Calcul du rayonnement acoustique d'un multipôle

• Propriété 3 : décroissance monotone du module de hn

Quel que soit n, hn est une fonction strictement monotone décroissante.

Démonstration

Il faut montrer que hⁿ′

est strictement négatif quels que soient n = 0, 1, ... et x > 0.

Comme  h_n ²

 



′ =2h_n h_n′

et que hn n’admet pas de z éro réel, le problème revient à montrer que

 h_n²

 



′ est strictement négatif. On montre que hⁿ

2 se met sous la forme ⁽⁶⁰⁾: h_n(x)² = 1

x² a_n,m(2x)^2(m−n)

m=0

∑

n

avec

a_n,m = (2n−m)!(2n−2m)!

k![( n−m)!]² . On obtient donc simplement

• si n = 0 :  h₀(x)²

 



′ =( 1

x²) ′ = − 2 x³

• si n > 0 :  h_n(x)²

 



′ = − 2

x³ (n+1−m)a_n,m(2x)^2(m−n)

m=0 n−1

∑

Comme an,m est strictement positif, on en déduit que hn

 2

 



′ est bien strictement nég atif pour tout x

>0 et quel que soit n. La proposition est donc démontrée.

En adoptant la terminologie de ⁽⁶¹⁾, on a ainsi distingué sur la figure A1.8:

1. la zone d’évanescence définie par 0<kr n≤ ;

La relation ( A1.18 ) indique que le ray onnement acoustique du mode décroît en

1

rⁿ⁺¹ avec une amplitude qui est néanmoins très importante (i.e. proportionnelle à (2n-1)!!).

2. la zone de Franhofer (ou champ lointain) telle que 4n²

π ≤kr< ∞;

On peut appliquer la relation ( A1.20 ) et en déduire que champ acoustique décroît en 1 indépendamment de l'ordre n du mode. r

3. la zone de Fresnel (où champ proche) qui est la zone de transition :

n≤kr≤ 4n² π

On parle généralement des modes évanescents d' une structure pour désig ner les modes de rayonnement qui admettent une contribution nulle à la puissance acoustique rayonnée par cette structure. Dans le cas d' une plaque de dimensions infinies par ex emple, la pression acoustique rayonnée par ces modes admet une décroissance en fonction de la distance de ty pe exponentielle. Le terme d'onde évanescente a ainsi été parfois utilisé pour décrire cette décroissance ex ponentielle (pour les modes axiaux des cy lindres par ex emple). On le trouve plus g énéralement chez certains auteurs - dont ⁽⁶¹⁾ - pour décrire toute décroissance du champ de pression plus rapide que 1

r (modes circonférentiels des cylindres par exemple qui admettent, comme pour la sphère, une décroissance de type puissance). Pour éviter les ambiguités, le terme de "mode non rayonnant" a été préféré dans tout le mémoire à celui de mode évanescent.

2.4.2. Etude de la fonction H_0,n

La fonction H_0,n est définie par

H0,n(f,a,r)= h_n(kr)

h_n(ka) où n = 0, 1, ... et k= 2πf

c₀ . Elle intervient dans le calcul de la pression acoustique rayonnée au point M(r,θ,ϕ) par une sphère de centre O et de rayon a > 0:

P(M)= −jρ0c0 VnmaσZn(ka)Y^σnm(θ,ϕ) hⁿ(kr) hn(ka)

σ=0

∑

1 m=0

∑

n n=0

∑

∞

( A1.22 )

La fonction H_0,n traduit la propagation du rayonnement de la surface de la sphère jusqu’au point M.

On s’intéresse donc uniquement au cas r a≥ . On a montré que le module de hn est une fonction strictement monotone décroissante. On en déduit que H^0,n admet son maximum pour r = a :

H^0,n(f,a,a) =1. Dès que le point M s'éloigne de la sphère, la décroissance du champ sonore dépend de l’ordre n de la fonction. Comme il n’ex iste pas d’ex pression analytique simple de H_0,n, on peut utiliser les différentes ex pressions asymptotiques établies pour les fonctions de Hankel sphériques pour étudier son comportement.

• Si kr est grand devant n, on applique la relation ( A1.20 ). L a fonction H_0,n a dmet une décroissance en

1

r qui caractérise les modes rayonnants de la sphère.

