ao f´ısica adicional deve ser inclu´ıda para determinar a solu¸c˜ao f´ısica correta.

(29)

Defini¸cão 1.3.2 Condi¸cão de Entropia I: A solu¸cão para a equa¸cão (1.21),v =v(x, t), contendo uma descontinuidade propagando com velocidades é dita satisfazer a Condi¸cão de Entropia I se

F′(vL)> s > F′(vR) (1.44)

onde vL e vR s˜ao os valores da solu¸c˜ao a esquerda e a direita da descontinuidade,

respecti-vamente.

Observa¸c˜ao 1.3.7 E f´´ acil ver que como F′_(v

L) = 1, s= 1₂ e F′(vR) = 0, a solu¸c˜ao (1.22)

satisfaz a Condi¸cão de Entropia I. Igualmente, é fácil ver que a solu¸cão (1.29) não satisfaz a Condi¸cão de Entropia I. A solu¸cão (1.31) satisfaz a Condi¸cão de Entropia I, visto que não existe descontinuidade nesta solu¸cão.

Observa¸c˜ao 1.3.8 Para a equa¸c˜ao de Burgers, qualquer salto de vL para vR com vL > vR

que satisfaz a condi¸cão de salto (condi¸cão R-H) deverá satisfazer a Condi¸cão de Entropia I. Também, qualquer salto de vL para vR com vL< vR que satisfaz a condi¸cão de salto não

satisfaz a Condi¸c˜ao de Entropia I. Em geral, para qualquer fun¸c˜ao de fluxo F convexa (F′′

positiva, ouF′ _{crescente) qualquer salto de}_v

L paravR com vL> vR que satisfaz a condi¸c˜ao

de salto satisfaz a Condi¸c˜ao de Entropia I, e qualquer salto com vL < vR que satisfaz a

condi¸cão de salto não satisfaz a Condi¸cão de Entropia I.

Observa¸cão 1.3.9 Recordando que a principal dificuldade das leis de conserva¸cão não é a existência de solu¸cões, mas mais propriamente a unicidade delas, inclu´ımos o seguinte resultado, o qual ilustra como a Condi¸cão de EntropiaI implica em unicidade.

Proposi¸cão 1.3.7 Suponha que F é convexa e que a solu¸cão v para o problema de valor inicial

vt+F(v)x = 0, x∈R, t >0 (1.45)

v(x,0) = v0(x), x∈R (1.46)

satisfaz a Condi¸cão de EntropiaI sobre todos os saltos. Então a solu¸cãov é a única solu¸cão para o problema de valor inicial (1.45)-(1.46) que satisfaz a Condi¸cão de EntropiaI e é uma solu¸cão viscosa para o problema de valor inicial (1.45)-(1.46).

(30)

Observa¸cão 1.3.10 Existem exemplos de leis de conserva¸cão que são importantes fisica-mente para os quais a fun¸cãoF não é convexa. Um exemplo é a equa¸cão de Buckley-Leverett, onde F(v) = 4_v2₊₍₁v2₋_v₎2 na área de fluido em meios porosos. A Condi¸cão de Entropia para

casos de não convexidade análoga à Condi¸cão de Entropia I é a seguinte.

Defini¸cão 1.3.3 Condi¸cão de Entropia Inc: A solu¸cão para a equa¸cão (1.21) (onde F não é necessariamente convexa),v =v(x, t), contendo uma descontinuidade é dita satisfazer a Condi¸cão de EntropiaInc se

F(vL)−F(v)

vL−v ≥

F(vR)−F(vL)

vR−vL

(1.47)

para todov entre vL e vR, onde vL e vR s˜ao os valores da solu¸c˜ao a esquerda e a direita da

descontinuidade, respectivamente.

Novamente, não é dif´ıcil ver que a solu¸cão (1.22) satisfaz a condi¸cão de entropia (1.47) e a solu¸cão (1.29) não satisfaz essa condi¸cão de entropia. Como no caso em que F é convexa, no caso não convexo, a solu¸cãov é única e é uma solu¸cão viscosa se v satisfaz a condi¸cão de entropia (1.47) sobre todos os saltos (ref. [26]).

