Elina Nieminen
MONOIDIT
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta Kandidaattitutkielma
TIIVISTELMÄ
Elina Nieminen: Monoidit Kandidaattitutkielma Tampereen yliopisto
Matematiikan ja tilastotieteen tutkinto-ohjelma Marraskuu 2019
Tässä kandidaatintyössä tarkastellaan erästä algebrallista struktuuria, monoidia. Monoidi koostuu jostakin jou- kosta sekä siihen liitetystä laskutoimituksesta. Työssä perehdytään myös monoidin ominaisuuksiin, kuten ali- monoidiin, transformaatiomonoidiin, erilaisiin generoituihin monoideihin sekä monoidin isomorfismiin.
Avainsanat: monoidit
Tämän julkaisun alkuperäisyys on tarkastettu Turnitin OriginalityCheck -ohjelmalla.
Sisältö
1 Johdanto 4
2 Esitiedot 5
2.1 Käsitteistä ja merkinnöistä . . . 5 2.2 Laskutoimitusten ominaisuuksista . . . 5 2.3 Kuvauksista . . . 6
3 Monoidi 9
3.1 Monoidin määritelmä . . . 9 3.2 Alimonoidi . . . 12 3.3 Transformaatiomonoidi . . . 14
4 Generoidut monoidit 16
4.1 Generoitu monoidi . . . 16 4.2 Vapaa generoitu monoidi . . . 17
5 Monoidin isomorfismi 19
Lähteet 22
1 Johdanto
Käsittelemme tässä tutkielmassa erästä abstraktia algebrallista struktuuria, monoidia, ja sen ominaisuuksia.
Algebra on matematiikan ala, joka tutkii muun muassa laskutoimituksia ja pyrkii vertailemaan niitä niiden ominaisuuksien perusteella. Muutamiin tämän tutkielman kannalta tärkeisiin ominaisuuksiin tutustumme luvussa 2.
Kun liitämme laskutoimituksen johonkin lukujoukkoon, esimerkiksi yhteenlas- kun kokonaislukujen joukkoon, saamme algebrallisen struktuurin. Kyseisiä struktuu- reja on useanlaisia, ja ne eroavat toisistaan laskutoimitukselle asetettavien ehtojen perusteella. Luvussa 3.1 käsittelemme niitä laskutoimituksen ominaisuuksia, jotka vaaditaan siihen, että algebrallinen struktuuri olisi monoidi. Sen jälkeen luvuissa 3.2 ja 3.3 esittelemme muutaman monoidin ominaisuuden, alimonoidin ja transformaa- tiomonoidin.
Luvussa 4 siirrymme monoidin sovelluksiin. Määrittelemme ensin luvussa 4.1 generoidun monoidin, jonka jälkeen luvussa 4.2 vapaan generoidun monoidin, joka voidaan johtaa suoraan generoidusta monoidista. Vapaa generoitu monoidi on eh- kä monoidin mielenkiintoisin sovellus, ja sillä saadaan sovellettua monoidia muun muassa ohjelmointiin sekä kirjoitettuun kieleen.
Lopuksi määrittelemme vielä luvussa 5 monoideille morfismin ja isomorfismin sekä esittelemme muutamia lauseita näitä määritelmiä hyödyntäen.
Oletamme, että lukijalla on perustiedot joukko-opista. Päälähteenä käytämme Gilbertin ja Nicholsonin teostaModern Algebra with Applications. Lisäksi käytämme lähdekirjoina Häsän ja Rämön teostaJohdatus abstraktiin algebraansekä Kolmanin ja Busbyn teostaDiscrete Mathematical Structures in Computer Science.
2 Esitiedot
2.1 Käsitteistä ja merkinnöistä
Tässä muutama huomautus tekstissä käyttämistämme käsitteistä ja merkinnöistä.
Merkitsemme usein määritelmissä laskutoimitusta merkillä⋆, tällä tarkoitamme mitä tahansa laskutoimitusta. Kutsumme sen tulosta sanalla tulo. Tällä ei ole aina välttämättä mitään tekemistä kertolaskun tulon kanssa.
Kun liitämme laskutoimituksen johonkin joukkoon, käytämme merkintää(Z,·), missä ensimmäisenä sulkeissa on jokin joukko ja toisena joukkoon yhdistetty lasku- toimitus. Tämä esimerkkimerkintä siis tarkoittaa kokonaislukujen joukkoa varustet- tuna kertolaskulla.
2.2 Laskutoimitusten ominaisuuksista
Tässä luvussa palautamme mieleen muutaman laskutoimituksiin liittyvän ominai- suuden, joita tarvitsemme monoidin käsitteen ymmärtämiseen. Määrittelemme las- kutoimitusten liitännäisyyden, vaihdannaisuuden sekä neutraalialkion.
Määritelmä 2.1. Olkoon S mikä tahansa joukko ja olkoot x ja y joukon S mitkä tahansa kaksi alkiota. Laskutoimitus⋆onmääritelty joukossaS, jos tulox⋆ykuuluu joukkoonS.
(Ks. [2, s. 31])
Määritelmä 2.2. OlkoonS mikä tahansa joukko ja olkoot x, yja zjoukon Smitkä tahansa kolme alkiota. Joukon S laskutoimitus ⋆ on liitännäinen joukossa S, jos seuraava ehto pätee:
1. x⋆(y⋆z)= (x⋆y)⋆z.
