Approche graphique

de la le d'attente du noeud i vers le lien de sortie correspondant au noeud j de la façon suivante:

r(x_i) = µ_i xi

1 +x_i (3.11)

En rassemblant les deux équations (3.10) et (3.11), l'équation générale du ux de transfert correspondant au lien (i,j) , f_ij(x_i), est donnée par la relation (3.12).

f_ij(x_i) = u_ij (µ_i x_i

1 +x_i) (3.12)

détermination des paramètres eectives des ux de transfert "f" qui seront explicités dans l'équation générale du modèle.

A travers une représentation matricielle, l'approche graphique consiste à établir des relations entre les composants du réseau, en les illustrant par des matrices d'incidence à deux dimensions sous forme de0 et1. Si une relation entre deux composants est vériée, alors le coecient correspondant est mis à1, sinon il sera mis à0. Ensuite, ces matrices seront insérées dans l'équation générale (3.8), où son développement permet d'obtenir le système d'équations global du système considéré.

3.3.2.1 Méthode de Transition Graphique (MTG)

An de modéliser les interactions entre les diérents composants du réseau (noeuds, liens, chemins..), nous avons développé la Méthode de Transition Graphique (MTG) qui, en se basant sur l'approche graphique ci-dessus, per- met la génération des matrices d'incidenc représentant ces interconnexions.

En eet, le contexte de cette étude se base sur le principe du routage expli- cite qui permet de préciser l'ensemble des chemins possibles entre des paires sources/destinations. A partir de ces chemins, nous allons extraire les sous- ensembles des routeurs et des liens acheminants le trac dans le réseau. Le sous-ensemble de routeurs constituera le vecteur d'état du système d'équa- tions général du réseau. Les liens seront utilisés pour expliciter les ux de transfert eectifs f(non nuls) entrants et sortants de chaque routeur du sous- ensemble de routeurs concernés par l'acheminement du trac. Disposant de ces informations, nous allons les écrire sous forme d'un algorithme de transi- tion entre les diérentes matrices d'incidences.

- Soit G = (R, L), le graphe orienté modélisant le réseau. Rappelons ici que le graphe est unidirectionnel en corrélation avec le principe de routage expli-

cite de MPLS.

- Soit R, l'ensemble des noeuds du graphe, autrement dit les routeurs du ré- seau. R = χ SP, où χ correspond à l'ensemble des noeuds de la périphérie du réseau (les paires sources/destinations) et P est l'ensemble des routeurs du domaine MPLS. Chaque routeur de l'ensemble P est modélisé par une le d'attente de type M/M/1/∞. Soit x_i(t) le nombre de paquets dans la le d'attente associée au routeur i à chaque instant. A partir de l'ensemble P des routeurs du domaine MPLS, nous allons extraire le sous-ensemble T de routeurs concernés par l'acheminement du trac. Les éléments du sous- ensembleT dénissent le vecteur d'état associé au modèle général du réseau.

L'ordre du modèle est donc égal à la dimension de T. Le vecteur d'état du système est un vecteur colonne déni par: x(t) = {x_i(t), i ∈T}.

- Soit L, l'ensemble des liens du graphe. Ces liens transportent les ux de transfert”f”échangés par les routeurs. A chaque routeur, on trouve des ux entrants des routeurs voisins et des ux sortants vers des routeurs voisins.

- SoitSD, l'ensemble des paires sources/destinations de l'ensembleχ. En ac- cord avec la terminologie du protocole MPLS, chaque paire source/destination est connecté à travers plusieurs chemins explicites. Soit CH l'ensemble des chemins entre les diérentes paires sources/destinations. En principe, chaque source envoie un ux de paquets vers la destination en utilisant les chemins établis à l'avance. Soit I l'ensemble du ux envoyé sur les chemins. I est un vecteur colonne déni par: I = {I_c, c∈ CH}.

L'algorithme de transition

L'algorithme de transition permet de mettre en oeuvre les relations entre les diérents ensembles ci dessus. Il comporte quatre étapes .

- La première étape est celle de l'initialisation, où on construit la matrice

B des relations "sources/destinationschemins" à partir des informations fournies par le plan de routage explicite. Les éléments en ligne et en colonne sont respectivement composés par l'ensemble des paires sources/destinations et par l'ensemble des chemins.