A segunda condi¸cão de entropia é mais complexa para descrever. A técnica é imitar a maneira pela qual as fun¸cões de entropia f´ısicas entram e interagem com leis de conserva¸cão e suas solu¸cões para sistemas f´ısicos. Definimos as fun¸cões escalaresS =S(v) e Φ = Φ(v) como sendo afun¸cão de entropia e a fun¸cão fluxo de entropia, respectivamente. Queremos encontrar as fun¸cõesS e Φ que satisfazem a lei de conserva¸cão

S(v)t+ Φ(v)x = 0 (1.48)

para toda solu¸cão clássica v da lei de conserva¸cão (1.7). Assumimos que S satisfaz S′′ _≥_0.

A razão para esta hipótese é consistente com a no¸cão f´ısica de uma fun¸cão de entropia. Assim, obtivemos uma lei de conserva¸cão adicional que deve ser satisfeita - a conserva¸cão de entropia.

Na forma n˜ao conservativa, a equa¸c˜ao (1.48) pode ser escrita como

S′(v)vt+ Φ′(v)vx = 0. (1.49)

Solu¸cões clássicas da lei de conserva¸cão (1.7) satisfazem

(31)

Multiplicando a equa¸c˜ao (1.50) porS′_{(v), obtemos}

S′(v)vt+S′(v)F′(v)vx = 0. (1.51)

Comparando as equa¸c˜oes (1.49) e (1.51), vemos queS e Φ devem satisfazer

Φ′(v) = S′(v)F′(v). (1.52)

Para leis de conserva¸cão escalares, a equa¸cão (1.52) possui muitas solu¸cões.

Observa¸cão 1.3.11 Se a equa¸cão (1.7) é tal que F(v) =H′_(v) _{para algum}_H_{, ent˜}_ao

deter-minamos S1(v) = 1₂|v|2, Φ1(v) =vF(v)−H(v) e calculamos

Φ′₁(v) = F(v) +vF′(v)₋H′(v) =H′(v) +vF′(v)₋H′(v) = vF′(v) =S₁′(v)F′(v).

Assim, se F ´e tal que F(v) = H′_(v) _ent˜_ao _S

1(v) = 1₂|v|2 e Φ1(v) = vF(v)−H(v) definem

fun¸c˜oes de entropia e fluxo de entropia associadas com a lei de conserva¸c˜ao (1.7).

Devemos notar que se considerarmos a equa¸c˜ao de Burgers, ent˜ao H(v) = v3

6 e a fun¸c˜ao

fluxo de entropia ´e dada por Φ1(v) = v

3

3.

Observa¸c˜ao 1.3.12 Notamos tamb´em que se para algum c_∈ R fizermos S2(v) =|v −c| e

Φ2(v) = _|v_v−₋c_c_|[F(v)−F(c)] para v 6=c, ent˜ao

Φ′₂(v) = v−c |v₋c_|F

′_{(v) =}_S′

2(v)F′(v).

Assim, S2 e Φ2 tamb´em definem fun¸c˜oes de entropia e fluxo de entropia associadas com a

lei de conserva¸c˜ao (1.7).

Gostar´ıamos de usar a fun¸cão de entropia e a fun¸cão fluxo de entropia para assegurar que podemos escolher a solu¸cão correta para nosso problema de valor inicial. O próximo resultado não é exatamente o que queremos, mas ele mostra que a solu¸cão viscosa deverá satisfazer uma inequa¸cão de entropia.

Proposi¸cão 1.3.8 Suponha que relacionada à lei de conserva¸cão (1.7) tenhamos uma lei de conserva¸cão de entropia com S convexa e S _≥ 0. Suponha que v é uma solu¸cão viscosa para a lei de conserva¸cão (1.7) onde a convergência é tal que vǫ _{e suas derivadas em rela¸c˜}_ao

a x convergem limitadamente para v. Ent˜ao v satisfaz

(32)

Demonstra¸cão: Para satisfazer a equa¸cão (1.53) no sentido fraco, devemos considerar somente fun¸cões testes positivas (pois (1.53) é uma inequa¸cão e não devemos multiplicar uma inequa¸cão por fun¸cões negativas). Assim, definimos C1

0,+ = C01 ∩ {φ : φ(x, t) ≥

0 para todo(x, t)_∈_R_×_R+_} _{e exigimos que para}_φ _∈_C1

0,+, v deve satisfazer

Z ∞

0

Z ∞

−∞

[φtS(v) +φxΦ(v)]dxdt+

Z ∞

−∞

φ(x,0)S(v(x,0))dx_≥0. (1.54)

Multiplicando a equa¸c˜ao

v_tǫ+F(vǫ)x =ǫvxxǫ

porS′_(vǫ_{), obtemos}

S′(vǫ)v_tǫ+S′(vǫ)F(vǫ)x =ǫS′(vǫ)vxxǫ ,

ou

S(vǫ)t+S′(vǫ)F′(vǫ)vxǫ =ǫS′(vǫ)vxxǫ . (1.55)