(Ks. [2, s. 33])
Käytännössä liitännäisyys tarkoittaa sitä, että voimme poistaa lausekkeesta su- lut ilman, että tulo muuttuu. Esimerkiksi yhteen- ja kertolasku ovat liitännäisiä ko- konaislukujen joukossa. Sen sijaan vähennyslasku ei ole kokonaislukujen joukossa liitännäinen.
Määritelmä 2.3. Olkoon S mikä tahansa joukko ja olkoot x ja y joukon S mitkä tahansa kaksi alkiota. Joukon S laskutoimitus⋆on vaihdannainen joukossa S, jos seuraava ehto pätee:
1. x⋆y = y⋆x.
(Ks. [2, s. 33])
Käytännössä vaihdannaisuus tarkoittaa sitä, että voimme vaihtaa kahden alkion paikkaa keskenään lausekkeessa ilman, että tulo muuttuu. Esimerkiksi yhteen- ja kertolasku ovat vaihdannaisia kokonaislukujen joukossa, mutta vähennyslasku ei.
Määritelmä 2.4. OlkoonSmikä tahansa joukko ja olkoonxjoukonSmikä tahansa alkio. JoukonS alkioeon joukon S neutraalialkiolaskutoimituksen⋆suhteen, jos seuraavat ehdot pätevät:
1. e⋆x= x, 2. x⋆e= x.
(Ks. [2, s. 35])
Käytännössä tällä tarkoitetaan sitä, että kun neutraalialkiolle ja mille tahansa muulle joukon alkiolle suoritetaan laskutoimitus, toinen alkio pysyy muuttumatto- mana. Esimerkiksi kokonaislukujen yhteenlaskun neutraalialkio on luku 0 ja kerto- laskun luku 1.
Yllä esiteltyjen ominaisuuksien sekäkäänteisalkion(ks. esim. [2, s. 36]) avulla saisimme määriteltyä myös erään toisen algebrallisen struktuurin,ryhmän(ks. esim.
[2, s. 42]). Ryhmällä ja monoidilla on paljon hyvin samankaltaisia ominaisuuksia.
Kaikki ryhmät ovat myös monoideja, kuten tulemme luvussa 3.1 huomaamaan.
2.3 Kuvauksista
Tässä luvussa esittelemme muutamia kuvauksiin liittyviä ominaisuuksia, joita tarvit- semme myöhemmin monoidin sovelluksissa. Kuvauksella tarkoitamme tässä funk- tiota joltain joukolta toiselle.
Määritelmä 2.5. OlkootAjaBmitkä tahansa kaksi joukkoa. Kuvaus f: A→ Bon injektio, jos kullekin maalijoukon Balkiolle kuvautuu korkeintaan yksi lähtöjoukon Aalkio.
(Ks. [2, s. 23])
Määritelmä 2.6. OlkootAjaBmitkä tahansa kaksi joukkoa. Kuvaus f: A→ Bon surjektio, jos jokaiselle maalijoukonBalkiolle kuvautuu vähintään yksi lähtöjoukon Aalkio.
(Ks. [2, s. 23])
Määritelmä 2.7. Olkoot Aja B mitkä tahansa kaksi joukkoa. Kuvaus f: A → B onbijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Tällöin jokaiselle maalijoukon B alkiolle kuvautuu tasan yksi lähtöjoukon Aalkio.
(Ks. [2, s. 23])
Määritelmä 2.8. OlkootA,BjaCmitkä tahansa kolme joukkoa ja olkoot f: A→ B sekäg: B→Ckuvauksia. Olkoonamikä tahansa joukonAalkio.Yhdistetty kuvaus g◦ f: A→C määritellään seuraavalla ehdolla:
1. (g◦ f)(a)=g(f(a)). (Ks. [2, s. 24])
Käyttäessämme yhdistettyä kuvausta on muistettava huomioida, että ensimmäisen kuvauksen maalijoukon ja toisen kuvauksen lähtöjoukon on oltava samat. Muuten määritelmä ei toimi.
Lause 2.9. Olkoon f: A→ Bmikä tahansa kuvaus. Tällöin
1. on olemassa kuvaus f−1: B→ A, jos ja vain jos kuvaus f on bijektio, 2. kuvaus f−1on bijektio.
Todistus. (vrt. [3, s. 161])
1. Todistamme yhtäpitävän lauseen ”f−1ei ole kuvaus, jos ja vain jos kuvaus f ei ole bijektio”.
Oletamme ensin, että f−1ei ole kuvaus. Tällöin jollain alkiollab∈ Bon olemassa kuva f−1(b)siten, että tuloksia on vähintään kaksi, olkoot nämä a1 jaa2 ∈ A. Siis f(a1)= b= f(a2), joten kuvaus f ei ole tässä tapauksessa bijektio. Toinen vaihtoehto on, että on olemassa alkiob′∈ B, jolla f−1(b′)ei ole olemassa. Silloin kuvaus f ei ole surjektio eli se ei myöskään ole bijektio.