La matrice B est exprimée par la forme suivante:

B= {B_sc,c∈CH ets∈SD} avec B_sc= { 1 si s est servi par c et 0 sinon}

- La deuxième étape consiste à calculer la matriceCdes relations "chemins routeurs". Les termes en ligne sont les chemins possibles et ceux des colonnes sont les noeuds du réseau. La matrice C est exprimée par la forme suivante:

C = {C_cr, c∈ CH, r ∈ R} avec C_cr = { 1 si r ∈ c et 0 sinon}

- Dans la troisième étape, et à l'aide des deux étapes 1 et 2, on dénit la matrice E des relations "sources/destinationsrouteurs". Cette matrice permet de déterminer le sous-ensemble des routeurs concernés par l'ache- minement du trac. Ses lignes se composent des paires sources/destinations et ses colonnes se composent des routeurs du réseau. E est exprimée par la fonction suivante:

E=B.C= {E_sr,s∈SDetr∈R} avec E_sr= { 1 si s est servi par r et 0 sinon}

Le sous-ensembleT des routeurs concernés par l'acheminement du trac est calculé à partir de la matrice E des relations "sources/destinations routeurs" de la façon suivante:

T = {r, r ∈ R / ∃ s ∈ SD et Esr = 1}

- Enn, la quatrième étape consiste à calculer les relations des ux de transfert entrants et sortants depuis un routeur. Cette relation sera utilisée pour modéliser les interactions entre les routeurs acheminant le trac dans le réseau. A partir de la matrice C des relations "cheminsrouteurs", on calcule deux matrices de ux entrants G et sortants H. G et H sont deux

matrices dynamiques qui dépendent de la variation de la matrice C, elles sont dénies par les expressions suivantes:

G= {G_ji,i∈Retj∈R} avec G_ji= { 1 si (j,i) est un lien entrant à i et 0 sinon}

H= {H_ik,i∈Retk∈R} avec H_ik= { 1 si (i,k) est un lien sortant de i et 0 sinon}

Le diagramme (3.8) résume les diérentes étapes de la Méthode de Transi- tion Graphique (MTG). Les détails de cette méthode sont donnés en Annexe.

Fig. 3.8 Diagramme de la méthode MTG

3.3.2.2 Suite MAC: Calcul des variables de routage

Les variables de routage représentent les fractions de paquets transmis entre les noeuds. En examinant de près l'intérieur du réseau (Fig. 3.9), on peut imaginer comment le ux de sortie du noeud est distribué vers les dif- férents liens de sorties de ce noeud.

Fig. 3.9 Distribution des ux à l'intérieur du réseau

Nous supposons que les chemins sont connus et pré-établis, et que la taille de l'ensemble des ux envoyés I est égale au nombre de chemins explicites utilisés par les diérentes paires sources/destinations. Autrement dit, le trac devant être acheminé entre les routeurs d'entrée et de sortie est connu à l'avance, et sa route à travers les routeurs et les liens du coeur du réseau est bien dénie. Ce trac représente le débit d'entrée du noeud source en direction du noeud destination. La distribution du trac sur les liens de sortie dépend donc du débit d'entrée en direction du noeud destination, aussi bien que du débit de sortie de la le d'attente associée au routeur correspondant vers tous ses liens de sortie.

Soit uij la variable de routage associée au lien (i,j). Elle représente la fraction de paquets partant du noeudivers le noeudj. On dénit la variable de routage uij comme étant le rapport entre la somme des ux envoyés sur le lien (i,j) et la somme des ux envoyés sur l'ensemble des liens de sortie

du noeud i.

u_ij = Somme des ux envoyés sur le lien (i,j)

Somme des ux envoyés sur l'ensemble des liens de sortie du noeud i (3.13) Reprenons l'ensemble CH des chemins utilisés, et l'ensemble des liens du réseau L. Dénissons la matrice Ades relations "lienschemins ", ayant en lignes l'ensemble des liens et en colonnes l'ensemble des chemins. En se basant sur l'approche graphique, et en utilisant la topologie du réseau, on calcule la matrice A comme suit:

A= {a_(ij)c,c∈CH,(i,j)∈L} avec a_(ij)c= 1 si (i,j)∈ c et 0 sinon

Soit I_c = I[c], c ∈ CH, le ux envoyé sur le chemin c, le vecteur co- lonne I représente les ux traversant tous les chemins utilisés par les paires sources/destinations. Son ordre est donné par le nombre de chemins utilisés.

On peut ainsi calculer la somme des ux qui traverse un lien (i,j), y_ij, par l'équation suivante (somme des ux envoyés du noeudien direction du noeud j):

A∗I ⇒y_ij = X

c∈CH

a_ijc I_c (3.14)

Reste à déterminer le deuxième élément qui intervient dans le calcul de la variable de routage, soit la somme des ux envoyés sur l'ensemble des liens de sortie du noeudi. Pour cela, on utilise la matriceH qui permet de calculer tous les liens de sortie du noeud i. La multiplication des coecients de cette matrice par la somme des ux sortants du noeudivers tous les autres noeuds (Eq. 3.14), permet de calculer cet élément manquant.

Somme des ux envoyés sur les liens de sortie du noeud i= X

k∈R,k6=i

X

c∈CH

h_ika_ikc I_c (3.15)

L'équation générale du calcul de la variable de routageu_ij est donnée par la relation suivante (d'après les 2 équations (3.14) et (3.15)):

A∗I

H∗(A∗I) ⇒u_ij = y_ij P

k∈R,k6=iH_iky_ik =

P

c∈CHa_ijc I_c P

k∈R,k6=i

P

c∈CHH_ika_ikc I_c (3.16)