ComoS e Φ satisfazem Φ′_(vǫ_{) =}_S′_(vǫ_)F′_(vǫ_{) e Φ}′_(vǫ_)vǫ

x = Φ(vǫ)x, a equa¸c˜ao (1.55) pode ser

reescrita como

S(vǫ₎

t+ Φ(vǫ)x =ǫS′(vǫ)vǫxx. (1.56)

Notemos queS′_(vǫ_)vǫ

xx =S(vǫ)xx−S′′(vǫ)(vǫx)2 e assim podemos reescrever a equa¸c˜ao (1.56)

como

S(vǫ)t+ Φ(vǫ)x =ǫ[S(vǫ)xx−S′′(vǫ)(vxǫ)2]. (1.57)

Multiplicando a equa¸c˜ao (1.57) por φ _∈ C1

0,+, integrando sobre R×[0,∞) e usando o fato

queφ tem suporte compacto, obtemos

Z ∞

−∞

Z ∞

0

φ [S(vǫ)t+ Φ(vǫ)x]dtdx

=

Z ∞

−∞

Z ∞

0

ǫφ[S(vǫ₎

xx−S′′(vǫ)(vxǫ)2]dtdx.

que pode ser escrita como abaixo, usando o suporte deφ

Z b

a

Z T

0

φ [S(vǫ)t+ Φ(vǫ)x]dtdx

=

Z b

a

Z T

0

ǫφ[S(vǫ)xx−S′′(vǫ)(vxǫ)2]dtdx.

(33)

fato que φ tem suporte compacto, obtemos

−

Z b

a

φ(x,0) S(vǫ(x,0))dx₋

Z b

a

Z T

0

φtS(vǫ)dtdx−

Z b

a

Z T

0

φxΦ(vǫ)dtdx

= ǫ

Z b

a

Z T

0

φxxS(vǫ)dtdx−ǫ

Z b

a

Z T

0

φS′′(v_xǫ)2dtdx. Ent˜ao usando o fato que

−ǫ

Z b

a

Z T

0

φS′′(v_xǫ)2dtdx_≤0 e fazendoǫ_→0 obtemos

−

Z b

a

φ(x,0)S(v(x,0))dx₋

Z b

a

Z T

0

φtS(v)dtdx−

Z b

a

Z T

0

φxΦ(v)dtdx≤0,

que prova (1.54).

Definimos a seguir a segunda condi¸c˜ao de entropia.

Defini¸cão 1.3.4 Condi¸cão de Entropia II: A solu¸cão para equa¸cão (1.21), v =v(x, t), é dita satisfazer a Condi¸cão de EntropiaII se existe uma fun¸cão de entropia S e uma fun¸cão fluxo de entropiaΦ para as quais v satisfaz a inequa¸cão (1.53) (ou (1.54)) no sentido fraco.

A proposi¸cão seguinte, ilustrará como a fun¸cão de entropia e a fun¸cão fluxo de entropia podem ser usadas para escolher a solu¸cão fraca correta para nosso problema de valor inicial.

Proposi¸cão 1.3.9 Considere a lei de conserva¸cão (1.7) onde F é convexa e uma solu¸cão para a equa¸cão (1.7) que contém um choque fraco. Suponha que a Condi¸cão de Entropia II é satisfeita para a solu¸cão v =v(x, t) onde a fun¸cão de entropia S é estritamente convexa. Entãové a única solu¸cão para a lei de conserva¸cão (1.7) que satisfaz a Condi¸cão de Entropia II e é a solu¸cão viscosa.

Prova ver referˆencia [23], p´agina 401.

Observa¸cão 1.3.13 Considere a equa¸cão de Burgers; suas fun¸cões de entropia e fluxo de entropiaS1(v) = |v|

2

2 e Φ1(v) =

v3

6, a condi¸c˜ao inicial

v0(x) =

 



1 se x_≤0

0 se x >0, (1.58) e a solu¸c˜ao

v(x, t) =

 



1 se x_≤ ₂t 0 se x > t

2.

