1 Chapitre VI Pression dans un fluide et dynamique d'un fluide parfait
incompressible
1. Définition de la pression et mise en évidence
Origine microscopique de la pression : échanges de quantité de mouvement entre les molécules ou entre les molécules et les parois dus aux chocs (collisions) qui se produisent au cours des mouvements d'agitation thermique des molécules.
Définition macroscopique : un élément de surface quelconque dS d'un solide immergé dans un fluide est soumis à une force pressante normale à la surface et proportionnelle à dS, dirigée du fluide vers la surface :
dF ! =P.dS.n ! n ! : vecteur unitaire normal à la surface dS dirigé du fluide vers la surface.
P : pression du fluide au point M où se trouve la surface dS.
P est une quantité scalaire (ne dépend pas de l'orientation de dS) et toujours positive. Elle représente en module la force pressante par unité de surface exercée par le fluide.
La pression est homogène à une force par unité de surface ou à une énergie par unité de volume : [P]= [M][ L] -1 [T] -2
Mesure de la pression : en Pascal (Pa), c'est la pression correspondant à une force de 1 Newton par 1 m2.
La pression atmosphérique est de ~105 Pascals.
2. Fluide en équilibre dans le champ de pesanteur 2.1 Loi fondamentale de la statique des fluides
On étudie l'équilibre d'un élément de volume de fluide au sein d'un fluide, de masse volumique, placé dans le champ de pesanteur. Il est soumis à des forces pressantes de la part du reste du fluide et à la pesanteur, extérieure au fluide.
Si le fluide est homogène, étant donnée la direction de la pesanteur, le seul paramètre de variation possible de la pression en son sein est la coordonnée z.
On a donc :
!P
!x =
!P
!y =0 ! P (z) : fonction de la seule variable z.
On peut considérer l'équilibre d'un petit élément de fluide de forme parallélépipédique, de surface horizontale S et d'épaisseur infinitésimale dz, de volume dV=Sdz de masse dm="Sdz.
2 z F ! 2
z+dz z
!
u z F ! 1
O y
x
Le poids de l'élément dû à la pesanteur est :
dP ! =!.S.dz.g ! ="!.S.g.dz.u ! z
(pour un fluide homogène, " est indépendante de z seulement si on considère l'accélération de la pesanteur comme uniforme)
Soit P(z) la pression à la hauteur z et P(z + dz) à la hauteur z + dz, où dz est la différentielle de z (une variation infinitésimale de z).
On a aussi dP = P(z + dz) - P(z) = dPdzdz où dP est la différentielle de la pression P(z).
Les forces pressantes sur les faces latérales sont égales et opposées deux par deux.
Sur la face horizontale inférieure : !
F1= F(z)u!z = P(z)Su!z
sur la face horizontale supérieure :
F ! 2=!F(z+dz)u ! z =!P(z +dz)Su ! z
Résultante des forces pressantes agissant sur l’élément de fluide considéré :
dF =! F!1+F!2= P(z)S!u!z- P(z + dz)S!u!z= -dP.Su!z
3 L'équilibre de l'élément de fluide implique que les forces appliquées ont une résultante nulle : d !
P +!F ! =0! !".S.g.dz.u ! z!dP.Su ! z =0
! dP =!".g.dz la pression diminue quand l'ordonnée z augmente.
D’où
dP
dz =!"g loi fondamentale de la statique des fluides
Attention : " pourrait dépendre de P et de z dans le cas général.
2.2 variation de la pression P avec z
* Cas d'un fluide incompressible (liquide)
Pas de variation de volume ! masse volumique " ne dépend pas de la pression. Si on considère la pesanteur comme uniforme, " ne dépend pas de z.
! l'intégration de la loi fondamentale donne : P =!-!gz+ Cte
Entre deux points A et B du fluide, on a : P(B)!P(A)="ABdP = z !#gdz
A zB
" =#g(zB!zA)
ou PA+!gzA=PB +!gzB
La quantité P +!gz est un invariant en tout point d'un même fluide.
*Cas d'un fluide compressible (gaz)
Pour une faible hauteur de gaz, la variation de pression dans un gaz est beaucoup plus faible que dans un liquide car " est plus faible.
Ex : "air=1,3 Kgm-3=1,3.10-3 g. cm-3. Pour une dénivellation de #z=1m dans l'air à la pression atmosphérique P0 = 105 Pa, on a une variation de pression : #P= "g #z = 1,3 . 10 . 1 = 13 Pa << P0. #P/ P0=10-4.
! On peut parler de la pression de gaz dans un volume V en considérant que P et " sont uniformes.
