Introduction
2. Modélisation du rayonnement d'une surface quelconque à partir du rayonnement d'une sphère
2.2. Application de la méthode des sources équivalentes : détermination des coefficients modaux de la sphère équivalente par minimisation de
2.2.5. Choix du nombre de coefficients modaux à déterminer
calculée par Sa est indé pendante du ma illage. Un c ritère simple qui ne tie nt c ompte que de s variations des fonctions harmoniques sphériques sera présenté au chapitre III.
avec
Vnmσr0 = k ρ0c0
h n′ (kr0) P(Ms)∂Ψ ˆ nmσ
∂n (Ms)+ jkρ0c0Vmes(Ms) ˆ Ψ nmσ(Ms)
÷
∫∫
S dS( II.45 )
et Ψ ˆ nmσ(Ms)=Y nmσ(θs,ϕs)jn(krs)
( II.46 )
Cette expression est obtenue à partir de l' équation intég rale de Helmholtz lorsque la fonction de Green en cham p l ibre G0 est décomposée dans l' ensemble des fonctions d’onde sphériques. Elle caractérise le ray onnement acoustique de la sphère S0 : l es coeffi cients m odaux Vnmσr0 de S0 sont exprimés directement en fonction de la pression pariétale et de la vitesse vibratoire mesurée sur la surface S. L orsque ses coefficients modaux vérifient la relation ( I I.44 ), la sphère S0 peut être considérée comme une sphère équivalente à la structure S.
En appliquant la méthode de la sphère équivalente on exprime la pression acoustique rayonnée par la structure sous la forme:
P(M)= −jρ0c0 Vnma,σ∞Y nmσ(θ,ϕ) hn(kr) h n′ (ka)
σ=0
∑
1 m=0∑
n n=0∑
∞( II.47 )
où les coefficients Vnmσa,∞ sont la solution du système ( II.9 ) lorsque tous les modes de rayonnement de Sa sont pris en compte. L a convergence de cette série est uniforme en tout point M extérieur à S. La décomposition du champ de pression ray onné par la structure dans l' ensemble des fonctions d'onde sphériques étant unique (cf annexe 7), on en déduit que les coefficients Mnm∞σ et Vnmσr0 vérifient pour tous les triplets ( , , )n m σ :
Vnmσa,∞
h ′ n(ka)= Vnmσr0 h n′ (kr0)
( II.48 )
Cette relation traduit l'équivalence terme à terme entre le ray onnement des modes de Sa et de S0, c'est-à-dire entre le rayonnement acoustique de Sa et de S0. On en déduit l' expression analytique des coefficients modaux de Sa:
Vnmσa,∞ = k
ρ0c0h n′ (ka) P( Ms)∂Ψ ˆ nmσ
∂n (Ms)+ jkρ0c0Vmes(Ms) ˆ Ψ nmσ(Ms)
÷
∫∫
S dS( II.49 )
Conséquence:
La distinction entre les modes ray onnants et les modes non ray onnants de la sphère S0 permet d'appliquer le critère de troncature développé au paragraphe II.1.5. Si la vitesse particulaire rayonnée par la structure à l a surface de S0 est suffisamment rég ulière, alors les séries ( I I.44 ) et ( I I.47 ) peuvent être tronquée à l'ordre:
Np = Np(S0,ε,M) = [kr0] + np(ε,r)
( II.50 )
La décroissance des coeffi cients Vnmσr0 pouvant être assez lente, le critère de troncature est d' autant plus pré cis que la vite sse vibra toire a dmet de s oscillations lentes sur S et que le point d' écoute appartient au champ lointain de S0. On en déduit également que les modes vibratoires de la structure qui vont contribuer au ray onnement acoustique sont entièrement décrits par les Nray = ( Np+1)2 premiers modes de rayonnement de la sphère équivalente. L es modes de Sa d'ordre n supérieur à Np
sont associés aux modes non rayonnants de la structure. La figure II.10 résume le comportement des différents modes de Sa en fonction de leur ordre n, de ka et de kr0.
Figure II.4
Caractéristiques des modes de la sphère équivalente en fonction de leur ordre n
Les problèmes de conditionnement associés aux systèmes linéaires ( II.42 ) et ( I I.46 ) sont liés à la contribution des modes non ray onnants de Sa (i.e. n > ka) qui admettent une contribution au rayonnement de S0 (i.e. n < kr0).