• Si n est grand devant kr (et donc devant ka), la fonction hn est dominée par sa partie imaginaire et vérifie la relation ( A1.19c ). On en déduit:

H_0,n(f,a,r)≈(a r)ⁿ⁺¹

( A1.23 )

La fonction H_0,n admet une décroissance en puissance de 1

r d’autant plus rapide que r est grand devant a. Dès que le point M s' éloigne de la surface de la sphère, les modes de rayonnement associés à ces fonctions de propag ation ont une contribution nég ligeable par rapport aux modes rayonnants. Ils ont un comportement non rayonnants.

2.4.3. Etude de la fonction H_1,n

La fonction H_1,n est définie par

H1,n(f,a,r)= hn(kr) h n′ (ka).

Si on note Z ka_n( ) l'impédance modale associée aux modes d'ordre n alors:

Z ka_n( )=H_1,n( , , )f a a

( A1.24 )

et la fonction H_1,n vérifie:

H_1,n( , , )f a r =Z ka H_n( ) _0,n( , , )f a r

( A1.25 )

La fonction H_1,n traduit la propag ation des modes d' ordre n et tient c ompte de l' impédance de chacun de ces modes. Le comportement de H_1,n en fonction de r est donc identique à celui de H_0,n. La figure A1.9 montre que l'on peut distinguer trois zones:

1) Zone où les modes sont rayonnants : n < ka

Lorsque n est inférieur à ka (et donc kr), H_1,n vérifie:

H f a r j a r e

n jk r a

1, ( , , )≈ − ⁻ ( ⁻ )

( A1.26 )

Le module et la phase de H_1,n sont indépendants de n et t endent respect ivement vers a r et k r a( − )+ π

2. Ils caractérisent les modes ray onnants de la sphère qui se propagent jusqu’au point M avec une contribution équivalente.

2) Zone de transition : n ka≈

En fonction de la fréquence, on constate que le module de H_1,n peut admettre un maximum dans cette zone qui caractérise l'adaptation d'impédance optimum e ntre la sphè re vibra nte e t le milie u fluide extérieur.

3) Zone où les modes sont non rayonnants : n > ka

En utilisant les expressions asymptotiques vérifiées par la fonction de Hankel sphérique et sa dérivée on obtient:

H_1,n(f,a,r)≈ ka n+1( a

r)ⁿ⁺¹

( A1.27 )

Conclusion :

Les fonctions H_1,n évaluées au triplet (f,a,r) sont du même ordre de grandeur lorsque n est faible (i.e.

inférieur à ka) et décroi ssent t rès fort ement dès que n est l argement supérieur à ka. Ce tte décroissance est d’autant plus rapide que r est grand devant a.

Figure A1.9

Variations de H_1,n en fonction de ka et de n pour a et r fixés ( r = 3a ) Partie imaginaire

de H1,n

Module de H1,n

Partie réelle de

H1,n

Annexe 2

Définition des fonctions d'onde sphériques et du multipôle Propriétés et application à la méthode de la sphère équivalente

Définitions

En appliquant la méthode de séparation des variables à partir du système de coordonnées sphériques, on montre ⁽²⁾ qu'il existe une infinité de fonctions qui sont solutions de l'équation de Helmholtz ( I.1a ) et qui vérifient également la condition de ray onnement de Sommerfeld ( I .1c ). Ces fonctions sont appelées fonctions d'onde sphériques et elles sont notées:

Ψ_nmσ^mul(r,θ,ϕ)=Y _nm^σ(θ,ϕ)h_n(kr)

( A2.1 )

Ce sont les fonctions propres de l' opérateur (∆ +k²) qui vérifient la condition de ray onnement de Sommerfeld.

Exemples de fonctions d'onde :

• Ψ_0,0,1^mul =Y _0,0¹ .h₀ avec

Y 0,01 (θ,ϕ)= 1 4π et

h₀(kr)= j e^−jkr

kr = 4jπ k G₀(r)

La fonction Ψ_0,0,1^mul est proportionnelle à la fonction de Green en champ libre G₀. Elle traduit le rayonnement acoustique d'un monopôle placé au point O.

