96) Application : Calcul de la section efficace différentielle de
Cours 2 Chaîne de désintégration radioactive
4 Désintégrationβ±, capture électronique (CE) et désexcitation du noyau (rappels)
Les différents types de radioactivité
Interaction des photon avec la matière (cf travaux pratique) Loi de filiation, activité et période
Largeur PartielleΓi et rapport d’embranchementBri Exemple de largeur et de durée de vie
5 Le concept de masse et de largeur d’une particule instable (cas du neutron) (rappels)
La fonction d’onde du neutron
Détermination de la distribution en énergie La distribution de Breit et Wigner
6 Chaîne de désintégration radioactive et Équation de H. bateman (Problème traité en cours)
Les différents types de radioactivité
Plan-Contenu
4 Désintégrationβ±, capture électronique (CE) et désexcitation du noyau (rappels) Les différents types de radioactivité
Interaction des photon avec la matière (cf travaux pratique) Loi de filiation, activité et période
Largeur PartielleΓiet rapport d’embranchementBri Exemple de largeur et de durée de vie
5 Le concept de masse et de largeur d’une particule instable (cas du neutron) (rappels)
La fonction d’onde du neutron
Détermination de la distribution en énergie La distribution de Breit et Wigner
6 Chaîne de désintégration radioactive et Équation de H. bateman (Problème traité en cours)
Désintégrationβ±, capture électronique (CE) et désexcitation du noyau (rappels) Les différents types de radioactivité
Un exemple de radioactivité naturelle : le carbone
146CLe carbone146Cest un isotope radioactif du carbone qui est un élément chimique possédant :
2 isotopes stables :
12
6C(98,8 %)
13 6C(1,1 %)
des traces de nombreux radionucléides de96Cà176C.
Le146Cnaturel est produit naturellement dans la haute atmosphère par l’action des neutrons cosmiques sur les atomes d’azote.
14
6C→147 N+e−+νe
Niveau d’activité en carbone146Catmosphérique depuis 1800
Les différents types de radioactivité
Chaîne de désintégration radioactif de l’uranium
23892UDésintégrationβ±, capture électronique (CE) et désexcitation du noyau (rappels) Les différents types de radioactivité
Radioactivité :
α,β+,
β−et
γParticules alphaα:
Ce sont desnoyaux d’hélium(42He) .
Masse importante, légèrement déviées par un champ~Eou~B.
Faible pouvoir de pénétration :. Quelques centimètres d’air ou une mince feuille de papier d’aluminium les arrête.
Particule bêta moins(β−)
Ce sont des électrons.
Masse faible, facilement déviées par un~Eou~B.
pouvoir de pénétration moyen : plusieurs mètres d’air ou quelques centimètres d’aluminium les arrête.
Particules bêta plus(β+)
Ce sont des positons(e+)(antiparticules dese−)
Rayons gamma(γ)
Les(γ)sont des rayonnements
électromagnétiques de grande énergie donc de faible longueur d’onde.
Grand pouvoir de pénétration :
Ils peuvent pénétrer dans plus de un mètre de plomb.
Les différents types de radioactivité
Réaction de désintégration
αUne particuleαest un noyau d’hélium (42He).
La désintégrationαconcerne les noyaux qui sont lourds (A > 180 nucléons).
Le noyau initial dit noyau père (AZX) émet un noyau d’hélium.
Le noyau résultant dit noyau fils (A−4Z−2Y) devient plus stable.
La réaction de désintégrationαs’écrit :
AZX→A−4Z−2 Y+42He
L’uranium23892Uest un émetteurα: 238
92U→23490 Th+42He
Désintégrationβ±, capture électronique (CE) et désexcitation du noyau (rappels) Les différents types de radioactivité
Réaction de désintégration
β−Le noyau père (AZX) possède trop de neutrons par rapport au nombre de protons.
Un neutron du noyau se transforme en proton, avec émission d’un électron (e−) et d’une antiparticule appelé anti-neutrino électronique (νe)
n→p+e−+νe
La réaction de désintégrationβ−s’écrit : A
ZX→Z+1AY+e−+νe
Le carbone 14, qui sert à la datation des objets est émetteurβ−, le noyau fils est de l’azote :
14
6C→147 N+e−+νe
Les différents types de radioactivité
Réaction de désintégration
β+Le noyau père possède trop de protons par rapport au nombre de neutrons.