Teemme saman toiseen suuntaan. Oletamme, että kuvaus f ei ole bijektio. Silloin f ei ole injektio tai se ei ole surjektio. Tarkastelemme ensin tapausta, jossa kuvaus f ei ole injektio. Tällöin f(a1)= f(a2)=bkahdella alkiollaa1jaa2 ∈ A. Tällöin f−1(b) sisältää sekä tulosvaihtoehdon a1 että a2, joten f−1 ei ole kuvaus. Tarkastelemme
vielä tapausta, jossa kuvaus f ei ole surjektio. Tällöin on olemassa alkiob′∈ Bjolle ei ole olemassa alkiotaajoukossaA, jolle pätisi f(a)= b′. Tällöin, koska alkioltab′ ei kuvaudu mitään joukkoon A, ei f−1ole kuvaus.
Näin ollen alkuperäinen väittämä ”f−1: B→ Aon kuvaus jos ja vain jos kuvaus f on bijektio” on tosi.
2. Koska(f−1)−1= f, niin kohdan i) todistus osoittaa, että f−1on bijektio. □ Huomautus. Lähdekirjassa esitetty lauseen 2.9 todistus on vajavainen eikä se todista lausetta. Todistuksesta puuttuu kokonaan maininta tapauksesta, jossa joukko B si- sältää alkion, joka ei kuvaudu minnekään. Todistuksessa käsitellään vain tapausta, jossa joukonBalkiot kuvautuvat kahdelle eri alkiolle joukossaA. Todistusta on tässä täydennetty.
3 Monoidi
3.1 Monoidin määritelmä
Tässä luvussa esittelemme monoidin määritelmän sekä siihen liittyviä esimerkkejä.
Esittelemme myös vaihdannaisen monoidin sekä todistamme neutraalialkion yksikä- sitteisyyden.
Monoidi on algebrallinen struktuuri, jossa yhdistämme jonkin laskutoimituksen johonkin lukujoukkoon. Voimme laajentaa algebrallisten struktuurien joukkoa vie- läpuoliryhmiinja ryhmiin, jonka mainitsimme jo aikaisemmin. Näitä struktuureita emme tässä tekstissä käsittele sen tarkemmin. Erilaiset struktuurit tekevät lukujouk- kojen ja laskutoimitusten tarkastelusta laajempaa ja monipuolisempaa. Struktuurit menevät osittain myös päällekkäin (katso kuva 3.1). Kaikki monoidit ovat puoliryh- miä ja vastaavasti kaikki ryhmät ovat monoideja. Tämä ei kuitenkaan päde toiseen suuntaan, kaikki puoliryhmät eivät ole monoideja eivätkä kaikki monoidit ryhmiä.
Struktuurien päällekkäisyyden vuoksi niillä on paljon samankaltaisia ominaisuuksia, kuten esimerkiksialiryhmä,alimonoidijaalipuoliryhmä.
Kuva 3.1.Algebralliset struktuurit.
Määritelmä 3.1. Olkoon M mikä tahansa joukko. Joukko M on laskutomituksen⋆ suhteenmonoidi, jos seuraavat ehdot pätevät:
1. laskutoimitus⋆on määritelty joukossa M, 2. laskutoimitus⋆on liitännäinen joukossaM,
3. joukossa M on olemassa neuraalialkio laskutoimituksen⋆suhteen.
(Ks. [1, s. 137])
Esimerkiksi kokonaislukujen joukko varustettuna kertolaskulla(Z,·)on monoidi.
Esimerkki 3.2. Olkoon joukko M = {a,b} ja olkoon laskutoimitus⋆ määritelty seuraavanlaisesti:
⋆ a b a a b b b b
Osoita, että(M,⋆)on monoidi. (Ks. [3, s. 315, tehtävä 1b])
Ratkaisu. Laskutoimitus⋆on selvästi määritelty joukossa M, sillä tulot taulukossa ovat vain joukon M alkioita. Tarkastellaan seuraavaksi, onko laskutoimitus ⋆ on liitännäinen. Taulukon mukaan
a⋆(b⋆a)= a⋆b=b,
(a⋆b)⋆a= b⋆a =b.
Voimme todeta saman kaikissa muissakin tapauksissa eli laskutoimitus⋆on liitän- näinen.
Näemme taulukosta suoraan, että neutraalialkio joukolle M laskutoimituksen⋆ suhteen on alkio a, koska a⋆a = a, b⋆a = b ja a⋆b = b. Näin ollen voimme
todeta, että(M,⋆)on monoidi. □
Määritelmä 3.3. Olkoon(M,⋆)monoidi. Tällöin(M,⋆)onvaihdannainen monoidi, jos laskutoimitus⋆on vaihdannainen joukossaM.
(Ks. [1, s. 137])
Esimerkiksi luonnolliset luvut yhteen- sekä kertolaskun suhteen ovat vaihdannai- sia monoideja, koska ne ovat monoideja ja yhteen- ja kertolasku ovat vaihdannaisia luonnollisten lukujen joukossa.
Esimerkki 3.4. Osoita, että(Z,⋆)on vaihdannainen monoidi, kun laskutoimitus⋆ on määritelty seuraavasti, alkioiden x ja y ollessa joukon Z mitkä tahansa kaksi alkiota:
x⋆y= x+y−xy.
