A Moyennes et incertitudes [5]

Mention Physique - L2 - Ann´ee 2011-2012 Licence de Sciences et Technologies LP 223: Analyse de Donn´es et Simulation

contrˆ ole continu : 18 novembre 2011 - 2h

Les parties A, B et C sont ind´ependantes (Bar`eme indicatif [30]).

A Moyennes et incertitudes [5]

On a fait deux mesures ind´ependantes (a±σ_a etb±σ_b ) d’une mˆeme grandeur physique.

1. Calculer l’incertitude absolue sur la moyenne g´eom´etrique not´ee G( G= (ab)^1/2).

[Solution : On utilise la formule de propagation statistique des erreurs

σ_G² = ∂G

∂a 2

σ_a²+ ∂G

∂b 2

σ_b² (1)

= 1

2b^1/2a^−1/2 2

σ_a²+ 1

2a^1/2b^−1/2 2

σ_b² (2)

= b

4aσ²_a+ a

4bσ_b² (3)

= ab 4

σ²_a a² +σ²_b

b²

(4) σ_G=

s ab

4 σ_a²

a² + σ_b² b²

(5) ]

2. Que devient cette moyenne et son incertitude dans le cas o`ua=bet σ_a=σ_b ?

[Solution : la moyenne devient

G= (ab)^1/2 =a=b (6) L’incertitude devient

σ_G= s

ab 4

σ²_a a² +σ_b²

b²

avec a=betσ_a=σ_b (7)

= ra²

4 ×2×σ_a²

a² (8)

= σ_a

√2 = σ_a

√N, avec N le nombre de mesures d’incertitudeσ_a

(9)

]

B 3

^`eme

loi de Kepler [6]+[6]+[6]

Le r´esultat des N mesures de la p´eriode de r´evolution sid´erale T_i (en jours) et du demi-grand axe A_i (en gigam`etre) des plan`etes Mercure, Venus, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune sont respectivement :

T : (88.0,224.7,687.0,4332.7,10759.0,30688.5,60182.3) A : (57.9,108.2,227.9,778.3,1427.0,2870.6,4496.6) L’erreur absolue sur chaque mesure de la p´eriode de r´evolution sid´erale T est σ_T = 0.1 jour et l’erreur ab- solue sur chaque mesure du demi-grand axes A est σ_A = 0.1 Gm. On peut mod´eliser ces mesures `a l’aide de la troisi`eme loi de Kepler :

A³

T² = GM

4π² =θ (10)

1. Pour estimer θ, on utilise la m´ethode des moindres carr´es et on ´ecrit la fonction χ²(θ) sous la forme suiv- ante :

χ²(θ) =

i=N

X

i=1

y_i−θ σ_yi

2

(11)

(a) Donner la relation entre σ_yi et les incertitudes σ_T , σ_A, T_i et A_i. Dans toute la suite on fera l’approximation suivante : σ_yi ≃σ(constante).

[Solution : σ_yi =

s 9

A_i T_i

4

σ²_A+ 4 A_i

T_i 6

σ²_T (12) ]

1

(b) D´eterminer analytiquement θ en fonction des mesures en faisant l’hypoth`ese que les σ_yi sont ind´ependants de l’indice i (σ_yi ≃σ).

[Solution : On `a χ²(θ) =

i=N

X

i=1

y_i−θ σ

2

(13) la solution v´erifie l’´equation :

dχ²

dθ (θ) = 0 (14)

d dθ

i=N

X

i=1

y_i−θ σ

2!

= −2 σ²

i=N

X

i=1

(y_i−θ) = 0 (15) soit

θ= 1 N

i=N

X

i=1

y_i= 1 N

i=N

X

i=1

A³_i

T_i² (16) ]

(c) D´eterminer analytiquement σ_θ l’incertitude surθ en fonction des mesures avec toujours l’hypoth`ese σ_yi ≃σ.

[Solution : On a σ_θ =

s 2

d²χ²

dθ² (θ) (17)

avec d²χ²

dθ² (θ) = d dθ

−2 σ²

i=N

X

i=1

(yi−θ)

!