(34)

Para mostrar que a solu¸cão v (1.59) satisfaz a Condi¸cão de Entropia II para o problema de valor inicial consistindo da equa¸cão de Burgers com a condi¸cão inicial (1.58), devemos provar que S1 e Φ1 são fun¸cões de entropia e fluxo de entropia consistentes com a equa¸cão

de Burgers, esse cálculo foi feito na observa¸cão 1.3.11. Realizando cálculos similares àqueles do Exemplo 1, produzem

Z ∞

0

Z ∞

−∞

φtS1(v)dxdt+

Z ∞

0

Z ∞

−∞

φxΦ1(v)dxdt+

Z ∞

−∞

φ(x,0)S1(v(x,0))dx=

1 6 Z T 0 φ t 2, t

dt.

Então, como assumimos que φ é positiva, o lado direito da equa¸cão acima é não negativo, que é o que quer´ıamos provar. Assim, a solu¸cão v dada por (1.59) satisfaz a Condi¸cão de Entropia II.

Observa¸cão 1.3.14 Novamente consideramos a equa¸cão de Burgers, desta vez com a condi¸cão inicial

v0(x) =

 



0 se x_≤0 1 se x >0,

(1.60)

e solu¸c˜ao fraca

v(x, t) =

 



0 se x_≤ ₂t 1 se x > t

2.

(1.61)

Como fizemos na observa¸c˜ao 1.3.13, consideramos a fun¸c˜ao de entropia S1(v) = |v|

2

2 , a

fun¸c˜ao fluxo de entropia Φ1(v) = v

3

6 e ap´os alguma ´algebra obtemos

Z ∞

0

Z ∞

−∞

φtS1(v)dxdt+

Z ∞

0

Z ∞

−∞

φxΦ1(v)dxdt+

Z ∞

−∞

φ(x,0)S1(v(x,0))dx=−

1 6 Z T 0 φ t 2, t

dt.

Para a solu¸cão (1.61) satisfazer a Condi¸cão Entropia II, a expressão acima deveria ser não negativa para todo φ _∈ C1

0,+, mas isso não ocorre. Logo, a solu¸cão (1.61) não satisfaz a

condi¸c˜ao de entropia em rela¸c˜ao a S1 e Φ1.

1.3.6 Solu¸

c˜

ao Anal´ıtica para Leis de Conserva¸

c˜

ao Escalares

Uni-dimensionais

(35)

que na presen¸ca de descontinuidades informa¸cões adicionais estão dispon´ıveis sobre a des-continuidade e uma condi¸cão de salto deve ser satisfeita. Para eliminar a possibilidade de solu¸cões múltiplas devemos adicionar condi¸cões de entropia à nossa equa¸cão. Para ilustrar os conceitos discutidos nas se¸cões 1.3.3 e 1.3.4 resolvemos vários problemas com a equa¸cão de Burgers e diferentes condi¸cões iniciais. Os tópicos discutidos na se¸cão 1.3.3 nos permite resolver problemas de leis de conserva¸cão escalares e obter informa¸cões sobre solu¸cões para outros problemas de lei de conserva¸cão.

Nos exemplos a seguir, quando dizemos que encontramos uma solu¸cão para um dado problema, significa que encontramos uma solu¸cão para um problema que geralmente tem muitas solu¸cões. Mas sabemos qual solu¸cão queremos (ou algumas vezes qual solu¸cão não queremos) e sempre encontramos essa solu¸cão.

1. Considere a lei de conserva¸c˜ao

vt+

1 3v

3

= 0. (1.62)

Procuramos uma solu¸cão para a lei de conserva¸cão (1.62) com condi¸cão inicial

v0(x) =

 



2 se x_≤0 1 se x >0.

(1.63)

Na Figura 1.13 apresentamos o gr´afico das caracter´ısticas associadas a esse problema.

Figura 1.13: Caracter´ısticas associadas com o problema (1.62) e condi¸c˜ao inicial (1.63).

Como as caracter´ısticas se interceptam, esperamos que um choque seja formado. Como F′_(v

(36)

por um choque deverá satisfazer a Condi¸cão de EntropiaI. Usamos a condi¸cão de salto para determinar a velocidade de propaga¸cão da descontinuidade:

s= F(vL)−F(vR) vL−vR

=

7 3

1 = 7 3.

Assim, a descontinuidade deverá se propagar ao longo da solu¸cão da equa¸cão diferencial

dxC

dt =s= 7 3

com xC(0) = 0 ouxC(t) = 7₃t. O gr´afico das caracter´ısticas incidindo na curvaxC(t) =

7

3t é mostrado na Figura 1.14. Assim, a solu¸cão para o problema (1.62)-(1.63) é

v(x, t) =

 



2 se x_≤ 7 3t

1 se x > 7₃t.