(Ks. [3, s. 315, tehtävä 11])
Ratkaisu. Koska kokonaislukujen yhteen-, vähennys- ja kertolaskusta voi seurata vain kokonaislukuja, on laskutoimitus⋆määritelty joukossaZ. Osoitamme seuraa- vaksi, että laskutoimitus⋆on liitännäinen:
x⋆(y⋆z)= x⋆(y+z−yz)
= x+(y+z− yz) − x(y+z−yz)
= x+y+z− yz− xy− xy+xyz,
(x⋆y)⋆z=(x+ y− xy)⋆z
=(x+ y− xy)+z−z(x+y−xy)
= x+ y− xy+z−xz−yz+xyz
= x⋆(y⋆z).
Näin ollen voimme todeta laskutoimituksen⋆olevan liitännäinen joukossaZ. Osoi- tamme vielä, että joukolleZon olemassa neutraalialkion laskutoimituksen⋆suhteen.
Oletamme, ettäe⋆x = x. Tällöin pätevät seuraavat yhtälöt:
e+ x−ex = x, e+x− x−ex =0, e−ex =0, e(1−x)=0.
Tätene⋆x = x ∀x ∈Zjos ja vain jose=0. Eli joukollaZon neutraalialkioe=0 laskutoimituksen⋆suhteen.
Nyt olemme osoittaneet, että (Z,⋆) on monoidi. Seuraavaksi osoitamme vielä, että se on vaihdannainen monoidi. Osoitamme siis, että laskutoimitus⋆on vaihdan- nainen joukossaZ. Koska tiedämme, että kokonaislukujen yhteen- ja kertolasku ovat vaihdannaisia, voimme todeta seuraavan:
x⋆y= x+ y− xy = x+ y+(−1)(xy)= y+ x+(−1)(yx)= y+ x−yx = y⋆x.
Siis laskutoimitus⋆on vaihdannainen joukossaZja siten(Z,⋆)on vaihdannainen
monoidi. □
Lause 3.5. Olkoon(M,⋆)monoidi ja olkoon alkioejoukonMneutraalialkio lasku- toimituksen⋆suhteen. Neutraalialkioeon yksikäsitteinen.
Todistus(ks. [3, s. 308]). Todistamme lauseen käyttämällä vastaoletusta. Oletamme, että alkiot e1 sekä e2 ovat molemmat joukon M neutraalialkioita laskutoimituksen
⋆suhteen. Nyt koska e1 on neutraalialkio joukolle M, niin pätee e1⋆e2 = e2. Ja koska e2on neutraalialkio joukolle M, niin pätee e1⋆e2 = e1. Näin ollene1 = e2
siis monoidin neutraalialkio on yksikäsitteinen. □
3.2 Alimonoidi
Määrittelemme tässä luvussa monoidille alimonoidin sekä esittelemme muutaman lauseen, joissa hyödynnämme alimonoidin määritelmää. Alimonoidin määritelmä on sovellettavissa samankaltaisena myös ryhmän aliryhmälle ja puoliryhmän alipuoli- ryhmälle.
Määritelmä 3.6. Olkoon(M,⋆)monoidi ja olkoon joukkoSjoukonMepätyhjä os- ajoukko. JoukkoSvarustettuna laskutoimituksella⋆on monoidin(M,⋆)alimonoidi, jos seuraavat ehdot pätevät:
1. laskutoimitus⋆on määritelty joukossaS, 2. joukonM neutraalialkioekuuluu joukkoonS.
(Ks. [3, s. 309])
Esimerkiksi monoidi itse on itsensä alimonoidi. Samoin, jos joukkoS = {eM}, missäeM on joukon M neutraalialkio ja(M,⋆)on monoidi, niin(S,⋆)on monoidin (M,⋆)alimonoidi. Alimonoidi on aina myös itsekin monoidi. (Ks. [3, s. 309]) Lause 3.7. Olkoon (M,⋆) monoidi sekä olkoot (S,⋆) ja (T,⋆) sen alimonoideja.
LeikkausS∩Tvarustettuna laskutoimituksella⋆,(S∩T,⋆), on tällöin myös monoidin (M,⋆)alimonoidi.
(Ks. [3, s. 315, tehtävä 18])
Todistus. Jotta(S∩T,⋆)olisi monoidin (M,⋆)alimonoidi, on laskutoimituksen⋆ oltava määritelty leikkauksessa S∩T. Koska(S,⋆) ja (T,⋆)ovat monoidin (M,⋆) alimonoideja, on laskutoimitus⋆määritelty sekä joukossa S että joukossaT. Näin ollen pätee, että kunajabovat mitä tahansa joukonSalkioita, myös tuloa⋆b∈S.
Sama pätee tietenkin myös joukolleT.
Koska leikkaus sisältää joukkojen yhteiset alkiot, voimme valita leikkauksesta S∩T mitkä tahansa kaksi alkiota xjay, jolloin tulo x⋆y sisältyy sekä joukkoonS että joukkoonT. Näin ollen tulo sisältyy myös leikkaukseenS∩T. Siis laskutoimitus
⋆on määritelty leikkauksessaS∩T.
Alimonoidin määritelmä vaatii myös neutraalialkion sisältymisen alimonoidiin.
Olkoon alkioejoukon Mneutraalialkio laskutoimituksen⋆suhteen. Koska(S,⋆)ja (T,⋆)ovat monoidin(M,⋆)alimonoideja, kuuluu neutraalialkioeniihin molempiin.
