l’utilisation d’un ordinateur mais dans des proportions insignifiantes comparées à celles en jeu pour une inversion de problème non-linéaire. L’inversion du problème linéarisé revient en fait à estimer l’inverse d’une matrice généralement non inversible. On utilise alors des méthodes comme la décomposition en valeur singulière, le maximuma posteriori, le maximum de vraisemblance. . . Les faibles coûts de calculs de ces méthodes permettent ainsi d’estimer un grand nombre de paramètres. Cependant, ces méthodes restent limitées par le cadre de validité des hypothèses qui ont servi à linéariser le problème direct. Elles nécessitent notamment que l’état de référence des paramètres du milieu (cf. m0 dans l’équation 1.28) soit assez proche des paramètres du milieu à inverser.
On voit donc que les deux méthodes ont des caractéristiques complémentaires, et peuvent être associées. L’inversion du problème non-linéaire permet d’effectuer une inversion grossière de quelques paramètres du milieu de propagation, théoriquement sans informationa priori. En se basant sur ce premier résultat d’inversion, on peut ensuite affiner les résultats d’inversion avec l’inversion du problème linéarisé et/ou traiter des séries temporelles.
Enfin, les méthodes existantes en théorie des problèmes inverses montrent qu’il est pos- sible d’estimer les propriétés physiques des océans à l’aide de mesures acoustiques. Le lien entre le champ acoustique (ou ses observables) et les paramètres physiques du milieu de pro- pagation (par exemple la distribution de vitesse du son), clairement non-linéaire dans le cas général, peut-être linéarisé sous certaines hypothèses. Des méthodes différentes sont alors uti- lisées suivant que l’on souhaite inverser le problème non-linéaire ou sa version linéarisée. Dans l’hypothèse où les conditions du problème acoustique sont favorables à sa linéarisation, celle- ci représente un avantage certain. En effet, les méthodes de résolution de problèmes inverses linéaires sont plus faciles à mettre en œuvre, car elles demandent moins de ressources de cal- cul, sont plus rapides, et permettent ainsi d’estimer les variations de vitesse du son avec une meilleure résolution spatiale te temporelle.
Le chapitre suivant propose une alternative à l’utilisation des temps de propagation en TAO. Une méthode de résolution du problème direct est proposée afin d’introduire les direc- tions d’arrivée et les directions de départ en tomographie acoustique océanique.
Le problème direct : Les noyaux de sensibilité temps - angles
Sommaire
2.1 Introduction . . . 54 2.2 Présentation du cas d’étude . . . 55 2.3 Théorie des noyaux de sensibilité temps-angles . . . 56 2.3.1 Linéarisation de l’équation de propagation . . . 57 2.3.2 Le changement d’espace de représentation du signal . . . 60 2.3.3 L’extraction d’observables . . . 61 2.3.4 Expression des noyaux de sensibilité temps-angles . . . 64 2.4 Étude des noyaux de sensibilité temps-angles . . . 64 2.4.1 Les trajets acoustiques et les NSTA associés . . . 65 2.4.1.1 Le trajet direct . . . 65 2.4.1.2 Les trajets avec réflexions . . . 68 2.4.2 Le couplage des noyaux temps-angles . . . 68 2.4.3 Influence du signal émis . . . 70 2.4.3.1 Fréquence centrale . . . 70 2.4.3.2 Largeur de bande . . . 72 2.4.3.3 Les artéfacts de repliement . . . 73 2.4.4 Influence de la dimension des antennes . . . 75 2.4.4.1 Séparation et lissage des NSTA . . . 75 2.4.4.2 Les interférences inter-NSTA . . . 76 2.5 Étude du problème direct . . . 81 2.5.1 Schéma d’étude . . . 81 2.5.2 Validation des noyaux de sensibilité temps-angles . . . 81 2.5.3 Étude de performances . . . 85 2.5.3.1 La taille des antennes . . . 85 2.5.3.2 La position de la perturbation . . . 86 2.5.3.3 La valeur maximale de la perturbation . . . 88 2.5.3.4 La taille de la perturbation . . . 90 2.5.3.5 Les perturbations multiples . . . 92 2.6 Une approche vectorielle du noyau de sensibilité des angles . . . 93 2.7 Conclusion . . . 97
53
2.1 Introduction
Le premier chapitre a montré que les changements de distribution de vitesse du son au sein d’un guide d’onde océanique modifient la manière dont se propagent les ondes acoustiques. Ces changements, qui s’expliquent par la théorie de la réfraction ou de la diffraction, se traduisent principalement par l’accélération ou le ralentissement des ondes, et la déviation de la direction de propagation. Ces fluctuations sont mesurables avec une antenne verticale émettrice et une antenne verticale réceptrice, délimitant le guide d’onde dans sa longueur. Ce système de mesure permet :
– de séparer les différentes arrivées acoustiques et de les associer à leurs trajets acoustiques respectifs ;
– et de mesurer leurs temps de propagation (ou TP, noté τ dans les formules), leurs directions d’arrivée (ou DA, notée Θr), et leurs directions de départ (ou DD, noté Θe).
Dans la suite du manuscrit, le mot « observables » désignera ces quantités uniquement ; les autres observables vu dans le premier chapitre ne sont pas le sujet de ce travail.
Il est possible de mesurer les variations de ces observables, reflet des changements qui ont lieu au sein du milieu de propagation.
Le but de ce chapitre est de modéliser le lien entre : les perturbations de la dis- tribution de vitesse du son, et les variations d’observables (variations de TP, DA, DD) induites par la perturbation, à l’aide de noyaux de sensibilité, et de discuter cette modélisation.
Cette approche a déjà permis à Skarsoulis et al. de relier les variations de distribution de vitesse du son, aux variations de TP dans le cas d’une transmission acoustique point à point [Skarsoulis 2004] ; et à Iturbe et al. d’étendre cette approche à un contexte de double antenne [Iturbe 2009a, Roux 2011].
La partie innovante de ce travail repose sur la modélisation des variations des DA et DD, ainsi que sur l’aspect conjoint de la modélisation des variations des TP, DA et DD.
Dans une première partie, nous détaillerons l’approche des noyaux de sensibilité temps- angles (NSTA) pour résoudre le problème direct. La deuxième partie sera consacrée à l’étude qualitative des NSTA en fonction des paramètres du signal et des antennes. En troisième partie, à l’aide de simulations numériques aux équations paraboliques, nous étudierons de manière quantitative la validité de l’approche par NSTA pour résoudre le problème direct linéarisé. Nous nous attacherons aussi à étudier le cadre de validité de ce modèle. Enfin, la dernière section montrera une autre approche pour le calcul des NSTA.