(1.64)

Figura 1.14: Caracter´ısticas associadas com a solu¸c˜ao (1.64) do problema (1.62) e condi¸c˜ao inicial (1.63).

A solu¸cão (1.64) satisfaz a Condi¸cão de Entropia I. Mas, como a fun¸cão de fluxo F não é convexa, não podemos usar a proposi¸cão 1.3.7 para provar a unicidade da solu¸cão (1.64).

2. Procuremos agora a solu¸cão da lei de conserva¸cão (1.7) com condi¸cão inicial (1.39), vL< vR eF′ crescente.

(37)

ainda que a solu¸cão que tem um salto de descontinuidade não satisfaz a condi¸cão de entropia já a solu¸cão com um leque satisfaz.

Neste exemplo, mostraremos que este ´e realmente um resultado geral. Se determinamos

s= F(vL)−F(vR) vL−vR

e x=xC(t) como a solu¸c˜ao para

dxC

dt = s xC(0) = 0,

ent˜ao utilizando um procedimento similar ao que foi feito no Exemplo 1, se¸c˜ao 1.3.3, mostramos que

v(x, t) =

 



vL se x≤st

vR se x > st

é uma solu¸cão fraca para o problema de valor inicial (1.7),(1.39). É fácil ver que esta solu¸cão não satisfaz a Condi¸cão de Entropia I (observa¸cão 1.3.8) e usando um argumento similar ao que foi utilizado na observa¸cão 1.3.14, mostramos que a solu¸cão não satisfaz a Condi¸cão de Entropia II.

As caracter´ısticas associadas com este problema s˜ao dadas por x(t) = F′_(v

0)t+x0,

onde v0 =v0(x0) ex0 é um ponto arbitrário emR. Existe três diferentes situa¸cões que

podem ocorrer (no caso em que vL < vR e F′ ´e crescente): ambos F′(vL) eF′(vR) s˜ao

positivos, ambos F′_(v

L) eF′(vR) são negativos eF′(vL) é negativo eF′(vR) é positivo.

O gr´afico das caracter´ısticas para o caso em que F′_(v

L) ´e negativo e F′(vR) ´e positivo

é mostrado na Figura 1.15. O espa¸co sem caracter´ıstica neste caso, é explicado pelo fato que a inclina¸cão das caracter´ısticas a esquerda de x= 0 é negativa, enquanto que a inclina¸cão das caracter´ısticas a direita de x= 0 é positiva. Os gráficos para os outros dois casos são similares, e o espa¸co sem caracter´ıstica, nesses casos, é devido ao fato que a inclina¸cão das caracter´ısticas é dada por _F′₍1_v₀₎, comovL< vR então

1

F′₍_v_L₎ >

1

F′₍_v_R₎.

O procedimento para encontrar uma solu¸cão é preencher o espa¸co sem caracter´ısticas com um leque de retas. Seja v uma fun¸cão da forma

v(x, t) =ψ(x

(38)

Figura 1.15: Caracter´ısticas associadas com o problema (1.7) e condi¸c˜ao inicial (1.39) paravL < vR

quandoF′(v_L)<0< F′(v_R).

Exigindo que esta fun¸c˜ao seja uma solu¸c˜ao e substituindo em (1.7) obtemos

−_tx2ψ

′x

t

+1 tF

′_ψx

t

ψ′x t

= 0

ou (assumindo que ψ′ x t

6

= 0)

F′ψx t

= x t.

Assim, observamos que para uma solu¸cão da forma (1.65) satisfazer a equa¸cão (1.7), ψ deverá ser o inverso da fun¸cão F′_{, isto é,}_ψ x

t

=F′−1 x t

.

Notemos que quando x = F′_(v

L)t (curva caracter´ıstica no lado esquerdo do leque),

obtemos

ψx t

=ψ(F′(vL)) =F′−1(F′(vL)) =vL

e quando x=F′_(v

R)t (curva caracter´ıstica no lado direito do leque), obtemos

ψx t

=ψ(F′(vR)) =F′−1(F′(vR)) =vR.

Assim, definimos a solu¸c˜ao como

v(x, t) =

    

   

vL se x < F′(vL)t

F′−1 x t

se F′_(v

L)t≤x≤F′(vR)t

vR se x > F′(vR)t

(1.66)

(39)

3. Vamos ilustrar esse procedimento encontrando uma solu¸cão para a lei de conserva¸cão (1.62) com condi¸cão inicial

v0(x) =

 



1 se x_≤0 2 se x >0.