Koska neutraalialkio e kuuluu sekä joukkoon S että joukkoonT, kuuluu se myös niiden leikkaukseenS∩T.
Näin ollen(S∩T,⋆)on monoidin(M,⋆)alimonoidi. □ Määrittelemme seuraavaa lausetta varten käsitteenidempotentti.
Määritelmä 3.8. Olkoon x joukon M alkio ja olkoon (M,⋆)monoidi. Alkio x on idempotentti, josx2= x⋆x = x.
(Ks. [3, s. 315, tehtävä 21])
Lause 3.9. Olkoon (M,⋆) vaihdannainen monoidi (ks määritelmä 3.3). Olkoon X joukko, joka koostuu kaikista joukon M idempotenteista. Tällöin joukko X on mo- noidinM alimonoidi.
(Ks. [3, s. 315, tehtävä 21])
Todistus. OlkootajabjoukonXalkioita. Tällöina= a⋆ajab= b⋆b. Tästä seuraa seuraava yhtälö:a⋆b = (a⋆a)⋆(b⋆b). Koska monoidin määritelmän mukaan laskutoimitus⋆on liitännäinen, pätee seuraava:a⋆b= a⋆a⋆b⋆b. Ja koska(M,⋆) on vaihdannainen monoidi, pätee seuraava:
a⋆b=a⋆b⋆a⋆b =(a⋆b)⋆(a⋆b)= (a⋆b)2.
Siis kun alkiot a ja b ovat idempotentteja, myös a⋆bon idempotentti eli kuuluu joukkoonX. Seuraavaksi, olkoonejoukonMneutraalialkio. Neutraalialkio itsessään on idempotentti, koska e⋆e = e niin e ∈ X. Näin ollen joukko X on joukon M
alimonoidi. □
3.3 Transformaatiomonoidi
Tässä luvussa käsittelemme erästä lausetta liittyen monoidin määritelmään ja sen todistusta. Transformaatiolla tarkoitamme tässä yhteydessä jotain kuvausta joukolta itseensä. Tämä kuvaus ei välttämättä ole bijektio. Käytämme tässä luvussa aiemmin määrittelemäämme yhdistettyä kuvausta (ks. määritelmä 2.8).
Lause 3.10. OlkoonMmikä tahansa joukko ja olkoonMM ={f : M → M}joukko, joka sisältää kaikki kuvaukset joukoltaM itseensä. Tällöin(MM,◦)on monoidi, jota kutsumme transformaatiomonoidiksi.
Todistus(ks. [1, s. 138]). Olkoot f jag joukon MM mitkä tahansa kaksi kuvausta.
Tällöin myös yhdistetty kuvaus f ◦gkuuluu joukkoonMM. Yhdistetty kuvaus◦on aina liitännäinen, koska jos f,g,h,∈ MM, niin
(f ◦ (g◦h))(x)= f(g(h(x))) ja
((f ◦g) ◦h)(x)= f(g(h(x))) ∀a∈ M.
Neutraalialkio yhdistetylle kuvaukselle◦on kuvaus 1M : M → M, missä 1M(x)= x.
Täten(MM,◦)on monoidi. □
Esimerkki 3.11. Olkoon joukko X = {0,1}. Esitä transformaatiomonoidin(XX,◦) laskutoimitustaulu.
Ratkaisu. Joukko XX sisältää neljä alkiota: e, f, gja h. Määrittelemme ne seuraa- vanlaisesti:
e(0)= 0, f(0)=0, g(0)=1, h(0)=1, e(1)= 1, f(1)=0, g(1)=0, h(1)=1.
Nyt esimerkiksi yhdistetty kuvaus (f ◦ h)(0) = f(h(0)) = f(1) = 0. Samoin (f ◦ h)(1) = f(h(1)) = f(1) = 0. Näin ollen f ◦ h = f. Samalla tavalla voim- me laskea muutkin yhdistetyt kuvaukset ja saamme muodostettua seuraavanlaisen laskutoimitustaulun muunnosmonoidille(XX,◦).
◦ e f g h
e e f g h f f f f f g g h e f h h h h h
(Ks. [1, s. 138]). □
Itse asiassa jokainen monoidi voidaan esittää transformaatiomonoidina Cayleyn esityslauseen avulla. Emme tässä pureudu esityslauseeseen sen tarkemmin, mutta sen perusidea on, että jokainen ryhmä on isomorfinen erään symmetrisen ryhmän aliryhmän kanssa. Voimme soveltaa tätä myös monoideille. (Ks. [1, s. 71 & s. 138]) Monoidien tapauksessa transformaatiomonoidi vastaa ryhmän symmetristä ryh- mää, koska symmetrinen ryhmä sisältää kaikki kuvaukset kyseisen ryhmän lukujou- kolta itseensä. Tämä siis tarkoittaa sitä, että monoidi(M,⋆)on isomorfinen (ks. luku 5) transformaatiomonoidin (MM,◦) kanssa. Voimme siis esittää monoidin (M,⋆) transformaatiomonoidina(MM,◦)siten, että muodostamme joukolleMkaikki mah- dolliset kuvaukset joukoltaMitseensä.