Dans le noyau un proton se transforme en neutron, avec émission d’un positon (e+) et d’une particule appelé neutrino électronique (νe).
p→n+e++νe
La réaction de désintégrationβ+s’écrit : A
ZX→Z−1A Y+e++νe
Le phosphore 30 est émetteurβ+, le noyau fils est du silicium 30
15P→3014 Si+e++νe
Désintégrationβ±, capture électronique (CE) et désexcitation du noyau (rappels) Les différents types de radioactivité
Désexcitation
γ:
APRÈS UNE DÉSINTÉGRATIONα,β+etβ−, DANS LA PLUPART DES CAS, L’ÉLECTRON OU LE POSITON OU LA PARTICULE ALPHA NE PEUT PAS SORTIR DE LA SOURCE (SI ELLE EST SCELLÉE), DONC LE DANGER NE VIENT PAS
MAJORITAIREMENT D’EUX MAIS PRINCIPALEMENT DU PHOTON γQUI PEUT ÊTRE PRODUIT ET QUI TRAVERSE FACILE TOUTES MATIÈRES.
Le noyau fils engendré par radioactivitéα,β+etβ−peut se trouver dans un état excité, notéAZX?, Il peut se désexciter vers un état d’énergie plus basse qui peut être son état fondamental
A
ZXen émettant un photonγ:
A
ZX?→AZ X+γ
La production du noyau fils excité d’azote 14 après la désintégrationβ−du carbone 14 est suivie de l’émission du rayonnement gamma, avec désexcitation du noyau fils :
14
6C→147 N?+e−+νe,147N?→147 N+γ
Interaction des photon avec la matière (cf travaux pratique)
Plan-Contenu
4 Désintégrationβ±, capture électronique (CE) et désexcitation du noyau (rappels) Les différents types de radioactivité
Interaction des photon avec la matière (cf travaux pratique) Loi de filiation, activité et période
Largeur PartielleΓiet rapport d’embranchementBri Exemple de largeur et de durée de vie
5 Le concept de masse et de largeur d’une particule instable (cas du neutron) (rappels)
La fonction d’onde du neutron
Détermination de la distribution en énergie La distribution de Breit et Wigner
6 Chaîne de désintégration radioactive et Équation de H. bateman (Problème traité en cours)
Désintégrationβ±, capture électronique (CE) et désexcitation du noyau (rappels) Interaction des photon avec la matière (cf travaux pratique)
Interaction du photon avec la matière : Effet Photoélectrique
Le photon incident interagit un électron du cortège électronique.
L’énergie du photon incident (Eγ) est totalement transférée à un électron d’une couche interne (photo-électron).
Cette réactions ne peut se faire qu’avec un électron lié car il faut l’atome permet d’assurer la conservation de l’énergie et de l’impulsion.
La vacance créée dans la couche interne est comblée par un électron issu d’une couche plus externe, l’énergie étant libérée sous forme d’un photon X de fluorescence ou d’un électron Auger.
Les photons X de ré-arrangement des couches électroniques portent le nom générique de la couche contenant la vacance initiale : XK, XL,...
γ + e
lié→ e
Photo-électronLa conservation de l’énergie et de l’impulsion implique :
EPhoto-électron=Eγ−Eliaison
Interaction des photon avec la matière (cf travaux pratique)
Interaction du photon avec la matière :effet Compton
Le photon incident interagit un électron faiblement lié, voire libre.
Cet électron a une énergie de liaison beaucoup plus faible que celui impliqué dans l’effet photoélectrique.
L’électron cible est expulsé dans une direction donnée : c’est l’électron Compton.
Le photon incident est diffusé dans une direction qui fait angleθavec la direction incidente.
Lorsque l’énergie du photon incident croît, l’énergie emportée par l’électron Compton devient de plus en plus importante par rapport à celle du photon diffusé.
γ + e → γ
0e
0Arthur Holly Compton (né le 10 septembre 1892 à Wooster (Ohio) et mort le 15 mars 1962 à Berkeley (Californie) était un
physicien états-unien.