• Ψ_1,0,1^mul=Y _1,0¹.h₁ avec

Y _1,0¹ (θ,ϕ)= 3

4π cosθ et

h₁(kr)= e^−jkr kr (1− j

kr)

La fonction Ψ_1,0,1^mul traduit le rayonnement d'un dipôle orienté suivant l'axe Oz. Les deux autres fonctions d' ordre n = 1, Ψ_1,1,0^mul et Ψ_1,1,1^mul, traduisent le ray onnement acoustique de dipôles orientés respectivement suivant les axes Ox et Oy.

⇒

On peut interpréter de la même manière les cinq fonctions d'onde d'ordre n = 2 comme des quadripôles. Plus g énéralement, l' ensemble des fonctions Ψ_nmσ^mul permet de définir une source ponctuelle complexe appelée multipôle dont le rayonnement acoustique se met sous la forme d'une série convergente:

P(M)= M_nmσΨ_nm^mul_σ(r,θ,ϕ)

σ=0

∑

1 m=0

∑

n n=0

∑

∞

( A2.2 )

Par analogie avec le ray onnement acoustique d' une sphère les fonctions Ψ_nmσ^mul sont les modes de rayonnement du multipôle associés aux coefficients modaux M^nmσ.

Remarque:

Il existe une autre définition du multipôle que l' on trouve dans ^(2,p.1276) et ^(35,51) par exemple. Elle consiste à développer la fonction de Green en champ libre G₀ en série de Taylor en fonction des coordonnées cartésiennes. L ’équivalence de cette représentation avec celle du multipôle défini par les fonctions d' onde sphériques a été montrée dans ⁽²⁾. Il n'en sera donc pas dit davantag e sur cette représentation.

Application au rayonnement acoustique d'une sphère:

La pression acoustique rayonnée par la sphère Sa de même centre que le multipôle vérifie:

P(M)= −jρ₀c₀ V_nm^a_σY _nm^σ(θ,ϕ) hⁿ(kr) h _n′ (ka)

σ=0

∑

1 m=0

∑

n n=0

∑

∞

( A2.3 )

En utilisant l'orthogonalité des fonctions harmoniques sphériques, on montre que les expressions ( A2.1 ) et ( A2.3 ) traduisent le même ray onnement acoustique en tout point ex térieur à Sa si et seulement si les coefficients modaux de la sphère et du multipôle vérifient pour tout triplet (n,m,σ):

M_nmσ = −jρ₀c₀ V_nmσ^a h ′ _n(ka)

( A2.4 )

Cette expression traduit également une dépendance linéaire entre les fonctions d' ondes sphériques et les modes de rayonnement de la sphère. En reprenant les notations du chapitre I I on peut en effet écrire:

Ψ_nmσ^mul(r,θ,ϕ)= ′ h _n(ka)Ψ_nmσ(r,θ,ϕ)

( A2.5 )

où Ψ_nmσ(r,θ,ϕ)=Y nmσ(θ,ϕ) hⁿ(kr) h n′ (ka) Notations

Pour simplifier les expressions, on appliquera la notation à un seul indice:

Ψ_nmσ^mul = Ψ_j^mul

( A2.6 )

où j = j(n,m,σ) est défini par la relation ( II.35 ).

Propriétés des fonctions d'onde sphériques

Soit S une surface fermée suffisamment régulière pour qu’une normale puisse être définie en chacun de ses points. Sur une telle surface, dite de Lyapunov, l'ensemble des fonctions à valeurs complexes et de carré intégrable est noté L²(S). Il forme un espace de Hilbert pour le produit scalaire usuel:

u,v _S = u(Ms).v^∗(Ms)dS

∫∫

S

( A2.7 )

où v^∗ est le conjugué de v.

Soit O le centre d’un repère placé à l’intérieur de S.

Théorème 1:

L’ensemble des fonctions d’onde sphériques Ψ= Ψ

{

_j^mul, j=1,2,...

}

est complet dans L²(S).

Théorème 2:

L’ensemble des dérivées normales sur S des fonctions d’onde sphériques

∂Ψ

= ∂Ψjmul

∂n , j=1, 2, ...

 



 

 est complet dans L²(S).