(1.67)

Seguindo o exemplo anterior, vemos que

F′(vL) =F′(1) = 1, F′(vR) =F′(2) = 4, F′−1

_x

t

=

r

x

t (1.68)

e a solu¸cão análoga à (1.66), pode ser escrita como

v(x, t) =

    

   

1 se x < t

p_x

t se t ≤x≤4t

2 se x >4t

(1.69)

A raiz quadrada positiva é escolhida em vez da negativa para se obter continuidade para x = t e x = 4t. Escolhendo a raiz quadrada negativa, veremos que ela não satisfaz a condi¸cão de salto sobre a descontinuidade e logo não é uma solu¸cão entrópica. Devemos notar que F′ _{é crescente apenas para} _v _positivo.

(40)

Cap´ıtulo 2

Esquemas Num´

ericos para Leis de

Conserva¸

c˜

ao

No decorrer das próximos se¸cões utilizaremos vários esquemas de diferen¸cas expl´ıcitos que são derivados da discretiza¸cão por diferen¸cas finitas da Equa¸cão Diferencial Parcial Hiperbólica escalar linear:

vt+avx = 0 (2.1)

ondea ´e constante e ser´a tomado sempre positivo.

Figura 2.1: Malha Computacional

(41)

pode ser representado pelo par ordenado (xi, tn) = (x0+i∆x, t0+n∆t) e (x0, t0) representa

a origem do sistema de coordenadas.

A idéia geral da discretiza¸cão de uma EDP por diferen¸cas finitas é a substitui¸cão das derivadas presentes na equa¸cão diferencial por aproxima¸cões evolvendo somente valores numéricos da fun¸cão. Essas aproxima¸cões utilizam como ferramenta principal a expansão em série de Taylor. No nosso caso, queremos obter aproxima¸cões para as derivadas de primeira e segunda ordem da fun¸cãov(x, t) nas variáveis espacial e temporal. Dessa forma, utilizaremos a expansão em série de Taylor para fun¸cões de duas variáveis.

v(x+ ∆x, t) = v(x, t) + ∆xvx(x, t) +

(∆x)2

2 vxx(x, t) +O(∆x)

3_, _(2.2)

v(x, t+ ∆t) = v(x, t) + ∆tvt(x, t) +

(∆t)2

2 vtt(x, t) +O(∆t)

3_. _(2.3)

Se isolarmos as derivadas de primeira ordem dev(x, t) em rela¸c˜ao axet em (2.2) e (2.3) respectivamente obtemos as aproxima¸c˜oes

vx(x, t) =

v(x+ ∆x, t)₋v(x, t)

∆x +O(∆x), (2.4) vt(x, t) =

v(x, t+ ∆t)₋v(x, t)

∆t +O(∆t). (2.5) que utilizam diferen¸cas progressivas. De modo semelhante se tomarmos₋∆xe₋∆tem (2.2) e (2.3) respectivamente e isolarmos novamente as derivadas de primeira ordem obtemos as aproxima¸c˜oes

vx(x, t) =

v(x, t)₋v(x₋∆x, t)

∆x +O(∆x), (2.6) vt(x, t) =

v(x, t)₋v(x, t₋∆t)

∆t +O(∆t). (2.7) que utilizam diferen¸cas regressivas. Subtraindo de (2.2) a fórmula obtida da expansão em série de Taylor de v(x₋∆x, t) e de (2.3) a fórmula obtida da expansão em série de Taylor dev(x, t₋∆t) e isolando as derivadas de primeira ordem obtemos as aproxima¸cões

vx(x, t) =

v(x+ ∆x, t)₋v(x₋∆x, t)

2∆x +O(∆x)

2_, _(2.8)

vt(x, t) =

v(x, t+ ∆t)₋v(x, t₋∆t)

2∆t +O(∆t)

2_. _(2.9)

(42)

para obter (2.8) e (2.9).

vxx(x, t) =

v(x+ ∆x, t)₋2v(x, t) +v(x₋∆x, t)

(∆x)2 +O(∆x)

2_, _(2.10)

vtt(x, t) =

v(x, t+ ∆t)₋2v(x, t) +v(x, t₋∆t)

(∆t)2 +O(∆t)

2_. _(2.11)

Antes de apresentarmos alguns esquemas numéricos, vamos definir dois conceitos que estão diretamente ligados com a convergência dos esquemas numéricos: consistência e esta-bilidade.