Application au choix de N
La pression acoustique rayonnée par la sphère équivalente limitée aux modes d'ordre n inférieur ou égal à Np et associée aux coefficients modaux Vnmσa,∞ est une bonne approximation du champ pression acoustique rayonné par la structure. Le critère de troncature ( II.87 ) n'est cependant applicable que si les coefficients Vnmσa,∞ sont connus, c'est-à-dire lorsque le système linéaire ( II.9 ) est résolu en prenant en compte tous les modes de Sa. Notons alors Vnmσa, N les coefficients modaux solutions du sy stème linéaire lorsque se uls les N premiers modes de Sa sont pris en compte. Comme la série ( I I.47 ) converge uniformément à l'extérieur de S, les coefficients Vnmσa, N vérifient:
lim
N→∞Vnma, Nσ =Vnma,σ∞
( II.51 )
ordre n des modes de Sa
0
modes rayonnants modes non rayonnants
modes qui contribuent au rayonnement de S ka
kr0
modes qui ne contribuent pas au rayonnement de S
Le nombre de coefficients modaux qu'il faut réellement prendre en compte dans le sy stème linéaire doit ainsi tenir compte de la vitesse de converg ence des coefficients Vnmσa, N d'ordre n inférieur à Np
vers l es coeffi cients Vnmσa,∞. Si la converg ence est rapide (cas n°1 de la fig ure I I.11) alors le rayonnement acoustique de la structure sera correctement approché en calculant les coefficients modaux de Sa jusqu'à un ordre n = Nmax un peu supérieur à Np. En revanche, si la converg ence est lente (cas n° 2 de la figure II.11), il faudra choisir Nmax très supérieur à N.
Figure II.5 Exemple de variations de
Vnmσa, N
Vnma,∞σ en fonction de N (amplitude arbitraire)
Si la structure est une sphère de centre O, alors Vnmσa,N =Vnma,∞σ quel que soit N et le critère ( I I.87 ) est vérifié exactement. On en déduit que la converg ence de Vnma N,σ vers Vnmσa,∞ est d'autant plus rapide que la structure est proche d'une sphère.
La vitesse de convergence dépend également de la déformée vibratoire. Ce sont en effet les modes de Sa d'ordres m et/ou n élevés qui admettent le plus de directivité et qui seront capables de traduire les oscillations rapides sur S.
De manière g énérale, le champ de pression acoustique ray onné par la structure sera donc approché par:
P(M)= −jρ0c0 Vnmσa,NmaxY nmσ(θ,ϕ) hn(kr) h n′ (ka)
σ=0
∑
1 m=0∑
n n=0 Nmax∑
( II.52 )
où Nmax est supérieur à Np.
convergence rapide convergence lente
Critère de troncature associé au calcul de la puissance acoustique
En appliquant les relations ( I I.17 ) pour calculer la puissance ray onnée par S0 et ( I I.48 ) pour l'équivalence entre Sa et S0, la puissance acoustique rayonnée par la structure s'écrit simplement:
W = ρ0c0 2k2
Vnmr0σ
h n′ (kr0)
2
(n,m,σ
∑
) = ρ2k0c20Vnma,∞σ
h ′ n(ka)
2
(n,m,σ
∑
)( II.53 )
Comme précédemment, la décroissance des coeffi cients modaux de S0 permet d' appliquer le critère du paragraphe 1.5 On en déduit que l'ordre de troncature Nw vérifie:
Nw = Nw(S0,ε) = [kr0] + nw(ε)
( II.54 )
La puissance acoustique rayonnée par S est donc approchée par:
W = ρ0c0
2k2
Vnmσa,Nmax
h ′ n(ka)
2
σ=0
∑
1 m=0∑
n n=0 Nmax∑
( II.55 )
avec Nmax > Nw.
Conclusion sur le choix de N:
A partir de l' équation intég rale de Helmholtz et du ray onnement acoustique d' une sphère S0 qui entoure la structure, on a déterminé les modes de ray onnement de la sphère équivalente qui vont théoriquement contribuer au rayonnement acoustique de la structure (i.e. modes d' ordre n inférieur à Np pour la pression acoustique et Nw pour la puissance acoustique). L es coefficients modaux qui rendent le ray onnement de Sa équivalent à celui de la structure ont été ex primés en fonction de la pression pariétale et de la vitesse vibratoire mesurée sur la structure.
Si cette structure n'est pas compacte, la vitesse de convergence des coefficients modaux de la sphère équivalente d' ordre n inférieur à Np impose en g énéral de prendre en compte un nombre plus important de coefficients modaux . En revanche, si la vitesse vibratoire varie lentement sur une surface compacte, l es prem iers m odes de Sa peuvent très bien converg er rapidement et traduire correctement le rayonnement de la structure. L a troncature peut alors avoir lieu avant l' ordre n = Np
(resp. Nw).
Les critères de troncature ( II.87 ) et ( II.91 ) donnent donc un ordre de g randeur pour le choix de N.
Une démarche itérative est en g énéral nécessaire pour confirmer la converg ence du modèle. Un premier calcul peut être effectué avec N = (Np+1)2. Le rayonnement acoustique est alors comparé à celui obtenu pour une valeur supérieure de N jusqu'à ce que les ( Np+1)2 premiers coefficients aient convergé.
On a montré au parag raphe 2.3 que la sphère équivalente devait approcher au plus près la structure pour que le système linéaire soit le mieux conditionné possible. Pour que le nombre de coefficients à calculer soit également le plus faible possible, les relations ( II.87 ) et ( II.91 ) montrent que la sphère S0 doit ê tre de ra yon minima l. La position de la sphère équivalente influence donc à la fois le conditionnement du système linéaire et le nombre de coefficients modaux à calculer.