A Comparaison entre combustibles nucléaires et fossiles

Mention Physique - L3 - Ann´ ee 2010-2011 Licence de Sciences et Technologies

LP377 :

Probl` eme trait´ e en cours N

1

TH ` EME : LE COMBUSTIBLE NUCL ´ EAIRE

Comparaison entre combustible nucl´ eaire et fossile - Facteur de multiplication et condition de criticit´ e ou de surr´ eg´ en´ eration

Les exercices pr´ec´ed´es d’´etoiles sont facultatifs (exercices suppl´ementaires); ils ne seront pas corrig´es en cours.

transparent du cours sur le WEB : http://lpnhe-lc.in2p3.fr/lp377-chap-1-2010.pdf

Probl`eme et sa correction sur le WEB : http://lpnhe-lc.in2p3.fr/lp377-pb-1-2010.pdf http://lpnhe-lc.in2p3.fr/lp377-pb-1-cor-2010.pdf

TD et sa correction sur le WEB : http://lpnhe-lc.in2p3.fr/lp377-td-1-2010.pdf http://lpnhe-lc.in2p3.fr/lp377-td-1-cor-2010.pdf

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Devoir `a la maison

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A Comparaison entre combustibles nucl´ eaires et fossiles

A1 La fission et le fusion :un exemple d’´ equivalence entre masse et

´ energie

1. Commenter la courbe de la figure 1.

2. Montrer qualitativement que d’apr`es la figure 1, la r´eaction de fission, ci-dessous, o`u le noyauAdonne les noyauxA1etA2, lib`ere de l’´energie :

A→A1+A2 (1)

3. De mˆeme, montrer que d’apr`es la figure 1, la r´eaction de fusion, ci-dessous, o`u les noyaux A1 etA2 donne le noyauA, lib`ere de l’´energie.

A1+A2→A (2)

A2 Energie lib´ er´ ee par une r´ eaction de fission

On peut produire des noyaux de baryum¹⁴⁰56Ba et de krypton⁹⁴36Kr en utilisant comme noyau fissile de l’uranium²³⁵92U.

1. ´Ecrire l’´equation de la r´eaction de fission qui produit un noyau de baryum¹⁴⁰56Ba et un noyau de krypton⁹⁴₃₆Kr. Quelles sont les grandeurs physiques qui sont conserv´ees lors de la r´eaction ?

2. D´efinir le bilan ´energ´etiqueQd’une r´eaction, en quoi cette quantit´e est-elle int´eressante ? 3. Calculer analytiquement, puis num´eriquement, le bilan ´energ´etique de la r´eaction de fis-

sion en utilisant les tables de donn´ees ci-dessous.

Extrait des tables de donn´ees :

BE (¹⁴⁰56Ba) = 1169,42 MeV − BE (⁹⁴36Kr) = 791,76 MeV − BE (²³⁵92U) = 1783,42 MeV

4. ^⋆⋆Comparer le r´esultat obtenue ci-dessus en utilisant la formule semi-empirique de Bethe- Weizsacker.

Formule semi-empirique de Bethe-Weizsacker :

BE(A,Z) = avA−asA^2/3−acZ(Z−1)A^−1/3−aA(A−2Z)²A⁻¹avec

av= 15,85 MeV,as= 18,34 MeV,ac= 0,71 MeV,aA= 23,21 MeV

A3 Energie fournit par 1 kg de charbon

La combustion chimique d’un atome de carbone¹²6C d´egage 4,25 eV.

1. Donner en m´egajoule, l’´energie d´egag´ee Egpar la combustion totale de 1 kg de charbon :

A4 Energie fournit par la fusion de 1 kg de deut´ ´ erium et de lithium

On fusionne 1 kilogramme de deut´erium et de lithium suivant la r´eaction de fusion suivante :

D + T→ ⁴He + n (3)

1. D´eterminer analytiquement, puis num´eriquement l’´energie cin´etique du neutron et de la particule α sachant que le bilan ´energ´etique de la r´eaction vautQ≃ 3,52 + 14,10 ≃ 17,62 MeV

2. D´eterminer l’´energie lib´er´ee sachant que l’on ne recup`ere que l’´energie emport´ee par le neutron qui seul peut s’´echapper du plasma.

