Travaux Dirigés A Perte d'énergie dans la mati`ere B ... - LPNHE

UNIVERSITE

PIERRE & MARIE

CURIE

LA SCIENCE A PARIS

Mention Physique - M1 - Ann´ ee 2011-2012 Master de Sciences et Technologies

MP006 : D´ etection des Rayonnements Energ´ etiques

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Travaux Dirig´ es

A Perte d’´ energie dans la mati` ere

1. D´ecrire en quelques lignes la perte d’´energie des particules charg´ees dans la mati`ere qui est d´ecrite par la figure 1

2. La figure 2 montre l’´energie d´epos´ee, en keV/cm, par des particules en fonction de leur impulsion exprim´ee GeV/c. Les donn´ees sont repr´esent´ees par des points et les courbes sont ajust´ees sur les donn´ees.

(a) Expliquer la position des courbes les unes par rapport au autres pour les courbes des muons (µ), des pions (π), des kaons (K) et des protons (p) dans la r´egion en 1/β²(β est la vitesse des particules exprim´ee en unit´e c). On rappelle que mµ∼106 MeV/c², mπ∼140 MeV/c², mK∼0,5 GeV/c², mp∼1 GeV/c².

(b) Sur la figure ci-dessous, est-ce normal que l’allure de la courbe du d´epˆot d’´energie pour un ´electron soit diff´erente de toutes les autres ?

(c) Donner approximativement, d’apr`es la figure ci-dessous, l’impulsion et l’´energie d´epos´ee par unµau minimum d’ionisation.

(d) L’impulsion du muon au minimum d’ionisation, trouv´ee ci-dessus, est-elle compatible avec l’adage suivant : au minimum d’ionisation on aβγ∼4 o`u estγ la pouss´ee de Lorentz.

(e) L’ordre de grandeur de l’´energie d´epos´ee par une particule au minimum d’ionisation est de 1 `a 2 MeV/(g/cm²). En d´eduire l’ordre de grandeur de la densit´e du gazρ, dans lequel le muon interagit.

(f) Estimer une distance, au bout de laquelle on est sˆur que le muon au minimum d’ionisation s’est arrˆet´e.

B Distribution (ionisation primaire et secondaire)

On consid`ere un pion charg´e d’´energie de 800 MeV (le pion est une particule ayant une masse de 140 MeV) qui traverse 4 mm de gaz d’argon sous une pression de 1,1 atm.

1. A l’aide de la figure 3, en faisant l’hypoth`ese, `a justifier, que le pion est au minimum d’ionisation, donner dans le m´elange

(a) le nombre moyen d’´electrons primairesN1.

(b) le nombre moyen d’´electrons cr´e´esNt(primaires et secondaires).

(c) la perte d’´energie du pion incident en faisant l’hyphoth`ese, `a justifier, que la perte d’´energie par unit´e de longueur est constante sur l’´epaisseur de l’´echantillon.

2. La figure 4, montre la distribution du nombre d’´electrons cr´e´es dans l’argon.

(a) Dites en quelques mots pourquoi cette distribution met en ´evidence le caract`ere al´eatoire de la perte d’´energie d’une particule

(b) Sachant que le nombre moyen d’´electrons cr´e´esNtcorresponds au num´ero de canal 215, donner le nombre le plus probable d’´electrons cr´e´esNt.m.p.dans l’argon 3. La figure 5 montre l’´evolution du nombre d’´electronsNt,Nt.m.p.etN1en fonction de la

pouss´ee de Lorentz du pion.

(a) Dites pourquoi l’allure de ces courbes vous est famili`ere.

(b) D´eterminer le nombre moyen d’´electrons cr´e´es Nt si le pion avait une ´energie de 140 GeV. En d´eduire, `a l’aide de l’´energie moyenne perdue par unit´e de longeur par

´electron cr´e´ew donner dans la figure 3, l’´energie moyenne perdu par ce pion par unit´e de longeur.