Cela signifie qu’il n’existe pas de fonction, autre que la fonction nulle, qui soit orthog onale à toutes les fonctions Ψ_j^mul (respectivement

∂Ψjmul

∂n ). Ces théorèmes ont été démontrés par ^(62-64). On trouvera d'autres références dans l'article ⁽³⁰⁾ de Ochmann.

Tout ensemble complet pouvant être orthonormé par la procédure de type Gram-Schmidt, on en déduit l'existence d'une base de fonctions orthonormées sur S notée

∂Φ

= ∂Φj

∂n ,j =1,2,...

 



 

 te lle que:

∂Φ_i

∂n ,∂Φ_j

∂n _S =δ_ij

( A2.8 )

Toute fonction f de L²(S) vérifie donc:

lim

N→∞ f − f_N ²dS

∫∫

S ⁼⁰

( A2.9 )

où fN est la décomposition en série de Fourier généralisée de la fonction f sur l'ensemble

∂ Φ

:

f_N(M_s)= f ,∂Φ_j

∂n _S

∂Φ_j

∂n (M_s)

j=1

∑

N

( A2.10 )

Cette série est dite convergente vers la fonction f au sens des moindres carrés.

Application à la méthode de la sphère équivalente:

Les fonctions ∂Ψ_j

∂n utilisées par la méthode de la sphère équivalente forment un ensemble complet sur L²(S) car elles sont linéairement dépendantes des fonctions

∂Ψjmul

∂n .

⇒ En appliquant la procédure de Gram-Schmidt on peut donc orthog onaliser les fonctions ∂Ψ_j

∂n et exprimer la vitesse vibratoire de S sous la forme d'une série convergente de la forme ( A2.11 ).

À cause de sa très g rande sensibilité aux erreurs numériques (i.e. accumulation des erreurs d'arrondis), cette technique d'orthonormalisation n'est en général pas conseillée (cf. ⁽⁵⁰⁾ ou ⁽⁵³⁾).

On lui préférera la méthode de Décomposition en Valeurs Sing ulières (S.V.D.) telle qu' elle est présentée au paragraphe 2.2.3. du chapitre I I. En effet, la minimisation au sens des moindres carrés de la vitesse vibratoire résiduelle quadratique de S associée à la S.V.D. permet de construire la base orthonormée

∂Φ

(i.e. ensemble des vecteurs colonnes de la matrice U dans l'expression ( I I.68 )) tout en conservant l'information sur la sensibilité aux erreurs (i.e. conditionnement de la matrice A).

La décomposition de la vitesse vibratoire de S dans un sous-ensemble fini de fonctions ∂Ψ_j

∂n conduit donc à un sy stème linéaire dont la solution converg e au sens des moindres carrés vers la vitesse vibratoire.

Annexe 3

Prise en compte des erreurs de mesure par la méthode de la sphère équivalente

1. Introduction

On a montré au paragraphe 2.2.3. du chapitre I I que le conditionnement d' un système linéaire est un paramètre important car il permet de qualifier la stabilité de la solution numé rique du système. Les inégalités ( II.64 ) à ( I I.66 ) fournissent en effet des majorants de la norme de l'erreur commise par rapport à la solution ex acte lorsque les sources d' erreur sont liées aux composantes de la matrice A (erreurs dues au maillage vibratoire et au calcul des fonctions ∂Ψ_j

∂n ) et aux composantes du vecteur b (erreurs de mesure). Le nombre de conditionnement ne permet cependant pas de traduire directement cette instabilité en terme d' incertitude associée à chaque coefficient modal. On cherche donc à affecter à chaque coefficient modal, puis à la pression acoustique rayonnée par la sphère équivalente, une incertitude qui dépend des erreurs de mesure.

Une première approche consiste à modifier " légèrement" les données de vitesse sur la structure et à comparer le rayonnement du champ de vitesse initial au ray onnement du champ de vitesse modifié.

En fonction des différences observées entre les deux rayonnements on peut conclure sur la stabilité de la solution du sy stème. Cette démarche nécessite cependant de déterminer différents champs de vitesse vibratoire. Outre le problème du choix de ces différentes config urations, cette approche peut s'avérer très coûteuse en temps de calculs. Une méthode plus avantag euse consiste à inverser directement un système linéaire qui tient compte du caractère aléatoire des mesures de vitesses.

No documento Laurent Bouchet (páginas 170-180)