3. ^⋆⋆Montrer l’´equivalence ´energ´etique suivante :

1 kg Deut´erium et Tritium ←→ 12 000 tonnes de charbon

A5 Energie fournit par 1 kg d’uranium naturel ´

1. La fission d’un noyau d’uranium²³⁵92U lib`ere une ´energie de 200 MeV environ, donner en gigajoules (GJ), l’´energie lib´er´eeElpar la fission de 1 kg d’uranium²³⁵92U.

2. Donner un ordre de grandeurP de la puissance moyenne d’un r´eacteur nucl´eaire d’une centrale nucl´eaire fran¸caise ? Quelle est l’ordre de grandeur la fraction de cette puissance moyenne convertie en puissance ´electrique ?

3. Combien de kilogrammesmfissionn´e/jour d’uranium²³⁵92U fissionnent par jour pour assurer la puissanceP de ce r´eacteur nucl´eaire ?.

4. Quelle est la masse minimumM²³⁵

92Ud’uranium²³⁵92U dans ce r´eacteur nucl´eaire de puis- sancePsachant qu’on le charge tous les 3 ans ? (en fait on d´echarge 1/3 du combustible du r´eacteur nucl´eaire tous les ans)

5. Quelle est la masseMU du combustible d’uranium si il est enrichie `af = 3% dans ce r´eacteur nucl´eaire de puissanceP.

6. La plupart des grandes ´eoliennes install´ees aujourd’hui en France ont une puissance (´electrique) de 1 `a 3 MW. En g´en´eral, elles sont rassembl´ees en fermes ´eoliennes de 6

`a 210 MW. Si on prend 3 MWe de puissance pour une ´eoliennes, combien en faut il pour rivaliser avec le r´eacteur nucl´eaire de puissanceP ?

7. Est-ce que l’ordre de grandeur des puissances ´electriques cit´ees ci-dessous (et qui est ex- trait de Wikipedi.org) est compatible avec la puissance ´electrique d’un r´eacteur nucl´eaire ?

• une centrale thermique `a flamme : 120 `a 720 MW (en France)

• une centrale solaire photovolta¨ıque : de quelques centaines de watts `a 20 MW (record 20 MW : centrale solaire de Beneixama en Espagne)

• une centrale solaire thermodynamique : de 2 `a 350 MW (record : 354 MW avec la centrale de Luz Solar Energy dans le d´esert de Mojave en Californie, ´Etats-Unis)

• une centrale hydro-´electrique : de quelques kW `a 3 000 MW (record : 32 turbines de 700 MW soit 22 400 MW au Barrage des Trois-Gorges en Chine)

• un r´eacteur nucl´eaire : de l’ordre de 900 `a 1 300 MW en g´en´eral (record : 1 550 MW

`a la centrale nucl´eaire de Civaux au sud de Poitiers) .

8. ^⋆⋆Afin d’´evaluer grossi`erement les performances d’un r´eacteur nucl´eaire les ing´enieurs en g´enie nucl´eaire utilisent le r´esultat fort simple suivant :

Un gramme d’uranium²³⁵92U fissionn´e fournit 1 MWJ. Le m´egawatt-jour (MWJ) ´etant l’unit´e d’´energie employ´ee couramment en g´enie nucl´eaire (1 MWJ correspond `a l’´energie obtenue au bout d’un jour si la puissance fournie est de un m´egawatt).

Etes vous en accord avec ce r´esultat ?ˆ

9. ^⋆⋆Sachant que l’uranium naturel contientx= 0,71% (fraction isotopique) d’uranium²³⁵92U (le reste ´etant compos´e²³⁸92U), ˆetes vous d’accord avec l’´equivalence ´energ´etique suivante :

1 kg d’uranium naturel←→ 17 tonnes de charbon

A6 Temps de combustion de l’uranium naturel

1. On d´efinit par la relation ci-dessous le taux de fissionRf par unit´e de volume (variation du nombre de r´eactions de fission par unit´e de volume (dNf) par unit´e de temps) pour une certaine quantit´e de mati`ere fissible correspondant `aNnoyaux par unit´e de volume dont la section efficace de fission est ´egale `aσfet qui est soumise `a un flux neutronique Φ.