Esimerkiksi monoidi (Z,·) on Cayleyn esityslauseen perusteella isomorfinen transformaatiomonoidin (ZZ,◦) kanssa, missä joukko ZZ sisältää kaikki kuvauk- set juokolta Z itseensä. Esimerkin 3.11 tapaan voisimme muodostaa transformaa- tiomonoidille laskutoimitustaulun, joka esittäisi kaikki yhdistetyt kuvaukset kaikista joukonZtransformaatioista.
4 Generoidut monoidit
4.1 Generoitu monoidi
Tässä luvussa perehdymme generoituun monoidiin, jonka määritelmä auttaa meitä ymmärtämään seuraavassa luvussa 4.2 käsiteltävän vapaan generoidun monoidin määritelmän.
Koska monoidin laskutoimitus⋆on liitännäinen (ks. määritelmä 3.1), voimme jättää sulut kirjoittamatta. Voimme siis kirjoittaa esimerkiksi seuraavanlaisesti:
x⋆(y⋆z)= x⋆y⋆z.
Tästä seuraa, että missä tahansa monoidissa(M,⋆), neutraalialkion ollessae ∈ M, minkä tahansa alkiona∈ M potenssit voidaan kirjoittaa seuraavanlaisesti:
a0 =e, a1= a, a2=a⋆a, a3 =a⋆a⋆a=a⋆a2, . . . , an= a⋆an−1 ∀n ∈N.
(Ks. [1, s. 139])
Määritelmä 4.1. Olkoon(M,⋆)mikä tahansa monoidi ja olkoonmjoukon Mmikä tahansa alkio. Olkoon joukko A joukon M jokin osajoukko, eli A ⊂ M. Monoidi (M,⋆)ongeneroitu osajoukolla A, jos seuraava ehto pätee:
1. m=a1r1⋆ar22⋆,· · · ,⋆arnn joillain a1,a2, . . . ,an ∈ A.
(Ks. [1, s. 139])
Käytännössä määritelmä tarkoittaa sitä, että jokainen joukonM alkiomvoidaan kirjoittaa osajoukon Aalkioiden tulona.
Esimerkiksi monoidi(Z+,·)on generoitu kaikilla alkuluvuilla.
Myös monoidi (N,+), eli luonnollisten lukujen joukko varustettuna yhteenlas- kulla, on generoitu, tosin vain yhdellä alkiolla, luvulla 1. Jokainen alkio joukossaN voidaan kirjoittaan kokoisena summana lukuja 1, n ∈ N. Esimerkiksi luku 4 ∈ N voidaan kirjoittaa muodossa 1+1+1+1 = 4. Tässä tapauksessa osajoukko, jolla monoidi(N,+)on generoitu, on joukko A= {1}.
Tällainen yhdellä alkiolla generoitu monoidi on niin kutsuttu syklinen monoi- di. Esimerkiksi monoidi (Z,+) ei ole syklinen, sillä se tarvitsee generointiin kaksi alkiota, luvut -1 ja 1.
(Ks. [1, s. 139])
Määritelmä 4.2. Monoidi (M,⋆) on syklinen monoidi, jos se on generoitu jollain joukonM osajoukolla Aja joukkoAsisältää vain yhden alkion.
(Ks. [1, s. 139])
4.2 Vapaa generoitu monoidi
Monoideja esiintyy välillä jopa hieman yllättävissä paikoissa. Esimerkiksi kirjoitettu kieli voidaan luokitella eräänlaiseksi monoidiksi, tällöin kyseessä onvapaa generoitu monoidi. Joukkona on tässä tapauksessa aakkosten joukko ja laskutoimituksenakon- katenaatio. Konkatenaatiolla tarkoitamme kahden merkkijonon kirjoittamista peräk- käin yhteen. Merkitsemme tässä luvussa konkatenaatiota merkillä•, erottaaksemme sen tuntemattomasta laskuoperaatiosta⋆. Näin ollen esimerkiksi lu•ku = luku. (Ks.
[1, s. 140])
Tässä luvussa esittelemme ensin yhden apulauseen, jonka avulla määrittelemme vapaan generoidun monoidin. Sen jälkeen esittelemme muutaman esimerkin vapaan generoidun monoidin sovelluksista.
Määrittelemme seuraavanlaisesti. Olkoon A jokin joukko ja olkoon An joukko joukonAalkioiden kaikistan-pituisista konkatenaatioista. Näin ollen, josA= {a,b}, niinA2 = {aa,ab,ba,bb}. Määrittelemme tyhjän joukonA0= {λ}, missäλtarkoittaa 0-mittaista sanaa..
Olkoon A∗joukko kaikista konkatenaatioista joukosta A:
A∗ = A0∪A1(= A) ∪A2∪A3∪ · · ·=
∞
⋃︂
n=0
An.
Apulause 4.3. Edellä määritelty joukkoA∗varustettuna konkatenaatiolla, eli(A∗,•), on monoidi.
Todistus(ks. [1, s. 140]). Kun suoritamme kahdelle merkkijonolle konkatenaation, ei voi syntyä kuin saman merkkijoukon alkioita, koska alkiot eivät konkatenaatios- sa muutu. Siis konkatenaatio on määritelty joukossa A∗. Konkatenaatio on myös liitännäinen:
s• (u•t)= s•ut =sut,
(s•u) •t = su•t =sut = s• (u•t) ∀s,u,t ∈ A∗.
