Mention Physique - M2 - Ann´ ee 2013-2014
Master de Sciences et Technologies : ing´ enierie pour le nucl´ eaire NP800 :
Th` eme N
◦0 : Remise ` a niveau physique Nucl´ eaire - R´ eaction nucl´ eaire - Exp´ erience de Rutherford - Ordre de grandeur - Lois de conservation - Section efficace - Chaˆıne de d´ esint´ egration radioactive
Pour acc´eder au Cours, TD, TP, Probl`eme et leurs corrections, aller sur le cite du LPNHE (Accueil du site), puis : Le LPNHE >Pages du personnel > Kapusta Fr´ed´eric >np800
np8002013
Figure 1: Domaines attrait `a la physique nucl´eaire.
A R´ eaction nucl´ eaire
A1 Exp´ erience de Rutherford
L’exp´erience de Rutherford est une exp´erience de diffusion de particulesα sur des noyaux d’or
19779Au.
Figure 2: Les r´esultats exp´erimentaux obtenue par Geiger- Marsden (1909) dans l’exp´erience de Rutherford (haut) - Tra- jectoire des particules alpha (α) diffus´ees avec l’angle de diffu- sion th´eta (θ) pour un noyau ayant une densit´e de charge tr`es concentr´ee dans l’espace (bas).
Figure 3: Le mod`ele atom- ique de Thomson (1904) (haut).Le mod`ele plan´etaire de l’atome de Bohr (1912- 1913) (haut et milieu).
1. ´Ecrivez cette r´eaction et commentez la figure 3. `A quelles angles de diffusions θ corre- spondent les grands param`etres d’impacts b? Mˆeme questions pour les petits param`etres d’impacts ?
2. D´eterminer num´eriquement le param`etre d’impactbd’une particule alpha d’´energie cin´etique T0 = 7,7 MeV si son angle de diffusion est deθ = 140o. En d´eduire la distance minimum d’approche rmin entre cette particuleα et le noyau d’or.
On utilisera les grandeurs suivantes, couramment employ´ees en physique nucl´eaire et des particules.
α= e2
4πε0hc¯ ≃ 1
137,04 (constante de structure fine) (1)
¯
hc≃197,33 MeV fm (constante de conversion) (2) On donne
b(θ) = D 2 cot θ
2 ( ∼
θ=0 D
θ
∼
θ=π D
4 (π−θ) (3)
rmin(θ) = b(θ) cosθ2 1−sinθ2
( ∼
θ=0o D
θ
θ=π∼ D (4)
avec
D= ZαZAue2 4πε0T0
(5) o`u ε0 est la permittivit´e du vide et e la valeur absolue de la charge de l’´electron.
3. Comparer la distance minimum d’approche calcul´ee pr´ec´edemment au rayon du noyau d’or que vous estimerez en utilisant la formule semi-empirique R = r0A1/3 o`u R est le rayon du noyau, A le nombre de masse et r0 = 1,2 fm. Commentaire ?
A2 R´ eaction de fusion nucl´ eaire
On ´etudie la r´eaction nucl´eaire de fusion d’un noyau de deut´erium (D) sur un noyau de tritium (T).Dans l’´etat final de cette r´eaction on observe une particuleα.
1. ´Etude de l’´etat initial.
(a) Donner le symbole du noyau de deut´erium.
(b) Donner le symbole du noyau de tritium.
2. Dans l’´etat final de cette r´eaction on observe une particule α.
(a) Donner le symbole du noyau d’h´elium
(b) Combien y a-t-il de protons dans l’´etat final ? (c) Combien y a-t-il de neutrons dans l’´etat final ?
3. ´Ecrire la r´eaction de fusion en utilisant les symboles des noyaux.
4. La masse du proton est de mp = 938.272013(23)± MeV/c2. Donner cette masse en kg. La vitesse de la lumi`ere est de c = 299792458 m−1. La charge de l’´electron est de qe =−1.602176487(40) 10−19 C.
(Vous pouvez obtenir certaine valeurs num´eriques utiles dans le PDG (particle data group), http://pdg.lbl.gov/)
Rep :1,6726216410−27kg 5. Pour l’h´elium
(a) Estimer la masse de son noyau en kg si on donneMα ≃4,00150606 u.
On a 1 u.m.a. (unit´e de masse atomique) = 1 u = 121 de la masse d’un atome de carbone 126C = 931,494028 MeV/c2 = 1,660538 10−27 kg.
