Analyse de sensibilité des paramètres

Chapitre III. Modèles d’interface MEPI

III.3. Modèle MEPI 3D

III.3.4. Analyse de sensibilité des paramètres

Tableau III-3 Synthèse sur la détermination des paramètres de MEPI 3D et analogies avec MEPI 2D Paramètres

de MEPI 3D

Analogie avec MEPI 2D

Détermination dans MEPI 3D Kn Kn Kn= 2Kt

Kt Kt

Rigidité sécante de la courbe (ut, τ).

0 t p

t u

K τ

= Kt ; ut0

relatif à la mobilisation de la moitié de la résistance au cisaillement au pic.

α0 µ0

2 ' sin ₀

= δ

α ; δ’0 valeur minimale de l’angle de frottement délimitant le domaine élastique linaire courbe (ut, τ)

αf µp

2 ' sin

= δ

α ; ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ σ

= τ

δ ⁻

ni 1 p

tan '

αc0 µc0

( )

ⁿ

1 c 0

c I 1 sin3

J ϑ β

= −

α ; valeurs au passage contractance-dilatance

A0 A

( ) ( )

ⁿ

t 0 0 f

0 1 sin3

A α −α p −β ϑ

B0 B Calage

t t t = 10D50

n - n = -0,229

β -

A la rupture :

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− α

= β

−

3 sin

const 1

f ; const

I J

III.3.4.1. Influence des paramètres Kn et Kt

Les variations de Kn à contrainte normale constante "CNC" (Fig. III.17) n’ont d’effet ni sur les courbes de cisaillement ni sur l’évolution du déplacement normal. Par contre, l’influence de Kn est très importante dans les essais à volume constant "VC". Dans ce cas, le modèle fournit des courbes plus raides à l’origine et des valeurs de résistance au cisaillement maximal plus élevées avec l’augmentation de Kn (Fig. III.18).

0 25 50 75 100 125

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte de cisaillementτ(kPa)

Déplacement tangentiel ut (mm)

Perturbation -30%

Référence Kn=6e5 kPa/m Perturbation +30%

-0,02 0,02 0,06 0,10 0,14 0,18 0,22 0,26

0 2 4 6 8 10 12

Déplacement normal un (mm)

Déplacement tangentiel ut (mm)

Perturbation -30%

Référence Kn=6e5 kPa/m Perturbation +30%

Figure III-17 Effet du paramètre Kn : test à contrainte normale constante(CNC)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte de cisaillement τ(kPa)

Déplacement tangentiel u_t(mm)

Perturbation -30%

Référence Kn=6e5 kPa/m Perturbation +30%

0 50 100 150 200 250 300 350

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte normale σn (kPa)

Déplacement tangentiel ut(mm)

Perturbation -30%

Référence Kn=6e5 kPa/m Perturbation +30%

Figure III-18 Effet du paramètre Kn : test à volume constant (VC)

La même tendance est observée pour la contrainte normale σ_n en fonction du déplacement tangentiel. Le comportement contractant et dilatant est amplifié avec une augmentation de Kn

(Fig. III.18).

D’autre part, les courbes à CNC (Fig. III.19) et à VC (Fig. III.20) ne sont pas très sensibles à la variation de Kt.

0 25 50 75 100 125

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte de cisaillement τ(kPa)

Déplacement tangentiel ut (mm)

Perturbation -30%

Référence Kt=3e5 kPa/m Perturbation +30%

-0,02 0,02 0,06 0,10 0,14 0,18 0,22 0,26

0 2 4 6 8 10 12

Dépalcement normal un (mm)

Dépalcement tangentiel ut (mm)

Perturbation -30%

Référence Kt=3e5 kPa/m Perturbation +30%

Figure III-19 Effet du paramètre Kt : test à contrainte normale constante(CNC)

0 50 100 150 200 250 300 350

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte de cisaillement τ(kPa)

Déplacement tangentiel ut (mm)

Perturbation -30%

Référence Kt=3e5 kPa/m Perturbation +30%

0 50 100 150 200 250 300

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte normale σn (kPa)

Déplacement tangentiel ut (mm)

Perturbation -30%

Référence Kt=3e5 kPa/m Perturbation +30%

Figure III-20 Effet du paramètre Kt: Test à volume constant (VC) III.3.4.2. Influence des paramètres α0, αf et A0

Le paramètre α0 a une influence très faible sur l’évolution de la contrainte de cisaillement et du déplacement normal à CNC. Cette influence est plus prononcée pour les tests à VC (Fig. III.21).

La variation de α_f a un effet sur la valeur maximale de la contrainte de cisaillement que ce soit à CNC ou à VC. De plus, une augmentation de α_f diminue la contractance pour les petits déplacements tangentiels (diminution de u_n à CNC et de σn à VC) et augmente la dilatance pour les grands déplacements tangentiels (augmentation de u_n à CNC et de σn à VC) (Fig. III.22 ; Fig. III.23).

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte de cisaillement τ(kPa)

Déplacement tangentiel ut (mm) Référence α0= 0,17 Perturbation +30%

0 50 100 150 200 250 300 350

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte normale σn (kPa)

Déplacement tangentiel ut (mm) Référence α0= 0,17 Perturbation +30%

Figure III-21 Influence du paramètre α0 : test à volume constant (VC)

0 25 50 75 100 125 150 175

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte de cisaillementτ(kPa)

Déplacement tangentiel ut (mm) Perturbation -30%

Référence αf = 0,42 Perturbation +30%

-0,50 -0,40 -0,30 -0,20 -0,10 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50

0 2 4 6 8 10 12

Déplacement normal un (mm)

Déplacement tangentiel ut(mm) Perturbation -30%

Référence αf = 0,42 Perturbation +30%

Figure III-22 Influence du paramètre αf : test à contrainte normale constante (CNC)

0 100 200 300 400 500 600 700 800

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte de cisaillement τ(kPa)

Déplacement tangentiel ut (mm) Perturbation -30%

Référence αf = 0,42 Perturbation +30%

0 100 200 300 400 500

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte normale σn (kPa)

Déplacement tangentiel ut (mm) Disturbance -30%

Reference αf = 0,42 Disturbance +30%

Figure III-23 Influence du paramètre αf : test à volume constant (VC)

D’autre part, l’augmentation de A0 a pour effet la diminution de la rigidité de la partie initiale de la courbe de mobilisation de cisaillement (ut,τ). Cet effet est plus visible lors du cisaillement à VC (Fig. III.25) plus que dans le cas du cisaillement à CNC (Fig. III.24). De plus à VC, une variation de la contrainte maximale de cisaillement est observée.

0 25 50 75 100 125

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte de cisaillement τ(kPa)

Déplacement tangentiel ut (mm) Perturbation -30%

Référence A0 = 0,0001 Perturbation +30%

-0,20 -0,10 0,00 0,10 0,20 0,30

0 2 4 6 8 10 12

Déplacement normal un(mm)

Déplacement tangentiel ut(mm)

Figure III-24 Influence du paramètre A0 : test à contrainte normale constante (CNC)

0 50 100 150 200 250 300 350 400

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte de cisaillementτ (kPa)

Déplacement tangentiel ut (mm) Perturbation -30%

Référence Α0 = 0,0001 Perturbation +30%

0 50 100 150 200 250 300

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte normale σn (kPa)

Déplacement tangentiel ut(mm) Perturbation -30%

Référence Α0 = 0,0001 Perturbation +30%

Figure III-25 Influence du paramètre A0 : test à volume constant (VC) III.3.4.3. Influence des paramètres αc0 et B₀

La contractance est influencée par le paramètre αc0. En effet, elle est amplifiée avec l’augmentation de ce paramètre. Ce fait est observé sur la courbe (ut, un). Par contre, il n y a pas d’influence du paramètre sur les courbes (ut, τ) à CNC (Fig. III.26). A VC, la variation de αc0 influence l’évolution des courbes (ut, σn) mais aussi (ut, τ) (Fig. III.27).

0 25 50 75 100 125

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte de cisailelmentτ(kPa)

Déplacement tangentiel ut (mm) Perturbation -30%

Référence αc0 = 0,3 Perturbation +30%

-0,20 -0,10 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50

0 2 4 6 8 10 12

Déplacement normal un (mm)

Déplacement tangentiel u_t(mm) Perturbation -30%

Référence αc0 = 0,3 Perturbation +30%

Figure III-26 Influence du paramètre αc0 : test à contrainte normale constante (CNC)

0 100 200 300 400 500 600

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte de cisaillement τ (kPa)

Déplacement tangentiel u_t(mm) Perturbation -30%

Référence αc0= 0,3 Perturbation +30%

0 100 200 300 400 500

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte normale σn(kPa)

Déplacement tangentiel ut(mm) Perturbation -30%

Référence αc0= 0,3 Perturbation +30%

Figure III-27 Influence du paramètre αc0 : Test à volume constant (VC)

Quant au paramètre B₀, il est donné dans l’expression d’évolution de αc ; il est introduit pour régulariser le taux de stabilisation de la dilatance à l’état critique. Son influence est négligeable dans la mobilisation de la contrainte de cisaillement à CNC (Fig. III.28). Par contre, une diminution de B₀ retarde la stabilisation de la dilatance pour les grands déplacements tangentiels ce qui correspond à un comportement plus dilatant de l’interface. A VC, la même sensibilité sur le comportement volumique est obtenue avec, en plus, une influence sur la mobilisation de la contrainte de cisaillement qui est une conséquence directe de la variation de la contrainte normale (Fig. III.29).

0 25 50 75 100 125

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte de cisaillement τ (kPa)

Déplacement tangentiel ut (mm) Perturbation -30%

Référence B0 = 0,0078 Perturbation +30%

-0,05 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

0 2 4 6 8 10 12

Déplacement normal un (mm)

Déplacement tangentiel u_t(mm) Perturbation -30%

Perturbation B0 = 0,0078 Perturbation +30%

Figure III-28 Influence du paramètre B0 : test à contrainte normale constante (CNC)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte de cisailement τ(kPa)

Déplacement tangentiel u_t(mm) Perturbation -30%

Référence B₀= 0,0078 Perturbation +30%

0 50 100 150 200 250 300 350

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte normaleσn (kPa)

Déplacement tangentiel u_t(mm) Perturbation -30%

Référence B₀=0,0078 Perturbation +30%

Figure III-29 Influence du paramètre B0 : test à volume constant (VC) III.3.4.4. Influence des paramètres β, n et t

Le paramètre β n’a pas une influence significative sur la mobilisation de la contrainte de cisaillement. Cette petite influence est due à la variation de l’expression(1−βsin3ϑ)ⁿ. Le comportement volumique n’est pas non plus très sensible aux variations de β (Fig. III.30).

D’autre part, le paramètre n a été fixé pour le modèle d’interface n=-0,229. Sa variation de

±30% n’a pas d’effet significatif sur le comportement de l’interface.

Enfin, la perturbation du paramètre t a un effet différent pour le modèle MEPI 3D que pour le modèle MEPI 2D. En effet, dans le modèle bidimensionnel, l’épaisseur de l’interface intervient dans la fonction d’écrouissage (eq. III-4) et dans la loi d’évolution de µc dans le potentiel plastique (eq. III-7) et ce pour avoir des homogénéités entre les grandeurs physiques, puisque la variable d’écrouissage est un déplacement qui a la même unité que l’épaisseur t.

Dans le modèle tridimensionnel, les expressions analogues de la fonction d’écrouissage (eq.

III -26) et de l’évolution de αc (eq. III-42) ne font pas intervenir l’épaisseur de l’interface, car la variable d’écrouissage est une déformation sans unités. Par contre, t intervient dans la matrice d’élasticité qui intervient dans la correction des contraintes. De ce fait à CNC, la perturbation de l’épaisseur de l’interface t n’a pas une influence significative sur l’évolution de la mobilisation de la contrainte de cisaillement (Fig. III.31). Cet effet de la perturbation de t est prononcé dans les essais à VC, puisque les contraintes normales peuvent changer de valeur. L’influence de t sur les contraintes appliquées à l’interface se traduit en particulier, par une perturbation de la courbe de mobilisation de la contrainte de cisaillement et de la courbe d’évolution de contrainte normale (Fig. III.32).

0 25 50 75 100 125 150

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte de cisaillement τ(kPa)

Déplacement tangentiel ut (mm) Perturbation -30%

Référence β= -0,5 Perturbation +30%

-0,05 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

0 2 4 6 8 10 12

Déplacement normal un (mm)

Déplacement tangentiel ut(mm) Perturbation -30%

Référence β= -0,5 Perturbation +30%

Figure III-30 Influence du paramètre β : test à contrainte normale constante (CNC)

0 25 50 75 100 125

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte de cisaillement τ(kPa)

Déplacement tangentiel ut (mm) Perturbation -30%

Référence t = 0,003 Perturbation +30%

-0,05 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

0 2 4 6 8 10 12

Déplacement normal un (mm)

Déplacement tangentiel ut (mm) Perturbation -30%

Référence t = 0,003 Perturbation +30%

Figure III-31 Influence du paramètre t : Test à contrainte normale constante (CNC)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte de cisaillement τ(kPa)

Déplacement tangentiel ut (mm) Perturbation -30%

Référence t = 0.003 Perturbation +30%

0 50 100 150 200 250 300 350

0 2 4 6 8 10 12

Contrainte normale σn (kPa)

Déplacement tangentiel ut (mm) Perturbation -30%

Référence t = 0.003 Perturbation +30%

Figure III-32 Influence du paramètre t : test à volume contant (VC)

En résumé, l’influence de la perturbation de la plupart des paramètres à "CNC" et à "VC"

est analogue pour le modèle 2D et 3D sauf pour le paramètre t.

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