Defini¸cão 2.0.5 (Consistência) Um método é consistente se quando ∆x, ∆t tendem a zero (∆x,∆t_−→0) o Erro de Truncamento Local da equa¸cãode diferen¸cas também tende a zero (ET L _−→ 0), ou seja, a medida que o passo diminui a equa¸cãode diferen¸cas tende a equa¸cãodiferencial original.

Defini¸cão 2.0.6 (Estabilidade) Um método numérico estável é aquele no qual quaisquer erros ou pertuba¸cõesna solu¸cãonão são amplificados sem limite. Logo, o conceito de estabi-lidade está relacionado ao crescimento, ou diminui¸cão dos erros introduzidos nos cálculos.

Existem alguns métodos que podem ser utilizados para determinar a estabilidade de esquemas numéricos entre eles temos o Método de Von Neumann e o Método da Matriz. O método que utilizamos é o de Von Neumann que é um dos métodos mais simples e mais utilizado para determinar estabilidade. Para mais detalhes sobre consistência e estabilidade ver [2] ou [25].

Vejamos alguns esquemas num´ericos:

• Esquema FTFS: é um esquema estável para ₋1 _≤ R = a_∆∆_xt _≤ 0, consistente de ordem 1. É obtido discretizando a derivada temporal e espacial de v por diferen¸cas progressivas. Denotaremos por un

i uma aproxima¸c˜ao dev(xi, tn).

(43)

un+1

i =uni −R(uin−uni−1). (2.13)

• Esquema Lax-Wendroff: é um esquema estável para _| R _|≤ 1, consistente de ordem 2. É obtido expandindo em série de Taylor v(t+ ∆t) e substituindo vtt por

a2_v

xx, al´em disso discretiza-se vx e vxx por diferen¸cas centrais de primeira e segunda

ordem respectivamente.

un_i+1 = 1 2(R

2 ₊_R)un

i−1+ (1−R2)uni +

1 2(R

2

−R)un_i₊₁ (2.14) O esquema de Lax-Wendroff para o caso n˜ao linear (1.1) pode ser escrito como

un_i+1=un_i ₋R 2(F

n

i+1−Fin−1) +

R2

2

h

an_i₊1 2(F

n

i+1−Fin)−ani+1₂(F

n

i −Fin−1)

i

(2.15)

• Esquema Lax-Friedrichs: é um esquema estável para _|R_|≤1 e condicionalmente consistente. É obtido discretizando a derivada temporal de v por diferen¸cas progres-sivas e a derivada espacial por diferen¸cas centrais e substituindo o termo v_in+1 pela média 1

2(v

n

i−1+vin+1).

un_i+1 = 1 2(u

n

i−1+uni+1)−

R 2(u

n

i+1−uni−1) (2.16)

• Esquema Leapfrog: ´e um esquema est´avel para _| R _|≤ 1 e consistente de ordem 2. ´

E obtido discretizando a derivada temporal e espacial de v por diferen¸cas centrais.

un_i+1 =un_i−1₋R(un_i₊₁₋un_i₋₁) (2.17) • Esquema MacComarck: é um esquema de dois passos estável para _| R _|≤ 1, consistente de ordem 2. Um esquema de dois passos é aquele em que é necessário calcular o valor da variável, no nosso caso, v, em um tempo intermediário entre n e n+ 1.

u∗_i = un_i−1₋R(un_i₊₁₋un_i) (2.18) un_i+1 = 1

2

(44)

• Esquema Upwind: é um esquema que escolhe a dire¸cão mais adequada para trans-portar a informa¸cão, ou seja, quando a velocidade de propaga¸cão é positiva, a in-forma¸cão viaja da esquerda para a direita, e portanto diferen¸ca regressiva é utilizada. E quando a velocidade de propaga¸cão é negativa é utilizado diferen¸ca progressiva.

un_i+1 =

 



un

i −R(Fin+1−Fin) se F′(uni)≤0

un

i −R(Fin−Fin−1) se F′(uni)>0

(2.20)

ou

un_i+1 =

 



un

i −R(Fin+1−Fin) se ani+1/2 ≤0

un

i −R(Fin−Fin−1) se ani+1/2 >0

(2.21)

onde

an_i₊₁_/₂ =

 



Fn

i+1−Fin

un

i+1−uni se (u

n

i+1−uni)6= 0

F′_(un

i) se (uni+1−uni) = 0.