(18)

= 2N

σ² (19)

donc

σ_θ= σ

√N (20)

]

2. Pour estimer θ, on utilise maintenant la fonction suiv- ante :

M(θ) = 2

i=N

X

i=1

ρ(ri) o`u r_i = y_i−θ

σ_yi avecy_i= A³_i T_i²

La fonction ρ(x) n’est connue que par sa d´eriv´ee ^dρ(x)_dx = Ψ(x) o`u Ψ(x) = −R si x ≤ −R, Ψ(x) =x si |x| ≤ R et Ψ(x) =R si x ≥ R, ou R est

(a) Si on applique la mˆeme m´ethode `a la fonction M(θ) que celle appliqu´ee `a la fonction χ²(θ) dans la m´ethode des moindres carr´es, donner les

´equations qui d´eterminentθet son erreur absolue σ_θ.

[Solution :

∂M

∂θ (θ) =−2 σ

N

X

i=1

ψ

y_i−θ σ

= 0 (21)

σ_θ = s 2

∂²M

∂θ²

= σ

PN i=1ψ^′

yi−θ σ

(22) ]

(b) Si parmi les N mesures on a p mesures avec r_i =

yi−θ

σ ≤ −R et q mesures avec r_i = ^yi_σ^−θ ≥ R, r´esoudre les ´equations ci-dessus.

[Solution :

N

X

i=1

ψ

y_i−θ σ

= 0

=

p

X

i=1

ψ

y_i−θ σ

avec y_i−θ σ ≤R +

q

X

i=1

ψ

y_i−θ σ

avec y_i−θ σ ≥R +

N−p−q

X

i=i

ψ

y_i−θ σ

avec −R≤ y_i−θ σ ≤R

(23)

=R(q−p)−θN −p−q

σ + 1

σ

N−p−q

X

i=i

y_i = 0 (24) soit

θ=R(q−p) +PN−p−q i=i y_i

N−p−q (25)

σ_θ = σ

N −p−q (26)

]

3. Pour estimer θ, on utilise le logiciel ROOT. Pour cela

(a) Tracer dans ROOT, en tenant compte des incer- titudes, le graphe repr´esentant le demi-grand axe A_i (en gigam`etre) en fonction de la p´eriode de r´evolution sid´erale

T_i (en jours) pour les plan`etes Mercure, Venus, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune. Im- primer le graphe et le mettre dans votre copie.

(b) Cr´eer dans ROOT la fonction f de param`etrep<sub>0</sub> qui repr´esente la troisi`eme loi de Kepler ´ecrite sous la forme A=f(T).

(c) Ajuster dans ROOT la fonction f au graphe.

Quelle est la valeur de θ ? Vous imprimerez le graphe sur lequel vous avez superpos´e la fonction ajust´ee. Mettre ce graphe dans votre copie.

(d) En d´eduire une estimation de la distance entre la Terre et le Soleil, ainsi que la masse du Soleil (G= 6.67259 10⁻¹¹ m³s⁻²kg⁻¹).

[Solution :

distance Terre Soleil = 149,551 Gm (27)

M_Soleil= 1,99 10³⁰ kg (28)

]

(e) Tracer l’histogramme simul´e des estimations de la masse du soleil si on avait refait 1000 cette exp´erience. Vous imprimerez l’histogramme simul´e.

C Dose re¸ cue par un physicien [2]+[5]

Un physicien reste pendant t₀ = 1 heure dans une pi`ece o`u se trouve une source radioactive de ¹³⁷₅₅Cs.

1. (a) D’apr`es la figure 1, ´ecrire l’´equation de d´esint´egration du C´esium 137.

[Solution : Le C´esium 137 est un ´emetteur β⁻, on a

13755Cs→¹³⁷56Ba^⋆+e⁻+ν_e (29) ]

(b) D’apr`es la figure 1, donner la valeur l’´energie E₀ du photon ´emis par la source de C´esium 137 et son ´equation de production.

[Solution : On a

E₀ = 662 keV (30)

13756Ba^⋆ →¹³⁷56 Ba +γ (31) ]

(c) D´efinir la p´eriodeT_1/2 du C´esium 137 et, d’apr`es l’histogramme de la figure 2, en donner une esti- mation num´erique.

[Solution : La p´eriode T_1/2 du C´esium 137 est le temps au bout duquel le nombre de noyaux de C´esium 137 de la source a ´et´e divis´e par deux.

T_1/2≃30,07 ans (32) ]

(d) L’activit´e de la source, quand le physicien entre dans la pi`ece, est de 400 000 Bq. Donner l’activit´e au bout du tempst₀.

[Solution : A(t) =A₀e^−t0

ln2 T1/2 ≃A₀

1−t₀ ln2 T_1/2

≃A₀ = 400000 Bq (33)

]

2. (a) Donner analytiquement, en fonction de la con- stante radioactiveλdu C´esium 137, la probabilit´e p₀ pour qu’un noyau de C´esium 137 se d´esint`egre pendant la dur´ee t₀ de l’exposition du physicien.