C Formule de Bethe-Bloch

Les particules charg´ees mod´erement relativiste, autres que les ´electrons, perdent principale- ment leur ´energie dans la mati`ere par ionisation des ´electrons du cort`ege ´electronique. La valeur moyenne de l’´energie perdue (ou pouvoir d’arret) est donn´ee par la formule de Bethe- Bloch :

−

dE

d(ρx)

= Kz²Z

A 1 β²

1 2ln

2mec²β²γ²Tmax

I²

−β²−δ 2

(1)

avec :

• Tmax = _1+2γm^2m_e/M+(m^ec2β2γ2_e/M)2 = ´energie cin´etique maximale transf´erable `a un ´electron lors d’une seule collision ouM est la masse de la particule incidente (dans la suite on fera l’hypoth`ese queM >> me, soitTmax∼2mec²β²γ²;

• K= 0.307075 MeVg⁻¹cm²,mela masse de l’´electron ,cla vitesse de la lumi`ere;

• zetβ=^v_csont respectivement la charge et la vitesse en unit´ecde la particule incidente.

On aγ=√¹

1−β² d’ouβ²=_1+β^β2γ2²γ²;

• Z, A ρsont respectivement le num´ero atomique, le nombre de masse et la densit´e du mat´eriau;

• Il’´energie moyenne d’excitation du mat´eriau (I∼10∗Z eV pourZ >1 );

• δest un terme correctif incluant un effet de densit´e du champ ´electromagn´etique que l’on n´egligera dans la suite;

Quelques donn´ees utiles par la suite :

oxyg`ene (O2;A = 15.9994; Z=8; densit´e :ρ= 1.141g/cm³) plomb (Pb ;A = 207,2; Z=82; densit´e :ρ= 11,35g/cm³) cuivre (Cu; A = 63,55; Z=29;densit´e :ρ= 8,96g/cm³) alluminium (Al; A = 26,99; Z=13;densit´e : ρ= 2,70g/cm³)

1. Quelle est l’unit´e de−(_d(ρx)^dE ) ? Si je veux la mˆeme unit´e pour −(^dE_dx), quelle doit ˆetre l’unit´e dex? Par la suite on mesureraxdans cette unit´e.

2. Montrer que pour une particule incidente de chargez= 1 (cas que l’on consid`erera par la suite) on a :

−dE

dx=f(u) = 0,307Z

A 1 +u²

u² ln

10⁵u² Z

−1

avecu=βγ (2)

(a) D´emonter les relations suivante entre l’´energie cin´etiqueT d’un proton, sa vitesse βc, sa pouss´ee de Lorentzγet son ´energie de masseMc²:

(βγ)²=T(T+ 2Mc²)

M²c⁴ (3)

≃ 2T

Mc² si (T << Mc²) (4)

(b) En d´eduire que dans de l’eau la perte d’´energie moyenne par unit´e de longueur pour un proton non relativiste en fonction de son ´energie cin´etiqueEexprim´ee en MeV est :

−dE

dx≃g(T) = (5)

0,170

1 +469 T

ln

T

0.0344

−1

(6)

On a ^Z_A

eau= 0,55509,ρeau= 1 g/cm³,I= 75 eV,z= 1 etMc²= 938 MeV 3. Tracer sur un mˆeme graphe en ´echelle log-log le pouvoir d’arret dans de l’ozyg`ene, de

l’alluminium, du cuivre et du plomb en fonction du produitβγ pour des valeurs com- prisent entre 0.1 et 1000.

4. En faisant l’hypoth`ese que les particules au minimum d’ionisation ont unβγ ∼3−4, donner une estimation du pouvoir d’arret pour les particules au minimum d’ionisation en MeV/gcm²pour les diff´erents mat´eriaux. Vos r´esultats sont-il en accord avec la formules

<−dx^de>min= 2.35−0.64log10(Z) pourZ >6

5. Estimer une distance (en cm) pour laquelle on est sur d’arr´eter une particule de 100 MeV dans ces diff´erents mat´eriaux.