Neutraalialkio on tyhjä sanaλ, koskas•λ= sjaλ• s = s ∀s ∈ A∗ □
Määritelmä 4.4. Olkoon A∗ joukko kaikista konkatenaatioista joukosta A, kuten edellä määriteltiin. Monoidi(A∗,•)onvapaa generoitu monoidi. Vapaan generoidun monoidin alkioita kutsummesanoiksi.
(Ks. [1, s. 140])
Jos joukkoAkoostuu vain yhdestä alkiostaa, niin joukkoA∗ = {λ,a,aa,aaa, . . .}. Tällöin esimerkiksi aa •aaa = aaaaa. Tämä vapaa generoitu monoidi(A∗,•) on vaihdannainen.
Kuten jo luvun alussa totesimme, saamme myös kirjoitetusta kielestä monoidin.
Tähän mennessä olemme kuitenkin käsitelleet vain yksittäisiä sanoja. Kun lisäämme joukkoon Amyös välilyönnin (merkitsemme tässä □) ja pisteen sekä isot kirjaimet, saamme muodostettua lauseita. Nyt siis joukko A= {A,B,C, . . . ,a,b,c, . . . ,□, .)}ja (A∗,•)on vapaa generoitu monoidi. Tällöin esimerkiksi sanaM onoidi ∈ A∗. Voim- me yhdistellä sanoja konkatenaation avulla käyttäen välilyöntiä □ sanojen välissä.
EsimerkiksiM onoidi•t□ov•at□ki•vo ja. = M onoidit□ovat□kivo ja.On kuiten- kin huomattava, että joukkoA∗sisältää aivan kaikki mahdolliset yhdistelmät joukon Aalkioista. Siis myös ne sanat, jotka eivät tarkoita mitään, esimerkiksigh jns∈ A∗. Tietokone saa informaation lukuina 0 ja 1 sekä niistä muodostuvista merkkijo- noista. Nämä merkkijonot ovat konkatenaatioita ja siten joukon{0,1}voidaan katsoa generoivan vapaan monoidin konkatenaation suhteen. TällöinA∗ = {λ, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, . . .}. Esimerkiksi 0111•01001 = 011101001 ja 01001•0111 = 010010111. Voimme tämän perusteella todeta, ettäA∗ei ole kuitenkaan vaihdannai- nen.
Edellisten esimerkkien perusteella on helppo todeta, että kun a on n-pituinen merkkijono jabonm-pituinen merkkijono,a•bonn+m-pituinen merkkijono.
(Ks. [1, s. 140])
5 Monoidin isomorfismi
Tässä luvussa määrittelemme isomorfismin käsitteen monoideille. Sitä ennen mää- rittelemme kuitenkin monoidin morfismin.
Käytämme tässä luvussa laskutoimituksille merkintää ⋆′ merkinnän ⋆ lisäksi, jotta erottaisimme eri monoidien laskutoimitukset toisistaan. Laskutoimitus ⋆′ ei välttämättä liity mitenkään laskutoimitukseen⋆.
Määritelmä 5.1. Olkoot (M,⋆)ja (S,⋆′)kaksi mitä tahansa monoidia. Olkoot eM
ja eS niiden neutraalialkiot. Kuvaus f: M → S on morfismi monoidista (M,⋆) monoidiin(S,⋆′), jos seuraavat ehdot pätevät:
1. f(x⋆y)= f(x)⋆′ f(y) ∀x,y ∈ M, 2. f(eM)= eS.
(Ks. [1, s. 141])
Esimerkiksi, olkoon kuvaus f : (N,+) → (Z+,·)sellainen, että f(n) = n2. Tämä kuvaus on morfismi, sillä f(n+m)=2n+m =2n·2m = f(n) · f(m) ∀m,n∈N.
Kuvaus f: (N,+) → (N,+), f(x)= x2ei sen sijaan ole morfismi, sillä f(x+y)= (x+y)2, kun taas f(x)+f(y)= x2+y2. Siis esimerkiksi f(1+1)= 4 jaf(1)+f(1)= 2.
(Ks. [1, s. 141])
Määritelmä 5.2. Olkoot(M,⋆)ja(S,⋆′)kaksi mitä tahansa monoidia. Näiden välillä onisomorfismieli(M,⋆)≅ (S,⋆′), jos seuraavat ehdot pätevät:
1. Monoidien(M,⋆)ja(S,⋆′)välillä on morfismi, 2. Kuvaus f : M → Son bijektio.
(Ks. [1, s. 141])
Esimerkki 5.3. Olkoot joukotM = {a,b,c} jaS = {x,y,z}. Olkoot(M,⋆)ja(S,⋆′) monoideja, kun laskutoimitukset⋆ja⋆′on määritelty seuraavasti:
⋆ a b c
a a b c b b c a c c a b
⋆′ x y z x z x y
y x y z
z y z x
Olkoon kuvaus f määritelty seuraavasti: f(a)= y, f(b)= x, f(c)= z. Kun sijoitam- me kuvauksen f tauluun⋆, saamme taulun⋆′. Saamme seuraavat tulot:
f(a⋆a)= f(a)= y = y⋆′y= f(a)⋆′ f(a), f(a⋆b)= f(b)= x= y⋆′x= f(a)⋆′ f(b),
f(b⋆b)= f(c)= z= x⋆′x= f(b)⋆′ f(b)ja niin edelleen.