[Solution :

p₀= 1−e^−λt0 = 1−e^−t0τ (34)

= 1−e⁻

t0 ln 2

T1/2 (35)

]

(b) Donner analytiquement, en fonction de la con- stante radioactive λ du C´esium 137, la proba- bilit´e q pour qu’un noyau de C´esium 137 ne se d´esint`egre pas pendant une dur´ee de temps not´ee t

[Solution :

q =e^−λt (36)

]

(c) Donner analytiquement, en fonction de la con- stante radioactive λ du C´esium 137, la proba- bilit´e dp pour qu’un noyau de C´esium 137 se d´esint`egre pendant la dur´ee de temps infinit´esimal dt (dt≪T_1/2) de l’exposition du physicien.

[Solution :

dp= 1−e^−λdt (37)

≈λdt (38)

]

3

(d) Que repr´esente physiquement la quantit´eq×dp?.

[Solution : La quantit´eq×dp est la probabilit´e que le noyaux de C´esium 137 survive pendant la dur´ee de temps t et se d´esint`egre pendant l’intervalle de dt qui suit (les noyaux ne vieillis- sent pas). ]

(e) On d´efinie la quantit´e f(t) par la relation ci- dessous

f(t)dt=q×dp (39) Dire ce que repr´esente physiquement la quantit´e R^∞

0 tf(t)dt, puis la calculer.

[Solution : La quantit´eR^∞

0 tf(t)dt repr´esente la dur´ee de vieτ du noyau de C´esium 137, on a

τ = Z ^∞

0

tf(t)dt (40)

= Z ∞

0

tλe^−λtdt (41)

= 1

λ (42)

]

(f) On mesure les instants de d´esint´egration t₁ ett₂ de deux noyaux de C´esium 137. Que repr´esente physiquement la quantit´e f(t₁)dt × f(t₂)dt ? Quelle condition physique doit elle satisfaire ? En d´eduire une condition math´ematique et estimez la constante radioactive λen fonction det₁ ett₂. Commentaire ?

[Solution :

• La quantit´e f(t₁)dt × f(t₂)dt repr´esente la probabilit´e d’avoir deux noyaux de C´esium 137 qui se d´esint`egrent aux instants respec- tifst<sub>1</sub> `a dtpr`es et t<sub>2</sub> `adt pr`es.

• Cette probabilit´e doit ˆetre maximale.

Comme on a un produit il est utile pour simplifier les calculs de prendre le logarithme de cette probabilit´e qui doit ˆetre aussi maxi- male.

d

dλ(ln (f(t₁)dt×f(t₂)dt)) = 0 (43) d

dλ(ln (f(t1))) + d

dλ(ln (f(t1))) = 0 (44)

i=2

X

i=1

d

dλ(ln (f(t_i))) = 0 (45)

i=2

X

i=1

d dλ

ln

λe^−λti

= 0 (46)

i=2

X d

(lnλ−λt) = 0 (47)

Soit

τ = 1

λ= t₁+t₂

2 (50)

Ce r´esultat est en accort avec la d´efinition de la valeur moyenne exp´erimentale

]

(g) On mesure les instants de d´esint´egration t_i de N noyaux de C´esium 137. G´en´eralisez la m´ethode ci-dessous et estimer de λ en fonction des N mesurest_i.

[Solution :

• On maximise le logarithme de la probabilit´e, not´e par lnL, d´efinie par

lnL= ln

i=N

Y

i=1

f(t_i)

!

(51)

• soit d

dλ(lnL) = d dλ ln

i=N

Y

i=1

f(t_i)

!!

(52)

• soit

i=N

X

i=1

d

dλ(lnλ−λt_i) = 0 (53)

i=N

X

i=1

1 λ−t_i

= 0 (54)

τ = 1 λ = 1

N

i=N

X

i=1

t_i (55) ]

3.

Figure 1: Sch´emas de d´esint´egration d’un noyau de¹³⁷₅₅Cs.

Temps (annee)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Temps (annee)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

nb de photons emis/ 2 ans

1000 2000 3000 4000 5000

Simulation de photons emis par la source de Cesium 137

Figure 2: Simulation du nombre de photons ´emis par une source de¹³⁷₅₅Cs en fonction du temps exprim´e en ann´ee.

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