Rep :6,64465287 10−27 kg
6. ´Ecrire le moment angulaire total ainsi que la parit´e de l’´etat initial et de l’´etat final. Le deut´erium et de tritium sont presque au repos dans le laboratoire donc on cosid`erera que le moment angulaire entre ces noyaux est nul.
On rappel que le spin parit´e, du noyau de deut´erium est JDP = 1+, du noyau de tritium est JTP = 12+, de la particule α est JαP = 0+ et du nucl´eon est JNP = 12+.
7. D´eterminer le bilan ´energ´etique Q de la r´eaction de production sachant que mn = 939,565346±0,000023 MeV/c2, MD = 1875.613 MeV/c2 et MT = 2808.921 MeV/c2. (Si vous voulez obtenir le bilan ´energ´etique de certaines r´eactions, vous pouvez aller sur ce cite WEB http://www.nndc.bnl.gov/qcalc/)
8. ´Etude de la loi de conservation de l’´energie
(a) ´Ecrire la loi de conservation de l’´energie en fonction du bilan ´energ´etique Q, de l’´energie cin´etique du neutron Tn et de l’´energie cin´etique de la particule alpha Tα
sachant que la r´eaction de fusion a lieu quand deut´erium et le tritium sont au repos dans le centre de masse.
(b) Montrer que l’´energie cin´etique de la particule α v´erifie l’in´equation ci-dessous. En d´eduire, que dans cette r´eaction, cette particule est non-relativiste et donner la relation entre le module de son impulsion pα et son ´energie cin´etique.
Tα ≤Q (6)
(c) Le neutron est-il une particule relativiste dans cette r´eaction ?
9. En appliquant la loi de conservation de l’impulsion donner la relation entre l’´energie cin´etique de la particule α et l’´energie cin´etique du neutron.
10. D´eterminer analytiquement, puis num´eriquement l’´energie cin´etique de la particule α et l’´energie cin´etique du neutron.
B Section efficace
B1 Irradiation d’une cible de Bore
On irradie une cible de Bore 115B avec des neutrons, d’´energie cin´etique Tn = 10 MeV, de flux Φ = 2 1010 m−2s−1, afin d’´etudier la r´eaction de production de lithium 83Li et d’une particule alpha suivante :
n+115B→α+83Li (7)
La cible de 11 B a une surface 10 cm2, une ´epaisseur de 1 µm et une densit´e ρ = 2,34 g.cm−3. La section efficace totale de cette r´eaction est donn´ee par les figures 4, 5 tir´ee du National Nuclear Data Center (http://www.nndc.bnl.gov/sigma/search.jsp)
1. Estimer la section efficace totale de la r´eaction pour l’´energie cin´etique des neutrons.
2. Calculer le nombre de particule α (Nα) produites par cette r´eaction apr`es 10 minutes d’exposition,
(a) dans l’hypoth`ese o`u on n´eglige la variation du nombre de noyaux-cible pendant le temps de l’exp´erience.
Figure 4: Evolution de la section efficace en fonction de´ l’´energie cin´etique du neutron. La courbe est extraite de la librairie : ENDF/B-VII.0 Library. Les croix sont les donn´ees exp´erimentales.
Figure 5: Repr´esentation de la figure 4 en ´echelle log-log.
(b) dans l’hypoth`ese o`u l’on prend en compte la variation du nombre de noyaux-cible pendant le temps de l’exp´erience. En d´eduire aussi la condition pour que l’on puisse n´egliger cette variation; est-elle satisfaite ?
3. Le 83Li se d´esint`egre avec un temps de demi-viet1/2 = 0,844 s. D´eterminer le nombre de
83Li pr´esent dans la cible apr`es 10 minutes d’exposition.
Rep :
N83Li(t)≃ ΦNcibleσt1/2
ln 2 ≃ 3,27×0,844
0,693 ≃4 noyaux (8)
4. Calcul de l’´energie cin´etique minimaleTsdu neutron pour que la r´eaction ait lieu (´Energie seuil de la r´eaction) en utilisant les quadrivecteurs.
(a) ´Ecrire le quadrivecteur Pn du neutron incident dans le laboratoire.
(b) ´Ecrire le quadrivecteur P11
5B du noyau de Bore cible dans le laboratoire. Le noyau de Bore cible est au repos dans le laboratoire.
(c) ´Ecrire le quadrivecteur Pαcm de la particule alpha dans le syst`eme du centre de masse de la r´eaction. On notera~pcm le quadrivecteur de la particule alpha dans le syst`eme du centre de masse de la r´eaction.