Désintégrationβ±, capture électronique (CE) et désexcitation du noyau (rappels) Interaction des photon avec la matière (cf travaux pratique)
Interaction du photon avec la matière : création de paire (effet de matérialisation)
L’énergie du photon incident est totalement absorbée pour la création d’une paire
électron-positon.
La création de paire a lieu
uniquement si l’énergie du photon incident (Eγ) est supérieur à deux fois la masse de l’électron (mec2) Eγ>2mec2=1,022 MeV
Le positron après ralentissement dans la matière, au repos,
s’annihilent avec un électron de la matière générant un paire de photons de 511 keV émis à 180o l’un de l’autre.
Loi de filiation, activité et période
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4 Désintégrationβ±, capture électronique (CE) et désexcitation du noyau (rappels) Les différents types de radioactivité
Interaction des photon avec la matière (cf travaux pratique) Loi de filiation, activité et période
Largeur PartielleΓiet rapport d’embranchementBri Exemple de largeur et de durée de vie
5 Le concept de masse et de largeur d’une particule instable (cas du neutron) (rappels)
La fonction d’onde du neutron
Détermination de la distribution en énergie La distribution de Breit et Wigner
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Désintégrationβ±, capture électronique (CE) et désexcitation du noyau (rappels) Loi de filiation, activité et période
Noyaux stables, noyaux instables
Un noyau stable garde indéfiniment la même structure
C’est le cas par exemple d’un des isotopes du carbone, l’isotope126C.
Un noyau radioactif est instable
A une date inconnue, il se désintègre spontanément en un autre noyau en émettant des particules (α,β,γ, etc ..).
C’est le cas de l’ isotope du carbone, le146C:146C→147 N+e−+νe
Domaines de stabilité et d’instabilité des noyaux :
Loi de filiation, activité et période
Loi de filiation simple
Loi de filiation simple : exemple146C→147 N+e−+νe
SiN(t)est le nombre de noyaux de carbone146Cà l’instant t.
La variation par unité de tempsdNdt est proportionnelle au nombre de noyaux de carbone 14N(t)
−dN
dt =λN(t)⇒N(t) =N0e−λt
Cette constante de proportionnalité, notéeλ, est la constante radioactive, elle représente la probabilité pour qu’un unique noyau se désintègre.
La période ou la duré de demi-vieT1/2est la durée au bout de laquelle la moitié des atomes initiauxN0se sont désintégrés.
T1/2= ln2
λ ⇒N(t) = N0
2
t T1/2
La durée de vie moyenneτétant :
τ= Z ∞
0
t|dN(t) N0
|dt= Z ∞
0
tλe−λtdt= 1 λ
Désintégrationβ±, capture électronique (CE) et désexcitation du noyau (rappels) Loi de filiation, activité et période
Courbe de décroissance radioactive et activité
L’ activité, notéeA(t), est le nombre de désintégrations par seconde :
A(t) =λN(t)“
=λN0e−λt=A0e−λtpour une loi de filiation simple”
L’unité de l’activité est le Becquerel (Bq) qui correspond à une désintégration par seconde.
Le curie (Ci) est souvent utilisé (1 Ci = 3,7 1010Bq) et représente la radioactivité de 1 g de radium.
Loi de filiation, activité et période
Notion de période biologique et de période effective
1 Lors d’une contamination interne, les caractéristiques physico-chimiques du radionucléide de période radioactiveTrad.déterminent le tissu biologique sur lequel il se fixe.
2 Son élimination, après métabolisation dépends de sa période biologiqueTbiol..
3 Par exemple, l’évolutionN(t)des noyaux d’iode12553Iqui sont fixés la thyroïde s’écrit :
dN= −ln2 Trad.
Ndt− ln2 Tbiol.
Ndt
= −ln2 Teff.
Ndt avec Teff.= Tbiol.Trad.
Tbiol.+Trad.
⇒ N(t) =N0exp
„
−tln2 Teff.
«
La période radioactive l’iode12553Iest de 60,2 jours, sa période biologique dans la thyroïde est de 128 jours, sa période effective est de donc de 42 jours (l’iode12553I étant responsable de cancers de la thyroïde).