V´erifier la dimension de cette ´equation.

Rf =dNf

dt =N σfΦ

2. D´efinir le taux de capture Rc par unit´e de volume (nombre de r´eactions de capture neutronique par unit´e de volume (Nc) par unit´e de temps) pour une certaine quantit´e de mati`ere correspondant `a N noyaux par unit´e de volume dont la section efficace de capture neutronique est ´egale `aσcet qui est soumise `a un flux neutronique Φ.

3. D´efinir le taux d’absorptionRapar unit´e de volume (nombre de r´eactions d’absorption de neutrons par unit´e de volume (Na) par unit´e de temps) pour une certaine quantit´e de mati`ere fissible correspondant `aN noyaux par unit´e de volume dont la section efficace d’absorption est ´egale `aσaet qui est soumise `a un flux neutronique Φ. Quand est-il pour une mati`ere non fissile ? Commentaire ?

4. Quelle relation y-a-t-il entre la variation par unit´e de temps du nombre de noyaux de mati`ere fissile par unit´e de volume N(t) et le taux de r´eaction d’absorption par unit´e de volume Ra, en d´eduire l’´equation diff´erentielle qui r´egit N(t). La r´esoudre dans l’hypoth`ese o`u le flux φest constant. A l’instant initiale (t = 0) on aN0 noyaux de mati`ere fissile par unit´e de volume.

5. En prenant un flux neutronique deφ= 10¹³cm⁻²s⁻¹d´eterminer la fraction de mati`ere fissile initiale d’uranium ²³⁵92U consomm´ee au bout d’un ans (t1 = 1 ans). La section efficace d’absorption (de fission) de neutrons thermiques sur l’uranium²³⁵92U est de l’ordre deσa= 680 b (σf = 582 b) (1 barn = 10⁻²⁴cm²). Commentaire ?

B Facteur de multiplication de la mati` ere fissile

1. On note traditionnellement ν le nombre moyen de neutrons produits par r´eaction de fission. Que repr´esente le produit νRf o`uRf est le taux de r´eaction de fission de la mati`ere fissile ?

2. D´efinir le facteur de multiplicationηd’une mati`ere fissile en fonction de sa valeur deν, de sonRf et de son taux de r´eaction d’absorption neutroniqueRa.

3. Le tableau 1 donne les valeurs des facteurs de multiplicationηainsi que celle du nombre moyen de neutrons de fission produitsν quand on bombarde les trois isotopes fissiles indiqu´es par des neutrons thermiques (`a titre indicatif nous avons aussi indiqu´e la fraction de neutrons retard´es β pour chacune des mati`eres fissiles). On remarque que l’on a toujours l’in´egalit´e suivanteη≤ν, d´emontrez le.

B1 Condition du r´ egime critique

Consid´erons un coeur homog`ene de r´eacteur nucl´eaire compos´e de mati`eres fissiles et non fissiles (absorbant de neutrons, mat´eriaux de structures, ect ....). On nommeAple taux d’absorption de neutrons dans la mati`ere non fissile etF le taux de fuite de neutrons en dehors du coeur.

Ce coeur ne contient pas de mati`ere fertiles.

1. ´Ecrire le taux de disparition des neutronsRden fonction deAp,F etRa. 2. ´Ecrire le taux de cr´eationRcdes neutrons en fonction deRf etν.

3. Nous voulons que le coeur de la centrale fonctionne en r´egime critique. Donner dans ce cas la relation entreRcetRdpour que la r´eaction en chaˆıne soit entretenue (flux de neutrons stationnaire), en d´eduire la relation suivante :

η= 1 +Ap+F Ra

(a) Commentez la relation ci-dessus.

(b) Quelle condition doit-on avoir sur le facteur de multiplicationηd’une mati`ere fissile pour que le r´egime critique soit atteint ? Est-ce le cas pour les 3 isotopes fissiles

233

92U,²³⁵₉₂U et²³⁹₉₄Pu ?