(d) ´Ecrire le quadrivecteur P8
3Li du noyau de lithium dans le syst`eme du centre de masse de la r´eaction.
(e) Que repr´esente r
Pαcm+P8cm 3Li
2
?
(f) Comprendre et commenter les ´equations ci-dessous qui permettent de d´eterminerTn. Quelle relation y-a-il entre
Pn+P11
5B
2
et
Pαcm+P8cm 3Li
2
? En d´eduire une relation contenant Tn.
Pn+P11
5B =Pαlab+P8lab
3Li (9)
Pn+P11
5B
2
=
Pαlab+P8lab 3Li
2
(10)
Pαlab+P8lab 3Li
2
=
Pαcm+P8cm 3Li
2
(11)
Pn+P11
5B
2
=
Pαcm+P8cm
3Li
2
(12) m2nc4+M112
5Bc4 + 2Pn· P11
5B =Mα2c4+M82
3Lic4+ 2Pαcm· P8cm
3Li (13)
m2nc4+M112
5Bc4+ 2 mnc2+Tn
M115Bc2 = Mα2c4+M82
3Lic4+ 2
Mαc2 +Tαcm
M83Lic2+T8cm
3Li
+p2cm
(14)
(g) D´emonter que l’´energie seuil de la r´eactionTs s’´ecrit : Ts =−Q
Mα+M83Li+mn+M115B
2M115B (15)
o`uQ est le bilan ´energ´etique de la r´eaction.
(h) Les tables donnent la valeur num´eriquement de Q=−6632.510.43 MeV et la valeur num´erique de Ts = 7240.3270.469 MeV. Ces r´esultats sont t-ils en accord avec la formule 15 et la figure 5.
B2 Section efficace diff´ erentielle
On irradie une cible de zirconium9040Zr par un faisceau de protons, et on mesure la section efficace diff´erentielle de production de l’´etat final comportant un neutron et un noyau de niobium 9041Nb pour plusieurs valeurs de l’´energie cin´etique du proton. Le r´esultat de ces mesures est pr´esent´e sur le figure 6
On peut noter que le zirconium est utilis´e comme enveloppe pour les barres de combustible fissible (r´esistance `a la corrosion, r´esistance `a l’irradiation, grande p´en´etrabilit´e des neutrons lents, conservation des propri´et´es `a haute temp´erature). Le niobium est utilis´e en alliage avec le zirconium du fait de sa faible section de capture des neutrons.
1. Quelle doit ˆetre la surface de d´etectionSdd’un d´etecteur de neutrons plac´e `a une distance d = 50 cm de la cible (consid´er´e comme ponctuelle) pour couvrir l’angle solide Ω dont l’angle polaire est compris entre θ1 = 80o etθ2 = 100o ?
Figure 6: Section efficace diff´erentielle de la r´eaction en fonction de l’angle de production dans le centre de masse (cm). Les points sont les donn´ees exp´erimentales. les courbes proviennent du mod`ele th´eorique IAS (Production directe de neutron par une r´esonance isobarique analogue)
2. Donner une estimation de la section efficace de la r´eaction en cm2 pour des protons incidents d’´energie cin´etique de 25 MeV et pour l’ angle solide Ω.
3. (question `a faire soi mˆeme) Mˆeme question que pr´ec´edemment mais pour des protons d’´energie cin´etique de 35 MeV.
Rep:
σ ≃ − 2π 1 +µ2
(cosθ+µsinθ) dσ dΩ(θ)
θ2
θ1
≃1,94 mb (16)
B3 Etude du x´ ´ enon 135 (Chaˆıne de d´ esint´ egration radioactive)
1. D´eterminer une estimation du flux de neutrons Φ, consid´er´e comme constant, si la section efficace de fission de l’uranium 235 pour ces neutrons est de σf5 ≃ 582 b, le nombre de noyaux d’uranium 235 par unit´e de volume est de n5 ≃5,57 1020 cm−3 et le nombre de fissions de l’uranium 235 induites par ces neutrons est de n5f ≃0,75 1013 cm−3s−1. 2. D´ecrire en quelques lignes la figure 7. Quelles informations nous donne-t-elle sur le x´enon
135 ?. D´eterminer la constante radioactiveλTedu tellure 135, la constante radioactive λI de l’iode 135 et la constante radioactive λXe de x´enon 135.