Désintégrationβ±, capture électronique (CE) et désexcitation du noyau (rappels) Loi de filiation, activité et période
Évolution avec un taux d’absorption constant
1 Si par exemple l’air ou la nappe phréatique sont contaminés et que l’on absorbe continuellementC0noyaux d’iode12553Ipar unité de temps.
2 L’évolutionN(t)des noyaux d’iode12553Idans la thyroïde s’écrit :
dN
dt = C0− ln2 Trad.
N− ln2 Tbiol.
N=C0− ln2 Teff.
N
N(t) = C0
Teff.
ln2
„ 1−exp
„
−tln2 Teff.
««
3 Quelle est l’activité dans la thyroïde ? Que devient-elle pour des temps assez grands (on dit que l’on est à l’équilibre) ?
A(t) = ln2 Trad.
N(t) =C0
Teff.
Trad.
„ 1−exp
„
−tln2 Teff.
««
t→∞lim A(t) = C0
Teff.
Trad.
=C0
Tbiol.Trad.
Tbiol.+Trad.
1 Trad.
=C0
Tbiol.
Tbiol.+Trad.
<C0
Largeur PartielleΓiet rapport d’embranchementBri
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Interaction des photon avec la matière (cf travaux pratique) Loi de filiation, activité et période
Largeur PartielleΓiet rapport d’embranchementBri Exemple de largeur et de durée de vie
5 Le concept de masse et de largeur d’une particule instable (cas du neutron) (rappels)
La fonction d’onde du neutron
Détermination de la distribution en énergie La distribution de Breit et Wigner
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Désintégrationβ±, capture électronique (CE) et désexcitation du noyau (rappels) Largeur PartielleΓiet rapport d’embranchementBri
Largeur Partielle
Γiet rapport d’embranchement
BriSi pour une particule (noyau), il existe plusieurs voies possibles (réactions possibles) de désintégrations ayant chacune comme probabilité de désintégration par unité de tempsλi.
La variationdNi du nombre totaleN(t)de noyaux s’écrit
dNi =−λiNdt (109)
La variation totaledN du nombre totaleN(t)de noyaux s’écrit
dN =dN1+dN2+· · ·+dNi+· · · (110)
= (λ1+λ2+· · ·+λi+· · ·)Ndt =−λNdt (111)
Le rapport d’embranchementBri est la fraction de noyaux qui se désintègre dans la voieiparmi tous ceux qui ce désintègrent, on a
Bri =dNi dN = λi
λ = Γi
Γ avec Γi =~λi (112)
Exemple de largeur et de durée de vie
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5 Le concept de masse et de largeur d’une particule instable (cas du neutron) (rappels)
La fonction d’onde du neutron
Détermination de la distribution en énergie La distribution de Breit et Wigner
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Désintégrationβ±, capture électronique (CE) et désexcitation du noyau (rappels) Exemple de largeur et de durée de vie
Désintégration d’un noyau de
13755Cs(source utilisée en TP)Informations sur le césium Le césium naturel, découvert en 1861, est constitué du seul isotope stable 133Cs.
L’isotope13755Csest utilisé en médecine comme source de rayonnement pour traiter le cancer du col de l’utérus et de la vessie.
Les déchets radioactifs et retombées d’essais nucléaires atmosphériques et de
l’accident de Tchernobyl peuvent contenir du césium 134, 135 ou 137.
Désintégration d’un noyau de13755Cs
13755Cs→13756 Ba?+e−+νe (Br=93%) (113)
137
56Ba?→13756 Ba+γ (Br∼100%) (114)
Exemple de largeur et de durée de vie
Noyau de
13756BaLargeur de l’état excité à 1251,8keVde périodeT1/2=0,354ps
Γ =~λ=~
τ = ~ln 2
T1/2 =~cln 2
cT1/2 (115) ' 197×0,693
3.108×1015×0,354 10−12 (116)
'1.29 10−3eV (117)
Désintégrationβ±, capture électronique (CE) et désexcitation du noyau (rappels) Exemple de largeur et de durée de vie
Premiers états excités du noyau d’uranium
23692ULa fonction d’onde du neutron
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5 Le concept de masse et de largeur d’une particule instable (cas du neutron) (rappels)
La fonction d’onde du neutron
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Le concept de masse et de largeur d’une particule instable (cas du neutron) (rappels) La fonction d’onde du neutron
Étude de la notion de masse d’une particule instable comme le neutron
Quelle est la distribution en énergie d’un système instable comme le neutron qui se désintègre par émissionβ−avec une vie moyenne τ=λ1?
n→p+e−+ ¯νe (118)
On considère le neutron comme une onde (dualité onde-corpuscule) et on noteψn ~r,t
sa fonction d’onde.
La probabilitédPde présence du neutron à l’instanttdans l’élément de volumed3r entourant le point~r s’écrit :
dPn=
ψn ~r,t
2d3r (119)
La probabilitéPnde trouver ce neutron, à l’instantt, dans le volumeV est :
Pn= Z
V
dPn= Z
V
ψn ~r,t
2d3r (120)
La fonction d’onde du neutron
La fonction d’onde d’une particule stable comme le proton
Dans le cas d’un proton, indéfiniment stable,
au repos dans le laboratoire (E =mpc2),
d’après la mécanique quantique la fonction d’ondeψp ~r,t s’écrit :
ψp ~r,t
=e−iωptψp ~r
=e−iE~tψp ~r
(121)
La probabilité totalePpde trouver ce proton à l’instant t dans le volumeV très grand V → ∞ (' fm3 ! !)
est :
Pp= Z
V
dPp= Z
V
ψp ~r,t
2d3r= Z
V
ψp ~r
2d3r =1 (122)
Le concept de masse et de largeur d’une particule instable (cas du neutron) (rappels) La fonction d’onde du neutron
Probabilité de présence du neutron donnée par la loi radioactive
La probabilité totalePndt de trouver un neutron dans l’espace entre les instantt ett+dt n’est pas constante car il est instable. On sait queSiNn(t)est les nombre moyen de neutrons dans l’espace, d’après la loi de la radioactivité, on a sit≥0
dNn(t) =−Nn(t)λdt (123)
⇒Nn(t) =Nn(t=0)exp(−λt) (124) doncPnla probabilité de présence du neutron dans tout l’espace par unité de temps s’écrit en fonction deλ
Pn=Pn(t) = Nn(t)
Nn(t =0) =exp(−λt) (125)
= Z
V→∞
ψn ~r,t
2d3r (126)
La fonction d’onde du neutron
Fonction d’onde d’une particule instable comme le neutron
La probabilité de présence d’un neutron dans le volumeV décroît donc exponentiellement, on a doncZ
V→∞
ψn ~r,t
2d3r =exp(−λt) (127)
La contrainte donnée par l’eq. 127, ci-dessus, donne comme fonction d’onde du neutron au reposψn ~r,t
la forme suivante pour des tempst ≥0.
ψn ~r,t
=exp
−λ 2t
exp(−iωnt)ψn ~r
(128)
=exp
−λ 2t
exp
−iEn
~ t
ψn ~r
(129)
=exp
−λ 2t
exp
−imnc2
~ t
ψn ~r
(130)
Le concept de masse et de largeur d’une particule instable (cas du neutron) (rappels) Détermination de la distribution en énergie
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La fonction d’onde du neutron
Détermination de la distribution en énergie La distribution de Breit et Wigner
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Détermination de la distribution en énergie
Détermination de la distribution en énergie du neutron au repos
La distribution en énergieE, d’une particule instable au repos, s’obtient en mécanique quantique, en déterminant la transformée de fourier˜f(ω=E~)du facteur temporellef(t)de la fonction d’onde, f(t) =exp
−λ 2t
exp(−iωnt)sit ≥0, sinon0 (131)
= 1
√2π Z
exp(−iωt)˜f(ω)dω (132)
avecωn=En
~ etω=E
~
˜f(ω) = 1
√2π Z
exp(iωt)f(t)dt (133)
= 1
√ 2π
Z ∞ 0
exp(iωt)exp
−λ 2t
exp(−iωnt)dt (134)
Le concept de masse et de largeur d’une particule instable (cas du neutron) (rappels) Détermination de la distribution en énergie
Largeur de désintégration
Γet transformée de fourier du facteur temporelle de la fonction d’onde
f(t)˜f(ω= E
~ ) = 1
√ 2π
Z ∞ 0
exp
−λ
2t+i(ω−ωn)t
dt (135)
= 1
√ 2π
exp −λ2t+i(ω−ωn)t
−λ2+i(ω−ωn)
∞
0
(136)
= 1
√2π
1
λ
2 −i(ω−ωn) (137)
= 1
√2π~
1
Γ
2−i(E−En) (138)
où la largeur de désintégrationΓ, en fonction de la constante de désintégration radioactiveλ, s’écrit
Γ =λ~ (139)
Détermination de la distribution en énergie
La distribution en énergie du neutron au repos est une Breit et Wigner
La probabilité de trouver le neutron avec une énergie comprise entre EetE+dE, s’écrit
P(E)dE =C
˜f(ω=E
~ )
2
dE (140)
= C 2π~2
1
Γ2
4 + (E−En)2dE (141)
= 1 2π
Γ
Γ2
4 + (E−En)2dE si ΓEn (142) où on a déterminéCen normalisant la densité de probabilitéP(E),
Z ∞ 0
P(E)dE =1= C 2π~2
Z ∞ 0
1
Γ2
4 + (E−En)2dE (143)
Le concept de masse et de largeur d’une particule instable (cas du neutron) (rappels) Détermination de la distribution en énergie
Remarque : calcul de la normalisation de la Breit et Wigner
Z ∞ 0
P(E)dE = C 2π~2
Z ∞ 0
1
Γ2
4 + (E−En)2dE (144)
= 2C π~2Γ2
Z ∞ 0
1 1+
E−En
Γ/2
2dE (145)
= 2C π~2Γ2
Z ∞
−En Γ/2
1 1+x2
Γ
2dx (146)
= C
π~2Γ arctan(x)|∞−En
Γ/2 (147)
= C π~2Γ
π
2 −arctan −En
Γ/2
=1 (148)
Soit
C= π~2Γ
π
2 −arctan
−En
Γ/2
'~2Γ si ΓEn (149)
La distribution de Breit et Wigner
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Interaction des photon avec la matière (cf travaux pratique) Loi de filiation, activité et période
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5 Le concept de masse et de largeur d’une particule instable (cas du neutron) (rappels)
La fonction d’onde du neutron
Détermination de la distribution en énergie La distribution de Breit et Wigner
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Le concept de masse et de largeur d’une particule instable (cas du neutron) (rappels) La distribution de Breit et Wigner
Définition de la masse d’une particule instable comme le neutron
La masse du neutronmnest donc une variable aléatoire dont les valeurs∈[0,∞]et sont distribuées selon la loi de Breit-Wigner.La masse du neutron
E0=En=mnc2 (150) '939,565346(23)MeV (151)
La largeur du neutron Γ =~λ= ~
τ =~c
cτ (152)
' 197
3.108×1015×900 (153)
'7 10−25MeV (154)
Cette largeur est expérimentalemnt non mesurable !
La distribution de Breit et Wigner
Comparaison entre une Breit et Wigner et la courbe de Gauss
La distribution de Breit-Wigner est complètement déterminée par
Enla position de son maximum.
Γsa largeur à mi hauteur.
le fait que c’est une ditribution symétrique.
est la généralisation de la densité de probabilité de CauchyP(x) =2π1 1+x12. a une variance (carré de l’écart-type) ainsi que ses autres moments infinis (intégrales indéfinies).
Le concept de masse et de largeur d’une particule instable (cas du neutron) (rappels) La distribution de Breit et Wigner
La masse de la particule
Σ+(uus)-τΣ+ = (8,
018
±0.026)
×10
−11 s,mΣ+ =1189, 37
±0, 07
MeV,
ΓΣ+ '10
−5eVLes particules Sigma sont des baryons composés d’un quark étrange (dit quark s) et d’une combinaison de quarks up et down. Ils sont notés avec la lettre grecque majuscule Sigma (Σ), avec en exposant leur charge électrique,
déterminée par la combinaison de quarks u et d qu’ils possèdent. On observe ici seulement la largeur expérimentale qui est due aux erreurs de mesure