(c) En n´egligeant les fuites de neutrons, donnez dans le cas du r´egime critique pour un coeur compos´e d’uranium²³⁵92U la relation entre les taux d’absorption de la mati`ere fissile et non fissile. Dans une centrale nucl´eaire quelle est le dispositif qui permet de maintenir cette relation ?

(d) ^⋆⋆ On introduit aussi dans le coeur du r´eacteur des poisons consommables (bore, gadolinium, ect ..) qui disparaissent avec le temps. Ces poisons consommables peu- vent ˆetre sous forme solide dans le combustible ou liquide dans le mod´erateur si celui- ci est un fluide (cela permet de minimiser le nombre de barres de contrˆole).L’´evolution en fonction du temps du nombre de noyaux absorbeur de neutrons par unit´e de vol- ume a g´en´eralement la forme suivante :

Np(t) =Np(0)e^−αt(α >0)

i. ˆEtes-vous en accord avec cette diminution g´en´erale avec le temps du nombre de poisons dans le coeur du r´eacteur ?

ii. D´eterminer le taux de r´eaction d’absorption de la mati`ere non fissiles assimil´ees aux seules poissons consommables

iii. En faisant l’hypoth`ese que l’´equation diff´erentielle ci-dessous r´egit le nombre N(t) de noyaux de mati`ere fissiles par unit´e de volume, donner la relation entre les param`etres qui d´efinissent la mati`ere fissiles et ceux qui d´efinissent les poisons si le r´eacteur est critique.

dN

dt =−N β(β >0)

avecβ=σaΦ o`uσaest la section efficace d’absorption de neutrons de la mati`ere fissile et Φ le flux de neutrons suppos´e constant.

iv. La condition d´efinit ci-dessus est-elle exactement r´ealisable ? Que pensez vous de la valeurFdu taux de fuite de neutrons que nous avons n´eglig´e ? Que pensez vous de la taille d’un telle r´eacteur ? (ce type de r´eacteur fortement enrichie en mati`ere fissile sont g´en´eralement mont´e `a bord de sous-marins nucl´eaire ou pour les plus petits encore ils ´equipent les satellites) Voyez vous un avantage `a introduire des noyaux fertiles dans un tel r´eacteur ?

B2 La surr´ eg´ en´ eration

Consid´erons maintenant, un coeur homog`ene de r´eacteur nucl´eaire compos´e de mati`ere fissile, de mati`ere fertile et de mati`ere non fissile et non fertile (absorbant de neutrons, mat´eriaux de structures, ect ....). On nommeAfert. le taux d’absorption de neutrons dans la mati`ere fertile, Aple taux d’absorption de neutrons dans la mati`ere non fissile et non fertiles etF le taux de fuite de neutrons en dehors du coeur.

1. ´Ecrire le taux de cr´eation de neutronsRcainsi que le taux de disparition des neutrons Rden fonction des donn´ees.

2. Nous voulons que le coeur de la centrale fonctionne en r´egime critique, la r´eaction en chaˆıne est entretenue et les flux de neutrons sont stationnaire. Donner dans ce cas la relation entre RcetRd, en d´eduire la relation ´ecrite ci-dessous, donner le facteurC en fonction des donn´ees :

η= 1 +C+Ap+F Ra

(a) Commentez la relation ci-dessus.

(b) Le facteurCse nomme facteur de conversion, il repr´esente la production de mati`ere fissile rapport´ee `a sa consommation. ˆEtes-vous d’accord avec cette d´efinition ? (c) Que faudrait-il minimiser si on voulait r´ealiser un r´eacteur de mati`ere fissile donn´ee

ayant un facteur de conversionC de plus grand possible ? D’apr`es le tableau 1 donner pour les 3 isotopes fissiles²³³92U,²³⁵92U et²³⁹94Pu la valeur maximaleC^max. du facteur de conversion que l’on pourrait esp´erer.