D Chambre ` a d´ erive

On consid`ere un chambre `a d´erive. Son gaz est un m´elange compos´e de 90 % d’argon et de 10 % de m´ethane.

1. D´efinir en quelques lignes le principe de fonctionement d’une chambre `a d´erive et com- menter brievement les figures 6

2. (a) D’apr`es les figures 7 ci-dessous donner la vitesse de d´erive des ´electrons pour un champ ´electrique E0 = 1 kV/cm. En d´eduire le temps de d´erive des ´electrons si la distance de d´erive est dex= 3 mm et si on suppose cette vitesse de d´erive constante.

(b) La distribution du nuage d’´electrons au bout d’un temps t et d’une distancexest donn´ee parf(x) =_σ√¹

2πe^−x2/(2σ2)avecσ=√

2Dtou D est le coefficient de diffusion.

En utilisant les figures 7 ci-dessous donner l’incertitudeσsur la position du nuage des ´electrons pour une distance de d´erivex= 3 mm et E0= 1 kV/cm.

3. (a) On peut mod´eliser la variation dnedu nombre d’´electrons nesur une distancedxpar la relation dne= neα(E)dx. D’apr`es les figures 7 ci-dessous donner le facteurαsi le champ ´electrique au voisinage de l’anode estE1= 100 kV/cm.

(b) En d´eduire le facteur d’amplification A des ´electrons si l’on suppose que le champ

´electrique moyen au voisinage de l’anode estE1et la distance d’amplification est de 50µm. Commentaire ?

E Calorim´ etrie

La figure A ci-dessous montre le d´eveloppement d’une gerbe ´electromagn´etique lorsqu’un ´electron d’´energieEsup´erieure `a l’´energie critiqueEcp´en`etre dans du plomb dont la longueur de radi- ation est not´eX0.

1. Connaissez vous un mod`ele physique qui d´ecrive le d´eveloppement de la gerbe ´electromagn´etique ? (voir figure 8) D´ecrivez le qualitativement. Quelles sont les interactions qui y intervien- nent ?

2. Donner apr`estlongueurs de radiations, le nombre totaleN(t) d’´electrons et de photons ainsi que leur ´energieE(t)

3. Donner le nombretmaxde longueur de radiation qui correspond `a la longueur totale de la gerbe ainsi que le nombre totalNmaxde particules dans la gerbe en fonction des donn´ees.

4. Quelle est l’´energie maximaleEmaxpermise pour un ´electron si on veut que sa gerbe soit enti`erement comprise dans L10= 10 cm de plomb. On prendra Ec∼800 MeV/(Zmat´eriau+ 1.2) et X0(²⁰⁷₈₂Pb)∼0.56 cm.

5. Dans la figure B ci-dessous, pouvez vous expliquer l’allure des courbes de r´esolution en

´energie (σ(E)/Een fonction deE^−1/2) pour 3 configurations donn´ees du calorim`etre de l’exp´erience OPAL du LEP au CERN.

Figure 1: Stopping power of muon function its momentum for several materials (pouvoir d’arret du muon en fonction de son impulsion pour diff´erents mat´eriaux)

Figure 2: Energy deposit per unit lengh (keV/cm) fonction of momentum incident particle (Energie d´epos´ee par unit´e de longueur en fonction de l’impulsion de la particule incidente)

Figure 3: TABLE de donn´ees : En particulier pour l’argon on a : ^dN_dx¹

min = 24,8 cm⁻¹,

dNt dx

min= 96,6 cm⁻¹, −^dEdx

min= 2,541 keVcm⁻¹etw= 26,3 eV

Figure 4: Distribution du nombre d’´electrons cr´e´es dans l’argon

Figure 5: Evolution du nombre d’´electronsNt,Nt.m.p.etN1en fonction de la pouss´ee de Lorentz du pion.

Figure 6:

Figure 7:

Figure 8: