Approche algébrique - disparité des assemblages

La répartition géométrique des « sites » de transmission d’effort entre deux éléments élastiques, induit une inégalité de reprise d’effort même si les organes de transmission sont identiques [Van Der Put, 1976]. Ce phénomène est particulièrement flagrant lorsque la répartition est faite suivant le sens de transmission d’effort, où les contraintes sont plus élevées aux extrémités de la zone d’assemblage, lorsque le système de liaison est discret, et lorsque les éléments joints sont peu rigides.

Exemple simple permettant de mettre en évidence la théorie :

Soit deux éléments liés par leur face latérale de 2n clous distants de d.

Les efforts transmis à travers l’assemblage à cisaillement multiple de clous sont de type discrets ponctuels.

Figure 46 Schéma d’un assemblage à 2n clous en cisaillement

Une approche grossière du problème (sans tenir compte de la déformation des éléments liés) aurait conclu : chaque clou reprend un effort de F/2n.

En restant dans l’hypothèse (fausse pour un clou) que l’assemblage présente une raideur constante, chaque clou conduit à un glissement de ∆clou = F/2nk, d’où un glissement d’assemblage de ∆_assemblage = 2n x ∆_clou =F/k.

Cependant une analyse de la déformation des matériaux liés dans la zone d’assemblage montre un équilibre de forces inhomogènes repris par chaque clou même dans l’hypothèse d’une raideur constante.

Figure 47 Schéma indication des paramètres

Soient les paramètres nécessaires au calcul les définitions suivantes : S la section des substrats

Fi l’effort de traction subi par le substrat entre les clous i et i+1 di la longueur du substrat chargé séparant les clous i et i+1 ui le glissement du i^ème clou

₣_i l’effort transmis par le i^ème clou

E l’élasticité des substrats (matériaux liés identiques)

1 2 n 2n-1 2n

d d d d

F

F

n+1 d

1 2 n 2n-1 2n

F0 F1 Fn-1 Fn F2n-1 F2n

d0 d1 d2n-1 d2n

F2n F2n-1 Fn+1 F1 F0

F

F

n+1 Fn+1

Fn Fn-1

Les équations d’équilibre permettent d’écrire :

La déformation linéaire élastique du clou est régie par u_i = K_i ₣_i

L’équilibre de la section donne : F_i + F_2n-i = F d’où F_n = F 2 L’élasticité du substrat donne : d_i = d 

 1 + Fi

ES avec d₀ = d

L’équilibre du clou donne : ₣_i = F_i - F_i-1 avec F₀ = 0 et F_2n = F Par symétrie : u_i = u_2n+1-i

Entre les clous i et i+1 : u_i = d_2n-i + u_i+1 - d_i Au plan de cisaillement :

∑

i=1 2n

₣_i = 2

∑

i=1 n

₣_i = F

La résolution du problème passe par la recherche de ₣₁ et u₀ : u_i+1 = K_i+1 ₣_i+1 = K_i+1 (F_i+1 - F_i)

d2n-i = d 

 1 + F_2n-i

ES = d 

 1 + F-F_i

ES u_i = K_i (F_i - F_i-1) = d_2n-i + u_i+1 - d_i = d 

 1 + F-Fi

ES + Kⁱ⁺¹ (F_i+1 - F_i) - d 

 1 + Fi

ES (K_i + K_i+1) F_i = K_i+1 F_i+1 + K_i F_i-1 + dF

ES - 2 dF_i ES Fi

 K_i + K_i+1 + 2 d

ES = Kⁱ⁺¹ Fi+1 + Ki Fi-1 + dF ES Si la raideur est constante ; soit T = d

ES ; F_i(1≤ i <n) est solution de la suite récurrente :

2Fi (K+T) = K (Fi+1 + Fi-1) + TF Avec Ki = K ; F0 = 0, Fn = F/2 et F2n = F Résolution matricielle :

- K F_i-1 + 2(K+T) F_i - KF_i+1 = TF Avec F_2n = F

 



 



2(K+T) -K 0 0 0 0

-K 2(K+T) -K 0 0 0

0 -K 2(K+T) -K 0 0

0 0 -K 2(K+T) -K 0

0 0 0 -K 2(K+T) -K

0 0 0 0 -K 2(K+T)

.

 



 



F1

F₂ F₃ F_2n-3 F_2n-2 F_2n-1

=

 



 



TF TF TF TF TF F(T+1)

ui di

d2n-i ui+1

Les valeurs de F_i sont déterminées par inversion de la matrice

n 2n.₣1/F 2n.₣2/F 2n.₣3/F

1 1

2 1 + T

K+T 1 - T

K+T 3 1 + 10KT+8T²

3K²+8KT+4T² 1 + 6KT-4T²

3K²+8KT+4T² 1 - 16KT+4T² 3K²+8KT+4T² 4 1 + 7K²T+14KT²+6T

3

K³+5K²T+6KT²+2T³ (…) (…)

5 1 + 60K

3T+216K²T²+224KT³+64T⁴

5K⁴+40K³T+84K²T²+56KT³+16T⁴ (…) (…)

Tableau 8 Coefficients résultant de l’inhomogénéité de la répartition des efforts dans les clous

₣₁ donne la valeur maximale

Ordre de grandeur des données dans le cas de lames de bois clouées :

ρ 0,65

d : 100 mm

E : 15 000 MPa S : 6 000 mm² k : 13 600 N/mm K : 7 10^-5 mm/N T : 1 10^-6 mm/N F : 1 000 N T = d

ES est en général petit devant K.

En négligeant T devant K, on obtient la relation : 2F_i = F_i+1 + F_i-1 + TF

K Avec K_i = K ; F₀ = 0, F_n = F/2 et F_2n = F Par récurrence on montre qu’il existe deux suites Sn et Un :

S_i = S_i-1 – S_i-2

4 avec S₀ = S₁ = 1

U_i = U_i-1 + S_i-1 avec U₁ = 1 Pour lesquelles : F_i x S_n-i = F

2^n-i+1 + TF

2^n-i K x U_n-i + F_i-1 2 x S_n-i-1

De ce fait pour chaque n le rapport F1

F =

1 + 2T U_n-1 K 2ⁿ S_n-1 Or il est facilement démontrable par récurrence que : S_n-1 = 2n

2ⁿ et U_n-1 = n² - n 2

Ce qui conduit à : F₁ F =

1 + T (n² - n) K 2n

Soit finalement ₣₁ ≈ F 2n

 1 + (n² - n) d

KES lorsque d

KES << 1

La distance entre clous d étant constante dans ce calcul, la longueur de l’assemblage D dépend du nombre de clous D = (2n + 1) d (avec les talons, distance la plus courte entre le clou et le bord).

Si la longueur de l’assemblage D est constante la proportion d’effort supplémentaire est proche de : (n² - n) D

(2n + 1) KES

Cette part d’effort supplémentaire repris par les clous situés aux extrémités de l’assemblage est donc d’autant plus importante que :

- la souplesse K est petite donc que la raideur k est grande ; - l’élasticité du bois E est petite ;

- la section des éléments assemblés S est petite ; - la longueur de l’assemblage D est grande ;

- le nombre de clous n disposés à intervalle régulier est important.

Les données calculées de l'exemple, présentées ci-dessus en ordre de grandeur, montrent qu’à partir de n = 10 (soit un assemblage de 20 clous), les clous situés aux extrémités supportent un effort double par rapport aux clous situés au milieu.

0 50 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Effort repris par les clous

Numéro de clou V moyen

V max

2n = 20 neff = 11,7

Figure 48 Répartition des efforts dans les clous dans un assemblage constitué de 20 clous en cisaillement (raideur constante)

Cette disparité de transmission d’effort, est caractérisée par un nombre de liaisons effectives : n_eff = 2n V_moy

V_max = F

F₁ (= 11,7 dans l’exemple)

En outre, en terme de résistance, un assemblage constitué de 20 clous répartis en longueur sur un assemblage équivalent (dans cet exemple) à 11,7 clous sans intervalle en longueur et sans interaction entre eux.

L’approximation de ₣₁ précédemment établie, lorsque d

KES << 1, donne : neff ≈ n / 

 1 + (n² - n) d

KES

Cependant, le comportement non linéaire du clou pour une sollicitation plus importante, joue en faveur d’un meilleur équilibre de la répartition des efforts (voir plus loin).

Pour prendre en compte le comportement non linéaire du clou, il convient d’introduire K_i fonction de ₣_i.

₣(u) = 13607 u si u ≤ 0,015 ou ₣(u) ≤ 204

₣(u) = 308 Ln(16u + 1.7) si u ≥ 0,015 si u ≤ 0,015 u = 1

16

 Exp 



₣(u)

308 - 1,7 u_i = K_i ₣_i

 



^{Ki = 7,35 10-5} si ₣_i ≤ 204 K_i =

Exp 



₣i

308 - 1,7 16 ₣i

sinon

Le raisonnement identique au précédent conduit à l’équation de récurrence :

- Ki Fi-1 + (Ki + Ki+1 + 2T) Fi - Ki+1 Fi+1 = TF Avec F0 = 0 et F2n = F

F_i+1 = Ki + Ki+1 + 2T

K_i+1 F_i - Ki

K_i+1 F_i-1 - TF K_i+1 Résolution par les matrices de transfert :







 F_i+1

Fi

1 =

  

 



K_i + K_i+1 + 2T K_i+1

-K_i K_i+1

-TF K_i+1

1 0 0

0 0 1

. 