(d) Quand le facteur de conversionCest sup´erieur `a 1 le r´eacteur est surr´eg´en´erateur (ou surg´en´erateur). Que pouvait vous dire du stock de mati`ere fissile contenu dans ce type de r´eacteur ? Quelle condition cela implique-t-il sur le facteur de multi- plicationη de la mati`ere fissile. Parmi les 3 isotopes fissiles suivant²³³92U,²³⁵92U et

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94Pu lesquelles peuvent ˆetre envisager de mani`ere r´ealiste pour r´ealiser un r´eacteur surr´eg´en´erateur fonctionnant avec des neutrons thermiques ?. En observant le figure 2 dites si on peut assurer la surr´eg´en´eration du plutonium ²³⁹94Pu avec un r´eacteur rapide.

B3

Facteur de multiplication du combustible η

• En pratique, le combustible nucl´eaire est compos´e d’un m´elange, en proportion bien d´efinie, d’isotopes fissiles et fertiles que l’on ne peut s´eparer. Tout ce que la technolo- gie actuelle nous permet de r´ealiser est un enrichissement en mati`ere fissile (c’est a dire une augmentation de la fraction isotopiquex(ou titre) d’isotope fissiles au sein du com- bustible). Il est donc tr`es int´eressant de d´efinir le facteur de multiplication du combustible ηcqui joue un rˆole pr´epond´erant dans la recherche de la condition critique.

• On d´efinir le facteur de multiplication du combustibleηcen fonction du nombre moyen de neutron de fissionν, du taux de fissionRfet du taux de r´eaction d’absorption neutronique Afis.de la mati`ere fissile ainsi que du taux de r´eaction d’absorption neutroniqueAfert.de la mati`ere fertile.

ηc= nb de neutrons produits (par fission)

nb de neutrons absorb´es dans le combustible (par fission et capture)

= νRf

Afis.+Afert.

1. On d´efinie la fraction isotopiquexen fonction deNfis.(Nfert.) nombre d’isotopes fissiles (fertiles) par unit´e de volume :

x= Nfis.

Nfis.+Nfert.

Siσfissionest la section efficace de fission l’isotope fissile et σabs.fis. (σabs.fert.) la section efficace d’absorption neutronique de l’isotope fissile (fertile), montrer que le facteur de multiplication du combustibleηcs’´ecrit :

ηc=ν xσfission

xσabs.fis.+ (1−x)σabs.fert.

2. Montrer que la condition de criticit´e s’´ecrit par : ηc>1

3. La section efficace d’absorption neutronique de l’uranium²³⁵⁸92 U pour des neutrons ther- mique estσabs.fert.= 2,73 b. La section efficace de fission (absorption neutronique) de de l’uranium²³⁵₉₂U pour des neutrons thermique estσfission= 582 b (σabs.fis.= 681 b). Tracer l’´evolution du facteur de multiplication du combustibleηcen fonction de la fraction iso- topiquexdans le cas de l’uranium enrichi.

(a) Que pouvez vous dire du facteur de multiplication du combustible six= 0,71% ? (b) Que pouvez vous dire du facteur de multiplication du combustible six= 1 ? (c) Vous trouverez dans le tableau 2 quelques valeurs de la fonctionηc(x). Que remar-

quez vous pour la valeurηc(1,5%) ? Quand est-il de l’am´elioration de la multiplica- tion neutronique pour un tr`es faible enrichissement de l’uranium ?

Table 1: Donn´ees nucl´eaires relatives aux trois isotopes fissiles bombard´es par des neutrons thermiques : η(facteur de multiplication de la mati`ere fissile) -ν(nombre moyen de neutrons produits par r´eaction de fission) -β(fraction de neutrons retard´es)

η ν β

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92U 2,287 2,49 0,0026

235

92U 2,068 2,42 0,0065

239

94Pu 2,108 2,87 0,0021

Figure 1: ´Energie de liaison du noyau

Table 2: Facteur de multiplication du combustibleηcpour diverses valeurs de la fraction iso- topiquex(enrichissement) et pour des neutrons thermiques

x(%) 0,71 0,1 1,5 2 3 20 93 100 (naturel)

ηc 1,33 1,48 1,64 1,73 1,83 2,035 2,067 2,068

Figure 2: Variation du facteur de multiplication de la mati`ere fissile en fonction de l’´energie cin´etique des neutrons sortants

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