Pour une grande épaisseur verticale, on ne peut pas négliger la variation avec z de P et de. C'est le cas de l'atmosphère terrestre. On peut montrer que si on adopte un modèle isotherme (température T indépendante de z) de l'atmosphère, on a une décroissance exponentielle de la pression :
4 PA =P0exp(! mg
kBT z)
où P0 est la pression atmosphérique au sol, m, la masse moyenne d'une molécule de l'air (on peut considérer l'air comme un gaz parfait de masse molaire 29g), kB, la constante de Boltzmann, T, la température thermodynamique.
2.3 Exemples d'application
*Baromètre de Toricelli
Le mercure a une masse volumique de "=13,6 . 103 Kgm-3. On remplit un tube de mercure et on le retourne sur une cuve de mercure. La pression est nulle en haut du tube et est égale à la pression atmosphérique P0 à la surface de la cuve. La colonne de mercure présente une dénivellation de h=760 mm=0,76 m ce qui donne la mesure de P0 ="gh=760 mmHg = 1,013 . 105 Pa.
* Théorème d'Archimède
Tout corps plongé dans un liquide (ou fluide) subit de la part de celui-ci une force dirigée de bas en haut (poussée d'Archimède) et ayant même intensité que le poids du liquide déplacé.
3. Dynamique du fluide parfait incompressible 3.1 Description
On a donc " = constante. En pratique, il s'agit généralement d'un liquide.
A l'équilibre (statique) dans le champ de pesanteur, on a, au sein d'un même fluide : P +!gh=invariant
On considère maintenant un fluide en mouvement dans le champ de pesanteur. On peut définir un élément de fluide ou une particule de fluide : c'est une petite quantité de fluide, suffisamment petite à notre échelle, pour laquelle on pourra définir une même vitesse ; il est affecté d'une masse élémentaire dm et peut être traité comme un point matériel (même s'il contient un nombre de molécules).
On considèrera un écoulement régulier, dit " laminaire" et non pas irrégulier dit "turbulent".
Dans le cas général, la vitesse v ! d'un élément de fluide qui passe au point M à l'instant t est fonction de la position de M et du temps t
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! on peut définir un champ de vitesse v ! (M,t) et donner une idée de la forme de ce champ en traçant des lignes de courant tangentes en tout point au vecteur vitesse, orientées dans le sens des vitesses.
Dans la suite, on va considérer un écoulement permanent (ou stationnaire) qui ne dépend pas du temps. Le champ de vitesse v ! (M) est alors constant, c'est-à-dire, indépendant du temps. La carte des lignes de courant est donc figée. Les éléments de fluide qui se succèdent au point M prennent la même vitesse au point M. Cela ne veut pas dire que le champ de vitesse est uniforme ( v ! (M) varie d'un point à l'autre).
On peut montrer que dans un écoulement permanent, les éléments de fluide suivent les lignes de courant. C'est-à-dire que les lignes de courant sont aussi des trajectoires des éléments de fluide. Deux lignes de courant ne peuvent donc pas se croiser.
Un écoulement permanent peut donner l'illusion de l'immobilité. Ex : une rivière tranquille.
Tube de courant : un ensemble de lignes de courant qui s'appuient sur un contour fermé. La surface S du contour : section du tube. La vitesse n'est pas nécessairement uniforme d'un point à l'autre de la section.
Les éléments de fluide qui se trouvent à l'intérieur d'un tube de courant n'en sortent pas. Le fluide est comme canalisé. On appellera "tube élémentaire" , un tube de courant de section droite S, suffisamment petite pour qu'on puisse considérer la vitesse comme uniforme sur toute la section du tube. Les particules de fluide qui traversent la section S ont toutes la même vitesse v ! . S'il s'agit d'une section droite, la vitesse est perpendiculaire à la surface.
Pendant un temps dt, une durée élémentaire, les particules de fluide qui traversent une section droite de surface S sont toutes celles qui sont contenues dans un volume cylindrique de section S et de hauteur v.dt
v.dt
v ! S
6 Ce volume dV = v.S.dt est le volume qui s'écoule pendant la durée dt à travers la surface S ! on définit le débit en volume (en m3s-1)
dV
dt =Sv ou le débit en masse (Kg. s-1) :
!dV
dt =!Sv.
Pour un écoulement permanent, on peut écrire deux équations de conservation :
* Conservation de la masse : équation de continuité
* Conservation de l'énergie : équation de Bernouilli 3.2 Equation de continuité. Conservation de la masse.