 F_i Fi-1

1

Avec et avec K₀ = 0 X_i+1 = A_i . X_i Avec X_i et A_i ces matrices La matrice A_i [a⁽ⁱ⁾] étant définie par : a₁₁⁽ⁱ⁾ = K_i + K_i+1 + 2T

Ki+1

a12(i) = -K_i K_i+1 a₁₃⁽ⁱ⁾ = -TF K_i+1 a21(i)

= a33(i)

= 1 a22(i)

= a23(i)

= a31(i)

= a32(i)

= 0 Par récurrence :

X2n = A2n-1 . A2n-2 . (…) . A2 . A1 .X1

Soit B2n-1 = A2n-1 . A2n-2 . (…) . A2 . A1 =

∏

i=1 2n-1

Ai

X_2n = B_2n-1 . X₁







 F_2n F_2n-1

1 = 



 b₁₁^(2n-1) b₁₂^(2n-1) b₁₃^(2n-1) b₂₁^(2n-1) b₂₂^(2n-1) b₂₃^(2n-1) b₃₁^(2n-1) b₃₂^(2n-1) b₃₃^(2n-1)

. 



 F₁ F₀ 1

0,000 0,001

0 200 400 600 800

Ki (mm/N)

Fi (N)

Sachant que K₀ = 0, la multiplication des matrices A_i Avec 1 ≤ i ≤ m conduit à B_m [b^(m)] : b₁₂^(m) = b₂₂^(m) = b₂₃^(m) = b₃₁^(m) = b₃₂^(m) = 0

b₃₃^(m) = 1 b₂₁^(m+1) = b₁₁^(m) b₂₃^(m+1) = b₁₃^(m)

b₁₁^(m+2) = a₁₁^(m+2) x b₁₁^(m+1) + a₁₂^(m+2) x b₂₁^(m+1) = a₁₁^(m+2) x b₁₁^(m+1) + a₁₂^(m+2) x b₁₁^(m) b₁₃^(m+2) = a₁₁^(m+2) x b₁₃^(m+1) + a₁₂^(m+2) x b₂₃^(m+1) + a₁₃^(m+2) x b₃₃^(m+1)

b₁₃^(m+2) = a₁₁^(m+2) x b₁₃^(m+1) + a₁₂^(m+2) x b₁₃^(m) + a₁₃^(m+2)

Avec a_ij^(m) les coefficients de A_m où 0 ≤ m ≤ 2n-2 Par extension :

b₁₁⁽⁰⁾ = b₁₃⁽⁰⁾ = 1 b₁₁⁽¹⁾ = a₁₁⁽¹⁾ b₁₃⁽¹⁾ = a₁₃⁽¹⁾ Finalement :







 F2n

F2n-1

1 = 



 b11(2n-1)

0 b13(2n-1)

b21(2n-1)

0 b23(2n-1)

0 0 1

. 



 F1

F0

1

D’où : F1 = F - b13(2n-1)

b₁₁^(2n-1) et Fi définis par la récurrence depuis F0 = 0 et F1 avec 2 ≤ i ≤ 2n Les efforts repris par les clous sont calculés avec ₣_i = F_i - F_i-1

Par conséquent si le comportement du clou est non linéaire, il est possible de lancer une itération pour déterminer les différents K_i en fonction de ₣_i et résolvant les équations jusqu’au dernier.

En reprenant l’exemple précédant (assemblage de 20 clous), avec un niveau de chargement moyen des clous tel que leur comportement (charge - glissement) soit non linéaire, par exemple 500 N, les écarts d’efforts repris par chaque clou s’amenuisent.

0 100 200 300 400 500 600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Effort repris par les clous

Numéro de clou V moyen

V max

2n = 20 neff = 18,9

Figure 49 Répartition des efforts dans les clous dans un assemblage constitué de 20 clous en cisaillement (raideur décroissante)

neff = 2n V_moy V_max = F

F₁ = 18,9 dans cet exemple

Exemple exagéré, pour un assemblage plus grand (10 mètres) en prenant en compte le comportement non linéaire des clous.

0 500 1000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Effort repris par les clous

Numéro de clou V moyen

V max

2n = 100 neff = 56

Figure 50 Répartition des efforts dans les clous dans un assemblage constitué de 100 clous en cisaillement

No documento boulonnées en flexion (páginas 52-59)