(2.22)

A diferen¸ca entre (2.20) e (2.21) é a utiliza¸cão de uma aproxima¸cão discreta para a derivada. Existem aspectos negativos importantes dos esquemas de diferen¸cas (2.20) e (2.21) quando utilizados para resolver problemas envolvendo leis de conserva¸cão não lineares, entre eles, que o esquema (2.20) não é conservativo e que o esquema (2.21) não fornece a solu¸cão entrópica. Mas esses esquemas com um pequeno ajuste serão uma ferramenta importante para desenvolvermos esquemas de alta precisão.

2.1 Esquemas Conservativos

Solu¸cões numéricas de problemas cuja solu¸cão contem descontinuidades, tais como choques, requerem exigências estritas na formula¸cão matemática das equa¸cões governantes e nos es-quemas numéricos que resolvem essas equa¸cões. No in´ıcio desse cap´ıtulo vimos que uma equa¸cão pode estar na forma diferencial ou integral. Podemos também escolher os tipos de variáveis que queremos usar nas formula¸cões das equa¸cões. Uma boa op¸cão é escolher variáveis conservativas, pois quando as variáveis não conservativas são utilizadas o esquema numérico pode não satisfazer as condi¸cões de salto e não capturar corretamente o choque.

(45)

métodos numéricos conservativos, se convergentes, convergem para uma solu¸cão fraca da lei de conserva¸cão.

Assim, é recomendável trabalhar com métodos conservativos que capturem os choques nas solu¸cões. Consideremos novamente a lei de conserva¸cão

vt+ (F(v))x= 0. (2.23)

Defini¸cão 2.1.1 Um esquema conservativo para a lei de conserva¸cão (2.23) é um método numérico da forma

un_i+1 =un_i +Rhn_i₊₁_/₂₋hn_i₋₁_/₂, (2.24) onde R= ∆t

∆x e

hn_i₊₁_/₂ = h(u_in₋_p, . . . , un_i₊_q) (2.25) hn_i₋₁_/₂ = h(un_i₋_p₋₁, . . . , un_i₊_q₋₁) (2.26) comp e q inteiros n˜ao negativos ou

hn

i+1/2 = h(uni, uni+1) (2.27)

hn_i₋₁_/₂ = h(un_i₋₁, un_i) (2.28) se p = 0 e q = 1; hn

i+1/2 é chamada fun¸cão de fluxo numérico e é uma aproxima¸cão para a

fun¸c˜ao de fluxo F em (2.23).

A defini¸cão acima implica que em um esquema conservativo a soma das solu¸cões numéricas no tempo n é igual à soma das solu¸cões numéricas no tempo n+ 1, isto é,

∞ X

i=−∞

un_i+1 =

∞ X

i=−∞

un_i.

De fato todo esquema num´erico na forma (2.24) ´e conservativo, pois

∞ X

i=−∞

un_i+1 =

∞ X

i=−∞

un_i ₋R

" _∞ X

i=−∞

hn_i₊₁_/₂₋hn_i₋₁_/₂

#

∞ X

i=−∞

un_i+1 =

∞ X

i=−∞

un_i ₋R . . .+hn₋₁_/₂+hn₁_/₂+hn₃_/₂ +. . .₋hn₋₁_/₂₋h₁n_/₂₋hn₃_/₂₋. . .

∞ X

i=−∞

un_i+1 =

∞ X

i=−∞

(46)

Queremos enfatizar que embora desejamos usar esquemas de diferen¸cas conservativos, é de fundamental importância que esses esquemas de diferen¸cas sejam consistentes com a equa¸cão diferencial parcial. Observemos que

un_i+1₋un i

∆t

´e uma aproxima¸c˜ao de vt. Assim devemos impor que

h(un

i−p, . . . , uni+q)−h(uin−p−1, . . . , uni+q−1)

∆x

seja uma aproxima¸cão paraFx. Isto leva à seguinte defini¸cão.

Defini¸cão 2.1.2 O esquema de diferen¸cas (2.24) é consistente com a equa¸cão (2.23) se h(v, . . . , v) =F(v).

2.1.1 Esquemas de Godunov

O método de Godunov é um método conservativo da forma (2.24), onde as fun¸cões de fluxo numérico hn

i+1/2 s˜ao obtidas da solu¸c˜ao de problemas de Riemann locais.

Figura 2.2: Malha Computacional do M´etodo de Godunov

Para descrevermos o método de Godunov precisamos redefinir a discretiza¸cão do dom´ınio, onde dividiremos o eixo na dire¸cão x em intervalos de comprimento ∆xcom centro nos pontos médios de cada subintervalo, por exemplo, o intervaloIi+1/2 = [xi, xi+1] terá centro no ponto