2.3 Le transport s´edimentaire dans le Golfe du Lion
3.1.2 Les conditions aux limites
3.1.2.3 Aux fronti`eres lat´erales
Aux fronti`eres lat´erales ferm´ees, la composante de la vitesse normale est nulle.
Sur les fronti`eres lat´erales ouvertes, localis´ees en x = 0 et x =xm (0 < xm), les conditions radiatives [Oey et Chen, 1992] sont appliqu´ees :
¯
u−u¯f =−(η−ηf) r g
H en x= 0 (3.23)
¯
u−u¯f = +(η−ηf) rg
H en x=xm (3.24)
∂H(¯v−v¯f)
∂x = 0, ∂(v0−v0f)
∂x = 0et ∂(u0 −u0f)
∂x = 0 en x= 0 et x=xm (3.25)
o`u les variables indic´eesf correspondent aux variables appliqu´ees aux fronti`eres.
En ce qui concerne la temp´erature et la salinit´e, les conditions aux limites sont inscrites dans le sch´ema d’advection qui est un sch´ema hybride, compos´e d’un sch´ema centr´e et d’un sch´ema upstream. Dans le cas d’un flux entrant, la temp´erature et la salinit´e advect´ees sont fournies par le for¸cage grande
´echelle (Tf, Sf) ; dans le cas d’un flux sortant, la temp´erature et la salinit´e sont donn´ees par les valeurs int´erieures au domaine de calcul.
Les ´equations 3.23, 3.24 et 3.25 sont combin´ees avec des termes ajout´es au membre de droite des
´equations de conservation. Si on consid`ere la fronti`ere x= 0, ces termes ont la forme suivante : e−xd ϕf −ϕ
Tres (3.26)
o`uϕ correspond `a la vitesse, la temp´erature ou la salinit´e selon l’´equation consid´er´ee. La d´ecroissance exponentielle d´epend de la taille du domaine, typiquement d = xm/30. L’´echelle de temps est li´ee au temps n´ecessaire aux ondes pour traverser le domaine : Tres = xm/c, o`u c = √
gh est la c´el´erit´e de
l’onde dans le mode barotrope. Dans le mode barocline, on prend c=0.1cm s−1.
La m´ethode d’initialisation du mod`ele sera pr´ecis´ee pour chacune des ´etudes dans les chapitres qui leur sont consacr´es.
3.1.2.4 A l’embouchure des fleuves
A l’embouchure du fleuve, la salinit´e est nulle, la temp´erature varie tout au long de l’ann´ee [Poirel et al., 2001], et une vitesse horizontaleudans une des quatre directions possibles la plus proche de l’axe du fleuve est appliqu´ee :
u= D
L hc (3.27)
o`u D est le d´ebit, L la largeur du fleuve ethc sa profondeur.
3.1.3 Discr´etisation des ´equations La grille du mod`ele
Les ´equations du mod`ele sont r´esolues par la m´ethode des diff´erences finies sur une grilleC[Arakawa et Suarez, 1983] pr´esent´ee sur la figure 3.1. Les variables sont d´efinies un point sur deux sur l’horizontale et la verticale. La temp´erature et la salinit´e sont d´efinies au centre de la maille `a chaque demi niveau.
Les composantes horizontales de la vitesse sont obtenues au milieu des cˆot´es, de fa¸con altern´ee, `a chaque demi niveau. L’´energie cin´etique, les ´echelles de longueur turbulentes et la composante verticale de la vitesse sont calcul´ees au centre de la maille `a chaque niveau vertical entier. Enfin, l’´el´evation de la surface est d´efinie au centre du niveau sup´erieur. Par ailleurs, les coordonn´ees sigma g´en´eralis´ees sont utilis´ees. La conversion de la coordonn´ee sigma en coordonn´ee z s’´ecrit :
σ = h+z
h+η (3.28)
Ce syst`eme de coordonn´ees verticales permet une meilleure repr´esentation des effets bathym´etriques.