Näin ollen monoidit(M,⋆)ja(S,⋆′)ovat isomorfisia keskenään eli(M,⋆) ≅ (S,⋆′). (Ks. [3, s. 312])
Lause 5.4. Olkoot(M,⋆)ja(S,⋆′)monoideja ja olkoot niiden neutraalialkioteM ja eS. Olkoon kuvaus f : M → Sisomorfismi eli(M,⋆) ≅(S,⋆′). Tällöin f(eM)= eS. Todistus(ks. [3, s. 312]). Koska kuvaus f on isomorfismi, se on bijektio ja silloin myös surjektio. Tällöin, kun b on mikä tahansa joukon S alkio, sille on olemassa kuva f(a) = b, jollaina ∈ M. Nyt voimme kirjoittaa seuraavanlaisesti:a = a⋆eM
ja b = f(a) = f(a⋆eM) = f(a)⋆′ f(eM) = b⋆′ f(eM). Samoin a = eM ⋆a ja b = f(eM)⋆′b. Näin ollen pätee seuraava: b = b⋆′ f(eM) = f(eM)⋆′bkaikilla b∈ S. Siis f(eM)on joukonSneutraalialkio eli f(eM)=eS. □ Lause 5.5. Olkoot(M,⋆)ja(S,⋆′)monoideja ja olkoon kuvaus f :M →Sisomor- fismi. Tällöin on olemassa kuvaus f−1, joka on isomorfismi.
Todistus(vrt. [3, s. 310]). Koska isomorfismin määritelmän (5.2) mukaan f on bi- jektio, niin lauseen 2.9 mukaan on olemassa kuvaus f−1:S → M siten, että kuvaus f−1on bijektio. Olkoot alkiotxjayjoukonSmitkä tahansa kaksi alkiota. Koska ku- vaus f on bijektio, se on myös surjektio, joten on olemassa sellaiset alkiota,b∈M, joille pätee f(a) = x sekä f(b) = y. Nyta = f−1(x)ja b= f−1(y). Tällöin pätevät seuraavat yhtälöt:
f−1(x⋆′y)= f−1(f(a)⋆′ f(b)),
= f−1(f(a⋆b)),
= (f−1◦ f)(a⋆b),
= a⋆b,
= f−1(x)⋆ f−1(y).
Näin ollen kuvaus f−1on isomorfismi. □
Lause 5.6. Olkoon (A∗,•) vapaa generoitu monoidi joukon A suhteen (ks määri- telmä 4.4). Olkooni: A → A∗ kuvaus, joka kuvaa jokaisen joukon Aalkion asitä vastaavaan sanaan pituudeltaan1, elii(a)= a,∀a ∈ A.
Olkoon(M,⋆′)monoidi. Tällöin, josl: A→ Mon jokin kuvaus, niin on olemassa morfismih: (A∗,•) → (M,⋆′)siten, että h◦i = l.
Tätä havainnollistamme kuvassa 5.1.
Kuva 5.1.Kuvaukset lauseessa 5.6
Todistus(ks. [1, s. 141]). Jotta h toteuttaisi yhdistetyn kuvauksen h ◦ i = l (ks.
määritelmä 2.8), niin kuvauksenhon oltava määritelty 1-mittaisten sanojen joukossa siten, ettäh(a)= l(a), koska h◦i(a)= h(i(a))= h(a).
Olkoonasana, jonka pituus onn ≥2. JoukossaA∗kirjoitamme sananamuodossa b•c, missä sananbpituus onn−1 ja sanancpituus 1. Tällöin pätee seuraava:
h(a)= h(b•c)= h(b)⋆′h(c)= h(b)⋆′l(c).
Seuraavaksi voisimme määritellä vastaavasti kuvauksenhsanallebja niin edelleen, kunnes voimme kirjoittaa kuvauksen h(a) kokonaan kuvauksen l avulla. Nyt jos kirjoitamme sanan a = a1•a2• · · · •an, missäai ∈ A, niin edellisen perusteella voimme kirjoittaa seuraavasti:
h(a)=l(a1)⋆′l(a2)⋆′· · ·⋆′l(an).
Näin ollen morfismin määritelmän 5.1 ensimmäinen kohta pätee. Lisäksi on pädettävä seuraava: h(eA∗) = eM. Joukon A∗ neutraalialkio on aiemmin määrittelemämmeλ.
Koskah(λ)⋆′h(a)= h(λ•a)= h(a)jah(a)⋆′h(λ)= h(a•λ)= h(a)niinh(λ)=eM. Näin ollenh: (A∗,•) → (M,⋆′)on morfismi.
□
Lähteet
[1] Gilbert, William J. & Nicholson, W. Keith.Modern Algebra with Applications.
Second Edition. New Jersey. John Wiley & Sons Inc. 2004.
[2] Häsä, Jokke & Rämö, Johanna.Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki. Gau- deamus, 2012.
[3] Kolman, Bernard & Busby, Robert C.Discrete Mathematical Structures in Com- puter Science. Second Edition. United States of America. Prentice-Hall Interna- tional. 1987.