SA
v ! A v ! B SB
Soit un tube de courant fermé par les sections droites SA et SB situées respectivement en A et en B, dans un fluide incompressible ("=cte). Aucun élément de fluide ne peut sortir du tube. Ce qui entre par A pendant un temps #t sort en B pendant le même temps :
"SAvA#t="SBvB#t !"t (conservation du débit)
! SAvA = SBvB Equation de continuité
vA, vB : modules des vitesses
Plus S est petite, plus les lignes de courant sont resserrées et plus la vitesse du fluide est grande.
3.3 Conservation de l'énergie dans le champ de pesanteur
On suppose de plus que le fluide est idéal (ou parfait) ou non visqueux.
C'est-à-dire que l'on peut négliger les forces de frottement de viscosité entre les éléments de fluide voisins de vitesses différentes, ou entre le fluide et les parois. L'écoulement n'est pas freiné. La validité de cette supposition dépend des situations (non valide dans les tubes capillaires par exemple). Ceci signifie en fait qu'il n'y a pas de variation d'énergie interne des éléments de fluide. Les seules forces qui sont à prendre en
7 considération sont : la pesanteur et les forces pressantes exercées sur un élément de fluide par le reste du fluide.
Variation de la pression dans un fluide en écoulement permanent dans le champ de pesanteur :
z vBdt
vAdt
A’ B B' A
g ! $
On considère un tube élémentaire de courant entre deux points A et B, caractérisés à l'instant t respectivement par les pressions PA et PB
exercées sur les sections droites SA et SB, et par les vitesses d'écoulement de modules vA etvB.
Entre les instants t et t+dt, le segment du tube AB subit un déplacement élémentaire et avance jusqu'en A'B' limité par les sections droites SA' et SB'. On a donc AA'=vAdt et BB'=vBdt.
Au cours de ce déplacement de AA' en BB', le système constitué par le fluide contenu dans le segment AB reçoit un travail de la part des forces appliquées sur lui : W=W1 + W2
où W1 est fourni par la pesanteur et W2 , par les forces pressantes exercées sur le tube AB par le reste du fluide.
Le théorème de l'énergie cinétique permet d'écrire que la variation de l'énergie cinétique #Ec du segment AB est donnée par W :
#Ec = W = W1 + W2
En régime d'écoulement permanent, la distribution en position et en vitesse des éléments de fluide entre A' et B ne change pas. Tout se passe comme si on a seulement transporté une quantité dm de fluide comprise entre A et A' jusqu'à la position entre B et B', avec une variation de vitesse de vA à vB. La variation d'énergie cinétique de dm est donnée par :
!Ec= 1
2dm!
(
vB2-vA2)
où la masse dm="SAvAdt="SBvB dt, avec SAvA = SBvB
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! !Ec=1
2"SBvB3dt#1
2"SAvA3dt
Le travail de la pesanteur se réduit à celui qui est nécessaire pour le déplacement de dm de zA à zB :
W1=!"Ep =!dm.g(zB !zA)=!#gdtSBvBzB +#gdtSAvAzA
En ce qui concerne le travail des forces pressantes W2, on sait que les forces pressantes exercées par le reste du fluide sur le tube AB sont partout normales à la surface de séparation et dirigées vers l'intérieur du tube. Les forces pressantes exercées sur les parois latérales du tube sont normales au déplacement (normales aux lignes de courant) et fournissent un travail nul. La résultante des forces pressantes sur la section SA, égale au produit de la pression en A et de la surface SA fournit un travail moteur ( >
0) pour le déplacement élémentaire vAdt, tandis que celle qui est exercée sur SB fournit un travail résistant :
W2=PASAvAdt!PBSBvBdt
En reportant ces expressions dans l’égalité #Ec = W1 + W2 et en tenant compte de l'équation de continuité SAvA = SBvB , on obtient l'égalité qui exprime le théorème de Bernouilli ou la conservation de l'énergie :
PA+!gzA+1
2!vA2 =PB +!gzB +1 2!vB2
On peut vérifier que chacun des termes est homogène à une énergie par unité de volume.
La quantité
P +!gz+1
2!v2 est donc un invariant au sein d'un même fluide dans le champ de pesanteur.
Si le fluide est en équilibre statique dans le champ de pesanteur, v=0 ! on retrouve l'invariant de l'hydrostatique : P +!gz.
Remarque :
Dans un fluide visqueux, il existe des forces de frottements dissipatives qui freinent l'écoulement en fournissant toujours un travail négatif. Une partie de l'énergie mécanique se transforme en énergie interne du fluide (échauffement par exemple). Ceci se traduit par une diminution de la quantité
P +!gz+1
2!v2au cours de l'écoulement.
