PAOLO PICCIONE Queremos provar a f´ormula de Green: (1) Z ∂R F= Z Z R ∂F2 ∂x − ∂F1 ∂y dxdy, onde F(x, y

MAT0220 – C ´ALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV UMA NOTA SOBRE A F ´ORMULA DE GREEN NO PLANO

PROF. PAOLO PICCIONE

Queremos provar a f´ormula de Green:

(1)

Z

∂R

F= Z Z

R

∂F₂

∂x − ∂F₁

∂y

dxdy, onde F(x, y) = F1(x, y), F2(x, y)

´e um campo vetorial de classe C¹ definido num abertoUque contemR, eR ⊂R²´e a regi˜ao do plano definida por:

R =

(x, y)∈R² :a≤x≤b, g₁(x)≤y≤g₂(x) ,

[a, b]´e um intervalo emR, eg₁, g₂: [a, b]→Rs˜ao func¸˜oes de classeC¹em [a, b], comg₁(x)≤g₂(x)para todox. Do lado direito da (1) entende-se que

∂R, que ´e umcaminho de Jordan(i.e., simples e fechado) C¹-por partes,

´e orientado no sentido anti-hor´ario. Dada γ uma curva parametrizada em R², denotaremos comγ⁻a curva obtida reparameterizandoγcom o sentido oposto. Dados caminhosγ₁eγ₂com ponto final deγ₁igual ao ponto inicial deγ₂, denotaremos comγ₁γ₂ aconcatenac¸˜aodeγ₁ eγ₂.

O caminho∂Rpode ser expressado como concatenac¸˜ao dos caminhosC¹:

∂R=γ1γ2γ₃⁻γ₄⁻,

onde as parametrizac¸˜oes dasγ_i,i= 1, . . . ,4s˜ao dadas por:

• γ₁(t) = t, g₁(t)

, t∈[a, b];

• γ₂(t) = b, t

, t∈

g₁(b), g₂(b)

;

• γ₃(t) = t, g₂(t)

, t∈[a, b];

• γ₄(t) = a, t

, t ∈

g₁(a), g₂(a) . O lado esquerdo de (1) ´e calculado como segue:

Z

∂R

F= Z

γ1

F+ Z

γ2

F− Z

γ3

F− Z

γ4

F,

e mais especificamente:

(2)

Z

γ1

F= Z b

a

F₁ t, g₁(t)

+F₂ t, g₁(t) g₁⁰(t)

dt;

Data: 28 de agosto de 2019.

1

2 MAT0220 – F ´ORMULA DE GREEN

(3)

Z

γ2

F= Z g2(b)

g1(b)

F2 b, t dt;

(4)

Z

γ⁻₃

F=− Z b

a

F₁ t, g₂(t)

+F₂ t, g₂(t) g₂⁰(t)

dt;

(5)

Z

γ₄⁻

F=− Z g2(a)

g1(a)

F₂ a, t dt.

Calculemos agora o lado direito de (1). Uma aplicac¸˜ao f´acil do Teorema de Fubini fornece:

(6) − Z Z

R

∂F₁

∂y dxdy=− Z b

a

"

Z g2(x)

g1(x)

∂F₁

∂y dy

# dx

= Z b

a

F₁ x, g₁(x)

−F₁ x, g₂(x) dx

Para o c´alculo da segunda integral dupla em (1) precisamos lembrar a f´ormula de derivac¸˜ao numa integral dependente de um parˆametro. Dada uma func¸˜ao G(x, y)de classeC¹na vari´avelx, cont´ınua na vari´avely, e dadasg₁(x), g₂(x) func¸˜oes de classeC¹, ent˜ao a func¸˜ao:

H(x) =

Z g2(x)

g1(x)

G(x, y) dy

´e de classeC¹, e sua derivada ´e dada por:

H⁰(x) =G x, g2(x)

g₂⁰(x)−G x, g1(x)

g₁⁰(x) +

Z g2(x)

g1(x)

∂G

∂x(x, y) dy.

Aplicando esta f´ormula `a func¸˜aoG(x, y) = F2(x, y), obtemos:

Z g2(x)

g1(x)

∂F₂

∂x (x, y) dy=H⁰(x)−F₂ x, g₂(x)

g⁰₂(x) +F₂ x, g₁(x) g₁⁰(x),

MAT0220 – F ´ORMULA DE GREEN 3

ondeH(x) = Rg2(x)

g1(x) F₂(x, y) dy. Da´ı:

(7) Z Z

R

∂F₂

∂x (x, y) dxdy= Z b

a

"

Z g2(x)

g1(x)

∂F₂

∂x (x, y) dy

# dx

= Z b

a

H⁰(x)−F₂ x, g₂(x)

g₂⁰(x) +F₂ x, g₁(x) g₁⁰(x)

dx

=H(b)−H(a)− Z b

a

F₂ x, g₂(x)

g⁰₂(x) dx+ Z b

a

F₂ x, g₁(x) g₁⁰(x)

= Z g2(b)

g1(b)

F2(b, y) dy−

Z g2(a)

g1(a)

F2(a, y) dy

− Z b

a

F₂ x, g₂(x)

g₂⁰(x) dx+ Z b

a

F₂ x, g₁(x) g₁⁰(x).

Fica agora claro que a soma de (2),(3),(4) e (5) ´e igual `a soma de (6) e (7), provando a f´ormula (1).

UNIVERSIDADE DES ˜AOPAULO, DEPARTAMENTO DEMATEMATICA´ E-mail address:piccione.p@gmail.com.br