3. D´etermination de l’´evolution en fonction du temps de la concentration (nombre de noyaux par unit´e de volume) en tellure 135.
(a) Donner analytiquement l’´equation diff´erentielle qui r´egit en fonction du temps t l’´evolution de la concentration nTe(t) en tellure 135. On prendra un taux de fission constant ´egale `a nf = 1,25 1013 cm−3s−1.
(b) D´eterminer analytiquement puis num´eriquement la concentration nTe(t) en tellure 135 qui est initialement nulle.
(c) Donner analytiquement puis num´eriquement en r´egime stationnaire (λTet ≫ 1) la concentration n0Te en tellure 135 et retrouver directement ce r´esultat `a partir de l’´equation diff´erentielle qui r´egit l’´evolution temporelle de la concentration en tellure 135.
4. D´eterminer en r´egime stationnaire la concentration n0I en iode 135.
5. D´eterminer en r´egime stationnaire la concentration n0Xe en x´enon 135.
6. `A un instant donn´e, que l’on prend comme nouvelle origine des temps (t = 0), on arrˆete le r´eacteur qui ´etait en r´egime stationnaire. On fait alors l’hypoth`ese que le flux de neutron est nul (φ = 0) et que le nombre de fissions est aussi nul (nf = 0).
(a) ´Ecrire les ´equations de d´esint´egrations du tellure 135, de l’iode 135 et du x´enon 135 ainsi que la chaˆıne de d´esint´egration radioactive.
(b) Montrer que la concentrationnXe(t) en x´enon 135 peut se mettre sous la forme 17, ci-dessous :
nXe(t) =A1exp (−λTet) +A2exp (−λIt) +A3exp (−λXet) (17) o`u A1, A2 et A3 sont des coefficients que vous d´eterminerez en fonction des con- stantes radioactives λTe,λI etλXe et des concentrations n0Te,n0I etn0Xe.
(c) Si on consid`ere un temps t grand t≫ 1
λTe
et que l’on a λTe ≫ λI et λTe ≫ λXe, montrer que l’´equation 17 se r´eduit alors `a :
nXe(t)≃n0Xe Ae−λIt+ (1−A)e−λXet
(18) et d´eterminer analytiquement et num´eriquement le coefficient A.
(d) Donner analytiquement et num´eriquement le tempstmax.pour lequel la concentration en x´enon 135 est maximum et tracer sommairement en fonction du tempstl’´evolution
nXe(t) n0Xe
(e) Pourquoi appelle-t-on ce ph´enom`ene le surempoisonnement au x´enon apr`es arrˆet ?
Figure 7: Voies de formation et d’´elimination du x´enon 135. D’apr`es cette figure on produit γTe = 0,056 noyaux de tellure par fission et αXe = 0,003 noyaux de x´enon par fission. Les temps indiqu´es sur cette figure sont les p´eriodes des noyaux radioactifs.
B3 .1 Rappels et formules utiles
On rappelle que l’op´erateur d’´evolution du syst`eme d’´equations lin´eaires diff´erentielles ho- mog`ene coupl´ees `a coefficients constants
dN dt
= [A] [N] (19)
s’´ecrit
[V] [Λ] [V]−1 (20)
o`u [Λ] est une matrice diagonale de dimensionn×n, soit [Λ] = Diag
eΛ1, eΛ2,· · · , eΛn
, (21)
Λ1,Λ2,· · · ,Λn sont les valeurs propres des la matrice [A], avec dans notre cas, on a
Λi=−λi (i= 1,· · · , n) (22)
et
[V] =
1 0 0 · · · 0 0
S2,1 1 0 · · · 0 0 S3,1 S3,2 1 · · · 0 0
· · · · Sn,1 Sn,2 Sn,3 · · · Sn,n−1 1
(23)
[V]−1 =
1 0 0 · · · 0 0
T2,1 1 0 · · · 0 0 T3,1 T3,2 1 · · · 0 0
· · · · Tn,1 Tn,2 Tn,3 · · · Tn,n−1 1
(24)
Les coefficients Si,j et Ti,j ´etant donn´es par les ´equations suivantes,
Si,j =Fi,i−1j Fi−1,i−2j · · ·Fj+1,jj , (25)
Si,j =Fi,i−1j Si−1,j, (i≥j+ 2) (26)
Ti,j =Fj,ji Fj+1,j+1i · · ·Fi−1,i−1i , (27)
=Fj,ji Ti,j+1, (j ≤i−2) (28)
Fq,rp = λr
λq−λp (29)