Toutefois, il pr´esente certains inconv´enients en zone cˆoti`ere lorsque l’on travaille avec des d´enivellations importantes comme dans le cas de la transition plateau continental/talus/oc´ean profond. Une baisse de r´esolution au large dans la couche de surface dessert la mod´elisation de l’interaction oc´ean/atmosph`ere et des panaches fluviaux. D’autre part, une diminution de la r´esolution pr`es du fond repr´esente un inconv´enient pour la mod´elisation des flux de mati`ere particulaire qui ont lieu principalement dans la
couche de fond. Et, une augmentation du nombre de niveaux induirait un resserrement des niveaux pr`es des cˆotes qui entraˆınerait des coˆuts de calcul trop importants. Par ailleurs, dans les r´egions o`u une forte pente bathym´etrique est associ´ee `a un cisaillement vertical important de la densit´e, le syst`eme de coordonn´ees sigma g´en´eralis´ees conduit `a une repr´esentation erron´ee du gradient horizontal de pression.
Ces erreurs, dites de troncature, induisent des courants pouvant atteindre quelques cm/s [Haney, 1991].
Un syst`eme de coordonn´ee hybride sigma-z est une alternative qui permet de r´eduire les erreurs de troncature et d’avoir une r´esolution verticale plus ad´equate `a la fois en zone littorale et au large. Ce syst`eme a ´et´e impl´ement´e dans une version r´ecente du mod`ele. Toutefois, le d´ebut de notre ´etude ´etant ant´erieure `a cette am´elioration, nous avons utilis´e les coordonn´ees sigma g´en´eralis´ees. La distribution des niveaux sigma r´esulte d’un compromis entre la repr´esentation des processus en surface et pr`es du fond.
Nous avons utilis´e des grilles sp´ecifiques `a chacune des deux ´etudes, que nous d´ecrirons dans les chapitres 4 et 5.
Fig. 3.1– Grille C du mod`ele.
La discr´etisation temporelle
Un sch´ema leapfrog ou saute-mouton explicite est utilis´e pour la discr´etisation temporelle des
´equations. La valeur des variables au temps t + 1 est calcul´ee en fonction des variables au temps t−1 et t:
Ft+1 =Ft−1+ 2∆fn(Ft) (3.29)
Afin de r´eduire les erreurs num´eriques, ce sch´ema est associ´e au filtre d’Asselin [1972] qui agit comme une force de rappel dans le but d’empˆecher la divergence des solutions. La solution liss´ee est alors donn´ee par :
FAsselint =Ft+αasselin
2 (Ft+1−2Ft+Ft−1) (3.30)
o`uαasselin= 0.3 est le coefficient du filtre d’Asselin.
La s´eparation des pas de temps
Le mod`ele calcule explicitement les ondes de gravit´e de surface. Les ondes de gravit´e externes se propagent plus rapidement que les ondes de gravit´e internes. Une r´esolution temporelle fine est donc requise pour les r´esoudre et assurer la stabilit´e num´erique du mod`ele. Une technique de s´eparation des pas de temps [Blumberg et Mellor, 1987] est utilis´ee afin de calculer s´epar´ement le cisaillement vertical de courant et le courant moyenn´e sur la verticale avec des pas de temps appropri´es.
Le mode externe se calcule avec l’´equation 3.5 et les ´equations du mouvement int´egr´ees sur la verticale :
∂Hu¯
∂t +∂uH¯ u¯
∂x +∂¯vHu¯
∂y −f Hv¯=−gH∂η
∂x+ ∂
∂x
HKh∂¯u
∂x
+ ∂
∂y
HKh∂¯u
∂y
+
Kv∂u
∂z η
−h
− Z η
−h
g ρ0
∂
∂x Z η
z
ρ0dz0 +∂u0u0
∂x +∂v0u0
∂y
!
dz (3.31)
∂H¯v
∂t +∂¯uH¯v
∂x +∂¯vH¯v
∂y +f Hu¯=−gH∂η
∂y + ∂
∂x
HKh∂v¯
∂x
+ ∂
∂y
HKh∂¯v
∂y
+
Kv∂v
∂z η
−h
− Z η
−h
g ρ0
∂
∂x Z η
z
ρ0dz0 +∂u0v0
∂x +∂v0v0
∂y
!
dz (3.32) o`u ρ0 =ρ+ρ0 est la perturbation de densit´e.
Le mode interne est calcul´e `a partir des ´equations 3.2, 3.3, 3.7 et 3.8 o`u la composante moyenne du courant est donn´ee par le r´esultat obtenu pour le mode externe.